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人教版八年级数学下册专题05勾股定理的逆定理(原卷版+解析)
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这是一份人教版八年级数学下册专题05勾股定理的逆定理(原卷版+解析)，共40页。
专题05 勾股定理的逆定理【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc6431" 【典型例题】 PAGEREF _Toc6431 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5770" 【考点一 判断三边能否构成直角三角形】 PAGEREF _Toc5770 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21828" 【考点二 在网格中判断直角三角形】 PAGEREF _Toc21828 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc8214" 【考点三 利用勾股定理的逆定理求解】 PAGEREF _Toc8214 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc26316" 【考点四 勾股定理逆定理的实际应用】 PAGEREF _Toc26316 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc10391" 【考点五 勾股定理逆定理的拓展问题】 PAGEREF _Toc10391 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc16161" 【过关检测】 PAGEREF _Toc16161 \h 16【典型例题】【考点一 判断三边能否构成直角三角形】例题：（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图所示，已知中，于，，，．(1)求的长；(2)判断的形状，并说明理由．【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）如图，，垂足为D，且，．点E从B点沿射线向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为的中点，连接，设点E运动的时间为t．(1)当t为何值时，；(2)当时，判断的形状，并说明理由．2．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）已知 满足．(1)求的值；(2)试问以为边能否构成直角三角形？请说明理由．【考点二 在网格中判断直角三角形】例题：（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，的顶点在格点上．(1)直接写出______，______，______；(2)判断的形状，并说明理由；(3)直接写出边上的高______．【变式训练】1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．(1)求四边形的面积，(2)是直角吗？为什么？2．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1，点，．(1)建立平面直角坐标系；(2)判断的形状，并说明理由；(3)在轴上找一点，当最小时，此时点坐标是 ．【考点三 利用勾股定理的逆定理求解】例题：（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，．(1)求的度数；(2)四边形的面积为______．【变式训练】1．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，求的长．2．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，四边形中，已知，，，，且．求四边形的面积．【考点四 勾股定理逆定理的实际应用】例题：（2022秋·辽宁·八年级校考期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原来的路线的长．【变式训练】1．（2022秋·河南平顶山·八年级校联考期中）某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点的距离，以沙尘暴中心为圆心，周围以内都会受到沙尘暴影响．(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响；(2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？2．（2022秋·云南楚雄·八年级统考期末）为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得，，，，，如果种植草皮费用是200元/，那么共需投入多少钱？【考点五 勾股定理逆定理的拓展问题】例题：（2022秋·八年级课时练习）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．【变式训练】1．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．2．（2021秋·江西吉安·八年级统考期末）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【过关检测】一、选择题1．（2023春·八年级单元测试）以下各组数为三角形的三边，其中，能构成直角三角形的是（ ）A． B．C．，， D．，，2．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）的三边为，，，下列条件不能确保为直角三角形的是（ ）A． B．C． D．3．（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期末）在中，已知，则的面积为（ ）A． B． C．6 D．4．（2023春·八年级单元测试）如图，已知，，，，则点C到的距离为（ ）．A． B． C． D．5．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）A． B．C．点A到直线的距离为2 D．二、填空题6．（2022秋·广东佛山·八年级大沥中学校考阶段练习）若、、为的三边长，且满足，则是______三角形．7．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，中， 于点D，若，，，则线段的长度是______．8．（2022春·四川成都·八年级四川师范大学附属中学校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________．9．（2022秋·辽宁本溪·八年级统考期末）如图，有一块四边形花圃，，若在这块花圃上种植花草，已知每种植需50元，则共需 _____元．10．（2022秋·八年级单元测试）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．三、解答题11．（北京市平谷区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．(1)求证：是直角三角形；(2)求的长．12．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的长．13．（2022春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考阶段练习）如图所示，每个网格正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）求的周长．（2）判断的形状，并求其面积．（3）求边上的高．14．（2021秋·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．(1)若三边长分别是2，和4，试判断此三角形是否为常态三角形；(2)如图，在中，点D在边上，连接，，，，若是常态三角形，求的长．15．（2020秋·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在△ABC中，、、是其三条边，已知，，，判断△ABC的形状．解：在△ABC中，因为，，所以．所以△ABC是直角三角形．