【冲刺2024数学】中考真题（2023苏州）及变式题（江苏苏州2024中考专用）解答题部分

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一、解答题
1．计算：．
【答案】9
【分析】先计算绝对值，算术平方根，乘方运算，再合并即可．
【详解】解：

．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，熟记算术平方根的含义，乘方与绝对值的含义是解本题的关键．
2．计算：．
【答案】
【分析】根据实数的混合计算法则求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，正确的计算是解题的关键．
3．计算：．
【答案】0
【分析】先计算绝对值、算术平方根、乘方，再计算加减即可
【详解】解：原式=5+4-9=0
【点睛】本题考查了实数运算，涉及到绝对值、算术平方根、乘方，熟练掌握法则是解题的关键
4．计算：．
【答案】
【分析】先根据乘方，绝对值，和平方根的定义计算，然后再合并同类项即可；
【详解】原式
【点睛】本题考查了实数的运算，熟悉掌握实数的运算顺序和运算法则是解题的关键．
5．计算：．
【答案】7
【分析】先算平方、绝对值、二次根式化简，再计算加减法即可求解．
【详解】解：原式=9-4+2
=7．
【点睛】本题考查了实数的运算，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方、二次根式、绝对值等知识点的运算．
6．计算：．
【答案】1
【分析】根据平方，算术平方根的概念、绝对值的性质计算；
【详解】原式
【点睛】本题考查的是实数的运算，掌握算术平方根、绝对值的性质是解题的关键．
7．解不等式组：
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
8．解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析．
【分析】先解不等式①，再解不等式②，求交集即可得到不等式组的解，根据解集画图即可．
【详解】解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查不等式组的解集，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法．
9．解不等式组：
【答案】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①，得：，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．
10．解不等式组：．
【答案】
【分析】先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：．
所以不等式组的解集为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式的解集，然后根据 “同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．
11．解不等式组：．
【答案】
【分析】分别求出两个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解，确定不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
所以，不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，正确解出每一个不等式是解答本题的关键．
12．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．

