2022-2023学年浙江省杭州市西湖区西溪中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市西湖区西溪中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  水是生物赖以生存的必要物质，经测算，一个水分子的直径约有，数据“”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列是二元一次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，下列条件中不能判定的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  已知、满足方程组，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，，交于点，平分，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  要使多项式不含的一次项，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  是一个完全平方式，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  下列说法中：若，，则；两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行；若，则或；已知二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值是；其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算的结果等于______ ．

12.  如图，将向右平移个单位长度得到，且点，，，在同一条直线上，若，则的长度是______ ．

13.  已知，用含的代数式表示，则______．

14.  有一条直的宽纸带，按如图所示的方式折叠，的度数为______ ．

15.  定义：若，则称、是“西溪数”，例如：，因此和是一组“西溪数”，若、是一组“西溪数”，则的值为______ ．

16.  如图，在边长为的大正方形内放入三个边长都为的小正方形纸片，这三张纸片没有盖住的面积是，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程组：
；
．

18.  本小题分
计算：；
计算：

19.  本小题分
化简，再求值．
，其中，；
已知，求的值．

20.  本小题分
如图，在四边形中，平分交线段于点，．
判断与是否平行，并说明理由；
当，且时，求的度数．

21.  本小题分
某汉堡店员工小李去两户家庭外送汉堡包和澄汁，第一家送个汉堡包和杯橙汁，向顾客收取了元，第二家送个汉堡包和杯橙汁，向顾客收取了元．
如果汉堡店员工外送个汉堡包和杯橙汁，那么他应收顾客多少元钱？
若有顾客同时购买汉堡包和橙汁且购买费恰好为元，问汉堡店该如何配送？

22.  本小题分
如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形．
观察图请你直接写出下列三个式子：、、之间的等量关系式为______；
若、均为实数，且，，运用所得到的公式求的值；
如图，、分别表示边长为、的正方形的面积，且、、三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积．
 

23.  本小题分
将一副直角三角板如图，摆放在直线上直角三角板和直角三角板，，，，，保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．
如图，当为的角平分线时，求此时的值；
当旋转至的内部时，求与的数量关系；
在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于_________________直接写出答案即可．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

2.【答案】 

【解析】解：，是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B.，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C.，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D.，是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：．
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：首先是整式方程．方程中共含有两个未知数．所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
 

3.【答案】 

【解析】解：、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：．
根据合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相乘，幂的乘方，逐项判断，即可求解．
本题主要考查了合并同类项，负整数指数幂，同底数幂相乘，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，
，
因为”同旁内角互补，两直线平行“，
所以本选项不能判断，符合题意；
B、，
，
故本选项能判定，不符合题意；
C、，
，
故本选项能判定，不符合题意；
D、，
，
故本选项能判定，不符合题意．
故选：．
根据平行线的判定逐个判断即可．
本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解此题的关键，平行线的判定定理有：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．
 

5.【答案】 

【解析】解：将记作，记作．
，得．
，得．
．
将代入，得．
这个二元一次方程组的解为
．
故选：．
先解这个二元一次方程组，再根据二元一次方程组的解的定义解决此题．
本题主要考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解的定义是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
平分，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质得出，由角平分线的定义得出，再由平行线的性质得出即可得出的度数．
本题考查了平行线的性质、角平分线的定义；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

解：

，
因为不含的一次项，
所以，
即，
故选：．
【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算，然后令的一次项系数为即可求解．
本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟记法则，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．  