认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题：（1）填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形．（2）已知△ABC三边分为、、，求证：△ABC是直角三角形．（3）已知、、是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状． 专题05 勾股定理的逆定理【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc6431" 【典型例题】 PAGEREF _Toc6431 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5770" 【考点一 判断三边能否构成直角三角形】 PAGEREF _Toc5770 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21828" 【考点二 在网格中判断直角三角形】 PAGEREF _Toc21828 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc8214" 【考点三 利用勾股定理的逆定理求解】 PAGEREF _Toc8214 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc26316" 【考点四 勾股定理逆定理的实际应用】 PAGEREF _Toc26316 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc10391" 【考点五 勾股定理逆定理的拓展问题】 PAGEREF _Toc10391 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc16161" 【过关检测】 PAGEREF _Toc16161 \h 16【典型例题】【考点一 判断三边能否构成直角三角形】例题：（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图所示，已知中，于，，，．(1)求的长；(2)判断的形状，并说明理由．【答案】(1)1.2(2)直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）先在中，利用勾股定理可求出的长，从而求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答．【详解】（1）解：，，，，，的长为1.2；（2）是直角三角形，理由：在中，，，，，，，，是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）如图，，垂足为D，且，．点E从B点沿射线向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为的中点，连接，设点E运动的时间为t．(1)当t为何值时，；(2)当时，判断的形状，并说明理由．【答案】(1)当时，；(2)是直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据题意可得：，再根据线段中点的定义可得，从而可得，，由等腰三角形的性质得，则建立方程即可解答；（2）当时，，，然后分别在和中，利用勾股定理求出和，最后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答．【详解】（1）解：由题意得：，∵F为的中点，∴，∵，，∴，，∵，，∴，即，解得：，∴当时，；（2）解：是直角三角形，理由：当时，，∴，在中，，在中，，∵，，∴，∴是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．2．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）已知 满足．(1)求的值；(2)试问以为边能否构成直角三角形？请说明理由．【答案】(1)，， (2)不能构成直角三角形，见解析【分析】（1）利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定a，b，c的值即可；（2）根据勾股定理得逆定理直接判断即可得解；【详解】（1）∵，∴， ，＝0，∴，，；（2）∵，∴不能构成直角三角形．【点睛】本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零的性质是解题的关键．【考点二 在网格中判断直角三角形】例题：（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，的顶点在格点上．(1)直接写出______，______，______；(2)判断的形状，并说明理由；(3)直接写出边上的高______．【答案】(1)，，(2)是直角三角形，理由见解析(3)【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答；（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；（3）利用面积法，进行计算即可解答．【详解】（1）解：由题意得：，，，故答案为：，，；（2）解：是直角三角形，理由：∵，，∴，∴是直角三角形；（3）设边上的高为h，∵的面积，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．(1)求四边形的面积，(2)是直角吗？为什么？【答案】(1)(2)是直角，理由见解析【分析】（1）根据网格中图形，用大正方形面积减去四个顶点处的直角三角形面积和一个正方形面积即可得到答案；（2）由图，连接，分别在网格中利用勾股定理计算出三条线段长，利用勾股定理的逆定理验证即可得到答案．【详解】（1）解：由网格图可知，四边形的面积为；（2）解：是直角，理由如下：连接，如图所示：∴，，，，∴是直角三角形，是直角．【点睛】本题考查网格中求四边形面积及勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握网格中求图形面积的方法及网格中利用勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键．2．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1，点，．(1)建立平面直角坐标系；(2)判断的形状，并说明理由；(3)在轴上找一点，当最小时，此时点坐标是 ．【答案】(1)详见解析(2)是直角三角形，详见解析(3)【分析】（1）根据、两点坐标确定平面直角坐标系即可；（2）根据勾股定理的逆定理判断即可；（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，直线的解析式，可得点坐标．【详解】（1）如图，平面直角坐标系如图所示：（2）∵，BC＝，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）如图，点即为所求，∵，，，∴设直线的解析式为，则有，解得：，∴直线的解析式为，令，可得，∴．【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，勾股定理以及逆定理等知识，明确、、在一条直线上时，有最小值是解题的关键．【考点三 利用勾股定理的逆定理求解】例题：（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，．(1)求的度数；(2)四边形的面积为______．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，根据已知先证明是等边三角形，从而可得，，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后进行计算即可解答；（2）过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质求出的长，从而利用勾股定理求出的长，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．【详解】（1）解：连接，，，∴是等边三角形，，，，，，∴是直角三角形，，，的度数为；（2）解：过点作，垂足为，是等边三角形，，，四边形的面积的面积的面积，四边形的面积为．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，求的长．【答案】【分析】根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵，，，∴，∴为直角三角形，∴，∴．