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【冲刺2024】中考真题及变式题-解答题部分（深圳中考专用）
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这是一份【冲刺2024】中考真题及变式题-解答题部分（深圳中考专用），共33页。
试题考查范围包括数与式、图形的变化、统计与概率、图形的性质、方程与不等式和函数等内容。试卷整体难度适中，较2022年有所降低，基础分值占比有所增加，选择1-10题、填空11-14题、解答题16-20以及21（1）、22（2）都没什么难度，整体分值达到88分。同时，试卷也有所创新，但趋势不变。试卷中最大的创新就在选择题第10题和第21题，几何作为压轴的趋势并未变化，15题依旧是相似，22题依旧是几何探究。第10题的动点函数问题有所创新，但属于常规题；第21题的二次函数实际应用题，在2021年第20题就有所涉及。
【2024冲刺备考建议】
鉴于近几年考情，回归课本，夯实基础是剩下备考时间的主要策略。通过查漏补缺，查找知识盲点，减少不必要的丢分，稳扎稳打，提高选择填空题和基本大题的准确率。同时，归类分析复习进几次模拟考试，熟悉考点趋势，做到心中有数。
2023深圳真题第16
1．计算：．
变式题16
2．计算：（﹣0.5）﹣1﹣（5＋3）0＋|﹣2|﹣2sin30°．
3．计算：
(1)；
(2)化简．
4．计算：．
5．计算：
6．计算：．
2023深圳真题第17
7．先化简，再求值：，其中．
变式题17
8．先化简，再求值：，其中．
9．先化简，再求值：，其中a＝．
10．先化简，再求值：，其中．
11．先化简，再求值：，其中x=4．
12．先化简，再求值：，其中，a=．
2023深圳真题第18
13．为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：
如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题：
①调查总人数______人；
②请补充条形统计图；
③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？
④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下：
若以进行考核，______小区满意度（分数）更高；
若以进行考核，______小区满意度（分数）更高．
变式题18
14．年4月15日是全民国家安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为分）进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)____________，__________．
(2)分别求出B组，E组的频数
(3)该校共有名学生，若成绩在分以下的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人?
15．北京冬奥会后，为了大力推进冰雪运动的普及与发展，各单位开展多类活动让更多的人了解冰雪运动文化、领略冰雪运动魅力．重庆市某小区采取随机抽样的方法对该小区进行了“最喜欢的冬奥会比赛项目”的问卷调查，调查结果分为“冰球”、“短道速滑”、“花样滑冰”、“自由式滑雪”和“其它”五类．根据调查结果绘制了如下统计图．
请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
(1)本次调查随机从该小区抽取了______名居民，扇形统计图中“冰球”对应的扇形心角为______度；
(2)请补全条形统计图；
(3)请估计该小区3000人中约有多少人最喜欢的冬奥会项目是花样滑冰（写出必要的计算过程）．
16．2022年新冠病毒出现了传播性更强的变异毒株，为了加强防范意识，某学校进行了安全知识小测试．其中七年级、八年级分别有600人、560人，现从中各随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：
根据上述数据，回答下列问题：
整理、描述数据：
分析数据：样本数据的平均数、满分率如表：
(1)填空：a= ，b= ；
(2)估计该校七年级和八年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共 人；
(3)你认为哪个年级的总体水平较好，说明理由．
17．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中表示“很喜欢”， 表示“喜欢”、 表示“一般”， 表示“不喜欢”．
(1)被调查的总人数是 ___________人，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为 ___________；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中D类有 ___________人；
(4)在抽取的类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，求被抽到的两个学生性别相同的概率．
18．某中学举行“校园电视台主持人”选拔赛，将参加本校选拔赛的40名选手的成绩分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
(1)表中______，______．
(2)请在图中补全频数分布直方图；
(3)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
2023深圳真题第19