【答案】，见解析
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
13．先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先根据分式的乘法进行计算，然后计算减法，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
；
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
14．先化简，再求值：，其中x是整数且满足不等式组．
【答案】不等式组得解集为，； ．
【分析】先解每个不等式，求出其公共解，再进行分式运算，先通分，把除变乘，因式分解，约分化为最简分式，根据分式有意只能取x=-3代入求值即可．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组得解集为，
=
=；
∵x为整数，且分式有意义，x≠-1，-2
∴x=-3，
当x=-3时，
．
【点睛】本题考查不等式组得解法，分式化简求值，掌握不等式组得解法，分式化简求值，注意分式有意义的条件是解题关键．
15．先化简，再求值：，其中满足不等式组，且为整数．
【答案】；1
【分析】根据分式的减法可以化简题目中的式子，再由满足不等式组且为整数，确定
的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：
，
由不等式组，得，
为整数，，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确它们各自的计
算方法．
16．先化简，再求值：，请在，1，3中选择一个适当的数作为值．
【答案】，8
【分析】
根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从，1，3三个数中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：
当，3时，原分式无意义，
故当时
原式
【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
17．先化简再求值：，在，，中选择合适的的值代入并求值．
【答案】，时，原式=
【分析】根据分式的加法计算括号内的，再计算乘方，根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入化简结果即可求解．
【详解】解：原式
，
，所以，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值分，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算是解题的关键．
18．先化简：，然后在，，2三个数中给a选择一个你喜欢的数代入求值．
【答案】，当时，
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后根据分式有意义的条件求出a的值，将a的值代入原式即可求出答案．
【详解】
∵要使分式有意义，故且，
∴且，
∴时，原式．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
19．如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；
（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵为的角平分线，
∴，
由作图可得，
在和中，
，
∴；
（2）∵，为的角平分线，
∴
由作图可得，
∴，
∵，为的角平分线，
∴，
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．
(1)试说明；
(2)若，，求∠DEC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平分，可得，即可求证；
（2）根据全等三角形的性质可得，可得出，再由三角形内角和为180°，即可求解．
【详解】（1）解：∵ BE平分∠ABC，
∴．
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
21．如图，在中，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）由得到，由即可证明；
（2）先求出，得到，由，得到，则，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴是等腰三角形，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22．如图，点E在上，，且，连接并延长，交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由得到，证明即可；
（2）推导，即解题即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．
23．如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点H．
(1)求证：；
(2)求的大小；
(3)连接，求证：平分．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质得到，，，进而得到，即可证明出；
（2）首先根据全等三角形的性质得到，然后根据对顶角相等得到，然后利用三角形内角和定理求解即可；
（3）首先根据全等三角形的性质得到，然后利用角平分线的判定定理求解即可．
【详解】（1）∵与均为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即
∴
∴；
（2）设与交于点B，
∵
∴
又∵
∴；
；
（3）如图所示，连接，过点D作，，
∵，，
∴
∴平分．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，角平分线的判定定理，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等．全等三角形的判定：，，，，．角平分线的判定定理：角的内部到角两边相等的点在角的平分线上．
24．如图1，P，Q分别是边长为的等边的边，上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，运动的时间为，直线，交于点M．
(1)求的度数．
(2)当t为何值时，是直角三角形？
(3)如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线，上运动，求的度数．
【答案】(1)
(2)2或4
(3)
【分析】（1）先证明，从而得到，然后利用三角形的外角的性质求解即可；
（2）由题意时间为t秒，则，，①当时，②当时，列方程即可得到结果；
（3）先证明，从而得到，再依据三角形内角和定理，求解即可．
【详解】（1）
证明：∵等边三角形中，，，
又由条件得，
，
，
；
（2）
解：由题意时间为t秒，则，，
①当时，
，
，
，得，
；
②当时，
，
，得，
；
∴当第2秒或第4秒时，为直角三角形；
（3）
解：在等边三角形中，，，
，
又由条件得，
，
，
又，
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号，这些小球除编号外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的结果数，进而求出概率．
【详解】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为；
（2）如图，画树状图如下：

所有可能的结果数为16个，第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的结果数为3个，
∴第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率为：．
【点睛】本题考查简单随机事件的概率计算，利用列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
26．为缓减校园周边道路的交通压力，及时调整学生上学时间，某校需要了解本校学生的上学方式，学生可以从“：步行，：骑自行车，：乘坐公共交通，：家用汽车接送，：其他方式”．五个选项中进行选择．
(1)学生甲随机选择“：乘坐公共交通”方式的概率为_____________．
(2)若两名学生分别从，，，，五种上学方式中随机选择一种，求两名学生一人选择“：步行”，另一人选择“：乘坐公共交通”的概率（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）先列出表格，得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，学生甲从5上学方式中，随机的选择“：乘坐公共交通”方式的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
由表知，一共有25种等可能的结果，其中一人选择“：步行”，另一人选择“：乘坐公共交通”的有2种，
∴两名学生一人选择“：步行”，另一人选择“：乘坐公共交通”的概率为．
【点睛】本题主要考查了用列表法或树状图法求概率，解答的关键是熟练掌握列表法或树状图法的特点：列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意题目中是放回试验还是不放回实验试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
27．“双减”政策的实施，不仅减轻了学生的负担，也减轻了家长的负担，回归了教育的初衷．某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，用于展开活动的备选班级共5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加观摩课堂教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动．
(1)第一周选择的是八年级班级的概率为______；
(2)请用列表法或画树状图的方法求两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率．
【答案】(1)
(2)两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为
【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解；
（2）根据题意画出树状图，可得共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种情况，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：第一周选择的是八年级班级的概率为；
故答案为：
（2）根据题意画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的情况有12种情况，
∴两次选中的既有八年级班级又有九年级班级的概率为．
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．
28．如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．

现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片求下列事件发生的概率：
(1)第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为__________；
(2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的2张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据概率公式即可求解；
（2）根据题意，画出树状图， 进而根据概率公式即可求解．
【详解】（1）解：共有张卡片，
第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为
故答案为：．
（2）树状图如图所示：

