【冲刺2024数学】中考真题（2023黄冈）及变式题（湖北黄冈2024中考专用）解答题部分

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一、解答题
1．化简：．
【答案】
【分析】先计算同分母分式的减法，再利用完全平方公式约分化简．
【详解】解：
【点睛】本题考查分式的约分化简，解题的关键是掌握分式的运算法则．
2．化简：．
【答案】
【分析】直接利用分式的加减运算法则化简，进而得出答案．
【详解】解：


．
【点睛】此题主要考查了分式的加减，正确化简分式是解题关键．
3．计算：．
【答案】
【分析】根据分式的加减运算法则即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查分式的运算，掌握乘法公式，分式的性质，分式的加减混合运算是解题的关键．
4．计算：
（1）；（2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先化成同分母，再利用同分母分式的加法法则解题，注意负号的作用；
（2）先化成同分母，再利用同分母分式的加法法则，结合完全平方公式解题．
【详解】解：（1）；
（2）
【点睛】本题考查分式的加法，涉及完全平方公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5．化简：
【答案】3
【分析】首先进行同分母的分式加法运算，再合并同类项、分解因式，最后进行约分运算，即可求得．
【详解】解：
【点睛】本题考查了同分母的分式加法运算，分式的化简运算，熟练掌握和运用分式的运算法则是解决本题的关键．
6．计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同分母分式加法计算法则求解即可；
（2）根据异分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了同分母分式加法和异分母分式减法，熟知相关计算法则是解题的关键．
7．创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶．若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
(1)求两种型号垃圾桶的单价；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
【答案】(1)A，B两种型号的单价分别为60元和100元
(2)至少需购买A型垃圾桶125个
【分析】（1）设两种型号的单价分别为元和元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买A型垃圾桶个，则购买A型垃圾桶个，根据题意列出一元一次不等式并求解即可．
【详解】（1）解：设A，B两种型号的单价分别为元和元，
由题意：，
解得：，
∴A，B两种型号的单价分别为60元和100元；
（2）设购买A型垃圾桶个，则购买B型垃圾桶个，
由题意：，
解得：，
∴至少需购买A型垃圾桶125个．
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准数量关系，准确建立相应方程和不等式并求解是解题关键．
8．为了欢度元宵佳节，我市在时代公园安装小彩灯和大彩灯.已知：安装5个小彩灯和4个大彩灯共需150元；安装7个小彩灯和6个大彩灯共需220元．
(1)安装1个小彩灯和1个大彩灯各需多少元．
(2)若安装小彩灯和大彩灯的数量共300个，费用不超过4350元，则最多安装大彩灯多少个？
【答案】(1)安装1个小彩灯需要10元，安装1个大彩灯需要25元
(2)最多安装大彩灯90个
【分析】（1）设安装1个小彩灯需要x元，安装1个大彩灯需要y元，根据“安装5个小彩灯和4个大彩灯共需150元；安装7个小彩灯和6个大彩灯共需220元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设安装m个大彩灯，则安装（300−m）个小彩灯，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4350元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）解：设安装1个小彩灯需要x元，安装1个大彩灯需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：安装1个小彩灯需要10元，安装1个大彩灯需要25元．
（2）解：设安装m个大彩灯，则安装（300−m）个小彩灯，
依题意得：25m＋10（300−m）≤4350，
解得：m≤90．
答：最多安装大彩灯90个．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
9．卡塔尔世界杯期间，某商店特购进世界杯吉祥物“拉伊卜”摆件和挂件共90个进行销售．已知“拉伊卜”摆件的进价为40元/个，“拉伊卜”挂件的进价为25元/个．
(1)若购进“拉伊卜”摆件和挂件共花费了2850元，请分别求出购进“拉伊卜”摆件和挂件的数量；
(2)该商店计划将“拉伊卜”摆件售价定为50元/个，“拉伊卜”挂件售价定为30元/个，若购进的90个“拉伊卜”摆件和挂件全部售完，且至少盈利725元，求购进的“拉伊卜”挂件不能超过多少个？
【答案】(1)摆件40个，挂件50个
(2)不能超过35个
【分析】（1）设购进“拉伊卜”摆件个，“拉伊卜”挂件个，根据题意列方程组解题即可；
（2）设购进“拉伊卜”挂件个，利用不等式解题即可．
【详解】（1）设购进“拉伊卜”摆件个，“拉伊卜”挂件个，
依题意得：，解得：
答：购进“拉伊卜”摆件40个，“拉伊卜”挂件50个．
（2）设购进“拉伊卜”挂件个，则购进“拉伊卜”摆件个，
佽题意得：，
解得：．
答：购进的“拉伊卜”挂件不能超过35个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，能找到等量关系列出方程或不等式是解题的关键．
10．2023年是癸卯兔年，嘉琪记录了她的妈妈连续两天购买A，B两种兔年饰品账目：（A，B两种兔年饰品单价不变）
第一天购买3个A种饰品和2个B种饰品共84元；
第二天购买4个A种饰品和1个B种饰品共32元．
(1)妈妈说她的记录错误，请帮她说明错误理由．
(2)结果嘉琪发现第一天错把34元写成84元，从而求出每个A种饰品单价6元，每个B种饰品单价8元，妈妈决定再次购买A种饰品和B种饰品共20个，总费用不超过150元，那么最多可以购买多少个A种饰品？
【答案】(1)见解析
(2)妈妈最多购买A种饰品19个
【分析】（1）根据题意，设A、B两种饰品单价分别为元，列出方程组求解，然后结合实际说明即可；
（2）根据题意，设购买A种饰品个，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设A、B两种饰品单价分别为元，则：
，
解得，
因为A种饰品单价不应为负，所以她记录错误．
（2）设购买A种饰品个，则：
，
解得：，
，
因为妈妈需购买A种饰品和B种饰品共20个，
所以妈妈最多购买A种饰品19个．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际问题和一元一次不等式的实际问题，正确理解题意，找出数量关系并列出方程组或不等式是解题的关键．
11．在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元．
(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元；
(2)现要购买A、B两种防疫物品共300件，总费用不超过4000元，那么A种防疫物品最少购买多少件？
【答案】(1)A种防疫物品每件12元，B种防疫物品每件16元
(2)A种防疫物品最少购买200件
【分析】（1）设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，根据“如果购买A种物品30件，B种物品20件，共需680元；如果购买A种物品50件，B种物品40件，共需1240元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品件，根据总价、单价、数量的关系，结合总费用不超过4000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数即可得出结论．
【详解】（1）解：设A种防疫物品每件x元，B种防疫物品每件y元，
依题意，得，
解得．
答：A种防疫物品每件12元，B种防疫物品每件16元；
（2）解：设购买A种防疫物品m件，则购买B种防疫物品件，
依题意，得：，
解得：，
∴m的最小值为200．
答：A种防疫物品最少购买200件．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，列出关于m的一元一次不等式．
12．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月20日在北京圆满闭幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，某商店购进“冰墩墩”、“雪容融”两款毛绒玩具进行销售，“冰墩墩”“雪容融”两种商品的进价、售价如表：
请列方程（组）、不等式解答下列各题；
(1)2022年2月份，商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，并且全部售完，问该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了多少钱？
(2)2022年3月份，商店又购进了200个“冰墩墩”和100个“雪容融”，3月中旬受疫情影响，在“冰墩墩”售出，“雪容融”售出后，店主决定对剩余的“冰墩墩”每个打a折销售，对剩余的“雪容融”每个降价2a元销售，又全部售完．如果要保证本月销售总额为30000元，求a的值．
(3)2022年4月份，由于受疫情影响，生产厂家减产，限制该商店本月只能采购两款毛绒玩具共200个，商店在不打折、不降价且全部售完的情况下，“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的，问商店至少要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具？
【答案】(1)该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元；
(2)8
(3)商店至少要采购70个“冰墩墩”毛绒玩具
【分析】（1）设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个，根据商店用23400元购进这两款毛绒玩具共300个，列出方程求出x、y再根据利润=（售价-进价）×数量求解即可；
（2）分别算出打折前后的销售额，然后相加建立方程求解即可；
（3）设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”，根据“冰墩墩”的利润不少于“雪容融”的利润的，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设2月份购进“冰墩墩”x个，“雪容融”y个，
由题意得：，
解得，
∴2月份购进“冰墩墩”180个，“雪容融”120个
，
∴该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元，
答：该商店2月份销售这两款毛绒玩具赚了7800元；
（2）解：由题意得：
解得；
（3）解：设商家要采购m个“冰墩墩”，则采购（200-m）个“雪容融”，
由题意得：，
∴，
解得，
又∵m是正整数，
∴m的最小值为70，
∴商店至少要采购70个“冰墩墩”毛绒玩具，
答：商店70要采购多少个“冰墩墩”毛绒玩具．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的式子求解是关键．
13．打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．

