数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算学案设计

这是一份数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算学案设计，共13页。

数量积的概念
1 概念
如果两个非零向量 a , b，它们的夹角为θ，我们把数量a|b|csθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作:a⋅ b，即a⋅b=a|b|csθ.规定：零向量与任一向量的数量积是0.
PS 数量积是一个实数，不再是一个向量.
2 投影
向量b在向量a上的投影：|b|csθ，它是一个实数，但不一定大于0.
3 运算法则
对于向量 a , b , c和实数λ，有
(1)a⋅ b=b⋅ a (2)λa⋅ b=λ(a⋅ b)=a⋅λb (3) (a+ b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c
但是 (a⋅ b)c= a( b⋅c)不一定成立.
(当向量a，c不共线时，向量a( b⋅c)与向量 (a⋅ b)c肯定不共线，那怎么可能相等呢)
即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律.
【题型一】求数量积
【典题1】 已知向量a，b满足|a+b|=|b|，且|a→|=2，则a⋅b= ．

【典题2】 在三角形ABC中，若|AB+BC|=|AB−BC|，AC=6，AB=3，E，F为BC边的三等分点，则AE⋅AF= ．
【题型二】 求向量夹角
【典题1】 已知向量a , b满足|a|=1，|b|=2，|a+2b|=21，那么向量a与b的夹角为 ．
【典题2】 已知向量a，b满足|a→|=1，(a−b)⊥(3a−b)，则a与b的夹角的最大值为 ．

【题型三】 求数量积最值
【典题1】 如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4，AD=BC=3，E是DC的中点，F是线段BC上的动点，则EF∙BF的最小值是 .
【典题2】如图，已知矩形ABCD的边长AB=2 , AD=1．点P , Q分别在边BC , CD上，且∠PAQ=45°，则AP∙AQ的最小值为 ．
【典题3】 已知向量a，b，c满足a+b+c=0，|c|=23，c与a−b所成的角为120°，则当t∈R时，|ta+(1－t)b|的最小值是 ．
巩固练习
1(★) 已知向量a，b→满足|a+b|=|b|，且|a|=2，则a⋅b= .
2(★★) 已知非零向量a，b满足|a→|=34|b|，cs＜a，b>=13，若(ma+4b)⊥b，则实数m的值为 .
3(★★) 已知向量a，b满足|a|=1，(a−b)⊥(3a−b)，则a与b的夹角的最大值为 .
4(★★) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD , AB=4 , AD=3 , CD=2，AM=2MD，AC⋅BM=−3，则AB∙AD= .

5(★★)已知△ABC中，点M在线段AB上，∠ACB=2∠BCM=60°，且CM−λCB=23CA．若|CM|=6，则CM∙AB= .
6(★★★) 设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cs∠BHC的值为 .
7(★★★)已知P为△ABC所在平面内的一点，BP=2PC，|AP|=4，若点Q在线段AP上运动，则QA⋅(QB+2QC)的最小值为 .
8(★★★) 已知非零向量a , b , c满足：(a−2c)(b−2c)=0且不等式|a+b|+|a−b|≥λ|c|恒立，则实数λ的最大值为 .
9(★★★) 已知平面向量a，b，c，对任意实数x , y都有|a−xb|≥|a−b|，|a−yc|≥|a−c|成立．若|a|=2，则b(c−a)的最大值是 .
10(★★★) 设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b−ta|的最小值为1，则( )
A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定
平面向量的数量积
1 概念
如果两个非零向量 a , b，它们的夹角为θ，我们把数量a|b|csθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作:a⋅ b，即a⋅b=a|b|csθ.规定：零向量与任一向量的数量积是0.
PS 数量积是一个实数，不再是一个向量.
2 投影
向量b在向量a上的投影：|b|csθ，它是一个实数，但不一定大于0.
3 运算法则
对于向量 a , b , c和实数λ，有
(1)a⋅ b=b⋅ a (2)λa⋅ b=λ(a⋅ b)=a⋅λb (3) (a+ b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c
但是 (a⋅ b)c= a( b⋅c)不一定成立.
(当向量a，c不共线时，向量a( b⋅c)与向量 (a⋅ b)c肯定不共线，那怎么可能相等呢)
即向量的数量积满足交换律，分配率，但不满足结合律.