由图可以看出一共有16种等可能结果，其中至少一张卡片图案为“A唐僧”的结果有7种．
∴(至少一张卡片图案为“A唐僧”）．
答：两次取出的2张卡片中至少有一张图案为“A唐僧”的概率为．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
29．从2名男生和2名女生中随机抽取运动会志愿者．
(1)随机抽取1名，恰好是女生的概率为__________；
(2)请用画树状图或列表的方法，写出抽取2名，恰好是1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）利用树状图表示出所有可能，进而利用概率公式求出即可．
【详解】（1）解：
故答案：．
（2）解：如图，所列树状图为：
共有种等可能结果，其中“1名男生和1名女生”的结果有种，
设1名男生和1名女生为事件，
答：恰好是1名男生和1名女生的概率是．
【点睛】本题考查了用概率公式，列表法和树状图法求概率，掌握概率公式及会列表或画树状图是解题的关键．
30．现有甲、乙、丙三个不透明的盒子，甲盒中装有红球、黄球各1个，乙盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，丙盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外无其他差别．现分别从甲、乙、丙三个盒子中任意摸出一个球．
(1)从甲盒中摸出红球的概率为 ；
(2)求摸出的三个球中至少有一个红球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用简单概率公式即可求解；
（2）画出树状图，共有12种等可能的结果，其中摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，利用概率公式即可求解．
【详解】（1）解：从甲盒中摸出红球的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种，
∴摸出的三个球中至少有一个红球的概率为．
【点睛】此题考查了用树状图法或列表法求概率、概率公式，熟练掌握树状图法或列表法是解题的关键．
31．某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程．为了解培训效果，学校对七年级320名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）．学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成下面的条形统计图：

