2022-2023学年湖北省咸宁市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省咸宁市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程中，属于一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面图形是中心对称图形的是(    )

A. 三角形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 正五边形

3.  下列语句描述的事件中，是随机事件的为(    )

A. 少年强则国强 B. 水中捞月
C. 守株待兔 D. 绿水青山就是金山银山

4.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

5.  中，，若是上一点，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  双曲线与直线相交于两点，其中一个交点为，当时，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D. 或

7.  如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，点是上一定点，点是上一动点、连接、、、分别将线段、绕点顺时针旋转到，，连接，，，，下列结论正确的有(    )
点在上；≌；；当时，与相切．

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是        ．

10.  将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为______ ．

11.  赤壁青砖茶，色泽青褐，香气纯正，滋味醇和，饮用青砖茶，除生津解渴外，还具有清新提神，帮助消化，杀菌止泻等功效赤壁青砖茶因具有得天独厚的生长条件，悠久的历史和独特的制作工艺，茶产业已成为赤壁市农业特色产业之一，下表是赤壁市某茶叶种植合作社茶树种植成活情况统计表：

根据这个表格，请估计这个合作社茶树种植成活的概率为______ 结果保留两位小数．

12.  在某一电路中，保持电压不变，电流安与电阻欧成反比例函数关系，其图象如图，则这一电路的电压为______ 伏．

13.  如图是博物馆展出的战国时期车轮实物，周礼考工记记载：“故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸”据此，为验证博物馆展出车轮类型，我们可以通过计算车轮的半径推断如图所示，在车轮上取、两点，设所在圆的圆心为，半径为作弦的垂线，为垂足，经测量，，，则此车轮半径为______ 通过单位换算在战国时期，一尺大约是左右，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．
 

14.  如图，在矩形中，，，将矩形绕点旋转一定角度后得矩形，交于点，且，则的长为______ ．

15.  如图，一段抛物线：记为，它与轴交于两点，；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于；如此进行下去，则的顶点坐标为______ ．

16.  如图，在正方形中，动点以的速度自点出发沿方向运动至点停止，动点以的速度自点出发沿折线运动至点停止，若点、同时出发运动了秒，记的面积为，且与之间的函数关系的图象如图所示，则图象中的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
如图，正五边形的两条对角线，相交于点．
求的度数；
求证：四边形为菱形．

18.  本小题分
张亮为了响应学校“爱校护校”活动号召，决定牵头成立“爱校护校志愿服务团”并走入各班级号召大家加入“志愿服务团”假定从张亮一个人开始号召，被他号召加入团队的人和他一起下一周继续号召，每人每周能够号召相同人数加入，两周后，共有人成为“志愿服务团”成员，求每人每周能够号召多少人加入“志愿服务团”．

19.  本小题分
某中学进行九年级理化生实验操作考查，有、、三个考查实验，规定每位学生只参加一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，王力、李坤都要参加本次考查．
用列表或画树状图的方法求王力、李坤都参加实验考查的概率；
他们两人都不参加实验考查的概率______ 直接写出结果

20.  本小题分
如图，直线：与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．
求直线的解析式；
填空：
______ ；
反比例函数的图象上有一点，则 ______ ．

21.  本小题分
如图，是的内接三角形，，经过圆心交于点，连接，．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
若，求图中阴影部分的面积．

22.  本小题分
华鑫公司投资万元购进一条生产线生产销售某产品，假定产销平衡，没有产品积压，生产销售这种产品的成本为元件，在销售过程中发现：每年的年销售量万件与销售价格元件的关系如图，其中段为反比例函数图象的一部分，设华鑫公司生产销售这种产品的年利润为万元．
请求出万件与元件之间的函数关系式；
求出这种产品的年利润万元与元件之间的函数关系式：并求出年利润的最大值；
华鑫公司计划五年刚好收回投资，如何确定售价假定每年收回投资一样多？

23.  本小题分
问题提出：
如图，在中，，点为上一点，连接，为探究，，之间的数量关系，刘星同学思考后，提出以下解决方法．

探究解决：
将图中绕着点顺时针方向旋转，得到，连接，，如图，请解决以下问题：
证明：≌；
证明：；
直接写出，，之间的数量关系为______ ；
拓展应用：如图，四边形内接于，且为直径，，连接，若，，则 ______ ．

24.  本小题分
如图，已知抛物线经过、两点，其对称轴与轴交于点．
求该抛物线和直线的解析式；
在该抛物线的对称轴上存在点，使得的周长最小，求出点的坐标；
设抛物线与直线相交于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点使得的面积等于的面积？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
B.，含有个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
D.，未知数的次数是次，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、三角形不是中心对称图形，不合题意；
B、平行四边形是中心对称图形，符合题意；
C、等腰梯形不是中心对称图形，不合题意；
D、正五边形不是中心对称图形，不合题意；
故选：．
根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，可求解．
此题主要考查了中心对称图形的概念，关键是找到对称中心．
 