19．某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
变式题19
20．某文具店用340元购进A，B两种钢笔，A种钢笔进价为6元/支，标价为7元/支，B种钢笔进价为8元/支，标价为10元/支，两种钢笔按标价售出后可获得总利润70元．
(1)求这两种钢笔各购进的支数；
(2)如果A种钢笔按标价的九折出售，B种钢笔按标价的九五折出售，那么这批钢笔全部售完后，文具店比按标价出售少收入多少元？
21．为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小华家准备购买，两种型号的节能灯，已知购买1盏型和2盏型节能灯共需要40元，购买2盏型和3盏型节能灯共需要70元．
(1)，两种型号节能灯的单价分别是多少元？
(2)若要求这两种节能灯都买，且恰好用了50元，则有哪几种购买方案？
22．宣纸具有韧而能润、光而不滑、润墨性强等特点，是我国文房四宝之一．某商店计划购进A，B两款宣纸刀（一刀为张），这两款宣纸的进价、售价如下表所示：
(1)若该商店进货共花费元，则两款宣纸各购进多少刀？
(2)若该商店销售完A，B两款宣纸所获得的利润不少于元，则A款宣纸至少购进多少刀？
(3)在（2）的条件下，且该商店购进的A款宣纸数量未超过刀，现推出促销活动：一次性购买同一种宣纸超过刀，赠送1刀相同的宣纸，该商店这次所购进宣纸全部售出，共赠送了4刀宣纸，获利元，直接写出该商店A，B两款宣纸各赠送几刀．
23．某中学正值100周年校庆，该校准备制作一批纪念品，经过招标比选等正规程序，该校最终找到了满意的生产厂家，今年3月初，厂家提供第一批纪念品，学校花了3300元；三月中旬，厂家提供第二批纪念品，学校花了4000元，已知厂家生产第二批纪念品时，改进了技术，降低了成本，单价随之降低，第一批纪念品的单价是第二批单价的1.1倍，且第二批纪念品比第一批纪念品多25个．
(1)求第二批纪念品的单价；
(2)两批纪念品送达该校后，受到该校师生的青睐，学校准备再定制一批，经和商家协商，在第二批纪念品的基础上，若每多预定10个，单价降低1元，由于成本原因，纪念品单价不得低于25元，学校经过测算，随即和厂家签订第三批纪念品的订单，共计6240元，求第三批纪念品的个数．
24．春节过后，我市又降大雪给交通带来了一定影响．为保证市民第二天的正常出行，某社区计划调用甲、乙两个工程队合作清扫1800平方米的积雪．已知甲工程队每小时能清雪的面积是乙工程队每小时能清雪的面积的2倍，并且在独立清扫面积为300 平方米的积雪时，甲工程队比乙工程队少用3 小时．
(1)求甲、乙两个工程队每小时能独立清雪多少平方米；
(2)已知甲工程队清雪的费用是 6 元/平方米，乙工程队清雪的费用是 5 元/平方米．在合作完成这1800 平方米的清雪任务中，如果乙工程队的施工时间为t（小时），两个工程队的总费用为w（元），求w关于t的函数关系式．
2023深圳真题第20
25．如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)求的长度．
变式题20
26．如图，已知，点是上的一个定点．
(1)请运用尺规在所给的图中按下列步骤完成作图，并按要求标上相应字母：
①作的平分线和过点作的垂线，使它们交于点；
②以点为圆心，长为半径作；
(2)完成（1）的作图后，求证：是的切线．
27．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；
③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
(2)在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；
(3)若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．
28．如图，为的直径，是弧的中点，是上一点．
(1)请按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，线段的长为半径作弧，交弧于点；
③连接并延长到点，使得；
④连接，．
(2)判断与的位置关系并证明．
(3)在（1）的条件下，假设点从点出发绕点顺时针旋转，当 时，以点为顶点的四边形是菱形．
29．如图，为上一点，按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
③在射线上截取；
④连接．
直线与的位置关系是什么?请说明理由．
30．如图，是的直径，是的切线，交于点．
(1)如图1，作的角平分线，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．
(2)如图2，在（1）的条件下，若，求阴影部分的面积．
2023深圳真题第21
31．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
变式题21
32．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一：“川”字形内部支架（由线段构成），点在上，且，点在抛物线上，均垂直于；
方案二：“”形内部支架（由线段，，构成），点，在上，且，点，在抛物线上，，均垂直于分别是，的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．
33．某景区平面图如图1所示，为边界上的点.已知边界是一段抛物线，其余边界均为线段，且，抛物线顶点到的距离.以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
求边界所在抛物线的解析式;
如图2，该景区管理处欲在区域内围成一个矩形场地，使得点在边界上，点在边界上，试确定点的位置，使得矩形的周长最大，并求出最大周长.
