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    (人教A版2019选择性必修第二册)高二数学本册综合测试(提升)(原卷版+解析)

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    (人教A版2019选择性必修第二册)高二数学本册综合测试(提升)(原卷版+解析)

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    这是一份(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学本册综合测试(提升)(原卷版+解析),共20页。


    A.B.C.D.以上都不对
    2.(2023·山东省实验中学)若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,则此数列的项数是( )
    A.95B.96C.97D.98
    3.(2022·广东)已知数列是等比数列,且,,则( )
    A.B.C.D.
    4.(2022·江苏)已知各项均为正数的等比数列的前项和为,若,则的值为( )
    A.4B.C.2D.
    5.(2022·全国·安阳市第二中学模拟预测(理))已知函数,则曲线在处的切线斜率为( ).
    A.B.C.D.
    6.(2022·河南商丘)已知,若3是与的等比中项,则的最小值为( )
    A.B.7C.D.9
    7.(2022·重庆)已知函数,若过点能作三条直线与的图像相切,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    8.(2023·广东广州)设,,,则的大小关系正确的是( )
    A.B.C.D.
    二、多选题(每题至少有两个选项为正确答案,少选且正确得2分,每题5分。4题共20分)
    9.(2022·湖南·双峰县第一中学高二期中)已知是等比数列的前n项和,,,成等差数列,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    10.(2022·广东·佛山一中)已知数列满足,,记数列的前项和为,则( )
    A.B.
    C.D.
    11.(2022·福建·莆田一中高二期中)关于函数,下列结论正确的是( )
    A.函数的定义域为B.函数在上单调递增
    C.函数的最小值为,没有最大值D.函数的极小值点为
    12.(2022·辽宁·沈阳二中)已知函数,关于的性质,以下四个结论中正确的是( )
    A.是奇函数B.函数在区间上是增函数
    C.有两个零点D.函数在处取得最小值
    三、填空题(每题5分,4题共20分)
    13.(2023·广东广州)如图,北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加块,下一层的第一环比上一层的最后一环多块,向外每环依次也增加块,己知每层环数相同,且三层共有扇面形石板(不含天心石)块,则中层有扇面形石板_________块
    14.(2022·四川泸州)已知函数存在极值点,则实数a的取值范围是_____________.
    15.(2022·上海中学高二期中)已知等差数列满足,,记表示数列的前n项和,则当时,n的取值为______.
    16.(2022·天津市第七中学)已知,则使恒成立的的范围是______ .
    四、解答题(17题10分,其余每题12分,6题共70分)
    17.(2023·广东广州)己知等比数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)记,证明:.
    18.(2022·上海市建平中学)已知数列满足,记,
    (1)写出数列的前4项;
    (2)记,判断数列是否为等差数列,并说明理由;
    (3)求的前20项和.
    19.(2022·四川省隆昌市第七中学)已知函数.
    (1)当时,求函数的极值;
    (2)若有两个极值点,证明:.
    20.(2022·上海市金汇高级中学)在平面直角坐标系中,为原点,两个点列、、、和、、、满足:①,,; ②,.
    (1)求点和的坐标;
    (2)求向量、的坐标.
    21.(2022·山东·邹平市第一中学)已知三次函数.
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程,
    (2)讨论的单调性.
    22.(2022·四川省隆昌市第七中学)已知函数.
    (1)若,曲线在处的切线过点,求的值;
    (2)若,求在区间上的最大值.
    本册综合测试(提升)
    单选题(每题5分,每题只有一个选项为正确答案,8题共40分)
    1.(2022·四川省)函数的单调减区间是( )
    A.B.C.D.以上都不对
    答案:D
    【解析】由题知,,
    所以在上恒成立,
    所以在上单调递增,
    函数无单调减区间,
    故选:D.
    2.(2023·山东省实验中学)若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,则此数列的项数是( )
    A.95B.96C.97D.98
    答案:C
    【解析】由题意,3与7的最小公倍数为21,被3除余2且被7除余2的数的个数即为被21除余2的个数,又,2至2022这2021个整数中被21除余2的数的个数为:.
    故选:C
    3.(2022·广东)已知数列是等比数列,且,,则( )
    A.B.C.D.
    答案:B
    【解析】∵为等比数列,故也为等比数列,
    由,又∵,∴的公比满足,则,
    而,平方得,,
    ∴是以为首项,为公比的等比数列,其前项和.
    故选:B.
    4.(2022·江苏)已知各项均为正数的等比数列的前项和为,若,则的值为( )
    A.4B.C.2D.
    答案:A
    【解析】设数列的公比为,
    则,得,
    解得或(舍),
    所以.
    故选:A.
    5.(2022·全国·安阳市第二中学模拟预测(理))已知函数,则曲线在处的切线斜率为( ).