8.【答案】 

【解析】解：，是一个完全平方式，
，即，
故选：．
利用完全平方公式的结构特征判断即可得到的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式：是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
根据同底数幂的乘法和幂的乘方的运算法则求解
本题考查了幂的乘方和同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
的说法正确；
如果两条平行直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，
的说法不正确；
若，
或或，
或或．
的说法不正确；
二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，
的解是方程的解，
的解是，
是方程的解，
，
．
的说法正确．
说法正确的有：，
故选：．
利用同底数幂的除法法则，平行线的判定与性质，零指数幂的意义，有理数的乘方的意义，二元一次方程组的解法对每个说法进行逐一判断，即可得出结论．
本题主要考查了同底数幂的除法法则，平行线的判定与性质，零指数幂的意义，有理数的乘方的意义，二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据平方差公式进行求解即可
本题主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是由向右平移个单位长度得到，
，，
．
故选：．
根据平移的性质可得，，然后列式求解即可．
本题考查了平移的性质，根据对应点间的距离等于平移的长度得到是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
解得：，
故答案为：．
把看作已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意得：，，
，，
，
由折叠得，
．
故答案为：．
由平行线的性质可得，，再由平角的定义可求得，由折叠的性质得的度数，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是求得的度数．
 

15.【答案】 

【解析】解：、是一组“西溪数”，
，
则原式


，
故答案为：．
根据“西溪数”的概念得到，代入所求的代数式，根据整式的加减混合运算法则计算，得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则、正确理解“西溪数”的概念是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：没有被盖住的面积为：
故答案为：．
分两次来看被盖住的面积，第一个两个小正方形都在下面，则没有被盖住的面积为，又盖了一个小正方形，被盖住的面积是，作差即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，能够在图上标注长度是关键．
 

17.【答案】解：，
把代入得，
解得．
把代入得，
原方程组的解是；
方程组整理得，
，可得，
解得，
把代入，可得，
解得，
原方程组的解是． 

【解析】利用代入消元法解方程组即可；
利用加减消元法解方程组即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

18.【答案】解：原式

；


． 

【解析】首先计算负整数指数幂，零指数幂，然后计算乘法，最后计算加减即可；
按照从左到右的顺序，进行计算即可解答．
本题考查了整式的除法，单项式乘单项式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当，时，
原式

；



，
当时，
原式
． 

【解析】先利用完全平方公式，平方差公式进行运算，再合并同类项，最后把相应的值代入运算即可；
把所求的式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：，理由是：
平分，
，
，
，
内错角相等，两直线平行；
平分，，
，
，，
，，
． 

【解析】根据平分可得，再根据，可得，可判断与平行；
根据角平分线的定义可得的度数，再根据平行线的性质解答即可．
本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，，．
 

21.【答案】解：设每个汉堡元，每杯橙汁元，由题意得：
，
解得：，
，
答：他应收顾客元钱．
设配送汉堡个，橙汁杯，
，
，
，都是正整数，
，；
，；
答：汉堡店该配送方式有两种：外送汉堡个，橙汁杯；外送汉堡个，橙汁杯． 

【解析】首先设每个汉堡元，每杯橙汁元，根据题意可得两个等量关系：个汉堡包和杯橙汁收取了元；个汉堡包和杯橙汁收取了元，可列出方程组求出每个汉堡和每杯橙汁的花费，再求出个汉堡包和杯橙汁的花费即可；
根据题意设配送汉堡个，橙汁杯，花费是，然后再讨论出整数解即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，找出合适的等量关系，列出方程组．
 

22.【答案】 

【解析】解：由图象可得：．
故答案为：．
，
，
，，
．
，
，
．
由图象中小正方形面积大正方形面积长方形面积求解．
根据求解．
由，，求解．
本题考查完全平方式的应用，解题关键是熟练掌握完全平放式．
 

23.【答案】解：如图，，，

，
平分，
，
，
答：此时的值是；
当旋转至的内部时，如图，与的数量关系是：；

理由是：由旋转得：，
，，
；
或或或 

【解析】解：见答案；
见答案；
分四种情况：
当时，如图，，

；
当时，如图，则，

，
；
当时，如图，则，

，
；
当时，如图，

，
，
；
当时，

综上，的值是或或或．
故答案为：或或或
先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值；
分别表示与的度数，相减可得数量关系；
分五种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论．
本题是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系，该类问题就简单多了．