(人教A版2019选择性必修第二册)高二数学本册综合测试(提升)(原卷版+解析)
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A.B.C.D.以上都不对
2.(2023·山东省实验中学)若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,则此数列的项数是( )
A.95B.96C.97D.98
3.(2022·广东)已知数列是等比数列,且,,则( )
A.B.C.D.
4.(2022·江苏)已知各项均为正数的等比数列的前项和为,若,则的值为( )
A.4B.C.2D.
5.(2022·全国·安阳市第二中学模拟预测(理))已知函数,则曲线在处的切线斜率为( ).
A.B.C.D.
6.(2022·河南商丘)已知,若3是与的等比中项,则的最小值为( )
A.B.7C.D.9
7.(2022·重庆)已知函数,若过点能作三条直线与的图像相切,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
8.(2023·广东广州)设,,,则的大小关系正确的是( )
A.B.C.D.
二、多选题(每题至少有两个选项为正确答案,少选且正确得2分,每题5分。4题共20分)
9.(2022·湖南·双峰县第一中学高二期中)已知是等比数列的前n项和,,,成等差数列,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
10.(2022·广东·佛山一中)已知数列满足,,记数列的前项和为,则( )
A.B.
C.D.
11.(2022·福建·莆田一中高二期中)关于函数,下列结论正确的是( )
A.函数的定义域为B.函数在上单调递增
C.函数的最小值为,没有最大值D.函数的极小值点为
12.(2022·辽宁·沈阳二中)已知函数,关于的性质,以下四个结论中正确的是( )
A.是奇函数B.函数在区间上是增函数
C.有两个零点D.函数在处取得最小值
三、填空题(每题5分,4题共20分)
13.(2023·广东广州)如图,北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加块,下一层的第一环比上一层的最后一环多块,向外每环依次也增加块,己知每层环数相同,且三层共有扇面形石板(不含天心石)块,则中层有扇面形石板_________块
14.(2022·四川泸州)已知函数存在极值点,则实数a的取值范围是_____________.
15.(2022·上海中学高二期中)已知等差数列满足,,记表示数列的前n项和,则当时,n的取值为______.
16.(2022·天津市第七中学)已知,则使恒成立的的范围是______ .
四、解答题(17题10分,其余每题12分,6题共70分)
17.(2023·广东广州)己知等比数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,证明:.
18.(2022·上海市建平中学)已知数列满足,记,
(1)写出数列的前4项;
(2)记,判断数列是否为等差数列,并说明理由;
(3)求的前20项和.
19.(2022·四川省隆昌市第七中学)已知函数.
(1)当时,求函数的极值;
(2)若有两个极值点,证明:.
20.(2022·上海市金汇高级中学)在平面直角坐标系中,为原点,两个点列、、、和、、、满足:①,,; ②,.
(1)求点和的坐标;
(2)求向量、的坐标.
21.(2022·山东·邹平市第一中学)已知三次函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程,
(2)讨论的单调性.
22.(2022·四川省隆昌市第七中学)已知函数.
(1)若,曲线在处的切线过点,求的值;
(2)若,求在区间上的最大值.
本册综合测试(提升)
单选题(每题5分,每题只有一个选项为正确答案,8题共40分)
1.(2022·四川省)函数的单调减区间是( )
A.B.C.D.以上都不对
答案:D
【解析】由题知,,
所以在上恒成立,
所以在上单调递增,
函数无单调减区间,
故选:D.
2.(2023·山东省实验中学)若将2至2022这2021个整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,则此数列的项数是( )
A.95B.96C.97D.98
答案:C
【解析】由题意,3与7的最小公倍数为21,被3除余2且被7除余2的数的个数即为被21除余2的个数,又,2至2022这2021个整数中被21除余2的数的个数为:.
故选:C
3.(2022·广东)已知数列是等比数列,且,,则( )
A.B.C.D.
答案:B
【解析】∵为等比数列,故也为等比数列,
由,又∵,∴的公比满足,则,
而,平方得,,
∴是以为首项,为公比的等比数列,其前项和.