    A.B.C.D.
    答案:D
    【解析】依题意,,令,
    故,解得,故,故.
    故选:D.
    6.(2022·河南商丘)已知,若3是与的等比中项,则的最小值为( )
    A.B.7C.D.9
    答案:A
    【解析】由题意得,即,所以,又,所以,,所以,当且仅当,即,时等号成立.故的最小值为.
    故选:A
    7.(2022·重庆)已知函数,若过点能作三条直线与的图像相切,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    答案:D
    【解析】由已知:,故,设切点为
    根据导数的几何意义,知切线斜率为,切线方程为,
    将点坐标代入切线方程可得
    化简可得
    即函数与函数有三个不同的交点.
    故,
    当时,,函数单调递减;
    当时,,函数单调递增;
    当时,,函数单调递减.
    则当时,有极小值,
    当时,有极大值.
    所以的取值范围为.
    故选:D.
    8.(2023·广东广州)设,,,则的大小关系正确的是( )
    A.B.C.D.
    答案:B
    【解析】令函数,,当时,,即在上递减,
    则当时,,即,因此,即;
    令函数,,当时,,则在上单调递增,
    则当时,,即,因此,即,
    所以的大小关系正确的是.
    故选:B
    二、多选题(每题至少有两个选项为正确答案,少选且正确得2分,每题5分。4题共20分)
    9.(2022·湖南·双峰县第一中学高二期中)已知是等比数列的前n项和,,,成等差数列,则下列结论正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    答案:AB
    【解析】若公比有,,,
    此时,故公比,
    由题意,
    化简有,两边同时乘以,可得:;
    两边同时乘以,可得:
    故有或,
    选选:AB.
    10.(2022·广东·佛山一中)已知数列满足,,记数列的前项和为,则( )
    A.B.
    C.D.
    答案:CD
    【解析】解:因为,,
    所以,故A错误;
    ,,所以数列是以为周期的周期数列,
    所以,故B错误;
    因为,,
    所以,故C正确;
    ,故D正确;
    故选:CD
    11.(2022·福建·莆田一中高二期中)关于函数,下列结论正确的是( )
    A.函数的定义域为B.函数在上单调递增
    C.函数的最小值为,没有最大值D.函数的极小值点为
    答案:BD
    【解析】对于A,因为,所以,解得,故的定义域为,故A错误;
    对于B,,令,得,故在上单调递增,故B正确;
    对于C,令,则,故的最小值不为,故C错误;
    对于D,令,得或,所以在和上单调递减,
    令,得,故结合两侧的单调性可知是的极小值点,故D正确.
    故选:BD.
    12.(2022·辽宁·沈阳二中)已知函数,关于的性质,以下四个结论中正确的是( )
    A.是奇函数B.函数在区间上是增函数
    C.有两个零点D.函数在处取得最小值
    答案:CD
    【解析】
    是非奇非偶函数,选项A错误;
    当时,,即函数在上单调递减
    当或时,,即函数在,上单调递增,故选项B错误;
    ,,
    ,而当时,
    故有两个零点,故选项C正确,选项D正确故选:CD.
    三、填空题(每题5分,4题共20分)
    13.(2023·广东广州)如图,北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加块,下一层的第一环比上一层的最后一环多块,向外每环依次也增加块,己知每层环数相同,且三层共有扇面形石板(不含天心石)块,则中层有扇面形石板_________块
    答案:
    【解析】设上、中、下三层的石板块数分别为、、,由题意可知、、成等差数列,
    所以,,解得.
    故答案为:.
    14.(2022·四川泸州)已知函数存在极值点,则实数a的取值范围是_____________.
    答案:
    【解析】定义域为,,
    根据题意可得在上存在穿越零点,
    故,且,解得.
    故答案为:
    15.(2022·上海中学高二期中)已知等差数列满足,,记表示数列的前n项和,则当时,n的取值为______.
    答案:
    【解析】,故,,故,故,
    ,.
    ,故.
    故答案为:
    16.(2022·天津市第七中学)已知,则使恒成立的的范围是______ .
    答案:
    【解析】因,令,,依题意,,
    当时,,求导得,当时,,当时,,
    因此在上单调递增,在上单调递减,当时,,
    当时,,求导得,在上单调递减,
    ,于是得函数在上单调递减,,
    因此,则,
    所以的取值范围是.
    故答案为:
    四、解答题(17题10分,其余每题12分,6题共70分)
    17.(2023·广东广州)己知等比数列的前项和为,且.
    (1)求数列的通项公式;
    (2)记,证明:.
    答案:(1)(2)证明见解析
    【解析】(1)因为,则当时,,
    当时,由可得,
    所以,即,
    因为是等比数列,则该数列的公比为,则,
    所以,即,
    所以数列的通项公式.
    (2)由(1)得,
    所以,
    故 .
    18.(2022·上海市建平中学)已知数列满足,记,
    (1)写出数列的前4项;
    (2)记,判断数列是否为等差数列,并说明理由;
    (3)求的前20项和.
    答案:(1),,,;
    (2)是等差数列,理由见解析;
    (3)300.
    【解析】(1)因为数列满足.,
    ,,,所以,;
    (2),,
    所以数列是以为首项,以3为公差的等差数列,
    所以;
    (3)由(2) 可得,,
    则,,
    当时,也符合上式,所以,,
    所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列,
    则的前20项和为