3.【答案】 

【解析】解：、年强则国强是必然事件，故此选项错误，不符合题意；
B、中捞月是不可能事件，故此选项错误，不符合题意；
C、株待兔是随机事件，故此选项正确，符合题意；
D、水青山就是金山银山是必然事件，故此选项错误，不符合题意．
故选：．
直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．
本题主要考查了随机事件．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．解题的关键是明确随机事件的概念．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图：在优弧上取点，连接，，
中，，
，
四边形是的内接四边形，
．
故选：．
首先根据题意画出图形，然后在优弧上取点，连接，，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得的度数，又由圆的内接四边形的对角互补，即可求得的度数．
此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是利用数形结合思想解题，注意辅助线的作法．
 

6.【答案】 

【解析】解：将交点为代入和，
得，
解得：，
双曲线解析式为，
，
解得：，
直线为，
时，
得，
解得：或，
的坐标，
如下图：

由一次函数和反比例函数的性质可知：当时，或，
故选：．
将交点为代入和得：和，求出另一交点坐标，根据一次函数和反比例函数的性质即可的答案．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，圆锥的母线长为，
设该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数为，
所以，
解得，
即该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数是．
故选：．
先利用勾股定理计算出母线长为，设该圆锥体的侧面展开图的圆心角的度数为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
是等边三角形，
同理可得，
是等边三角形，
是等边三角形，
，
点在上，
故正确，
，
，
，，
≌，
故正确，
由知，
≌，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
故正确，
如图，

过点作于，
是等边三角形，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
和重合，
，
是的切线，
故正确，
综上所述：均正确，
故选A．
可证得和是等边三角形，可推出，从而得出正确；根据“边角边”可证得；根据可推出，进一步得出正确；作，可推出，进而得出，结合可推出点和点重合，进而得出正确，从而得出结果．
本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
 

9.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：．
直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知：若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线解析式为，即．
故答案为：．
按照“左加右减，上加下减”的规律即可得出平移后的抛物线的解析式．
此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，熟记抛物线平移规律是正确解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
这种茶树种植成活的概率为．
故答案为：．
概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
此题主要考查了利用频率估计概率，解题关键是掌握大量反复试验下频率稳定值即概率．
 

12.【答案】 

【解析】解：
把点代入函数解析式可知，
故答案为：．
根据反比例函数的概念，电压不变时电流安与电阻欧的乘积为定值，利用图象可知电压为伏．
此题主要考查了反比例函数的概念和函数图象上点的意义．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即车轮半径为．
故答案为：．
由垂径定理得，利用勾股定理得求解即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，
，，矩形绕点旋转一定角度后得矩形，
，，
在中，，
，
，
故答案为：．
设，那么，在中根据勾股定理即可列出关于的方程，解方程就可以求出．
此题主要考查了矩形的性质，勾股定理等知识，旋转的性质，利用勾股定理列出关于的方程是解决问题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：一段抛物线，
图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为，
将绕点旋转得，
图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为，
将绕点旋转得，
图象与轴交点坐标为：，，此时抛物线顶点坐标为，
当为奇数时，的顶点坐标为，
当为偶数时，的顶点坐标为，
当时，的顶点坐标为，即，
故答案为：．
根据抛物线与轴的交点问题，得到图象与轴交点坐标为：，，此时顶点坐标为，再利用旋转的性质得到图象与轴交点坐标为：，，顶点坐标为，于是可推出抛物线上的点的横坐标为偶数时，纵坐标为，横坐标是奇数时，纵坐标为或，按照上述规律进行解答，即可求解．
本题考查了点坐标规律探究，抛物线与轴的交点，二次函数的顶点，二次函数与几何变换．找出顶点坐标的变化规律是解答本题的关键．
 

16.【答案】． 

【解析】解：由图和图可知：动点沿方向运动，动点沿方向运动，的面积逐渐变大，当动点运动到点时，的面积逐渐最大，最大面积是，当动点沿方向运动，的面积逐渐变小，
设正方形的边长为，运动了秒的面积最大，由题意可知：，
当，的面积最大，
，
，舍去，，
当时，，，可知点在线段上，
，
故答案为：．
由图和图可知：动点沿方向运动，动点沿方向运动，的面积逐渐变大，当动点运动到点时，的面积逐渐最大，最大面积是，当动点沿方向运动，的面积逐渐变小，设正方形的边长为，运动了秒的面积最大，由题意可知：，得，，当时，，点在线段上，由三角形面积的求法，即可得答案．
本题考查了正方形的性质，二次函数的应用，三角形的面积，解题的关键是求出的面积最大时，，判断点在线段上．
 