【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是通过勾股定理的逆定理得到为直角三角形．2．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，四边形中，已知，，，，且．求四边形的面积．【答案】四边形的面积为．【分析】先在中，利用勾股定理求出，然后再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．【详解】解：∵，，，∴，∵，，∴，，∴，∴是直角三角形，且，∴四边形的面积的面积的面积，∴四边形的面积为．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．【考点四 勾股定理逆定理的实际应用】例题：（2022秋·辽宁·八年级校考期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原来的路线的长．【答案】千米【分析】先利用勾股定理的逆定理证明，得出，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出的长度．【详解】解：∵千米，千米，千米，即，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴，设，∴，∴，即，解得：，答：原来的路线的长为千米．【点睛】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022秋·河南平顶山·八年级校联考期中）某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点的距离，以沙尘暴中心为圆心，周围以内都会受到沙尘暴影响．(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响；(2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？【答案】(1)会受到影响(2)小时【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出城镇C是否会受到沙尘暴影响；（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出沙尘暴影响该城镇持续的时间．【详解】（1）解：作于D，在三角形中，，∴是直角三角形，即，，，解得∶千米，所以，城镇C会受到影响．（2）解：设沙尘暴中心到点E处城镇C开始受到影响，此时千米，到F处结束影响，此时千米，，千米，受影响的时间为（小时）【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．2．（2022秋·云南楚雄·八年级统考期末）为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得，，，，，如果种植草皮费用是200元/，那么共需投入多少钱？【答案】46800【分析】连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理逆定理，求出为直角三角形，进而利用两个直角三角形的面积和求出四边形的面积，再用面积乘以费用，即可得解．【详解】解：如图所示，连接．，，，， 又，，，即，是直角三角形， 所需费用为元．答：共需投入46800元．【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．熟练掌握勾股定理，以及利用勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键．【考点五 勾股定理逆定理的拓展问题】例题：（2022秋·八年级课时练习）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．【答案】(1)是，理由见解析(2)BN＝12或13【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题．（1）是．理由如下：∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，∴AM2＋NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，即（25−x）2＝x2＋25，解得x＝12；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．即x2＝25＋（25−x）2，解得x＝13，综上所述，BN＝12或13．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．【变式训练】1．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；（2）直接利用勾股定理得出x2的值；（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是锐角三角形，故答案为：锐角；（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，∴52+122=x2，∴x2=169，当12是斜边，则52+x2=122，解得：x2=119，故x2的值为169或119；（3）∵a=2，b=4，∴，∴，若△ABC是锐角三角形，则或，则或，∴或；若△ABC是直角三角形，则或，则或；若△ABC是钝角三角形，则或，则或，∴．【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．2．（2021秋·江西吉安·八年级统考期末）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3）【分析】（1）根据已知数据即可得到结果；（2）根据勾股定理判断即可；（3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可；【详解】（1）∵第一组：，，；第二组：，，；第三组：，，；第四组：，，；，∴第组：，，．（2）直角三角形；证明：为正整数，．以，，为三边的三角形是直角三角形．（3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，这组数为第九列：，，，即，，．，．，，．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023春·八年级单元测试）以下各组数为三角形的三边，其中，能构成直角三角形的是（ ）A． B．C．，， D．，，【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”判定即可．【详解】解：A．，能构成直角三角形，故此选项符合题意；B．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而做出判断．2．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）的三边为，，，下列条件不能确保为直角三角形的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．【详解】解：∵，，∴，解得：，∴，即为直角三角形，故A选项不符合题意；设， ∴，即不为直角三角形，故B选项符合题意；∵，∴，即为直角三角形，故C选项不符合题意；∵，∴，∵，∴，即为直角三角形，故D选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．3．（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期末）在中，已知，则的面积为（ ）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】根据题意可得出，再由勾股定理的逆定理可得出为，从而得出的面积．【详解】解：，，，为直角三角形，的面积，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，已知三角形的三边满足，从而得出三角形为直角三角形．4．（2023春·八年级单元测试）如图，已知，，，，则点C到的距离为（ ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，，，∴是直角三角形，且，∴点C到BD的距离为．故答案为：B．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟悉勾股定理，勾股定理的逆定理的计算是解题的关键．5．