(1)这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为________________；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
(2)求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
(3)利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
【答案】(1)合格
(2)分
(3)人
【分析】（1）由32个数据排在最中间是第16个，第17个，这两个数据的平均数即为中位数，从而可得答案；
（2）分别计算培训前与培训后的平均成绩，再作差即可；
（3）利用总人数乘以良好与优秀所占的百分比即可得到答案．
【详解】（1）解：32个数据排在最中间是第16个，第17个，这两个数据的平均数即为中位数，
∴这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格；
（2）32名学生在培训前的平均分为：（分），
32名学生在培训后的平均分为：（分），
这32名学生培训后比培训前的平均分提高了（分）；
（3）培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是：
（人）．
【点睛】本题考查的是频数分布直方图，利用样本估计总体，求解平均数，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
32．当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市30000名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图如下，解答下列问题：
(1)本次抽样调查共抽测了 名学生；
(2)参加抽测的学生的视力的众数在 范围内；中位数在 范围内；
(3)若视力为4.9及以上为正常，试估计该市学生的视力正常的人数约为多少？
【答案】(1)150人
(2)4.25-4.55，4.25-4.55
(3)6000人
【分析】（1）直接利用条形图得出样本容量；
（2）利用众数以及中位数的定义分别分析得出即可；
（3）利用样本估计总体的方法计算即可．
【详解】（1）解：由图表可得出：30+50+40+20+10＝150（名）；
故答案为：150；
（2）解：∵4.25～4.55范围内的数据最多，
∴参加抽测的学生的视力的众数在4.25～4.55范围内；
∵150个数据最中间是：第75和76个数据，
∴中位数是第75和76个数据的平均数，
而第75和76个数据在4.25～4.55范围内，
∴中位数在4.25～4.55范围内；
故答案为：4.25～4.55，4.25～4.55；
（3）解：∵视力为4.9及以上为正常，样本中有20+10＝30（人），
∴（人），
答：该市学生的视力正常的人数约为6000人．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，众数以及中位数的定义，利用样本估计总体，掌握基本的统计知识是解题的关键．
33．某学校九年级共有320名学生，为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
I．A课程成绩的频数分布直方图如下图（数据分成6组：，，，，，）：
II． A课程成绩在这一组的是：
70 71 71 71 73 73.5 74 74 78 78.5 79 79 79 79.5
III．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下表
根据以上信息，回答下列问题：
(1)m＝ ；
(2)在此次测试中，某学生的A课程成绩为75分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是 （填“A”或“B”），理由是 ；
(3)假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过平均分75.3分的人数．
【答案】(1)76
(2)B，该学生A课程的成绩小于中位数，而B课程的成绩大于中位数
(3)160人
【分析】（1）根据课程A的中位数是第30和第31位数的平均数，找出第30和第31位数，然后取算术平均数即可；
（2）根据成绩大于中位数则排名靠前，小于中位数则排名靠后进行判断即可；
（3）求出A课程中成绩大于平均数的占比，再乘以总人数求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，课程A的中位数是第30和第31位数的平均数
由条形图可知，，，，，；各成绩段的人数依次是2、8、12、14、18、6
∵，
∴第30和第31位数落在成绩这一组，且第30和第31位数分别为74、78
∴
故答案为：76．
（2）解：由表可知，A课程的中位数为76，B课程的中位数为70
∵，
∴B课程的成绩排名更靠前
故答案为：B；该学生A课程的成绩小于中位数，而B课程的成绩大于中位数．
（3）解：由题意得，（人）
∴估计A课程成绩超过平均分75.3分的人数为160人．
【点睛】本题考查了中位数，样本估计总体．解题的关键在于熟练掌握中位数的求解．
34．某中学为了了解学生每周在校体育锻炼时间，在本校随机抽取了若干名 学生进行调查，并依据调查结果绘制了以下不完整的统计图表，请根据图表信息解答 下列问题：
(1)表中的_________，_________；
(2)请将频数分布直方图补全；
(3)若该校共有 1200 名学生，试估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有 4 小时 的学生约为多少名?
【答案】（1）6，0.2；（2）详见解析；（3）780.
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）根据b的值画出直方图即可；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可.
【详解】解：（1）总人数=4÷0.1=40，
∴a=40×0.15=6，b==0.2；
(2)补全频数分布直方图如图所示.
(3)(名).
答：估计全校每周在校参加体育锻炼时间至少有4小时的学生约为780名.
故答案为（1）6，0.2；（2）详见解析；（3）780.
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
35．数学小组为了了解我校同学对食堂就餐的评价，抽取部分同学参加问卷评价调查，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题：

(1)本次问卷评价调查共抽取_____名同学参与；
(2)补全频数分布直方图；
(3)小俊的评价分是所有被抽取学生评价分的中位数，据此推断他的评价得分在____组；
(4)若全校共人，试估计评价得分不低于分的人数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)估计大约有人评价得分不小于分
【分析】（1）根据组的频数与频率即可求解；
（2）根据样本总量与各组人数的关系即可求解；
（3）根据中位数的定义即可求解；
（4）运用样本频率估算总体的方法即可求解．
【详解】（1）解：组的频数是，频率是，
∴样本容量为，
故答案为：．
（2）解：组的人数为（人），
∴补全条形统计图如下，

（3）解：样本容量为，组有人，组有人，组有人，组有人，
∴中位数在第人和人的位置，即组，
故答案为：．
（4）解：(人)，
∴大约有人评价得分不小于分．
【点睛】本题主要考查统计中的相关概念及计算，掌握样本容量的计算方法，运用样本频率估算总体的方法是解题的关键．
36．为了解本校九年级学生的体质健康情况，李老师随机抽取35名学生进行了一次体质健康测试，根据测试成绩制成统计图表．
请根据上述信息解答下列问题：
（1）本次调查属于_________调查，样本容量是__________；
（2）表中的__________，样本数据的中位数位于___________组；
（3）补全条形统计图；
（4）该校九年级学生有980人，估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有多少人？
【答案】（1）抽样，35；（2）16，C;（3）见解析；（4）336
【分析】（1）根据调查的方式，样本容量的定义解答即可；
（2）样本容量减去A、B、D组人数即可得出a，根据中位数的定义确定样本数据的中位数位于C组；
（3）根据(2)的结果补全条形统计图即可；
（4）用总人数乘以样本中成绩在D组的百分比即可．
【详解】（1）本次调查属于抽样调查，样本的容量是35，
故答案为：抽样，35；
（2），
根据中位数的定义，样本数据的中位数位于C组，
故答案为：16，C；
（3）由（2）得，C组的人数为 16，补全条形统计图如下：
（4）980（人）．
答：估计该校九年级学生体质健康测试成绩在D组的有336人．
【点睛】本题考查了抽样调查，样本的容量，用样本估计总体，频数分布表和频数分布直方图的综合，解答此类题目，要善于发现二者之间的关联点，用频数分布表中某部分的频数除以它的频率求出样本容量，进而求解其它未知的量．
37．四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：）