17.【答案】解：正五边形．
，，
，
同理：，
．
证明：，
，
，同理，
，
四边形为菱形． 

【解析】利用正五边形的性质求出及度数，得出，最后求出的度数；
根据四边相等的四边形是菱形即可证．
本题考查了正多边形的性质及菱形的判定，利用正五边形的性质得出内角度数是解题关键．
 

18.【答案】解：设每人每周能够号召人加入“志愿服务团”．
根据题意得：，
即，
，
解得：，不合题意，舍去．
答：每人每周能够号召人加入“志愿服务团”． 

【解析】设每人每周能够号召人加入“志愿服务团”根据每人每周能够号召相同人数加入列出方程，解方程即可．
此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：画树状图如图所示：
，
两人的参加实验考查共有种等可能结果，而两人均参加实验考查有种，
小孟、小柯都参加实验考查的概率为．
两人的参加实验考查共有种等可能结果，而两人不参加实验考查有种，
两人都不参加实验考查的概率为．
故答案为：．
列表得出所有等可能的情况数，找出王力、李坤都参加实验考查的情况数，即可求出所求概率；
找出两人都不参加实验考查的情况数，即可求出所求概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

20.【答案】  

【解析】解：点在的图象上，
，
．
点，
把点代入，
得：，
．
直线的表达式为：．
直线：与轴相交于点，
当时，，
点，
，
，
故答案为：；
延长交轴于点，如图，

在的图象上，
，即，
，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
，
，
，
故答案为：；．
将点代入反比例函数，即可确定点坐标，再将点坐标代入直线：，即可作答；
先求出点坐标，根据即可作答；延长交轴于点，将代入反比例函数，即可确定点坐标，再待定系数法求出直线的解析式，进而
确定点坐标，则有，问题得解．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式等知识，掌握反
比例函数的图象与性质是解答本题的关键．
 

21.【答案】解：直线与相切，
理由：如图，连接，
，
，
连接，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是的半径，
直线与相切；
如中图，
是的直径，
，
，
，
，
，
，，
，
，
图中阴影部分的面积． 

【解析】连接，根据圆周角定理得到，连接，根据等边三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
根据圆周角定理得到，解直角三角形得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：当时，设，
将点代入，得，
；
当时，设分别将点，代入，
得，
解得，
．
解：当时，，
，
随增大而增大，
当时，有最大值，为；
当时，，

当时，有最大值，为，
，
年利润的最大值万元，
综上可知，万元与元件之间的函数关系式为；年利润的最大值万元；
解：当时，
根据题意，得，
解得，不符合题意，舍去；
当时，根据题意，得，
解得：，．
售价定为元或元都可五年刚好收回投资． 

【解析】依据待定系数法，即可求出万件与元件之间的函数关系式；
分两种情况进行讨论求解，然后结合函数的性质解答即可；
当时和当时，根据列方程求解即可．
本题主要考查了反比例函数与二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．
 

23.【答案】   

【解析】证明：由绕着点顺时针方向旋转得，，，
，
，
，
，
≌；
证明：≌，
，
，
，
，
；
解：，
由知，
，
由旋转得，，
，
即，
，
≌，
，
；
解：过作于，

为直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
由旋转得，，从而可证得，然后由可证得结论；
由≌得，又由，即，则可得，即可得出结论；
由知，根据勾股定理得，由旋转得，，根据勾股定理得，即可得出结论；
过作于，先证明是等腰直角三角形，求得，在直角中，由勾股定理求得，然后由求解即可．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握全等三角形的确判定与性质、勾股定理、圆周角定理的推论及灵活运用是解题的关键．
 

24.【答案】解：将、代入抛物线解析式，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：，
其对称轴为：，
故点的坐标为，
设直线的解析式为，
将点、点的坐标代入可得：，
解得：，
故直线的解析式为；
解：抛物线的对称轴为直线，
点关于抛物线对称轴的对称点的坐标为，
连接，交直线于一点，当点正好位于该点时，的周长最小，
设直线的解析式为：，把和代入得：，
解得：，
即直线的解析式为，
把代入直线的解析式求得点的坐标为．
即点的坐标为时，的周长最小．

解：存在；
过点作轴交于点，如图所示：

联立，
解得：，，
点坐标为，
，
，
设直线的解析式为，把、代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点的坐标为，则，
，
，
解得：或，
点的坐标为：或． 

【解析】用待定系数法求出抛物线和直线的解析式即可；
求出点关于抛物线对称轴的对称点的坐标为，连接，交直线于一点，当点正好位于该点时，的周长最小，求出直线的解析式，把代入解析式即可求出点的坐标；
过点作轴交于点，求出点坐标为，得出，求出直线的解析式为，设点的坐标为，则，根据两个三角形面积相等，列出关于的方程，解方程即可．
本题主要考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，将军饮马问题，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握待定系数法．