根据图中信息，请回答下列问题；
(1)条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；
(2)若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；
(3)甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】(1)18，6，
(2)480人
(3)
【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角；
（2）利用样本估计总体思想求解；
（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算．
【详解】（1）解：参与调查的总人数为：（人），
，
，
文学类书籍对应扇形圆心角，
故答案为：18，6，；
（2）解：（人），
因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；
（3）解：画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，
因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理．
14．“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．

(1)请将条形统计图补充完整；
(2)在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；
(3)甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【答案】(1)见解析
(2)；．
(3)
【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解；
（2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解；
（3）根据列表法求概率即可求解．
【详解】（1）解：总人数为（人）
∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，

（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
选择A大学的大约有（人）
故答案为：；．
（3）列表如下，
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
15．为丰富学生课余活动，明德中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取八年级（1）班全体学生进行调查，以了解学生参团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
(1)八年级（1）班学生总人数是 人，补全条形统计图，扇形统计图中区域C所对应的扇形的圆心角的度数为 ；
(2)明德中学共有学生2500人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数；
(3)校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)40；补全条形统计图见解析；90°；
(2)该校参与体育类和美术类社团的学生总人数大约有1625人；
(3)选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的概率是．
【分析】（1）利用A类人数除以所占百分比可得抽取总人数；根据总数计算出C类的人数，然后再补图；用360°乘以C类所占的百分比，计算即可得解；
（2）利用样本估计总体的方法计算即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：抽取的学生总数：12÷30%=40（人），
C类学生人数：40-12-14-4=10（人），
补全统计图如下：
扇形统计图中C类所在的扇形的圆形角度数是360°×=90°；
故答案为：40；90°；
（2）解：2500×=1625（人），
答：该校参与体育类和美术类社团的学生总人数大约有1625人；
（3）（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的有8种，
所以选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的概率是：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．
16．2022北京冬奥会期间，数学兴趣小组为了解同学最喜欢的冰雪运动，从全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．每个被调查的学生在4种冰雪运动中只选择最喜欢的一种，4种冰雪运动分别是：A、滑雪，B、滑冰，C、冰球，D、冰壶．该小组将数据进行整理并绘制成如右两幅不完整的统计图．