34．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点、、、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为．
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)求经过点的“蛋圆”切线的解析式．
(3)如果直线在线段上移动，交x轴于点，交抛物线于点，交于点．连接和后，是否存在这样的点，使点到的距离最大？若存在，请求出的值以及点的坐标，若不存在请说明理由．
35．年东京奥运会，中国跳水队赢得个项目中的块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
(1)时，求这条抛物线的解析式．
(2)（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离．
(3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点）入水时才能达到训练要求，求的取值范围．
36．某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
2023深圳真题第22
37．（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则______．
（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．
（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．
变式题22
38．如图1，为的对角线，的外接圆交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，当时，连接、，求证；
(3)如图3，在（2）的条件下，记、的交点为点，当时，求的值．
39．已知，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，且DE＝2AD，作∠ADE的平分线交AB于点F．
（1）如图1，当E与B重合时，连接FC交BD于点G，若FC⊥CD，AF＝3，求线段CF的长．
（2）如图2，当CE⊥AB时，过点F作FH⊥BC于点H，交EC于点M．若G为FD中点，CE＝2AF，求证：CD﹣3AG＝EM．
（3）如图3，在（1）的条件下，M为线段FC上一点，且CM＝，P为线段CD上的一个动点，将线段MP绕着点M逆时针旋转30°得到线段，连接，直接写出的最小值．
40．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是直线AB上一动点（点D不与点A，B重合），以CD为边作正方形CDEF，连接AE，AF．
(1)观察猜想
当点D在线段AB上时，线段BD与AF的数量关系是______，∠CAE的度数是______．
(2)探究证明
当点D不在线段AB上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
(3)解决问题
当BD时，请直接写出线段AE的长．
41．中，连接BD，，，，点E是平面内一点，连接DE，AE，AE中点为点F，连接DF．
(1)如图1，当点E在AB上时，若，求DF的长；
(2)如图2，当点E在外，在内有另一点G，恰满足及，连接CG．求证：；
(3)如图3，当点E为BD中点时，直接写出DF的长．
42．如图1，在平行四边形中，对角线交于点O，过点A作交的延长线于点E．
（1）若，求的长；
（2）如图2，过点C作交的延长线于点F，连接．以为直角边作，其中，连接．若，求证：．
（3）在（2）的条件下，作射线，点O点G分别在射线上移动，得到点，且保持，M是线段的中点，连接，若，当最小时，请直接写出的面积．
项目
小区
休闲
儿童
娱乐
健身
甲
7
7
9
8
乙
8
8
7
9
七年级
68
88
100
100
79
94
89
85
100
88
100
90
98
97
77
94
96
100
92
67
八年级
69
100
91
69
98
100
99
100
90
100
95
69
97
100
99
94
79
100
98
79
分数段
七年级人数
2
2
a
12
八年级人数
3
2
0
15
年级
平均数
满分率
中位数
七年级
90.1
25%
92
八年级
91.3
30%
b
分数段
频数
频率
2
0.05
0.2
12
0.3
14
4
0.1
进价/（元/刀）
售价/（元/刀）
A款宣纸
B款宣纸
试题考查范围包括数与式、图形的变化、统计与概率、图形的性质、方程与不等式和函数等内容。试卷整体难度适中，较2022年有所降低，基础分值占比有所增加，选择1-10题、填空11-14题、解答题16-20以及21（1）、22（2）都没什么难度，整体分值达到88分。同时，试卷也有所创新，但趋势不变。试卷中最大的创新就在选择题第10题和第21题，几何作为压轴的趋势并未变化，15题依旧是相似，22题依旧是几何探究。第10题的动点函数问题有所创新，但属于常规题；第21题的二次函数实际应用题，在2021年第20题就有所涉及。
【2024冲刺备考建议】
鉴于近几年考情，回归课本，夯实基础是剩下备考时间的主要策略。通过查漏补缺，查找知识盲点，减少不必要的丢分，稳扎稳打，提高选择填空题和基本大题的准确率。同时，归类分析复习进几次模拟考试，熟悉考点趋势，做到心中有数。
2023深圳真题第16
1．计算：．
变式题16
2．计算：（﹣0.5）﹣1﹣（5＋3）0＋|﹣2|﹣2sin30°．
3．计算：
