13，浙江省浙江省杭州市第六中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份13，浙江省浙江省杭州市第六中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞2024B．x＜﹣2024C．x≤2024D．x≥2024
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）在一次数学测试中，小明成绩120分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝3D．（x+2）2＝3
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为（ ）
A．2B．C．3D．4
8．（3分）用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ）试卷源自 期末大优惠，全站资源一元不到！即将回复原价。A．有一个角是钝角或直角试卷源自 全站资源一元不到！B．每一个角都是钝角
C．每一个角都是直角
D．每一个角都是锐角
9．（3分）已知a＝，b＝，c＝，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a
10．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
其中正确的（ ）
A．①②B．①④C．②③④D．①③④
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）八边形内角和度数为 ．
12．（3分）若≈2.236，则与最接近的整数是 ．
13．（3分）若一组数据7，3，5，x，2，9的众数为7，则这组数据的中位数是 ．
14．（3分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 ．
15．（3分）已知x为实数，若（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，则x2+3x＝ ．
16．（3分）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于 ．
三、解答题（共72分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）×．
18．（6分）解方程：
（1）x2+4x+3＝0；
（2）（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x+3）．
19．（8分）如图，在6×4的方格纸中，已知线段AB（A，B均在格点上），请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个以AB为边的四边形ABCD，使其为轴对称图形．
（2）在图2中画一个以AB为对角线的四边形AEBF，使其为中心对称图形．
20．（8分）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
21．（10分）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长米，坡度i＝3：2．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡B到地面的垂直距离BE的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米？
22．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF＝CE．
求证：
（1）BE＝DF．
（2）BE∥DF．
23．（12分）根据以下素材，完成探索任务：
24．（12分）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝2s时，求△AEF的面积；
（3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
2023-2024学年浙江省杭州六中八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）使有意义的x的取值范围是（ ）
A．x＞2024B．x＜﹣2024C．x≤2024D．x≥2024
【分析】根据二次根式被开方数不小于零条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x﹣2024≥0，
解得x≥2024．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式被开方数不小于零是解题的关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据算术平方根的定义，二次根式的运算规则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A、，原计算错误，故不符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，正确，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
4．（3分）在一次数学测试中，小明成绩120分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ）
A．中位数B．众数C．平均数D．方差
【分析】根据中位数的意义求解可得．
【解答】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，
半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，
小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，
故选：A．
【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义和意义．
5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝3D．（x+2）2＝3
【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程移项得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+ax﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝a2+4＞0，由此即可得出方程x2+ax﹣1＝0有两个不相等的实数根．
【解答】解：Δ＝a2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4．
∵a2≥0，
∴a2+4＞0，即Δ＞0，
∴方程x2+ax﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为（ ）
A．2B．C．3D．4
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB＝CD，可得∠DCE＝∠BCE＝∠DEC，可得DE＝DC＝AB，即可求AB的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DEC＝∠BCE