(1)这次调查中，一共调查了 名学生，请补全条形统计图；
(2)若全校共有2800名学生，请估计该校最喜欢“冰球”运动项目的学生约有多少人？
(3)数学兴趣小组想要从小明和小亮中选一人参加访谈，班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】(1)40，补全图形见解析
(2)估计该校最喜欢“冰球”运动项目的学生约有840人
(3)这个游戏规则不公平，理由见解析
【分析】（1）由最喜欢B的人数除以所占的百分比求出调查的学生人数，再出最喜欢A的学生数，补全条形统计图即可；
（2）由全校共有学生人数乘以最喜欢“冰球”运动项目的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种，再由概率公式求出小明参加的概率与小亮参加的概率，然后进行比较即可．
【详解】（1）调查的人数为：（名），
∴喜欢A的人数为：（名），
故答案为：40，
补全条形统计图如下：

（2）（人），
答：估计该校最喜欢“冰球”运动项目的学生约有840人；
（3）这个游戏规则不公平，理由如下：
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种，
∴小明参加的概率，小亮参加的概率
∵，
∴这个游戏规则不公平．
【点睛】本题考查了游戏的公平性、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图以及树状图法求概率等知识，关键是正确画出树状图求出概率．
17．某中学举行了心理健康知识测试，为大概了解学生心理健康情况，该校随机抽取了部分学生进行测试（单位：分）分成：，，，五个组并绘制了如图1和图2所示的统计图．

请根据图中提供的信息，回答下列问题．
(1)本次抽取测试的学生有_____人， ______；
(2)直接补全图1中的统计图，由扇形统计图知E组所占扇形圆心角的度数为______；
(3)根据调查结果，可估计该校1000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有_____人；
(4)学校决定在A组4名学生（2男2女）中随机选取两名学生走进社区进行心理健康知识宣传，求恰好选中一里一女的概率是多少．
【答案】(1)40，20；
(2)见解析，；
(3)850；
(4)．
【分析】（1）由C组人数及其所占百分比可得总人数，用D组人数除以总人数可得m的值；
（2）总人数乘以B组对应百分比可得其人数，用乘以E组人数所占比例即可得出答案；
（3）总人数乘以样本中A、B、C、D组人数和所占比例即可；
（4）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】（1）本次抽取测试的学生有（人），
，即，
故答案为：40、20；
（2）组人数为（人），
补全图形如下：

由扇形统计图知组所占扇形圆心角的度数为；
故答案为：；
（3）根据调查结果，可估计该校1000名学生中，成绩大于或等于80分的学生约有（人，
故答案为：850；
（4）根据题意列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是一男一女的结果有8种，
恰好选中一男一女的概率是．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了统计图．
18．某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次一共抽样调查了 名学生；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数；
(4)学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．
【答案】(1)50
(2)见解析
(3)估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数60人
(4)
【分析】（1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出B组的人数，然后补全条形统计图；
（3）用600乘以样本中C组人数所占的百分比即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：（人），
所以本次一共抽样调查了名学生；
故答案为：50；
（2）B组人数为（人），
条形统计图补充为：

（3）（人），
所以估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数60人；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数为2，
所以恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
19．如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据已知可得，则，又，等量代换得出，即可证明；
（2）连接，证明，在中，，求得，根据得出，进而可得，根据，即可求解．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，

∵以为直径的交于点，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，如图，
则，

∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
又∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．如图，内接于，为直径，射线于点E，交于点F，过点A作的切线交射线于点B．
(1)当时，求的度数；
(2)当，时，求的长
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）连接，根据，求出，根据为的切线，得出，求出，根据，求出，最后根据等腰三角形的性质得出结果即可；
（2）连接，根据求出，得出，求出，证明，得出，求出，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：连接，如图所示：
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵为直角三角形，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义，求出．
21．如图，是的直径，点P是弦上一动点（不与点A，C重合），过点P作，垂足为点E，射线交于点F，交过点C的切线于点D．

(1)求证：；
(2)若，F是的中点，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）：如图所示，连接、，由圆周角定理得到，则，由切线的性质得到，根据等边对等角得到，则，再由，推出，进一步证明，即可证明；
（2）如图所示，连接交于H，连接，由垂径定理得到，则，解，求出，则，解，求出，再解，求出，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接、，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接交于H，连接，

∵F是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
∵是直径，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∵是直径，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
22．如图，是的直径，，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
(1)求证：平分；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用得到；
（2）连接，先根据圆周角定理得到，根据得到，求出，利用勾股定理即可得到结果．
【详解】（1）解：证明：连接，如图，
为切线，C为切点,
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：连接，如图，
为的直径，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、圆周角定理、垂径定理和解直角三角形,熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
23．如图，为外一点，，是的切线，，为切点，点在上，连接，，．

(1)求证：；
(2)连接，若，的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）过作于，得，根据切线的性质可得，根据同角的余角相等可得，再根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）连接，延长交于，根据切线的性质得到，，根据矩形的性质可得，，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）证明：过作于，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
，
；
（2）解：连接，延长交于，
，
，是的切线，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，，
，，
，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．如图，是的外接圆，AB是的直径，点D为的中点，的切线DE交OC延长线于点E．
(1)求证：∥AC；
(2)连接BD交AC于点P，若，，求DE和BP的长．
【答案】(1)见解析
(2)，
【分析】（1）连接OD，用垂径定理的推论和切线性质定理证明；
（2）设OD与AC交点为F，连接AD，根据∠BAC的余弦值和勾股定理求出AB，BC的长，证明∠E=∠BAC，∠EDO=∠ACB，得到△ABC∽△EOD，根据相似比求出DE的长；根据三角形中位线定理求出OF的长，得到DF的长，用勾股定理求出AD的长，最后用∠CAD=∠CBD的余弦值求出BP的长
【详解】（1）连接OD，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC，
∵DE是⊙O切线，
∴DE⊥OD，
∴DE∥AC
（2）设OD与AC交点为F，连接AD，则∠CAD=∠CBD，
∵DE∥AC，
∴∠E=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠E，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠EDO=90°，
∴△ABC∽△EOD，
∴，
∵，AC=8，
∴AB=10，
∴，OD=5，
∴
∴，
∵，
∴DF=OD-OF=5-3=2，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线性质定理，平行线的判定，圆周角定理推论，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是连接OD，AD，熟练运用上述性质和判定定理解答
25．如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
（3）解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于，两点，与y轴交于点C，连接，．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)请根据图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，；
(2)9；
(3)或．
【分析】（1）把点B代入反比例函数，即可得到反比例函数的解析式；把点A代入反比例函数，即可求得点A的坐标；把点A、B的坐标代入一次函数一次函数即可求得a、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）的面积是和的面积之和，利用面积公式求解即可；
（3）利用图象，找到反比例函数图象在一次函数图象下方所对应的x的范围，直接得出结论．
【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得：
∴反比例函数的表达式为．
∵在反比例函数的图象上，
∴，
解得，（舍去）．
∴点A的坐标为．
∵点A，B在一次函数的图象上，
把点，分别代入，得，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）∵点C为直线与y轴的交点，
∴把代入函数，得
∴点C的坐标为
∴，
∴
．
（3）由图象可得，不等式的解集是或．