(1)；
(2)化简．
4．计算：．
5．计算：
6．计算：．
2023深圳真题第17
7．先化简，再求值：，其中．
变式题17
8．先化简，再求值：，其中．
9．先化简，再求值：，其中a＝．
10．先化简，再求值：，其中．
11．先化简，再求值：，其中x=4．
12．先化简，再求值：，其中，a=．
2023深圳真题第18
13．为了提高某城区居民的生活质量，政府将改造城区配套设施，并随机向某居民小区发放调查问卷（1人只能投1票），共有休闲设施，儿童设施，娱乐设施，健身设施4种选项，一共调查了a人，其调查结果如下：
如图，为根据调查结果绘制的扇形统计图和条形统计图，请根据统计图回答下面的问题：
①调查总人数______人；
②请补充条形统计图；
③若该城区共有10万居民，则其中愿意改造“娱乐设施”的约有多少人？
④改造完成后，该政府部门向甲、乙两小区下发满意度调查问卷，其结果（分数）如下：
若以进行考核，______小区满意度（分数）更高；
若以进行考核，______小区满意度（分数）更高．
变式题18
14．年4月15日是全民国家安全教育日，某校为加强学生的安全意识，组织了全校学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为分）进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图．
(1)____________，__________．
(2)分别求出B组，E组的频数
(3)该校共有名学生，若成绩在分以下的学生安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人?
15．北京冬奥会后，为了大力推进冰雪运动的普及与发展，各单位开展多类活动让更多的人了解冰雪运动文化、领略冰雪运动魅力．重庆市某小区采取随机抽样的方法对该小区进行了“最喜欢的冬奥会比赛项目”的问卷调查，调查结果分为“冰球”、“短道速滑”、“花样滑冰”、“自由式滑雪”和“其它”五类．根据调查结果绘制了如下统计图．
请你根据统计图中提供的信息解答下列问题：
(1)本次调查随机从该小区抽取了______名居民，扇形统计图中“冰球”对应的扇形心角为______度；
(2)请补全条形统计图；
(3)请估计该小区3000人中约有多少人最喜欢的冬奥会项目是花样滑冰（写出必要的计算过程）．
16．2022年新冠病毒出现了传播性更强的变异毒株，为了加强防范意识，某学校进行了安全知识小测试．其中七年级、八年级分别有600人、560人，现从中各随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：
根据上述数据，回答下列问题：
整理、描述数据：
分析数据：样本数据的平均数、满分率如表：
(1)填空：a= ，b= ；
(2)估计该校七年级和八年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共 人；
(3)你认为哪个年级的总体水平较好，说明理由．
17．央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市某校就“中华文化我传承——地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查．对收集的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中表示“很喜欢”， 表示“喜欢”、 表示“一般”， 表示“不喜欢”．
(1)被调查的总人数是 ___________人，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为 ___________；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中D类有 ___________人；
(4)在抽取的类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，求被抽到的两个学生性别相同的概率．
18．某中学举行“校园电视台主持人”选拔赛，将参加本校选拔赛的40名选手的成绩分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
(1)表中______，______．
(2)请在图中补全频数分布直方图；
(3)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．
2023深圳真题第19
19．某商场在世博会上购置A，B两种玩具，其中B玩具的单价比A玩具的单价贵25元，且购置2个B玩具与1个A玩具共花费200元．
(1)求A，B玩具的单价；
(2)若该商场要求购置B玩具的数量是A玩具数量的2倍，且购置玩具的总额不高于20000元，则该商场最多可以购置多少个A玩具？
变式题19
20．某文具店用340元购进A，B两种钢笔，A种钢笔进价为6元/支，标价为7元/支，B种钢笔进价为8元/支，标价为10元/支，两种钢笔按标价售出后可获得总利润70元．
(1)求这两种钢笔各购进的支数；
(2)如果A种钢笔按标价的九折出售，B种钢笔按标价的九五折出售，那么这批钢笔全部售完后，文具店比按标价出售少收入多少元？
21．为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小华家准备购买，两种型号的节能灯，已知购买1盏型和2盏型节能灯共需要40元，购买2盏型和3盏型节能灯共需要70元．
(1)，两种型号节能灯的单价分别是多少元？
(2)若要求这两种节能灯都买，且恰好用了50元，则有哪几种购买方案？