    19.(2022·四川省隆昌市第七中学)已知函数.
    (1)当时,求函数的极值;
    (2)若有两个极值点,证明:.
    答案:(1)函数的极大值为,极小值为
    (2)证明见详解
    【解析】(1)若,则,,
    令,则或,
    ∴函数在,上单调递增,在上单调递减,
    故函数的极大值为,极小值为.
    (2)由题意可得:,
    若有两个极值点,则在内有两个零点,且,
    ∴,解得,
    又∵,则,


    令,则当时恒成立,
    ∴在上单调递增,则,
    故.
    20.(2022·上海市金汇高级中学)在平面直角坐标系中,为原点,两个点列、、、和、、、满足:①,,; ②,.
    (1)求点和的坐标;
    (2)求向量、的坐标.
    答案:(1),
    (2),
    【解析】1)设,令,则,
    ∵,则,解得,
    ∴,
    设,令,则,
    ∵,则,解得,
    ∴,
    同理可得:.
    (2)设,则,且,
    ∵,则,
    ∴数列是以首项,公比的等比数列,则,
    故当时,

    满足上式,所以;
    又∵,则,即,
    故数列为常数列,则,
    ∴,
    设,则,
    ∴,则数列是以首项,公差的等差数列,故,
    同理可得:,
    故.
    21.(2022·山东·邹平市第一中学)已知三次函数.
    (1)当时,求曲线在点处的切线方程,
    (2)讨论的单调性.
    答案:(1);
    (2)见解析.
    【解析】(1)当时,,

    所以曲线在点处的切线斜率为,
    又,,
    整理可得曲线在点处的切线方程为;
    (2),
    若,由可得,
    当时,,为增函数,
    当时,,为减函数,
    当时,,
    可得或,
    所以在 为增函数,在上为减函数,
    当时,
    若,
    在 为减函数,在上为增函数,
    若,,在上为减函数,
    若,
    在 为减函数,在上为增函数,
    综上可得:
    若,
    在上为增函数,在上为减函数,
    当时, 在 为增函数,在上为减函数,
    当时,

    在 为减函数,在上为增函数,
    若,,在上为减函数,
    若,在 为减函数,在上为增函数.
    22.(2022·四川省隆昌市第七中学)已知函数.
    (1)若,曲线在处的切线过点,求的值;
    (2)若,求在区间上的最大值.
    答案:(1)或
    (2)
    【解析】(1)解:当时,,,
    ,,
    所以,曲线在处的切线方程为,
    将点的坐标代入切线方程可得,
    整理可得,解得或.
    (2)解:因为且,,则,
    ①当时,对任意的,且不恒为零,
    此时函数在上单调递增,当时,;
    ②当时,,当时,;当时,.
    所以,函数在上单调递减,在上单调递增,且,,
    故当时,.
    综上所述,当时,.

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