∵CE平分∠BCD
∴∠DCE＝∠BCE
∴∠DEC＝∠DCE
∴DE＝CD
∵AD＝7，AE＝3，
∴DE＝4
∴AB＝CD＝DE＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
8．（3分）用反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ）
A．有一个角是钝角或直角
B．每一个角都是钝角
C．每一个角都是直角
D．每一个角都是锐角
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】解：反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，假设这个四边形中每一个角都是锐角，
故选：D．
【点评】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
9．（3分）已知a＝，b＝，c＝，那么a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a
【分析】根据已知条件得出a＝，b＝，c＝，再进行比较，即可得出答案．
【解答】解：∵a＝＝，
b＝＝，
c＝＝，
又∵+＞+＞+，
∴a＜b＜c．
故选：A．
【点评】此题考查了实数的运算，掌握实数的运算法总则是解题的关键．
10．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则方程必有一根为x＝1；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0无实根；
③若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则．
其中正确的（ ）
A．①②B．①④C．②③④D．①③④
【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；
②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根；
③由根与系数的关系，可得x1+x2＝﹣，x1x2＝，变形得出﹣＝＝+，＝＝•，即可得出方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，；
④利用求根公式，可得出x0＝，变形后即可得出b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
【解答】解：①∵a+b+c＝0，
∴当x＝1时，ax2+bx+c＝a+b+c＝0，
∴x＝1为方程ax2+bx+c＝0的一根，故说法①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，故说法②错误；
③∵若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∴﹣＝＝+，＝＝•，
∴方程cx2+bx+a＝0（c≠0），必有实根，，故说法③正确；
④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
∴x0＝，
∴±＝2ax0+b，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，故说法④正确．
∴正确的结论有①③④．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、等式的性质以及一元二次方程的解，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）八边形内角和度数为 1080° ．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．
【解答】解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．
故答案为：1080°．
【点评】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．
12．（3分）若≈2.236，则与最接近的整数是 4 ．
【分析】先把化成2，再根据≈2.236，即可得出答案．
【解答】解：∵＝2，≈2.236，
∴与最接近的整数是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了无理数的估算，把化成2是解题的关键．
13．（3分）若一组数据7，3，5，x，2，9的众数为7，则这组数据的中位数是 6 ．
【分析】根据众数为7可得x＝7，然后根据中位数的概念求解．
【解答】解：∵这组数据众数为7，
∴x＝7，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，5，7，7，9，
则中位数为：＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
14．（3分）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是 45° ．
【分析】根据平行四边形的性质求出∠1的度数，利用五边形内角和求出∠2的度数，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，α+∠2＝∠1，
∴∠1+30°＝180°，
∴∠1＝150°，
∵∠2＝（5﹣2）×180°﹣180°﹣130°﹣125°＝105°，
∴α＝150°﹣105°＝45°，
故答案为45°．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，多边形内角和公式，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15．（3分）已知x为实数，若（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，则x2+3x＝ 1 ．
【分析】设y＝x2+3x，则原方程转化为关于y的一元二次方程y2+2y﹣3＝0，然后利用因式分解法解该方程求得y的值即可．
【解答】解：设y＝x2+3x，则y2+2y﹣3＝0，
整理，得（y+3）（y﹣1）＝0．
所以y+3＝0或y﹣1＝0．
解得y＝﹣3或y＝1．
当y＝﹣3时，x2+3x＝﹣3，此时该方程无解，故舍去．
综上所述，x2+3x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
16．（3分）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，则AC的长等于 ．
【分析】过D点作DF∥BE，则DF＝BE，F为EC中点，在Rt△ADF中求出AF的长度，根据已知条件易知G为AD中点，因此E为AF中点，则AC＝AF．
【解答】解：过D点作DF∥BE，
∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，
∴F为EC中点，AD⊥DF，
∵AD＝BE＝6，则DF＝3，AF＝＝3，
∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，
∴△ABG≌△DBG，