22．宣纸具有韧而能润、光而不滑、润墨性强等特点，是我国文房四宝之一．某商店计划购进A，B两款宣纸刀（一刀为张），这两款宣纸的进价、售价如下表所示：
(1)若该商店进货共花费元，则两款宣纸各购进多少刀？
(2)若该商店销售完A，B两款宣纸所获得的利润不少于元，则A款宣纸至少购进多少刀？
(3)在（2）的条件下，且该商店购进的A款宣纸数量未超过刀，现推出促销活动：一次性购买同一种宣纸超过刀，赠送1刀相同的宣纸，该商店这次所购进宣纸全部售出，共赠送了4刀宣纸，获利元，直接写出该商店A，B两款宣纸各赠送几刀．
23．某中学正值100周年校庆，该校准备制作一批纪念品，经过招标比选等正规程序，该校最终找到了满意的生产厂家，今年3月初，厂家提供第一批纪念品，学校花了3300元；三月中旬，厂家提供第二批纪念品，学校花了4000元，已知厂家生产第二批纪念品时，改进了技术，降低了成本，单价随之降低，第一批纪念品的单价是第二批单价的1.1倍，且第二批纪念品比第一批纪念品多25个．
(1)求第二批纪念品的单价；
(2)两批纪念品送达该校后，受到该校师生的青睐，学校准备再定制一批，经和商家协商，在第二批纪念品的基础上，若每多预定10个，单价降低1元，由于成本原因，纪念品单价不得低于25元，学校经过测算，随即和厂家签订第三批纪念品的订单，共计6240元，求第三批纪念品的个数．
24．春节过后，我市又降大雪给交通带来了一定影响．为保证市民第二天的正常出行，某社区计划调用甲、乙两个工程队合作清扫1800平方米的积雪．已知甲工程队每小时能清雪的面积是乙工程队每小时能清雪的面积的2倍，并且在独立清扫面积为300 平方米的积雪时，甲工程队比乙工程队少用3 小时．
(1)求甲、乙两个工程队每小时能独立清雪多少平方米；
(2)已知甲工程队清雪的费用是 6 元/平方米，乙工程队清雪的费用是 5 元/平方米．在合作完成这1800 平方米的清雪任务中，如果乙工程队的施工时间为t（小时），两个工程队的总费用为w（元），求w关于t的函数关系式．
2023深圳真题第20
25．如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：
①过点A作切线，且（点C在A的上方）；
②连接，交于点D；
③连接，与交于点E．
(1)求证：为的切线；
(2)求的长度．
变式题20
26．如图，已知，点是上的一个定点．
(1)请运用尺规在所给的图中按下列步骤完成作图，并按要求标上相应字母：
①作的平分线和过点作的垂线，使它们交于点；
②以点为圆心，长为半径作；
(2)完成（1）的作图后，求证：是的切线．
27．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．
(1)请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；
③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．
(2)在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；
(3)若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．
28．如图，为的直径，是弧的中点，是上一点．
(1)请按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，线段的长为半径作弧，交弧于点；
③连接并延长到点，使得；
④连接，．
(2)判断与的位置关系并证明．
(3)在（1）的条件下，假设点从点出发绕点顺时针旋转，当 时，以点为顶点的四边形是菱形．
29．如图，为上一点，按以下步骤作图：
①连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；
③在射线上截取；
④连接．
直线与的位置关系是什么?请说明理由．
30．如图，是的直径，是的切线，交于点．
(1)如图1，作的角平分线，交于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）．
(2)如图2，在（1）的条件下，若，求阴影部分的面积．
2023深圳真题第21
31．蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
(1)如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；
(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；
(3)如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．
变式题21
32．某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点到底部的距离为米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：
方案一：“川”字形内部支架（由线段构成），点在上，且，点在抛物线上，均垂直于；
方案二：“”形内部支架（由线段，，构成），点，在上，且，点，在抛物线上，，均垂直于分别是，的中点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由．
33．某景区平面图如图1所示，为边界上的点.已知边界是一段抛物线，其余边界均为线段，且，抛物线顶点到的距离.以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系.