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）A． B．C．点A到直线的距离为2 D．【答案】B【分析】根据格点及勾股定理可得，，，然后根据勾股定理逆定理及等积法可进行求解．【详解】解：由图可得：，，，∴，∴是直角三角形，即，∴，设点A到直线的距离为h，∴，∴，综上可知只有B选项错误；故选B．【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．二、填空题6．（2022秋·广东佛山·八年级大沥中学校考阶段练习）若、、为的三边长，且满足，则是______三角形．【答案】直角【分析】首先根据求出a，b，c的值，然后根据勾股定理的逆定理求解即可．【详解】∵∴∴解得∵，∴∴是直角三角形．故答案为：直角．【点睛】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．明确非负数的性质：如果一组非负数的和为0时，则每一个非负数都等于0．7．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，中， 于点D，若，，，则线段的长度是______．【答案】【分析】先由勾股定理的逆定理得，从而利用面积公式即可计算的长度．【详解】解：∵，，，∴，∴，∵于点D，∴，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．8．（2022春·四川成都·八年级四川师范大学附属中学校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________．【答案】45°【分析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,证明为等腰直角三角形，从而可得答案．【详解】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．由题意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．∴AE2＝AP2+PE2．∴△APE是等腰直角三角形．∴∠PAE＝45∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．9．（2022秋·辽宁本溪·八年级统考期末）如图，有一块四边形花圃，，若在这块花圃上种植花草，已知每种植需50元，则共需 _____元．【答案】1800【分析】连接，则在直角中，已知根据勾股定理可以计算，又因为，所以为直角三角形，四边形的面积为和面积之和．【详解】解：连接，在中，，（m），在中，根据勾股定理得，∴∴的面积为，的面积为，∴四边形面积，∴种植花草共需花费元．故答案为：1800．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理逆定理判定直角三角形的应用，本题中判定是直角三角形并计算其面积是解题的关键．10．（2022秋·八年级单元测试）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．【答案】3或2或．【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．【详解】解：作BF⊥AD于F， 则四边形DEBF为矩形， ∴BF=DE=4，DF=BE=1， ∴AF=AD-DF=3， 由勾股定理得， 当△ABC为直角三角形时， 即 解得，CD=3， 如图2，作BH⊥AD于H，仿照上述作法，当∠ACB=90°时，由勾股定理得， 由得： 解得： 同理可得：当∠ABC=90°时， 综上：的长为：3或2或． 故答案为：3或2或．【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么三、解答题11．（北京市平谷区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．(1)求证：是直角三角形；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可证明；（2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】（1）证明：∵，，，∴∴∴是直角三角形；（2）解：连接，∵是的垂直平分线，∴，∴设，则，∵在中，，∴，∴，∴， ．【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解．12．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的长．【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析；(2)【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理求解即可；（2）过点作，交延长线于点，通过证明得到，，再根据勾股定理求解即可．【详解】（1）解：在中，，则，，∵，即∴为等腰直角三角形，；（2）解：过点作，交延长线于点，如下图：则，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴．【点睛】此题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．13．（2022春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考阶段练习）如图所示，每个网格正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）求的周长．（2）判断的形状，并求其面积．（3）求边上的高．【答案】（1）；（2）锐角三角形，；（3）【分析】（1）根据勾股定理求得△ABC的三条边长后，再来求该三角形的周长；（2）利用勾股定理的逆定理判断三角形的性质，然后根据S△ABC=S正方形BDEF-S△BCD-S△ACE-S△ABF计算即可；（3）设边上的高是h，则根据三角形的面积公式知AB•h=，据此可以求得h的值．【详解】解：（1），，，∴的周长；（2）如图，∵，∴为锐角三角形，；（3）设边上的高为，则，∴，即边上的高为．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，面积法求线段的长，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．14．（2021秋·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．(1)若三边长分别是2，和4，试判断此三角形是否为常态三角形；(2)如图，在中，点D在边上，连接，，，，若是常态三角形，求的长．【答案】(1)是(2)的长为【分析】（1）根据常态三角形的定义判定即可；（2）先证明是直角三角形，再由是常态三角形，分和两种情况求出出的长，从而解决问题．【详解】（1）解：因为，所以此三角形是常态三角形．（2）解：在中，，所以，，而，即，所以，故．所以是直角三角形． 已知是常态三角形，分和两种情况进行讨论：①当时，由，可得时，解得：， 则，在中，． ②当时，由，可得，解得：，则，在中，，，不符合题意，舍去．故的长为．【点睛】本题考查了新定义题，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，读懂题意，进行分类讨论是解题的关键．15．（2020秋·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在△ABC中，、、是其三条边，已知，，，判断△ABC的形状．解：在△ABC中，因为，，所以．所以△ABC是直角三角形．认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题：（1）填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形．（2）已知△ABC三边分为、、，求证：△ABC是直角三角形．（3）已知、、是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状．【答案】（1）52+122=132（2）见解析（3）等腰三角形或直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可判断．（2）根据勾股定理的逆定理即可证明；（3）根据整式的乘法公式变形化简，即可判断出三角形的形状．【详解】【点睛】此题主要考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟知勾股定理逆定理及乘方公式的运用．