∴G为AD中点，
∴E为AF中点，
∴AC＝AF＝×3＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形中线和角平分线的性质以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）×．
【分析】（1）先计算被开方数，再化为最简二次根式即可；
（2）先算乘除，再算加减即可．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）×
＝﹣
＝﹣
＝2﹣
＝．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18．（6分）解方程：
（1）x2+4x+3＝0；
（2）（x﹣3）2＝（2x﹣1）（x+3）．
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：（1）∵x2+4x+3＝0，
∴（x+1）（x+3）＝0，
∴x+1＝0或x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3；
（2）原方程化为x2+11x﹣12＝0，
∴（x+12）（x﹣1）＝0，
∴x+12＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣12，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
19．（8分）如图，在6×4的方格纸中，已知线段AB（A，B均在格点上），请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个以AB为边的四边形ABCD，使其为轴对称图形．
（2）在图2中画一个以AB为对角线的四边形AEBF，使其为中心对称图形．
【分析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可；
（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图，四边形即为所求作：
；
（2）如图，四边形即为所求作：
．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（8分）为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 40 ，图①中m的值为 15 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
【分析】（Ⅰ）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；
（Ⅱ）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
（Ⅲ）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4＝40，图①中m的值为100﹣30﹣25﹣20﹣10＝15；
故答案为：40；15；
（Ⅱ）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为＝36；
（Ⅲ）∵在40名学生中，鞋号为35的学生人数比例为30%，
∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%，
则计划购买200双运动鞋，其中35号有200×30%＝60（双）．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
21．（10分）某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长米，坡度i＝3：2．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡B到地面的垂直距离BE的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米？
【分析】（1）根据勾股定理和坡度公式可求得BE的长．
（2）当坡角是45°时，作FH⊥AD于点H，连接AF，在直角△AFH中，求得AH的长，则HE即可求得．
【解答】解：（1）∵坡度i＝3：2，
∴设BE＝3x，则AE＝2x，
则AB2＝13x2＝（）2
解得：x＝，
则AE＝2，BE＝3；
（2）作FH⊥AD于点H，连接AF．
则FH＝BE＝3，
当∠FAH＝45°时，AH＝FH＝3，
则HE＝AH﹣AE＝3﹣2＝．
【点评】本题考查了坡度、坡角的定义，以及解直角三角形的应用，正确作出辅助线是关键．
22．（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F在AC上，且AF＝CE．
求证：
（1）BE＝DF．
（2）BE∥DF．
【分析】（1）由SAS可证△ADF≌△CBE，可得BE＝DF；
（2）由全等三角形的性质可得∠AFD＝∠CEB，即可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAF＝∠BCE，
又∵AF＝CE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴BE＝DF；
（2）∵△ADF≌△CBE，
∴∠AFD＝∠CEB，
∴BE∥DF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（12分）根据以下素材，完成探索任务：
【分析】任务1．根据A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．可得A、B两种商品在原来销售量的基础上得到的新的销售量；
任务2．总利润＝A包装商品的利润+B包装商品的利润，设总利润为w，A包装商品降价x元，得到相关的二次函数，求得最大利润即可；
任务3．设设总利润为w，A包装商品降价x元，根据总销售量为110件得到B包装商品的销售量，结合任务1可得B包装商品需提价多少，根据函数值超过1430可得x的取值范围，写出一种方案即可．
【解答】解：任务1．
∵A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，原来的销售量是40件，
∴每件A包装商品售价降低x元（x为整数），A包装商品每日的总销售量为（40+2x）件；
∵B包装商品售价每提高1元就少卖出2件，原来的销售量是80件，
∴每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为（80﹣2y）件．
故答案为：（40+2x），（80﹣2y）；
任务2．
设总利润为w元，A包装商品卖出（40+2x）件，则B包装商品卖出（80﹣2x）件．
∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价x元．
∴w＝（112﹣100﹣x）（40+2x）+（108﹣100+x）（80﹣2x）
＝﹣2x2﹣16x+480﹣2x2+64x+640
＝﹣4x2+48x+1120
＝﹣4（x2﹣12x+36）+1120+144
＝﹣4（x﹣6）2+1264．
∴x＝6时，利润最大．
∴112﹣6＝106（元），108+6＝114（元）．
答：A包装的售价是106元，B包装的售价是114元；
任务3．由素材3可得销售量减少10件．
