浙江省杭州市西溪中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷（含解析）

这是一份浙江省杭州市西溪中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了，下列说法等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．宇航员B．空间站
C．黑洞D．太空舱
2．（3分）计算（）2的结果是（ ）
A．B．3C．2D．9
3．（3分）代数式中，x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣4B．x＞2C．x≥﹣4且x≠2D．x＞﹣4且x≠2
4．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，方程应变形为（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
6．（3分）已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是（ ）
A．，0B．，a3C．a，0D．a，a3
7．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
8．（3分）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．5cm2B．6cm2C．7cm2D．8cm2
9．（3分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（ ）
A．m＝﹣2B．m＝3C．m＝3或m＝﹣2D．m＝﹣3或m＝2
10．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程3x2＝27的解为： ．
12．（3分）当x＝﹣2时，二次根式的值是 ．
13．（3分）数据1，2，3，4，5的方差为 ．
14．（3分）平行四边形的两条对角线分别为6和8，则该平行四边形的一条边x的取值范围为 ．
15．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的一个根是2，则k的值为 ．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连接OE、OF、EF．若AB＝7，BC＝5，∠DAB＝45°，则
①点C到直线AB的距离是 ．
②△OEF周长的最小值是 ．
三.解答题（共72分）
17．（6分）计算；
（1）计算：；
（2）．
18．（6分）（1）如图①，四边形ABCD是中心对称图形，直线EF经过对称中心O，则S四边形AEFB S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分．
19．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0．
20．（8分）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ；b＝ ；c＝ ．
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩不合格的人数；
（3）在这次“国家安全法”知识竞赛中，你认为哪个年级的学生成绩更优异？请说明理由（一条理由即可）．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
22．（10分）“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个20元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为30元/个时，七月销售200个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到288个．
（1）求八，九两月销量的月平均增长率；
（2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低1元，月销量在九月销量的基础上增加3个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利1800元？
23．（12分）发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业：
解：x2﹣7x+10＝0．
a＝1，b＝﹣7，c＝10．
∵b2﹣4ac＝9＞0，……………①
∴x＝＝．……………②
∴x1＝5，x2＝2．……………③
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．……………④
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．……………⑤
（1）涵涵的作业错误的步骤是 （填序号），错误的原因是 ．
（2）探究应用：
请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
①m＝2时，求△ABC的周长；
②当△ABC为等边三角形时，求m的值．
24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t s．
（1）填空：BQ＝ cm，PB＝ cm；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得四边形APQC的面积等于9cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．宇航员B．空间站
C．黑洞D．太空舱
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．（3分）计算（）2的结果是（ ）
A．B．3C．2D．9
【解答】解：（）2＝3．
故选：B．
3．（3分）代数式中，x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣4B．x＞2C．x≥﹣4且x≠2D．x＞﹣4且x≠2
【解答】解：由题意得：x+4≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣4且x≠2，
故选：C．
4．（3分）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180•（n﹣2）＝3×360，