故选:B.
4.(2022·江苏)已知各项均为正数的等比数列的前项和为,若,则的值为( )
A.4B.C.2D.
答案:A
【解析】设数列的公比为,
则,得,
解得或(舍),
所以.
故选:A.
5.(2022·全国·安阳市第二中学模拟预测(理))已知函数,则曲线在处的切线斜率为( ).
A.B.C.D.
答案:D
【解析】依题意,,令,
故,解得,故,故.
故选:D.
6.(2022·河南商丘)已知,若3是与的等比中项,则的最小值为( )
A.B.7C.D.9
答案:A
【解析】由题意得,即,所以,又,所以,,所以,当且仅当,即,时等号成立.故的最小值为.
故选:A
7.(2022·重庆)已知函数,若过点能作三条直线与的图像相切,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
答案:D
【解析】由已知:,故,设切点为
根据导数的几何意义,知切线斜率为,切线方程为,
将点坐标代入切线方程可得
化简可得
即函数与函数有三个不同的交点.
故,
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增;
当时,,函数单调递减.
则当时,有极小值,
当时,有极大值.
所以的取值范围为.
故选:D.
8.(2023·广东广州)设,,,则的大小关系正确的是( )
A.B.C.D.
答案:B
【解析】令函数,,当时,,即在上递减,
则当时,,即,因此,即;
令函数,,当时,,则在上单调递增,
则当时,,即,因此,即,
所以的大小关系正确的是.
故选:B
二、多选题(每题至少有两个选项为正确答案,少选且正确得2分,每题5分。4题共20分)
9.(2022·湖南·双峰县第一中学高二期中)已知是等比数列的前n项和,,,成等差数列,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
答案:AB
【解析】若公比有,,,
此时,故公比,
由题意,
化简有,两边同时乘以,可得:;
两边同时乘以,可得:
故有或,
选选:AB.
10.(2022·广东·佛山一中)已知数列满足,,记数列的前项和为,则( )
A.B.
C.D.
答案:CD
【解析】解:因为,,
所以,故A错误;
,,所以数列是以为周期的周期数列,
所以,故B错误;
因为,,
所以,故C正确;
,故D正确;
故选:CD
11.(2022·福建·莆田一中高二期中)关于函数,下列结论正确的是( )
A.函数的定义域为B.函数在上单调递增
C.函数的最小值为,没有最大值D.函数的极小值点为
答案:BD
【解析】对于A,因为,所以,解得,故的定义域为,故A错误;
对于B,,令,得,故在上单调递增,故B正确;
对于C,令,则,故的最小值不为,故C错误;
对于D,令,得或,所以在和上单调递减,
令,得,故结合两侧的单调性可知是的极小值点,故D正确.
故选:BD.
12.(2022·辽宁·沈阳二中)已知函数,关于的性质,以下四个结论中正确的是( )
A.是奇函数B.函数在区间上是增函数
C.有两个零点D.函数在处取得最小值
答案:CD
【解析】
是非奇非偶函数,选项A错误;
当时,,即函数在上单调递减
当或时,,即函数在,上单调递增,故选项B错误;
,,
,而当时,
故有两个零点,故选项C正确,选项D正确故选:CD.
三、填空题(每题5分,4题共20分)
13.(2023·广东广州)如图,北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加块,下一层的第一环比上一层的最后一环多块,向外每环依次也增加块,己知每层环数相同,且三层共有扇面形石板(不含天心石)块,则中层有扇面形石板_________块
答案:
【解析】设上、中、下三层的石板块数分别为、、,由题意可知、、成等差数列,
所以,,解得.
故答案为:.
14.(2022·四川泸州)已知函数存在极值点,则实数a的取值范围是_____________.
答案:
【解析】定义域为,,
根据题意可得在上存在穿越零点,
故,且,解得.
故答案为:
15.(2022·上海中学高二期中)已知等差数列满足,,记表示数列的前n项和,则当时,n的取值为______.