【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，函数与不等式的关系，求出两个函数解析式是解本题的关键．
27．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，其中点的坐标为，点的横坐标为．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足的的取值范围；
(3)连接，点在直线上，，请直接写出满足题意的点坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或．
【分析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式，可求反比例函数解析式，得到点的坐标，将点，点坐标代入一次函数解析式即可解答；
（2）利用函数图象可直接解答；
（3）根据，即可点的坐标，再根据一次函数的解析式即可解答．
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于．
∴，①，
∴反比例函数的解析式为，
∵点的横坐标为，
∴点，
∴②，
①-②得：，
∴，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由图象可得：
当或时，，
此时一次函数图象在反比例函数图象的上方；
（3）解：设直线与轴交于点，当时，，即，
∴，，
分两种情况：
①如图1，当点在线段上时，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
②如图2，当点在线段的延长线上时，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象交点问题，熟练运用图象上点的坐标满足的图象是解题的关键．
28．如图，一次函数与反比例函数图象交于A，B两点，与x轴交于点C，点A的横坐标为1，．
(1)求一次函数及反比例函数的表达式；
(2)直接写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）根据，求出点坐标，利用待定系数法求出解析式即可；
（2）联立解析式，求出点的坐标，根据图象法求出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵点，
∴，
∴，
∴，
∴；
把点，，代入，得：
，解得：，
∴
∵反比例函数图象过A点，
∴，
∴；
（2）解：联立，解得：或，
∴，
由图象可知：反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围为：或．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解．
29．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)C为反比例函数的图象上异于点A的一点，直线交轴于点，设直线所对应的函数表达式为．
若的面积为，求直线的函数表达式；
作轴，垂足为，求线段的长．
【答案】(1)
(2)①；②1
【分析】（1）直接利用点横坐标代入求出的值，进而得出的值；
（2）直接利用的面积为，得出的长进而得出点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可得出答案；
由一次函数表示出点的坐标，根据一次函数与反比例函数的交点求法表示出点坐标，得出，进而即可求得的长．
【详解】（1）解：把代入，得，
，
点坐标为：，
，
则反比例函数表达式为：；
（2）解∶的面积为，，
，
把代入，得，
点坐标为：，
点的坐标为：，
把、点的坐标代入，得
解得：，
直线的函数表达式为；
把代入得得，则，
令，得，
点的坐标为：，
当时，
解得：，，
点的坐标为：，
，
．
【点睛】此题主要考查了反比例函数综合以及一次函数与反比例函数的交点求法等知识，正确表示出，的长是解题关键．
30．如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数第三象限的图象上，经过O，C两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点B．
(1)求反比例函数和直线的表达式；
(2)连接，求的面积；
(3)请根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，直线的表达式为
(2)15
(3)或
【分析】
（1）将代入，可得，进而可得反比例函数解析式，根据平移表示点坐标，代入反比例函数解析式，可求的值，进而可得点C的坐标，然后代入，可得，进而可得一次函数解析式；
（2）联立方程组求点坐标，可得点和点关于原点对称，则．如图，连接，待定系数法求直线的表达式为：，进而可得直线与轴的交点坐标为，根据，求的值，进而可得的面积；
（3）数形结合求解即可．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
∴反比例函数的表达式为；
由平移可知，点C的坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，解得，
∴点C的坐标为，
∵点在直线上，
∴，解得，
∴直线的表达式为，
∴反比例函数的表达式为，直线的表达式为；
（2）解：∵经过两点的直线交反比例函数第一象限的图象于点B，
∴联立，解得，，
∴点的坐标为，
∴点和点关于原点对称，
∴，
如图，连接，
设直线的表达式为：，
将，代入得，解得，
∴直线的表达式为：，
∴直线与轴的交点坐标为，
∴，
∴．
（3）解：由图象可得，关于的不等式的解集为或．
【点睛】本题注意考查了反比例函数与一次函数综合．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质．
31．加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为50元/．