【题型一】求数量积
【典题1】 已知向量a，b满足|a+b|=|b|，且|a→|=2，则a⋅b= ．
【解析】因为|a+b|=|b|，即有a+b2=b2，
所以a2+2a⋅b+b2=b→2，则2a⋅b=−a2=−4，所以a⋅b=−2．
【点拨】① 由数量积的定义可知a2=a2
② 题目中遇到类似|a+b|可尝试利用性质a2=a2达到去掉绝对值的目的.
【典题2】 在三角形ABC中，若|AB+BC|=|AB−BC|，AC=6，AB=3，E，F为BC边的三等分点，则AE⋅AF= ．
【解析】 若|AB+BC|=|AB−BC|，
则AB2+BC2+2AB∙BC=AB2+BC2−2AB⋅BC，即有AB⋅BC=0，
∵AC=6 , AB=3，∴BC2=62−32=27．
∵E , F为BC边的三等分点，
则 AE⋅AF=(AB+BE) (AB+BF)=(AB+13BC)(AB+23BC)
(利用首尾相接法把向量向AB、BC靠拢)
=29BC2+AB2+AB⋅BC=29×27+32+0=15．
【点拨】
① 已知条件|AB+BC|=|AB−BC|利用性质a2=a2可得到AB⋅BC=0，其实也可以通过平行四边形法则和三角形法则得到的；
② 求数量积AE⋅AF , 第一个想法用数量积公式AE⋅AF=AE⋅AFcs∠EAF , 但是发现题目已知条件中很难求解AE、AF、cs∠EAF.又因为AB⋅BC=0，又知道AB、BC的长度，故想到把AE⋅AF转化为用AB、BC表示.
③ 在求数量积的时候，直接用公式很难求解，都尽量向“信息量大”的向量靠拢.
【题型二】 求向量夹角
【典题1】 已知向量a , b满足|a|=1，|b|=2，|a+2b|=21，那么向量a与b的夹角为 ．
【解析】∵|a|=1 , |b|=2 , |a+2b|=21，
∴(a+2b)2=a2+4b2+4a⋅b=1+16+4a⋅b=21，
∴a⋅b=1，
∴cs=a⋅b|a||b|=12，且0≤≤π，
∴a与b的夹角为π3．
【典题2】 已知向量a，b满足|a→|=1，(a−b)⊥(3a−b)，则a与b的夹角的最大值为 ．
【解析】∵|a|=1 , (a−b)⊥(3a−b)，
∴(a−b)⋅(3a−b)=3a2+b2−4a⋅b=3+b2−4a⋅b=0，
∴a⋅b=|b|2+34，
∴cs=a⋅b|a||b|=|b|2+34|b|=|b|+3|b|4≥32，且0°≤≤180°，
∴cs=32时，a , b的夹角最大为30°．
【题型三】 求数量积最值
【典题1】 如图，已知等腰梯形ABCD中，AB=2DC=4，AD=BC=3，E是DC的中点，F是线段BC上的动点，则EF∙BF的最小值是 .
【解析】由等腰梯形的知识可知csB=33，
设BF=x，则CF=3−x，
∴EF⋅BF=(EC+CF)BF=EC∙BF+CF∙BF
=1∙x(−33)+(3−x)∙x∙(−1)=x2−433x ,
∵0≤x≤3，
∴当x=233时，EF⋅BF取得最小值，最小值为2332−233×433=−43．
【典题2】如图，已知矩形ABCD的边长AB=2 , AD=1．点P , Q分别在边BC , CD上，且∠PAQ=45°，则AP∙AQ的最小值为 ．
【解析】设∠PAB=θ，则∠DAQ=45°−θ，
AP∙AQ=|AP||AQ|cs45°=2csθ∙1cs(45°−θ)∙22=2csθ⋅(22csθ+22sinθ)，
=2cs2θ+csθsinθ=21+cs2θ2+sin2θ2=222sin(2θ+45°)+12≥222+12=42−4，
当且仅当2θ+45°=90°，
∴θ=22.5°时取“=”，当θ=22.5°时，点P恰在边BC上，Q恰边CD上，满足条件，
综上所述，AP∙AQ的最小值为42−4，
故答案为：42−4．
【典题3】 已知向量a，b，c满足a+b+c=0，|c|=23，c与a−b所成的角为120°，则当t∈R时，|ta+(1－t)b|的最小值是 ．
【解析】
∵a+b+c=0，∴c=−(a+b)，
又c与a−b所成的角为120°，∴∠OEA=120°，
(此时由平行四边形法则和三角形法则构造出一个平行四边形OADB)
∴∠OEB=60° |c|=23，
∴OD=23 , OE=3 ,
|ta+(1－t)b|=|b+t(a−b)|=|OB+tBA|，
∵BP与BA共线，BA≠0，设BP=tBA，
则|ta+(1－t)b|=|OP|(P是直线BA上的动点)，
(其实由性质“若 OC=xOA+yOB , x+y=1 , 则点C在直线AB上”很容易知道：直线BA上的存在一动点P , 使得OP→= ta+(1－t)b)
所以当OP垂直于AB时，|ta+(1−t)b|=|OP|最小，为OE×sin60°=3×32=32.