专题05 勾股定理的逆定理【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc6431" 【典型例题】 PAGEREF _Toc6431 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5770" 【考点一 判断三边能否构成直角三角形】 PAGEREF _Toc5770 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21828" 【考点二 在网格中判断直角三角形】 PAGEREF _Toc21828 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc8214" 【考点三 利用勾股定理的逆定理求解】 PAGEREF _Toc8214 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc26316" 【考点四 勾股定理逆定理的实际应用】 PAGEREF _Toc26316 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc10391" 【考点五 勾股定理逆定理的拓展问题】 PAGEREF _Toc10391 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc16161" 【过关检测】 PAGEREF _Toc16161 \h 16【典型例题】【考点一 判断三边能否构成直角三角形】例题：（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图所示，已知中，于，，，．(1)求的长；(2)判断的形状，并说明理由．【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）如图，，垂足为D，且，．点E从B点沿射线向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为的中点，连接，设点E运动的时间为t．(1)当t为何值时，；(2)当时，判断的形状，并说明理由．2．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）已知 满足．(1)求的值；(2)试问以为边能否构成直角三角形？请说明理由．【考点二 在网格中判断直角三角形】例题：（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，的顶点在格点上．(1)直接写出______，______，______；(2)判断的形状，并说明理由；(3)直接写出边上的高______．【变式训练】1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．(1)求四边形的面积，(2)是直角吗？为什么？2．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1，点，．(1)建立平面直角坐标系；(2)判断的形状，并说明理由；(3)在轴上找一点，当最小时，此时点坐标是 ．【考点三 利用勾股定理的逆定理求解】例题：（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，．(1)求的度数；(2)四边形的面积为______．【变式训练】1．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，求的长．2．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，四边形中，已知，，，，且．求四边形的面积．【考点四 勾股定理逆定理的实际应用】例题：（2022秋·辽宁·八年级校考期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原来的路线的长．【变式训练】1．（2022秋·河南平顶山·八年级校联考期中）某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点的距离，以沙尘暴中心为圆心，周围以内都会受到沙尘暴影响．(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响；(2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？2．（2022秋·云南楚雄·八年级统考期末）为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得，，，，，如果种植草皮费用是200元/，那么共需投入多少钱？【考点五 勾股定理逆定理的拓展问题】例题：（2022秋·八年级课时练习）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．【变式训练】1．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．2．（2021秋·江西吉安·八年级统考期末）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【过关检测】一、选择题1．（2023春·八年级单元测试）以下各组数为三角形的三边，其中，能构成直角三角形的是（ ）A． B．C．，， D．，，2．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）的三边为，，，下列条件不能确保为直角三角形的是（ ）A． B．C． D．3．（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期末）在中，已知，则的面积为（ ）A． B． C．6 D．4．（2023春·八年级单元测试）如图，已知，，，，则点C到的距离为（ ）．A． B． C． D．5．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）A． B．C．点A到直线的距离为2 D．二、填空题6．（2022秋·广东佛山·八年级大沥中学校考阶段练习）若、、为的三边长，且满足，则是______三角形．7．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，中， 于点D，若，，，则线段的长度是______．8．（2022春·四川成都·八年级四川师范大学附属中学校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________．9．（2022秋·辽宁本溪·八年级统考期末）如图，有一块四边形花圃，，若在这块花圃上种植花草，已知每种植需50元，则共需 _____元．10．（2022秋·八年级单元测试）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．三、解答题11．（北京市平谷区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．(1)求证：是直角三角形；(2)求的长．12．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的长．13．（2022春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考阶段练习）如图所示，每个网格正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）求的周长．（2）判断的形状，并求其面积．（3）求边上的高．14．（2021秋·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．(1)若三边长分别是2，和4，试判断此三角形是否为常态三角形；(2)如图，在中，点D在边上，连接，，，，若是常态三角形，求的长．15．（2020秋·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在△ABC中，、、是其三条边，已知，，，判断△ABC的形状．解：在△ABC中，因为，，所以．所以△ABC是直角三角形．认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题：（1）填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形．（2）已知△ABC三边分为、、，求证：△ABC是直角三角形．（3）已知、、是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状． 