(1)当___________时，元/；
(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降，乙种蔬菜种植成本平均每年下降，当a为何值时，2025年的总种植成本为元？
【答案】(1)
(2)当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；
(3)当a为时，2025年的总种植成本为元．
【分析】（1）求出当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，当时，，求出当时的x的值即可；
（2）当时，，由二次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，当时，由一次函数性质得到当时，有最小值，最小值为，比较后即可得到方案；
（3）根据2025年的总种植成本为元列出一元二次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，设甲种蔬菜种植成本y（单位；元/）与其种植面积x（单位：）的函数关系式为，把点代入得，
，
解得，
∴当时，，
当时，，
∴当时，，解得，
即当时，元/；
故答案为：；
（2）解：当时，，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当时，有最小值，最小值为，
当时，，
∵，
∴随着x的增大而减小，
∴当时，有最小值，最小值为，
综上可知，当甲种蔬菜的种植面积为，乙种蔬菜的种植面积为时，W最小；
（3）由题意可得，
解得（不合题意，舍去），
∴当a为时，2025年的总种植成本为元．
【点睛】此题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用、一次函数的应用等知识，读懂题意，正确列出函数解析式和方程是解题的关键．
32．某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价10元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售价（元/件）之间满足一次函数的关系（如图所示）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若该商店每天可获利225元，求该商品的售价；
（3）已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，求每天的销售利润（元）与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）该商品的售价为25元；（3）每件销售为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为：，将（10，30），（16，24）代入，进行计算即可得；
（2）根据题意得：，进行计算即可得；
（3）根据题意得：，通过计算得，再根据二次函数的性质即可得．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：，
将（10，30），（16，24）代入，得，
解得：，
所以y与x的函数关系式为：；
（2）根据题意得：
则该商品的售价为25元；
（3）根据题意得：
=
=
∵，
∴当时W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，W取得最大值，最大值为：，
故每件销售为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点睛】本题考查了求一次函数解析式，二次函数的实际应用，解题的关键是能用待定系数法求得一次函数解析式，掌握二次函数的性质．
33．大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒，调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）的关系如图所示；
(1)求这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；
(2)每个文具盒的定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒可获得的利润为1200元？
(3)当每个文具盒定价多少元时，超市每星期的利润最高？最高利润是多少？
【答案】(1)
(2)当定价为18元或20元时，利润为1200元
(3)当定价19元/个时，超市可获得的利润最高；最高利润为1210元．
【分析】（1）根据图象利用待定系数法直接求出函数的解析式即可；
（2）根据利润等于每个利润×数量，建立方程求出其解就可以了；
（3）利用利润的解析式，根据函数的性质就可以求出结论．
【详解】（1）解：设这种文具盒每个星期的销售量y（个）与它的定价x（元/个）之间的函数关系式y=kx+b，
由题意，得，，
解得：，
则y=-10x+300；
（2）解：由题意，得（x-8）•y=1200，
（x-8）（-10x+300）=1200，
解得：x1=18，x2=20，
答：当定价为18元或20元时，利润为1200元；
（3）解：由（2）知超市每星期的利润：
W=（x-8）•y，
=（x-8）（-10x+300）
=-10（x-8）（x-30）
=-10（x2-38x+240）
=-10（x-19）2+1210．
∵，
∴当x=19即定价19元/个时，超市可获得的利润最高；最高利润为1210元．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，总利润=单件利润×数量的运用，抛物线的顶点式的运用及二次函数的解析式的性质的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时根据题意条件建立函数的解析式是关键．
34．某超市销售一种进价为18元/千克的商品，经市场调查后发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元/千克）有如下表所示的关系：
(1)根据表中的数据求出关于的函数关系式；
(2)设该超市每天销售这种商品的利润为（元）（不计其他成本）；
①求出关于的函数关系式，并求出获得最大利润时，销售单价为多少；
②超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则，求（元）时的销售单价．
【答案】(1)
(2)①，获得最大利润时，销售单价为34元；②（元）时的销售单价为20元
【分析】（1）根据表格数据得出销售单价涨1元，销售量就会减少1千克，即可根据题意列出关系式；
（2）①根据总利润=单件利润数量即可列出关系式；将二次函数关系式化为顶点式即可得出获得最大利润时，销售单价为多少；
②将代入关系式，求解并取较小的结果即可．
【详解】（1）解：根据表格数据可得，当销售单价为20元时，销售量为30千克，若销售单价涨1元，销售量就会减少1千克，根据题意，得：
，整理得：
故关于的函数关系式为：．
（2）解：①根据题意得：，整理得：，
故关于的函数关系式为：，
当时，取得最大值
获得最大利润时，销售单价为34元；
②当，即
解得：，
超市本着“尽量让顾客享受实惠”的销售原则
（元）时的销售单价为20元．
【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数解析式，懂得将二次函数解析式的一般式化为顶点式是解题的关键．
35．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，规定销售价不低于成本价，且不高于35元，市场调查发现，该产品每天的销售量（件）与销售价（元/件）满足一次函数关系，如图所示．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若经销商想要每天获得550元的利润，销售价应该定为多少？
（3）设每天的销售利润为（元），当销售价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）15元/件；（3）销售价为35元/件时，每天获得的利润最大，最大利润1750元
【分析】（1）由图可知，一次函数的图象经过（20，100）和（30，80）两点，利用待定系数法可求得k、b的值；
（2）利用“（售价-进价）×销售数量=销售利润”可以解决售价问题；
（3）探究W与x之间的函数关系，利用函数解决W的最值问题即可．
【详解】解：（1）设．
∵图象经过（20，100）和（30，80）两点，
∴，解得，．
∴．
（2）由题意得，．
解得，．
∵，
∴（不合题意，舍去）．
∴若想要每天获得550元的利润，销售价应该定为15元/件．
（3）．
∴W是关于x的二次函数．
∵，抛物线开口向下，
∴当x<40时，y随x的增大而增大．
又∵，
∴当时，=1750．
∴当销售价为35元/件时，每天获得的利润最大，最大利润1750元．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质和应用等知识点．熟知待定系数法的流程是基础，掌握二次函数的性质是求最值的关键．
36．某商家计划在抖音直播平台上直播销售当地特产，将其中一种特产在网上进行试销售．
该商家在试销售期间调查发现，每天销售量y（万件）与销售单价x（元/件）的数据如表：
(1)根据所给数据判断函数类型，并求y关于x的函数表达式；
(2)总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在如图所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线
①销售量不超过万件时，利润为万元，求此时的售价为多少元/件？
②当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额－总成本）
【答案】(1)y关于x的函数表达式为；
(2)①此时的售价为或元/件；②当售价为元时，利润最大，最大利润为万元．
【分析】（1）根据表格数据，用待定系数法求函数解析式；
（2）①先求出P关于x的解析式，再根据利润=销售额-总成本列出方程，解方程即可，再根据的关系式求出x的取值范围，从而得出结论；②设利润为w万元，分两种情况求出w的最大值，然后比较即可．
【详解】（1）解：根据表格中数据可知，y与x是一次函数类型．
设y关于x的函数表达式为,
将，代入解析式得：，解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：①设时，，
将，代入解析式得：，
解得，
,
，
整理得：，
解得，
，即，
，
∴此时的售价为或元/件；
②设利润为w万元，
当时，即，
则，，
当时，w有最大值，最大值为；
当时，
把代入
得， ，
解得，
，
，
，
当时，w有最大值，最大值为，
此时，
综上所述，当售价为元时，利润最大，最大利润为万元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在实际问题中的应用，数形结合并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
37．【问题呈现】
和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