求边界所在抛物线的解析式;
如图2，该景区管理处欲在区域内围成一个矩形场地，使得点在边界上，点在边界上，试确定点的位置，使得矩形的周长最大，并求出最大周长.
34．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点、、、分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点的坐标为，为半圆的直径，半圆圆心的坐标为，半圆半径为．
(1)请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2)求经过点的“蛋圆”切线的解析式．
(3)如果直线在线段上移动，交x轴于点，交抛物线于点，交于点．连接和后，是否存在这样的点，使点到的距离最大？若存在，请求出的值以及点的坐标，若不存在请说明理由．
35．年东京奥运会，中国跳水队赢得个项目中的块金牌，优异成绩的取得离不开艰辛的训练．某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
(1)时，求这条抛物线的解析式．
(2)（1）的条件下，求运动员落水点与点的距离．
(3)图中米，米，若跳水运动员在区域内（不含点）入水时才能达到训练要求，求的取值范围．
36．某公园要在小广场上建造一个喷泉景观，在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米．
(1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围；
(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离．
2023深圳真题第22
37．（1）如图，在矩形中，为边上一点，连接，
①若，过作交于点，求证：；
②若时，则______．
（2）如图，在菱形中，，过作交的延长线于点，过作交于点，若时，求的值．
（3）如图，在平行四边形中，，，，点在上，且，点为上一点，连接，过作交平行四边形的边于点，若时，请直接写出的长．
变式题22
38．如图1，为的对角线，的外接圆交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，当时，连接、，求证；
(3)如图3，在（2）的条件下，记、的交点为点，当时，求的值．
39．已知，在平行四边形ABCD中，E为AB上一点，且DE＝2AD，作∠ADE的平分线交AB于点F．
（1）如图1，当E与B重合时，连接FC交BD于点G，若FC⊥CD，AF＝3，求线段CF的长．
（2）如图2，当CE⊥AB时，过点F作FH⊥BC于点H，交EC于点M．若G为FD中点，CE＝2AF，求证：CD﹣3AG＝EM．
（3）如图3，在（1）的条件下，M为线段FC上一点，且CM＝，P为线段CD上的一个动点，将线段MP绕着点M逆时针旋转30°得到线段，连接，直接写出的最小值．
40．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是直线AB上一动点（点D不与点A，B重合），以CD为边作正方形CDEF，连接AE，AF．
(1)观察猜想
当点D在线段AB上时，线段BD与AF的数量关系是______，∠CAE的度数是______．
(2)探究证明
当点D不在线段AB上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由．
(3)解决问题
当BD时，请直接写出线段AE的长．
41．中，连接BD，，，，点E是平面内一点，连接DE，AE，AE中点为点F，连接DF．
(1)如图1，当点E在AB上时，若，求DF的长；
(2)如图2，当点E在外，在内有另一点G，恰满足及，连接CG．求证：；
(3)如图3，当点E为BD中点时，直接写出DF的长．
42．如图1，在平行四边形中，对角线交于点O，过点A作交的延长线于点E．
（1）若，求的长；
（2）如图2，过点C作交的延长线于点F，连接．以为直角边作，其中，连接．若，求证：．
（3）在（2）的条件下，作射线，点O点G分别在射线上移动，得到点，且保持，M是线段的中点，连接，若，当最小时，请直接写出的面积．
项目
小区
休闲
儿童
娱乐
健身
甲
7
7
9
8
乙
8
8
7
9
七年级
68
88
100
100
79
94
89
85
100
88
100
90
98
97
77
94
96
100
92
67
八年级
69
100
91
69
98
100
99
100
90
100
95
69
97
100
99
94
79
100
98
79
分数段
七年级人数
2
2
a
12
八年级人数
3
2
0
15
年级
平均数
满分率
中位数
七年级
90.1
25%
92
八年级
91.3
30%
b
分数段
频数
频率
2
0.05
0.2
12
0.3
14
4
0.1
进价/（元/刀）
售价/（元/刀）
A款宣纸
B款宣纸
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