专题05 勾股定理的逆定理【考点导航】目录TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc6431" 【典型例题】 PAGEREF _Toc6431 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5770" 【考点一 判断三边能否构成直角三角形】 PAGEREF _Toc5770 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21828" 【考点二 在网格中判断直角三角形】 PAGEREF _Toc21828 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc8214" 【考点三 利用勾股定理的逆定理求解】 PAGEREF _Toc8214 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc26316" 【考点四 勾股定理逆定理的实际应用】 PAGEREF _Toc26316 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc10391" 【考点五 勾股定理逆定理的拓展问题】 PAGEREF _Toc10391 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc16161" 【过关检测】 PAGEREF _Toc16161 \h 16【典型例题】【考点一 判断三边能否构成直角三角形】例题：（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图所示，已知中，于，，，．(1)求的长；(2)判断的形状，并说明理由．【答案】(1)1.2(2)直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据垂直定义可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）先在中，利用勾股定理可求出的长，从而求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答．【详解】（1）解：，，，，，的长为1.2；（2）是直角三角形，理由：在中，，，，，，，，是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级单元测试）如图，，垂足为D，且，．点E从B点沿射线向右以2个单位/秒的速度匀速运动，F为的中点，连接，设点E运动的时间为t．(1)当t为何值时，；(2)当时，判断的形状，并说明理由．【答案】(1)当时，；(2)是直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据题意可得：，再根据线段中点的定义可得，从而可得，，由等腰三角形的性质得，则建立方程即可解答；（2）当时，，，然后分别在和中，利用勾股定理求出和，最后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可解答．【详解】（1）解：由题意得：，∵F为的中点，∴，∵，，∴，，∵，，∴，即，解得：，∴当时，；（2）解：是直角三角形，理由：当时，，∴，在中，，在中，，∵，，∴，∴是直角三角形．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．2．（2022秋·河北承德·八年级统考期末）已知 满足．(1)求的值；(2)试问以为边能否构成直角三角形？请说明理由．【答案】(1)，， (2)不能构成直角三角形，见解析【分析】（1）利用几个非负数的和为零，则每一个非负数都等于零，确定a，b，c的值即可；（2）根据勾股定理得逆定理直接判断即可得解；【详解】（1）∵，∴， ，＝0，∴，，；（2）∵，∴不能构成直角三角形．【点睛】本题主要考查非负数和为零的性质及勾股定理逆定理，熟练掌握非负数和为零的性质是解题的关键．【考点二 在网格中判断直角三角形】例题：（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，正方形网格的每个小方格边长均为，的顶点在格点上．(1)直接写出______，______，______；(2)判断的形状，并说明理由；(3)直接写出边上的高______．【答案】(1)，，(2)是直角三角形，理由见解析(3)【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答；（2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；（3）利用面积法，进行计算即可解答．【详解】（1）解：由题意得：，，，故答案为：，，；（2）解：是直角三角形，理由：∵，，∴，∴是直角三角形；（3）设边上的高为h，∵的面积，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点均在格点上．(1)求四边形的面积，(2)是直角吗？为什么？【答案】(1)(2)是直角，理由见解析【分析】（1）根据网格中图形，用大正方形面积减去四个顶点处的直角三角形面积和一个正方形面积即可得到答案；（2）由图，连接，分别在网格中利用勾股定理计算出三条线段长，利用勾股定理的逆定理验证即可得到答案．【详解】（1）解：由网格图可知，四边形的面积为；（2）解：是直角，理由如下：连接，如图所示：∴，，，，∴是直角三角形，是直角．【点睛】本题考查网格中求四边形面积及勾股定理的逆定理判定直角三角形，掌握网格中求图形面积的方法及网格中利用勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键．2．（2022秋·江苏·八年级阶段练习）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1，点，．(1)建立平面直角坐标系；(2)判断的形状，并说明理由；(3)在轴上找一点，当最小时，此时点坐标是 ．【答案】(1)详见解析(2)是直角三角形，详见解析(3)【分析】（1）根据、两点坐标确定平面直角坐标系即可；（2）根据勾股定理的逆定理判断即可；（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，直线的解析式，可得点坐标．【详解】（1）如图，平面直角坐标系如图所示：（2）∵，BC＝，，∴，∴，∴是直角三角形；（3）如图，点即为所求，∵，，，∴设直线的解析式为，则有，解得：，∴直线的解析式为，令，可得，∴．【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，勾股定理以及逆定理等知识，明确、、在一条直线上时，有最小值是解题的关键．【考点三 利用勾股定理的逆定理求解】例题：（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，．(1)求的度数；(2)四边形的面积为______．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，根据已知先证明是等边三角形，从而可得，，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后进行计算即可解答；（2）过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质求出的长，从而利用勾股定理求出的长，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．【详解】（1）解：连接，，，∴是等边三角形，，，，，，∴是直角三角形，，，的度数为；（2）解：过点作，垂足为，是等边三角形，，，四边形的面积的面积的面积，四边形的面积为．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·广东江门·八年级江门市第二中学校考阶段练习）如图，在中，点是边上一点，连接．若，，，求的长．【答案】【分析】根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵，，，∴，∴为直角三角形，∴，∴．【点睛】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是通过勾股定理的逆定理得到为直角三角形．2．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期中）如图，四边形中，已知，，，，且．求四边形的面积．【答案】四边形的面积为．