答案:
【解析】,故,,故,故,
,.
,故.
故答案为:
16.(2022·天津市第七中学)已知,则使恒成立的的范围是______ .
答案:
【解析】因,令,,依题意,,
当时,,求导得,当时,,当时,,
因此在上单调递增,在上单调递减,当时,,
当时,,求导得,在上单调递减,
,于是得函数在上单调递减,,
因此,则,
所以的取值范围是.
故答案为:
四、解答题(17题10分,其余每题12分,6题共70分)
17.(2023·广东广州)己知等比数列的前项和为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)记,证明:.
答案:(1)(2)证明见解析
【解析】(1)因为,则当时,,
当时,由可得,
所以,即,
因为是等比数列,则该数列的公比为,则,
所以,即,
所以数列的通项公式.
(2)由(1)得,
所以,
故 .
18.(2022·上海市建平中学)已知数列满足,记,
(1)写出数列的前4项;
(2)记,判断数列是否为等差数列,并说明理由;
(3)求的前20项和.
答案:(1),,,;
(2)是等差数列,理由见解析;
(3)300.
【解析】(1)因为数列满足.,
,,,所以,;
(2),,
所以数列是以为首项,以3为公差的等差数列,
所以;
(3)由(2) 可得,,
则,,
当时,也符合上式,所以,,
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列,
则的前20项和为
.
19.(2022·四川省隆昌市第七中学)已知函数.
(1)当时,求函数的极值;
(2)若有两个极值点,证明:.
答案:(1)函数的极大值为,极小值为
(2)证明见详解
【解析】(1)若,则,,
令,则或,
∴函数在,上单调递增,在上单调递减,
故函数的极大值为,极小值为.
(2)由题意可得:,
若有两个极值点,则在内有两个零点,且,
∴,解得,
又∵,则,
∴
,
令,则当时恒成立,
∴在上单调递增,则,
故.
20.(2022·上海市金汇高级中学)在平面直角坐标系中,为原点,两个点列、、、和、、、满足:①,,; ②,.
(1)求点和的坐标;
(2)求向量、的坐标.
答案:(1),
(2),
【解析】1)设,令,则,
∵,则,解得,
∴,
设,令,则,
∵,则,解得,
∴,
同理可得:.
(2)设,则,且,
∵,则,
∴数列是以首项,公比的等比数列,则,
故当时,
,
满足上式,所以;
又∵,则,即,
故数列为常数列,则,
∴,
设,则,
∴,则数列是以首项,公差的等差数列,故,
同理可得:,
故.
21.(2022·山东·邹平市第一中学)已知三次函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程,
(2)讨论的单调性.
答案:(1);
(2)见解析.
【解析】(1)当时,,
,
所以曲线在点处的切线斜率为,
又,,
整理可得曲线在点处的切线方程为;
(2),
若,由可得,
当时,,为增函数,
当时,,为减函数,
当时,,
可得或,
所以在 为增函数,在上为减函数,
当时,
若,
在 为减函数,在上为增函数,
若,,在上为减函数,
若,
在 为减函数,在上为增函数,
综上可得:
若,
在上为增函数,在上为减函数,
当时, 在 为增函数,在上为减函数,
当时,
若
在 为减函数,在上为增函数,
若,,在上为减函数,
若,在 为减函数,在上为增函数.
22.(2022·四川省隆昌市第七中学)已知函数.
(1)若,曲线在处的切线过点,求的值;
(2)若,求在区间上的最大值.
答案:(1)或
(2)
【解析】(1)解:当时,,,
,,
所以,曲线在处的切线方程为,
将点的坐标代入切线方程可得,
整理可得,解得或.
(2)解:因为且,,则,
①当时,对任意的,且不恒为零,
此时函数在上单调递增,当时,;
②当时,,当时,;当时,.
所以,函数在上单调递减,在上单调递增,且,,
故当时,.
综上所述,当时,.
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