【答案】点离地面的高度升高了，升高了．
【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，
∴，

∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
当时，则，
此时，，
∴，
当时，则，
∴，
而，，
∴点离地面的高度升高了，升高了．
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键．
38．如图1，是手机支架的实物图，图2是它的侧面示意图，其中长为，长为，，．
(1)点D到的距离为_____；
(2)求点D到的距离．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）过点D作于F，则点D到的距离为DF的长度，根据题意得到，设，在中，，利用勾股定理即可求得答案；
（2）过点B作于B，过点D作于H，过点D作于F，过点D作于G，则四边形DFBH是矩形，点D到的距离是DG的长度，先证DF是BC的垂直平分线，又得，可证四边形GHBF是正方形，即可得到，设，则，在中，利用勾股定理得出，在中，再利用锐角三角函数得出长度，即点D到的距离．
【详解】（1）解：过点D作于F
则点D到的距离为DF的长度
设
在中，
即点D到的距离为6cm
故答案为：6；
（2）过点B作于B，过点D作于H，过点D作于F，过点D作于G
则四边形DFBH是矩形，点D到的距离是DG的长度
由（1）得
DF是BC的垂直平分线
四边形GHBF是正方形
设，则
在中，
在中，
所以，点D到的距离为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
39．科技改变生活，科技服务生活．如图为一新型可调节洗手装置侧面示意图，可满足不同人的洗手习惯，为竖直的连接水管，当出水装置在A处且水流与水平面夹角为时，水流落点正好为水盆的边缘C处；将出水装置水平移动至B处且水流与水平面夹角为30°时，水流落点正好为水盆的边缘D处，．
(1)求连接水管的长．（结果保留整数）
(2)求水盆两边缘C，D之间的距离．（结果保留一位小数）
（参考数据：）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的正切值求解即可；
（2）连接．首先证明出四边形为矩形，进而得到，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵，
∴．
答：连接水管的长为．
（2）如图，连接．
∵，
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，
∴，
∴．
答：水盆两边缘C，D之间的距离为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
40．小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度厘米的A处，花洒的长度为厘米．
(1)已知花洒与墙面所成的角，求当花洒喷射出的水流与花洒成的角时，水流喷射到地面的位置点C与墙面的距离．（结果保留根号）
(2)某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜0元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了元，求这个此款花洒的原价是多少元？
【答案】(1)
(2)120元
【分析】（1）过点A作AH⊥CD于点H，过点B作于点E，构造出矩形ABHE，，然后解直角三角形求解，
（2）设此款花洒的原价是元，根据比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元列分式方程即可求解．
【详解】（1）解：过点作，垂足为点，过作，垂足为点，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，
，
，
∴，，
在中，，
∴流喷射到地面的位置点C与墙面的距离，
（2）设此款花洒的原价是元，根据比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，列方程得：
，
解得：，
经检验：是方程的解，
答：这个此款花洒的原价是120元．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用和分式方程的应用，熟记理解题意，明确每一个量的意义是解题的关键．
41．某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为，高为，连杆长度为，手臂的长度为，是转动点，且与始终在同一平面内.
(1)转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：）.
(2)物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由.
【答案】(1)；
(2)手臂端点不能碰到点，理由见解析．
【分析】（1）过点作于点，过点作于点，在中，，再根据即可解答；
（2）当，，共线时，根据勾股定理可得的长，进而可进行判断.
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，如图：
∵，
∴，
∵长度为，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴，
（2）解：手臂端点不能碰到点，理由如下：
由题意得，当，，共线时，手臂端点能碰到距离最远，
如图：
∵高为，长度为，手臂的长度为，
∴，，
∴在中，，
∵距离底座端的点处，
∴，
，
手臂端点不能碰到点.
【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，掌握锐角三角函数及勾股定理是解题的关键．
42．如图，一艘潜艇在海面下沿水平方向保持同一深度航行，其潜望镜的最高点距海面．潜艇水手在航程为（即）的两个位置分别透过潜望镜观测正前方岸上凸起的崖壁，测量到入射光线的，与海面的夹角分别是，折射光线，与海面的夹角分别是．求崖壁到海面的距离．
（说明：图中点，，，，在同一平面内，参考数据：，，．）