【点拨】① 题中遇到类似a+b+c=0的等式，很容易想到移项，再利用平行四边形法则进行构造图形求解；
② 本题中求|ta+(1−t)b|的最小值，那我们根据平行四边形法则找到向量ta+(1−t)b , 确定出
|ta+(1−t)b|的几何意义从而求解成功.
巩固练习
1(★) 已知向量a，b→满足|a+b|=|b|，且|a|=2，则a⋅b= .
【答案】−2
【解析】因为|a→+b→|=|b→|，即有|a→+b→|2=|b→|2，
所以a→2+2a→⋅b→+b→2=b→2，则2a→⋅b→=−a→2=－4，
所以a→⋅b→=−2，
2(★★) 已知非零向量a，b满足|a→|=34|b|，cs＜a，b>=13，若(ma+4b)⊥b，则实数m的值为 .
【答案】－16
【解析】∵已知非零向量a→，b→满足|a→|=34|b→|，cs＜a→，b→＞=13，
若(ma→+4b→)⊥b→，
∴(ma→+4b→)•b→=ma→⋅b→+4b→2=m•34|b→|•|b→|•13+4|b→|2=0，
求得m=－16，
3(★★) 已知向量a，b满足|a|=1，(a−b)⊥(3a−b)，则a与b的夹角的最大值为 .
【答案】30°
【解析】∵|a→|=1，(a→−b→)⊥(3a→−b→)，
∴(a→−b→)⋅(3a→−b→)=3a→2+b→2−4a→⋅b→=3+b→2−4a→⋅b→=0，
∴a→⋅b→=|b→|2+34，
∴cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=|b→|2+34|b→|=|b→|+3|b→|4≥32，且0°≤＜a→，b→＞≤180°，
∴cs＜a→，b→＞=32时，a→，b→的夹角最大为30°．
4(★★) 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD , AB=4 , AD=3 , CD=2，AM=2MD，AC⋅BM=−3，则AB∙AD= .

【答案】32
【解析】∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，AD=3，CD=2，AM→=2MD→，
∴AC→⋅BM→=(AD→+DC→)•(BA→+AM→)=(AD→+12AB→)•(−AB→+23AD→)
=23AD→2−12AB→2−23AD→•AB→=−3，
∴23×32−12×42−23AB→•AD→=−3，
则AB→⋅AD→=32；
5(★★) 已知△ABC中，点M在线段AB上，∠ACB=2∠BCM=60°，且CM−λCB=23CA．若|CM|=6，则CM∙AB= .
【答案】27
【解析】以CM为对角线作平行四边形CPMQ，
∵CM平分∠ACB，∴四边形XPMQ是菱形，
又CM=6，∠BCM=30°，
∴CP=CQ=23，
∴CP→⋅CQ→=23×23×cs60°=6，
∵CM→−λCB→=23CA→，即CM→=23CA→+λCB→，且A，M，B三点共线，
∴λ=13，
又CM→=CP→+CQ→，
∴CA→=32CQ→，CB→=3CP→，
∴CM→⋅AB→=(CP→+CQ→)•(3CP→−32CQ→)
=3CP→2−32CQ→2+32CP→⋅CQ→=3×12−32×12+32×6=27．
6(★★★) 设H是△ABC的垂心，且3HA+4HB+5HC=0，则cs∠BHC的值为 .