解得n＝8．
故选：C．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x﹣1＝0，方程应变形为（ ）
A．（x+2）2＝3B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x﹣2）2＝5
【解答】解：∵x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，
故选：D．
6．（3分）已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是（ ）
A．，0B．，a3C．a，0D．a，a3
【解答】解：由平均数定义可知：（a1+a2+0+a3+a4）＝×4a＝a；
将这组数据按从小到大排列为0，a4，a3，a2，a1；
由于有奇数个数，取最中间的数，
∴其中位数为a3．
故选：B．
7．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×5＝﹣31＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
8．（3分）一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．5cm2B．6cm2C．7cm2D．8cm2
【解答】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，
依题意，得：，
（②﹣①）÷3，得：y﹣x+1＝0，
∴x＝y+1③．
将③代入②，得：y（y+1）＝16+3（y﹣4）+11，
整理，得：y2﹣2y﹣15＝0，
解得：y1＝5，y2＝﹣3（舍去），
∴x＝6．
∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（x﹣4）（y﹣3）+（x﹣3）（y﹣4）＝2×2+3×1＝7．
故选：C．
9．（3分）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（ ）
A．m＝﹣2B．m＝3C．m＝3或m＝﹣2D．m＝﹣3或m＝2
【解答】解：设x1，x2是x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根，
∴Δ＝﹣4m≥0，
∴m≤0，
∴x1+x2＝﹣2m，x1•x2＝m2+m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4m2﹣2m2﹣2m＝2m2﹣2m＝12，
∴m＝3或m＝﹣2；
∴m＝﹣2；
故选：A．
10．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：x0＝，
∴2ax0+b＝，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故④正确．
故正确的有①②④，
故选：A．
二.填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）一元二次方程3x2＝27的解为： x1＝3，x2＝﹣3 ．
【解答】解：3x2＝27，
x2＝9，
x1＝3，x2＝﹣3，
故答案为：x1＝3，x2＝﹣3．
12．（3分）当x＝﹣2时，二次根式的值是 3 ．
【解答】解：把x＝﹣2代入得，
＝＝3，
故答案为：3．
13．（3分）数据1，2，3，4，5的方差为 2 ．
【解答】解：数据1，2，3，4，5的平均数为（1+2+3+4+5）＝3，
故其方差S2＝[（3﹣3）2+（1﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2．
故答案为：2．
14．（3分）平行四边形的两条对角线分别为6和8，则该平行四边形的一条边x的取值范围为 1＜x＜7 ．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，
∴在△AOB中，OB﹣OA＜x＜OB+OA
即：1＜x＜7，
故该平行四边形的一条边x的取值范围为1＜x＜7．
15．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的一个根是2，则k的值为 ﹣ ．
【解答】解：由关于x＝2的一元二次方程x2﹣x+k＝0的一个根是2，
故4+2k﹣1＝0，
解得k＝﹣，
故答案为：﹣．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连接OE、OF、EF．若AB＝7，BC＝5，∠DAB＝45°，则
①点C到直线AB的距离是 5 ．
②△OEF周长的最小值是 ．
【解答】解：①如图：过点C作AB的垂线，交AB延长线于点M，
∵∠DAB＝45°，
∴∠ABC＝135°，
∴∠CBM＝45°，
∵BC＝5，
∴CM＝5，
故答案为5；
②如图1：作点O关于AD的对称点G，点O关于AB的对称点H，连接GH，AG，AH；
则GH长为△OEF周长的最小值；
由①在Rt△ACM中，AM＝7+5＝12，CM＝5，
∴AC＝13，
∴OA＝，
由对称性可知，AH＝OA＝AG，
∴△AHG是等腰三角形，
又∵∠DAB＝45°，
∴∠GAH＝90°，
∴GH＝；
故答案为；
三.解答题（共72分）
17．（6分）计算；
（1）计算：；
（2）．
【解答】解：（1）
＝8﹣12
＝﹣4；
（2）
＝3﹣
＝3﹣
＝3+
＝3++
＝+．
18．（6分）（1）如图①，四边形ABCD是中心对称图形，直线EF经过对称中心O，则S四边形AEFB ＝ S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是中心对称图形，直线EF经过对称中心O，
∴S四边形AEFB＝S四边形DEFC；
故答案为：＝；
（2）如图②：直线OQ即为所求．
19．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0；
（2）x2﹣4x﹣8＝0．
【解答】解：（1）（x﹣3）2﹣4＝0，
（x﹣3）2＝4，
∴x﹣3＝±2，
∴x1＝5，x2＝1；
（2）x2﹣4x﹣8＝0，
x2﹣4x＝8，
x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12，
∴x﹣2＝±2，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．