【分析】先在中，利用勾股定理求出，然后再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．【详解】解：∵，，，∴，∵，，∴，，∴，∴是直角三角形，且，∴四边形的面积的面积的面积，∴四边形的面积为．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．【考点四 勾股定理逆定理的实际应用】例题：（2022秋·辽宁·八年级校考期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．求原来的路线的长．【答案】千米【分析】先利用勾股定理的逆定理证明，得出，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出的长度．【详解】解：∵千米，千米，千米，即，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴，设，∴，∴，即，解得：，答：原来的路线的长为千米．【点睛】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022秋·河南平顶山·八年级校联考期中）某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点的距离，以沙尘暴中心为圆心，周围以内都会受到沙尘暴影响．(1)通过计算说明城镇C是否会受到影响；(2)若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？【答案】(1)会受到影响(2)小时【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积得出的长，进而得出城镇C是否会受到沙尘暴影响；（2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出沙尘暴影响该城镇持续的时间．【详解】（1）解：作于D，在三角形中，，∴是直角三角形，即，，，解得∶千米，所以，城镇C会受到影响．（2）解：设沙尘暴中心到点E处城镇C开始受到影响，此时千米，到F处结束影响，此时千米，，千米，受影响的时间为（小时）【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．2．（2022秋·云南楚雄·八年级统考期末）为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得，，，，，如果种植草皮费用是200元/，那么共需投入多少钱？【答案】46800【分析】连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理逆定理，求出为直角三角形，进而利用两个直角三角形的面积和求出四边形的面积，再用面积乘以费用，即可得解．【详解】解：如图所示，连接．，，，， 又，，，即，是直角三角形， 所需费用为元．答：共需投入46800元．【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．熟练掌握勾股定理，以及利用勾股定理逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键．【考点五 勾股定理逆定理的拓展问题】例题：（2022秋·八年级课时练习）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．【答案】(1)是，理由见解析(2)BN＝12或13【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题．（1）是．理由如下：∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，∴AM2＋NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，即（25−x）2＝x2＋25，解得x＝12；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．即x2＝25＋（25−x）2，解得x＝13，综上所述，BN＝12或13．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．【变式训练】1．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；（2）直接利用勾股定理得出x2的值；（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，∴三角形是锐角三角形，故答案为：锐角；（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，∴52+122=x2，∴x2=169，当12是斜边，则52+x2=122，解得：x2=119，故x2的值为169或119；（3）∵a=2，b=4，∴，∴，若△ABC是锐角三角形，则或，则或，∴或；若△ABC是直角三角形，则或，则或；若△ABC是钝角三角形，则或，则或，∴．【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键．2．（2021秋·江西吉安·八年级统考期末）先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3）【分析】（1）根据已知数据即可得到结果；（2）根据勾股定理判断即可；（3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可；【详解】（1）∵第一组：，，；第二组：，，；第三组：，，；第四组：，，；，∴第组：，，．（2）直角三角形；证明：为正整数，．以，，为三边的三角形是直角三角形．（3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，这组数为第九列：，，，即，，．，．，，．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023春·八年级单元测试）以下各组数为三角形的三边，其中，能构成直角三角形的是（ ）A． B．C．，， D．，，【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”判定即可．【详解】解：A．，能构成直角三角形，故此选项符合题意；B．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而做出判断．2．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）的三边为，，，下列条件不能确保为直角三角形的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解．【详解】解：∵，，∴，解得：，∴，即为直角三角形，故A选项不符合题意；设， ∴，即不为直角三角形，故B选项符合题意；∵，∴，即为直角三角形，故C选项不符合题意；∵，∴，∵，∴，即为直角三角形，故D选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，三角形内角和定理是解题的关键．3．（2022秋·吉林·八年级吉林省第二实验学校校考期末）在中，已知，则的面积为（ ）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】根据题意可得出，再由勾股定理的逆定理可得出为，从而得出的面积．【详解】解：，，，为直角三角形，的面积，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，已知三角形的三边满足，从而得出三角形为直角三角形．4．（2023春·八年级单元测试）如图，已知，，，，则点C到的距离为（ ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵，，，∴是直角三角形，且，∴点C到BD的距离为．故答案为：B．【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟悉勾股定理，勾股定理的逆定理的计算是解题的关键．5．（2022·全国·八年级专题练习）如图所示，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）A． B．C．点A到直线的距离为2 D．【答案】B【分析】根据格点及勾股定理可得，，，然后根据勾股定理逆定理及等积法可进行求解．【详解】解：由图可得：，，，∴，∴是直角三角形，即，∴，设点A到直线的距离为h，∴，∴，综上可知只有B选项错误；故选B．