(1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】
(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
【答案】(1)
(2)成立；理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论；
（3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；
故答案为：．

（2）解：成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴；

（3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
当点D在线段上时，连接，如图所示：

设，则，
根据解析（2）可知，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或（舍去），
∴此时；
综上分析可知，或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．
38．在中，设，分别以，为底边向外作等腰和等腰，使．

(1)如图1，当时，则_________；
【探究证明】
(2)如图2，判断与的位置关系，并加以证明；
【求解感悟】
(3)如图3，连接，交内部于点，连接．
①若，则__________；
②求证：
③试说明：无论为何值，点都在的平分线上．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)①；②见解析；③见解析
【分析】（1）根据已知得出是等腰三角形，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）方法一：，根据三角形内角和定理得出，同理，，进而得，即可证明；
方法二：延长，交于点，同理证明，即可证明
（3）①根据已知得出，，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出，三点共线，可得，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解；
②由（2）知，，根据相似三角形的性质即可得证；
②延长，交于点，由①知，则，得出，可得，即可得证．
【详解】（1）∵当时，
∴
又∵是等腰三角形，
∴，
故答案为：．
（2）．
方法一：
理由如下：，
，
同理，，
又，
，
．
方法二：
理由如下：如图，延长，交于点，

，
，
同理，，
，
，
，
．
当点在线段上时，
如图，同理可求，
，
．

（3）①∵，
∴
∴，，是等腰直角三角形，
∵
∴，

∴
∴三点共线，
由（2）知，
，
，
又，
．
又
∴
∴
∴，
解得：（负值舍去）；
②由（2）知，
，
，
又，
．

③如图，延长，交于点，

，
，
又，

由①知，
，
．
即无论为何值，点都在的平分线上．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
39．（1）如图1，正方形和正方形（其中），连接交于点H，请直接写出线段与的数量关系 ，位置关系 ；
（2）如图2，矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，连接交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，直线交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）相等，垂直；（2）不成立，，，理由见解析；（3）
【分析】（1）证明，可得，再通过角度的等量代换证明即可；
（2）证明，可得的线段比，即可解答；
（3）分类讨论，按①当点E在线段上时；②当点G在线段上时两种情况讨论，分别画出图形，依次解答即可．
【详解】解：如图1，
在正方形和正方形中，，
，
即，
，
，
，
，
，
，
故答案为：相等，垂直；
（2）不成立，，理由如下：
如图2，由（1）知，，
，
∴，，
∴，
，
∴，即，
，
，
，
，
；
（3）①当点E在线段上时，如图3，
在中，，则，
过点D作于点P，
，，
，
∴，即，
，，
则，
则；
②当点G在线段上时，如图4，
过点D作于点P，
，，
同理得：， ，
由勾股定理得：，
则；
综上，AE的长为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，对不同情况分类讨论并且画出正确的图形辅助线是解题的关键．
40．【基础巩固】
（1）如图，在中，，，点为延长线上一点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连结求证：≌；
尝试应用
（2）如图，在（1）的条件下，连接，若交于点，已知，，求线段的长；
【拓展提高】
（3）如图，在正方形中，点是对角线延长线上的一点，连结，将绕点逆时针旋转得到线段，交于点，交于点，连结，若，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）由旋转的性质得出，，根据可证明≌；
（2）证明，利用勾股定理求出的长，再证明，进而可得则可得出答案；
（3）延长至点，使得，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，得出，，由比例线段求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
，
，
在和中，

．
（2）解：，，
，
，
，，
，
，，
，
∵，
∴，
∴，
设，，
，
，
，
；
（3）解：延长至点，使得，

由（1）得，
，，
，
连接交于点，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
解得，
，，
又，
，
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
41．【问题情境】和是共顶点的两个三角形，点P是边上一个动点（不与B重合），且，，连接．

(1)【特例分析】如图①，当，时．猜想与之间的数量关系，并说明理由；并求出的度数．
(2)【拓展探究】如图②，当，时．请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由．
(3)【学以致用】如图③，当，，，时，求的长．
【答案】(1)，，；
(2)，，理由见解析
(3)或
【分析】（1）根据得到，根据得到，即可得到，得到，，结合四边形内角和定理即可得到答案；
（2）根据，，，得到，从而得到，即可得到答案；
（3）分两种情况讨论（方法思路相同），过A作于H，根据得到是等腰直角三角形，得到，结合勾股定理得到由勾股定理得：，，证明，从而得到即可得到答案；
【详解】（1）解：∵，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
结合四边形内角和定理可得，
∴
∴，，；
（2）解：，，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
由，得：
，
∴，
∴，；
（3）解：过A作于H，如图所示，

∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由，得：
，
∴，
∴，即，
∴，
解得：；
②如图，过作于，
同理可得：，
∴，
即，
解得：，
综上所述，的值为：或．
【点睛】本题考查三角形相似的性质与判定，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据角度加减关系得到三角形全等、相似的条件．
42．【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）．

【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N．
①填空：______；
②求证：．
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值．
【答案】（1）①1；②见解析；（2），理由见解析；（3）3．
【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案；
②根据正方形的性质可得，，，利用证明即可；
（2）过点作交于，利用平行线的性质及正方形的性质易证得，，可证明，利用相似三角形性质即可得出答案；
（3）过点作交于，作于，作于，利用证得，可得：，，再证得，可得，同理可得：，推出，进而可得，令，则，，，利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）①由正方形的性质可知：，
∵将的直角顶点与点重合，
∴，
故答案为：1；
②证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴．
（2），理由如下：
过点作交于，

∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
即，
∴，
∴．
（3）过点作交于，作于，作于，

则，
∴，
即，
∴，
由（2）和已知条件可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，则，，，
∴，
∴．
【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．
43．已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点，点P为第一象限抛物线上的点，连接．

(1)直接写出结果；_____，_____，点A的坐标为_____，______；
(2)如图1，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，，点E，F分别为的边上的动点，，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
【答案】(1)，2，，
(2)
(3)，
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可求得、，从而可得，，由，可得，求得，在中，根据正切的定义求值即可；
（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E， 由，即，再由，可得，证明，可得，设点P坐标为，可得，再进行求解即可；
（3）①作，且使，连接．根据证明，可得，即Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，设，则，根据求出点Q的坐标，燃然后利用勾股定理求解即可；
②作轴，交于点T，求出解析式，设，，利用三角形面积公式表示出S，利用二次函数的性质求出S的取值范围，结合①中结论即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得：，
∴抛物线解析式为：，
∵抛物线与x轴交于A、两点，
∴时，，解得：，，
∴，
∴，，
在中，，
故答案为：，2，，；
（2）解：过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则，，
∴，解得：（舍），，
∴点P坐标为．

（3）解：①如图2，作，且使，连接．
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，则，
∴，解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，，
∴；

②如图3，作轴，交于点T，待定系数法可求解析式为，
设，，
则，
∴，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与x轴的交点、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、二次函数最值、用分割法求三角形面积，熟练掌握相关知识是解题的关键．
44．抛物线与轴交于两点，且．
(1)若，当时，求抛物线的解析式；
(2)如图，已知点，在（1）中所求的抛物线上取一点，连接并延长交该抛物线于点．判断的值是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
(3)若的中点坐标为，且，设此抛物线顶点为，交轴于点，直线交轴于点，点为坐标原点，令面积为，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)是常数，
(3)
【分析】（1）将代入，得，解方程组求出b和c的值即可；
（2）作轴，轴，垂足分别为P，Q，由勾股定理得，根据点M在抛物线上，得，求出，同理可得，再证明，得到，整理得，即可求出，是常数；
（3）由A、B坐标和抛物线顶点可得b与c的等量关系，由c的取值范围可得的取值范围，用含c的代数式表示，通过取值范围求解．
【详解】（1）解：将代入，得，
解方程组，
得，
∴抛物线的解析式是；
（2）的值是常数，
如图，作轴，轴，垂足分别为P，Q，
在中，，
∴，
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
∴，是常数；
（3）抛物线的顶点P为，
∵抛物线与轴交于两点，的中点坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把代入可得点D坐标为，
由点在直线上，可得直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
当时，时，取最小值为1，
当时，取最大值为5，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了的是二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，相似三角形的判定和性质，掌握配方法求二次函数的最值．
45．已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于、两点．与轴交于点．其中A（1，0），．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上运动（点异于点）．
①如图1．当面积与面积相等时．求点的坐标；
②如图2．当时，求直线的解析式．
【答案】(1)；
(2)①满足条件的点P的坐标为P1 (2，1)，P2（，），P3（，）；②y=x-3
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）①使S△PBC = S△ABC，则需要满足点A到直线BC的距离等于点P到直线BC的距离，i 当P在x轴上方时，根据点B、C坐标求出直线BC的解析式y= x- 3，根据AP BC可设直线AP的解析式为y= x-b，根据点A的坐标求出其解析式为y= x-1，联立直线BC与抛物线的解析式，求解方程即可得到点P1的坐标；ii当点P在x轴下方时，由题可知满足条件的P在直线P2P3上，根据两三角形同底等高和直线平移的性质可知直线P2P3的解析式为y= x- 5，联立直线解析式和抛物线的解析式，求解方程即可得到点P2、P3的坐标，故可求出满足条件的点P的坐标；
②根据设直线CP经过点C，设其解析式为y= kx- 3，根据点B、C坐标可知OB = OC，从而求得∠OCB=∠OBC=45°，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和的性质可知∠OQC=∠OBC-∠BCP，由此可得∠OCA=∠OQC，结合∠QOC=∠COA = 90°，根据两角对应相等的两个三角形相似的判定定理可知△AOC∽△COQ，根据相似三角形对应边成比例的性质可知，可得OQ = 9，即可求出点Q的坐标，由直线CP经过点Q，将其代入解得k=，即可得出直线CP的解析式．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，过点A（1，0），，则
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）①使S△PBC = S△ABC，则需要满足点A到直线BC的距离等于点P到直线BC的距离，
i如图1所示，当点P在x轴上方时，过点A作BC的平行线，交抛物线于点P．
∵令中y=0，解得x=3或x=1，
∴点B坐标为(3， 0)，A（1，0），
∵直线BC过点B、C，
∴直线BC的解析式为y= x- 3，
∵APBC，
∴可设直线AP的解析式为y=x- b，
将点A(1，0)代入可得直线AP解析式为y=x-1，
∵点P是直线AP与抛物线的交点，所以可得方程组
，解得，，
∴点P的坐标为 (2，1)，
ii 如图1所示，直线AP解析式为y= x- 1，
∴E点坐标为(0，-1)，
∴CE= 2，
当点P在x轴下方时，将直线BC向下平移两个单位，得到直线P2P3，此时直线BC到直线 PA、直线P2P3的距离相等，故可以满足S△PBC = S△ABC，此时直线P2 P3的解析式为y=x-5，
∴联立直线P2P3与抛物线可得方程组，
解得，
∴点P2的坐标为（，），点P3的坐标为（，），
综上所述，满足条件的点P的坐标为P1 (2，1)，P2（，），P3（，）；
②如图2所示，延长直线CP交x轴于点Q，
∵点B(3，0)，C(0，-3)，
∴OB= OC，即∠OCB=∠OBC=45°，
∵直线CP经过点C，
∴可设直线方程为 y= kx-3，
令∠OCA= ，则∠ACB=∠OCB-= 45°-，
∵∠BCP=∠ACB= 45°-，
∴∠OQC=∠OBC-∠BCP=45°-(45° -)=，
∴∠OCA =∠OQC，
又∵∠QOC=∠COA，
∴△AOC∽△COQ，故，
∴OQ = 3OC = 9，即点Q坐标为(9，0)，
∵直线CP经过点Q，
∴9k-3=0，
解得k=，
∴直线CP的解析式为y=x- 3．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
46．如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点．
(1)求二次函数的解析式及顶点的坐标；
(2)过定点的直线与二次函数图象相交于M，两点．
①若，求的值；
②证明：无论为何值，恒为直角三角形；
③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．
【答案】(1)，
(2)①；②见解析；③
【分析】（1）根据旋转变换的性质求出，利用待定系数法求出二次函数的解析式，利用配方法把一般式化为顶点式，求出顶点的坐标；
（2）①设，根据题意求出，根据三角形的面积公式得到，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可；②根据正切的定义得到，，进而证明，据此证明结论；③用表示出的中点坐标，计算即可．
【详解】（1）解：，
，
根据旋转的性质可得：，
，
把、分别代入解析式，得
，
解得：，
二次函数的解析式为，
，
顶点坐标为；
（2）解：①设，
直线：过定点，抛物线的顶点坐标为，
，
，
，
联立
得，
，
，
；
②证明：过点作轴，垂足为，分别过点，作的垂线，垂足分别为、，
设．
，在二次函数图象上，
，．
，
，，，，
，
，
由①可知，
，
，
，
，
，
，
，即，
无论为何值，恒为直角三角形；
③解：∵恒为直角三角形，，
∴外接圆圆心是线段的中点；
设线段的中点，
∵，，．
∴
∴的中点为，
，
化简，得，
抛物线的表达式为．
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、直角三角形的判定、正切的概念、一元二次方程根与系数的关系，特殊三角形的外接圆的圆心，灵活运用二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
47．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．