20．（8分）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级共800名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下：
八年级抽取的学生的竞赛成绩：
4，4，6，6，6，6，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，9，10，10．
七年级抽取的学生的竞赛成绩条形统计图七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 7.2 ；b＝ 7.5 ；c＝ 8 ．
（2）估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩不合格的人数；
（3）在这次“国家安全法”知识竞赛中，你认为哪个年级的学生成绩更优异？请说明理由（一条理由即可）．
【解答】解：（1）由图表可得：a＝＝7.2，b＝＝7.5，c＝8；
故答案为：7.2，7.5，8；
（2）800×＝100（人），
答：估计该校七、八年级共800名学生中竞赛成绩不合格的人数为100人；
（3）∵八年级的合格率高于七年级的合格率，
∴八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异（答案不唯一）．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求平行四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BE，
∴∠DAE＝∠E，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠E，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD；
（2）解：由BE＝AB，∠BEA＝60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB＝AE＝4，
又∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝2，
∵∠DAE＝∠E，AF＝EF，∠AFD＝∠CFE，
∴△ADF≌△ECF，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝×4×2＝．
22．（10分）“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，某超市以每个20元的进价购进一批该品牌头盔，当该头盔售价为30元/个时，七月销售200个，八九月该品牌头盔销量持续上涨，在售价不变的基础上，九月的销量达到288个．
（1）求八，九两月销量的月平均增长率；
（2）十月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该品牌头盔售价每降低1元，月销量在九月销量的基础上增加3个，当该品牌头盔售价为多少元时，超市十月能获利1800元？
【解答】解：（1）设八，九两月销量的月平均增长率为x，
由题意可得：200Ω+x）2＝288%，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2，（不符合题意，舍去），
答：八，九两月销量的月平均增长率为20%；
（2）设该品牌头盔售价降低a元，
（30﹣a﹣20）（288+3a）＝1800，
整理得：a2+86a﹣360＝0，
解得：a1＝4，a2＝﹣90（ 不符合题意，舍去），
30﹣a＝30﹣4＝26（元），
答：该品牌头盔售价为26元时，超市十月能获利1800元．
23．（12分）发现思考：已知等腰三角形ABC的两边分别是方程x2﹣7x+10＝0的两个根，求等腰三角形ABC三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．
涵涵的作业：
解：x2﹣7x+10＝0．
a＝1，b＝﹣7，c＝10．
∵b2﹣4ac＝9＞0，……………①
∴x＝＝．……………②
∴x1＝5，x2＝2．……………③
所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．……………④
当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．……………⑤
（1）涵涵的作业错误的步骤是 ⑤ （填序号），错误的原因是 2，2，5不能构成三角形 ．
（2）探究应用：
请解答以下问题：
已知等腰三角形ABC的一腰和底边的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根．
①m＝2时，求△ABC的周长；
②当△ABC为等边三角形时，求m的值．
【解答】解：（1）涵涵的作业错误的步骤是⑤，错误的原因是2，2，5不能构成三角形，
故答案为：⑤；2，2，5不能构成三角形；
（2）①当m＝2时，方程为x2﹣2x+＝0，
∴x1＝，x2＝，
当为腰时，+＜，
∴、、不能构成三角形；
当为腰时，等腰三角形的三边为、、，
此时△ABC的周长为++＝，
答：当m＝2时，△ABC的周长为；
②若△ABC为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣m）2﹣4（﹣）＝m2﹣2m+1＝0，
∴m1＝m2＝1，
答：当△ABC为等边三角形时，m的值为1．
24．（12分）如图，在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t s．
（1）填空：BQ＝ 2t cm，PB＝ 5﹣t cm；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得四边形APQC的面积等于9cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意，得BQ＝2t cm，PB＝（5﹣t）cm．
故答案为：2t，5﹣t．
（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+（5﹣t）2＝25，
解得：t1＝0，t2＝2．
（3）由题意，得，
解得：t1＝2，t2＝3（不符合题意，舍去），
∴当t＝2时，△PBQ的面积等于6cm2．
四边形APQC的面积＝S（cm2）．
年级
七年级
八年级
平均数
a
7.4
中位数
b
8
众数
7
c
合格率
85%
90%
年级
七年级
八年级
平均数
a
7.4
中位数
b
8
众数
7
c
合格率
85%
90%