设总利润为w元，A包装商品卖出（40+2x）件，则B包装商品卖出（70﹣2x）件．
∵每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为（80﹣2y）件．
∴80﹣2y＝70﹣2x．
∴y＝5+x．
∴每件A包装商品售价降低x元，每件B包装商品售价提价（5+x）元．
∴w＝（112﹣100﹣x）（40+2x）+（108﹣100+5+x）（70﹣2x）
＝﹣2x2﹣16x+480﹣2x2+44x+910
＝﹣4x2+28x+1390．
∴﹣4x2+28x+1390＞1430．
整理得：x2﹣7x+10＜0．
（x﹣5）（x﹣2）＜0．
解得：x1＝5，x2＝2．
∴当2＜x＜5时，销售总利润超过1430元．
∴A包装的售价为112﹣4＝108元，B包装的售价为108+4+5＝117元，一天的销售总利润超过1430元．（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次函数的应用．根据提价或降价的方式得到销售量的关系式是解决本题的关键．难点是减少销售量后得到B包装商品的提价方式．
24．（12分）如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝2s时，求△AEF的面积；
（3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
【分析】（1）过点B作BG⊥CD于点G，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，再按底乘以高，即可得解；
（2）过点F作FH⊥AE于点H，分别计算出t＝2s时，AE，AF和FH的长，则按三角形面积公式计算即可；
（3）分点E在线段AB上，点F在线段AD上和点E在线段BC上，点F在线段CD上，两种情况计算即可．
【解答】解：（1）平行四边形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∴∠BGC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
在Rt△BCG中，∠CBG＝30°，
∴CG＝BC＝cm，
∴BG＝＝（cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝6×＝9（cm2）．
答：平行四边形ABCD的面积为9cm2；
（2）当t＝2s时，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
如图，过点F作FH⊥AE于点H，
∴FH＝AF＝（cm），
∴△AEF的面积为：×AE×FH＝×2×＝（cm2），
答：当t＝2s时，△AEF的面积为cm2；
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9cm2．
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时，△AEF的面积为：9×＝3（cm2），
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，（0＜t≤3），AE＝t cm，AF＝t cm，高为AF＝t（cm），
∴×t×t＝3，
∴t＝2＞3，不符合题意舍去；
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在CD上运动t秒，（3＜t≤6），
∴×t×＝3，
∴t＝4，符合题意；
当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，（6＜t＜9），
如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
∴AB∥CD，
∴∠E′BG＝∠C＝60°，
∴E′G＝BE′＝（t﹣6）（cm），E′H＝1.5﹣（t﹣6）＝（9﹣t）（cm），
∴S△AEF＝9﹣×6×（t﹣6）﹣×[6﹣（t﹣3）]×[（9﹣t）]﹣（t﹣3）×1.5＝3，
化简得：t2﹣9t+12＝0，
∴t＝（不符合题意，舍）或t＝，
当t＝时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意．
综上所述，t的值为4或．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，一元二次方程，等边三角形的性质，熟练掌握三角形或平行四边形的面积公式是解题的关键．如何制定商店的销售定价方案
素材1
商品成本：100元/件，每天进货120件，并且全部卖出；商品有A，B两种包装，目前的售价和日销量如表：

A包装
B包装
售价（元/件）
112
108
日销售量（件）
40
80

素材2
为了增加盈利，该商店准备降低A包装商品的售价，同时提高B包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内，A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．商店发现若按照当前的总销量销售A，B两种包装商品，最大总利润为1264元．
素材3
销售一段时间后，商店发现若减少A，B两种包装商品的总销量，A，B两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将A，B两种包装商品的总销量减少10件．
任务1
探究商品销量：设每件A包装商品售价降低x元（x为整数），则A包装商品每日的总销售量为 件；设每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为 件．
任务2
探究商品售价：在每日A，B两种包装商品的总销量为120件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时A，B两种包装商品的售价．
任务3
确定定价方案：请设计一种A，B两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过1430元．（直接写出方案即可）
如何制定商店的销售定价方案
素材1
商品成本：100元/件，每天进货120件，并且全部卖出；商品有A，B两种包装，目前的售价和日销量如表：

A包装
B包装
售价（元/件）
112
108
日销售量（件）
40
80

素材2
为了增加盈利，该商店准备降低A包装商品的售价，同时提高B包装商品的售价．通过市场调研发现，在一定范围内，A包装商品售价每降低1元可多卖出2件，B包装商品售价每提高1元就少卖出2件．商店发现若按照当前的总销量销售A，B两种包装商品，最大总利润为1264元．
素材3
销售一段时间后，商店发现若减少A，B两种包装商品的总销量，A，B两种包装商品的销售总利润反而有所增长．为进一步增加盈利，商店决定将A，B两种包装商品的总销量减少10件．
任务1
探究商品销量：设每件A包装商品售价降低x元（x为整数），则A包装商品每日的总销售量为 （40+2x） 件；设每件B包装商品售价提高y元（y为整数），则B包装商品每日的总销售量为 （80﹣2y） 件．
任务2
探究商品售价：在每日A，B两种包装商品的总销量为120件的前提下，为使总利润达到最大，试求出此时A，B两种包装商品的售价．
任务3
确定定价方案：请设计一种A，B两种包装商品的定价方案，使一天的销售总利润超过1430元．（直接写出方案即可）