【答案】
【分析】如图所示，过点P作于G，过点Q作于H，过点M作于T，则四边形是矩形，可得，解得到，解得到，则；设，解得到，解得到，由此可建立方程，解方程求出，即崖壁到海面的距离为．
【详解】解：如图所示，过点P作于G，过点Q作于H，过点M作于T，则四边形是矩形，

∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴崖壁到海面的距离为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
43．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．

(1)求的值；
(2)当为何值时，的值最大?最大值是多少?
【答案】(1)，
(2)当时，取得最大值，最大值为
【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得；
（2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把点代入，
∴，
解得：；
把点代入，解得；
（2）∵点横坐标大于点的横坐标，
∴点在点的右侧，
如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，

∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
44．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，且B（6，4），F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E，连接AE．
（1）当F为AB的中点时，求反比例函数和直线AE的解析式．
（2）设△EFA的面积为S，当k为何值时，S最大？并求出这个最大值．
【答案】（1）,；（2）当k=12时，S最大，最大值是3．
【分析】（1）先求出点F的坐标，然后利用待定系数法求反比例函数解析式，求解点E，由E、A两点即可求得直线AE的解析式．
（2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可．
【详解】解：（1）∵B（6，4），点F是AB的中点，
∴点F的坐标为（6，2），
∵反比例函数y=（k＞0）的图象过点F，
∴k=6×2=12，
∴反比例函数解析式为y=，
把y=4代入y=得，4=，
解得x=3，
∴E（3，4），
设直线AE的解析式为y=ax+b，
∴
解得 ，
∴直线AE的解析式：；
（2）设F（6，），则E（），
∴S=
∴当k=12时，S最大，最大值是3．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，待定系数法求函数解析式，表示出△EFA的面积是解本题的关键．
45．如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知．
（1）求的值及直线的解析式．
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集．
（3）设点是线段上的一个动点，过点作轴于点是轴上一点，当的面积为时，请直接写出此时点的坐标．
【答案】（1），（2）解集为或（3）
【分析】（1）先把B（2，1）代入，求出反比例函数解析式，进而求出点A坐标，最后用待定系数法，即可得出直线AB的解析式；
（2）直接利用函数图象得出结论；
（3）先设出点P坐标，进而表示出△PED的面积等于，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）：∵点在双曲线上，
∴，
∴双曲线的解析式为.
∵在双曲线，
∴，
∴.
∵直线过两点，
∴，解得
∴直线的解析式为
（2）根据函数图象，由不等式与函数图像的关系可得：
双曲线在直线上方的部分对应的x范围是：或，
∴不等式的解集为或.
（3）点的坐标为.
设点，且，
则.
∵当时，
解得，
∴此时点的坐标为.
【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，待定系数法，三角形的面积公式，求出直线AB的解析式是解本题的关键．
46．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．
(1)求点A，点B的坐标；
(2)点P是直线AB上一点，设点P的横坐标为m．填空：
①当时，求m的取值范围；
②点P在线段AB上，过点P作轴于点D，连接OP．若的面积最小时，求m的值．
【答案】(1)，
(2)①当时，m的取值范围是0