【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．二、填空题6．（2022秋·广东佛山·八年级大沥中学校考阶段练习）若、、为的三边长，且满足，则是______三角形．【答案】直角【分析】首先根据求出a，b，c的值，然后根据勾股定理的逆定理求解即可．【详解】∵∴∴解得∵，∴∴是直角三角形．故答案为：直角．【点睛】本题考查了非负数的性质和勾股定理的逆定理．明确非负数的性质：如果一组非负数的和为0时，则每一个非负数都等于0．7．（2022秋·山东烟台·七年级统考期中）如图，中， 于点D，若，，，则线段的长度是______．【答案】【分析】先由勾股定理的逆定理得，从而利用面积公式即可计算的长度．【详解】解：∵，，，∴，∴，∵于点D，∴，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．8．（2022春·四川成都·八年级四川师范大学附属中学校考期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，P都在格点上，连接AP，CP，CD，则∠PAB－∠PCD＝________．【答案】45°【分析】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,证明为等腰直角三角形，从而可得答案．【详解】如图，取CD边上的格点E，连接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．由题意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．∴AE2＝AP2+PE2．∴△APE是等腰直角三角形．∴∠PAE＝45∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．9．（2022秋·辽宁本溪·八年级统考期末）如图，有一块四边形花圃，，若在这块花圃上种植花草，已知每种植需50元，则共需 _____元．【答案】1800【分析】连接，则在直角中，已知根据勾股定理可以计算，又因为，所以为直角三角形，四边形的面积为和面积之和．【详解】解：连接，在中，，（m），在中，根据勾股定理得，∴∴的面积为，的面积为，∴四边形面积，∴种植花草共需花费元．故答案为：1800．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，考查了勾股定理逆定理判定直角三角形的应用，本题中判定是直角三角形并计算其面积是解题的关键．10．（2022秋·八年级单元测试）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．【答案】3或2或．【分析】作BF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BF=DE=4，DF=BE=1，根据勾股定理用CD表示出AC、BC，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．【详解】解：作BF⊥AD于F， 则四边形DEBF为矩形， ∴BF=DE=4，DF=BE=1， ∴AF=AD-DF=3， 由勾股定理得， 当△ABC为直角三角形时， 即 解得，CD=3， 如图2，作BH⊥AD于H，仿照上述作法，当∠ACB=90°时，由勾股定理得， 由得： 解得： 同理可得：当∠ABC=90°时， 综上：的长为：3或2或． 故答案为：3或2或．【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么三、解答题11．（北京市平谷区2022-2023学年八年级上学期数学期末试卷）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．(1)求证：是直角三角形；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可证明；（2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】（1）证明：∵，，，∴∴∴是直角三角形；（2）解：连接，∵是的垂直平分线，∴，∴设，则，∵在中，，∴，∴，∴， ．【点睛】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解．12．（2022春·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的长．【答案】(1)等腰直角三角形，理由见解析；(2)【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据勾股定理的逆定理求解即可；（2）过点作，交延长线于点，通过证明得到，，再根据勾股定理求解即可．【详解】（1）解：在中，，则，，∵，即∴为等腰直角三角形，；（2）解：过点作，交延长线于点，如下图：则，∴，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴．【点睛】此题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是灵活利用相关性质进行求解．13．（2022春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考阶段练习）如图所示，每个网格正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）求的周长．（2）判断的形状，并求其面积．（3）求边上的高．【答案】（1）；（2）锐角三角形，；（3）【分析】（1）根据勾股定理求得△ABC的三条边长后，再来求该三角形的周长；（2）利用勾股定理的逆定理判断三角形的性质，然后根据S△ABC=S正方形BDEF-S△BCD-S△ACE-S△ABF计算即可；（3）设边上的高是h，则根据三角形的面积公式知AB•h=，据此可以求得h的值．【详解】解：（1），，，∴的周长；（2）如图，∵，∴为锐角三角形，；（3）设边上的高为，则，∴，即边上的高为．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，面积法求线段的长，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．14．（2021秋·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．(1)若三边长分别是2，和4，试判断此三角形是否为常态三角形；(2)如图，在中，点D在边上，连接，，，，若是常态三角形，求的长．【答案】(1)是(2)的长为【分析】（1）根据常态三角形的定义判定即可；（2）先证明是直角三角形，再由是常态三角形，分和两种情况求出出的长，从而解决问题．【详解】（1）解：因为，所以此三角形是常态三角形．（2）解：在中，，所以，，而，即，所以，故．所以是直角三角形． 已知是常态三角形，分和两种情况进行讨论：①当时，由，可得时，解得：， 则，在中，． ②当时，由，可得，解得：，则，在中，，，不符合题意，舍去．故的长为．【点睛】本题考查了新定义题，勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，读懂题意，进行分类讨论是解题的关键．15．（2020秋·福建泉州·八年级泉州七中校考期中）阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在△ABC中，、、是其三条边，已知，，，判断△ABC的形状．解：在△ABC中，因为，，所以．所以△ABC是直角三角形．认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题：（1）填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形．（2）已知△ABC三边分为、、，求证：△ABC是直角三角形．（3）已知、、是△ABC的三边，且满足，试判断△ABC的形状．【答案】（1）52+122=132（2）见解析（3）等腰三角形或直角三角形，理由见解析【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可判断．（2）根据勾股定理的逆定理即可证明；（3）根据整式的乘法公式变形化简，即可判断出三角形的形状．【详解】【点睛】此题主要考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟知勾股定理逆定理及乘方公式的运用．
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