【答案】−7014
【解析】由三角形垂心性质可得，HA→⋅HB→=HB→⋅HC→=HC→⋅HA→，
不妨设HA→⋅HB→=HB→⋅HC→=HC→⋅HA→=x，
∵3HA→+4HB→+5HC→=0→，
∴3HA→⋅HB→+4HB→2+5HC→⋅HB→=0，
∴|HB→|=−2x，同理可求得|HC→|=−7x5，
∴cs∠BHC=HB→⋅HC→|HB→||HC→|=−7014．
7(★★★)已知P为△ABC所在平面内的一点，BP=2PC，|AP|=4，若点Q在线段AP上运动，则QA⋅(QB+2QC)的最小值为 .
【答案】－12
【解析】由题意，画图如下，
根据题意及图，可知BP→=QP→−QB→，PC→=QC→−QP→，
∵BP→=2PC→，∴QP→−QB→=2(QC→−QP→)，
整理，得QB→+2QC→=3QP→，
则QA⋅(QB+2QC)=QA→•3QP→=－3|QA→|•|QP→|=－3|QA→|•(4－|QA→|)=3(|QA→|2－4|QA→|)，
设|QA→|=m，很明显m∈[0，4]，
故QA⋅(QB+2QC)=3(|QA→|2－4|QA→|)=3(m2－4m)=3(m－2)2－12，
根据二次函数的性质，可知：
当m=2时，QA⋅(QB+2QC)取得最小值为－12．
8(★★★) 已知非零向量a , b , c满足：(a−2c)(b−2c)=0且不等式|a+b|+|a−b|≥λ|c|恒立，则实数λ的最大值为 .
【答案】4
【解析】∵(a→−2c→)⋅(b→−2c→)=14[(a→−2c→+b→−2c→)2−(a→−2c→−b→+2c→)2]
=14[(a→+b→−4c→)2−(a→−b→)2]=0，
∴(a→+b→−4c→)2=(a→−b→)2，
∴|a→+b→−4c→|=|a→−b→|，
∴|a→+b→|+|a→−b→|=|a→+b→|+|a→+b→−4c→|≥|(a→+b→)−(a→+b→−4c→)|=4|c→|，
又|a→+b→|+|a→−b→|≥λ|c→|恒成立，
∴λ≤4，
∴λ的最大值为4．
9(★★★) 已知平面向量a，b，c，对任意实数x , y都有|a−xb|≥|a−b|，|a−yc|≥|a−c|成立．若|a|=2，则b(c−a)的最大值是 .
【答案】12
【解析】如图，
设a→=MA→，b→=MB→，c→=MC→，
若对任意实数x，y都有|a→−xb→|≥|a→−b→|，|a→−yc→|≥|a→−c→|成立，
则B，C在以MA为直径的圆上，过O作OD∥AC，交MC于E，交圆于D，
b→=MB→在OD上的射影最长为|ED|，
b→•(c→−a→)=b→⋅AC→=|DE|•|AC|．
设∠AMC=θ，则|AC|=2sinθ，|OE|=sinθ，
|DE|=1－|OE|=1－sinθ，
∴b→•(c→−a→)=2sinθ(1－sinθ)=－2sin2θ+2sinθ，
则当sinθ=12时，b→•(c→−a→)有最大值为12．
10(★★★) 设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，|b−ta|的最小值为1，则( )
A．若θ确定，则|a|唯一确定B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定D．若|b|确定，则θ唯一确定
【答案】A
【解析】令f(t)=|a→+tb→|2=a→2+2t⋅a→⋅b→+t2⋅b→2；
∴△=4(a→•b→)2－4a→2•b→2=4a→2•b→2(csθ－1)≤0恒成立，
当且仅当t=−2a→⋅b→2×b→2=−|a→||b→|csθ时，f(t)取得最小值2，
∴(−|a→||b→|csθ)2+b→2+2(−|a→||b→|csθ)•a→•b→+a→2=2，
化简 a→2sin2θ=2．
∴θ确定，则|a→|唯一确定