(1)试求抛物线的解析式；
(2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标．
【答案】(1)
(2)取得最大值，此时点的坐标为
(3)存在，满足条件的的坐标为或
【分析】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可；
（3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
抛物线经过点，，，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接，
设直线的解析式为，
，，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
直线与轴交于点，
，
，
轴，即，
，
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为；
（3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．
①当是矩形的边时，有两种情形，
a、如图2﹣1中，四边形是矩形时，
由（2）可知，代入中，得到，
直线的解析式为，可得，，
由可得，
,
，
，
．
根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点，
，即，
b、如图2﹣2中，四边形是矩形时，
直线的解析式为，，
直线的解析式为，
，
根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，
，即．
②当是对角线时，设，
则，，，
是直角顶点，
，
，
整理得，方程无解，此种情形不存在，
综上所述，满足条件的的坐标为或．
【点睛】本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、最大值问题、相似三角形、矩形等知识点．第（3）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用．
48．已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线恰好经过A、B两点且与x轴交于另一点C（在点A左侧）．
(1)求抛物线解析式；
(2)如图（1），点D是抛物线上在第一象限上的一点，点E是平面内一点，四边形ADBE是平行四边形，当的面积为时，求出点D的坐标；
(3)如图（2），点D是抛物线上在第一象限上的一点，点F是平面内一点，四边形DBCF是平行四边形，连接CD交AB于点M，AB交DF于点N，设的面积表示为，的面积表示为，的面积表示为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)D点坐标为
(3)
【分析】（1）求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据平行四边形的性质，得到的面积为，过点D作轴交于P，利用，列出方程进行求解即可；
（3）根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，利用平行线分线段成比例，得到，进而得到，过点C作轴，交直线于点，证明，得到，进而将转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：对函数，当，得；当，得；
∴，
将A、C点坐标代入抛物线解析式得
，解得；
∴抛物线解析式为；
（2）∵
∴，
连接，过点D作轴交于P，
设，则
∴
∴
解得：，
∴所求D点坐标为；
（3）∵，
又∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴
∴过点C作轴，交直线于点，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，属于中考压轴题．涉及二次函数的图像与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
“冰墩墩”
“雪容融”
进价（元/个）
90
60
售价（元/个）
120
80
甲乙
男1
男2
女1
女2
男1
男2男1
女1男1
女2男1
男2
男1男2
女1男2
女2男2
女1
男1女1
男2女1
女2女1
女2
男1女2
男2女2
女1女2
销售单价（元/千克）
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20
22.5
25
37.5
40
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销售量（千克）
…
30
27.5
25
12.5
10
…
x（元/件）
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10
12
14
16
…
y（万件）
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14
12
10
8
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