高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3 函数的单调性和最值精品课堂检测

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考查题型一 用定义法判断或证明函数的单调性
（多选题）1．下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈0，+∞，当x1>x2时，都有fx1>fx2的是（ ）
A．fx=x2B．fx=1xC． f(x)=|x|D．f(x)=2x+1
【答案】ACD
【分析】先判断函数是增函数,然后由函数的解析式判断.
【详解】因为对任意x1,x2∈0,+∞，当x1>x2时，都有fx1>fx2，所以函数fx增函数，因为fx=x2，fx=x，fx=2x+1在0,+∞上是增函数， fx=1x在0,+∞上是减函数，
故选：ACD
2．已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2>−1，则下列说法正确的是（ ）
A．y=f(x)+x是增函数B．y=f(x)+x是减函数
C．y=f(x)是增函数D．y=f(x)是减函数
【答案】A
【分析】对题中条件fx1−fx2x1−x2>−1进行变化，构造新函数g(x)=f(x)+x，根据增、减函数的定义即可.
【详解】不妨令x1∵fx1−fx2x1−x2>−1⇔f(x1)−f(x2)<−(x1−x2)⇔f(x1)+x1令g(x)=f(x)+x，∴g(x1)故选:A.
3．证明：函数fx=x+4x在区间2,+∞上是增函数.
【答案】证明见解析.
【分析】利用函数单调性的定义证明即可.
【详解】任取x1,x2∈2,+∞，且x1则fx1−fx2=x1+4x1−x2+4x2=x1−x2+4x2−x1x1x2=x1−x2x1x2−4x1x2，
因为x1,x2∈2,+∞，且x14,x1x2−4>0，
所以fx1−fx2<0，即fx14．判断函数fx=1x2+1在区间1,+∞上的单调性，并用单调性的定义证明.
【答案】fx=1x2+1在区间1,+∞上单调递减，证明见解析
【分析】利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.
【详解】fx=1x2+1在区间1,+∞上单调递减．
证明：设任意的x1,x2∈1,+∞且x1∵10，x2+x1>0，x12+1x22+1>0，∴fx1−fx2>0，即fx1>fx2，
∴fx=1x2+1在区间1,+∞上单调递减．
5．已知函数fx=2x+bx+a，x∈[−1,1]，满足条件f0=52，f(−1)=3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)用单调性的定义证明f(x)在x∈[−1,1]上的单调性，并求f(x)在x∈[−1,1]上的最值.
【答案】(1)fx=2x+5x+2 (2)单调递减，证明见解析，fxmax=3，fxmin=73
【分析】（1）根据f0=52，f−1=3代入得到方程组，解得即可；
（2）利用定义法证明，再根据单调性求出函数的最值.
【详解】（1）因为fx=2x+bx+a且f0=52，f(−1)=3，
所以ba=52−2+b−1+a=3，解得a=2b=5，所以fx=2x+5x+2.
（2）f(x)在x∈[−1,1]上单调递减，证明如下：
由fx=2x+5x+2=2x+2+1x+2=2+1x+2，设任意的x1,x2∈[−1,1]且x1则fx1−fx2=2+1x1+2−2+1x2+2=1x1+2−1x2+2=x2+2−x1+2x1+2x2+2=x2−x1x1+2x2+2，
因为x1,x2∈[−1,1]且x10，x1+2>0，x2+2>0，
所以fx1−fx2>0，则fx在x∈[−1,1]上单调递减，
所以fxmax=f−1=3，fxmin=f1=73.
考查题型二 根据图象求函数的单调区间
1．已知函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）

A．是函数的增区间B．是函数的减区间
C．函数在上是增函数D．函数在上是减函数
【答案】C
【分析】根据函数的图像结合函数单调性的含义，即可判断出答案.
【详解】根据函数图像可知函数在上递增，在上递减，故A，B正确；
函数在上也单调递增，但区间和不是连续区间，
并且由图象可知，因此不能说函数在上是增函数，C错误；
由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，
故函数在上是减函数，D正确，
故选：C
2．函数的一个单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知，先判断函数的奇偶性，然后分段画出图像，即可读取单调减区间.
【详解】由已知，函数为偶函数，当时，；当时，；
可画出函数图像，图下图所示：
所以函数的单调递减区间为、，
故选：A.
（多选题）3．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．的单调递减区间为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的单调递增区间为
【答案】ABC
【分析】根据图象直接判断单调区间和最值即可.
【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确；
对于B，当时，，B正确；
对于C，当时，，C正确；
对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误.故选：ABC.
4．已知函数.
(1)请在给定的坐标系中画出此函数的图像，并根据图像说出函数的值域及单调增区间；
(2)若，求x的取值范围.
【答案】(1)图像见解析；函数的值域为；单调增区间为，
(2)
【分析】（1）分段函数分别画出每一段的图像，进而观察出函数的值域及单调增区间；
（2）直接解不等式即可求得.
【详解】（1）
由图可知，函数的值域为，单调增区间，
（2）或，
解得或
故x的取值范围为
考查题型三 求函数的单调区间
1．函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．和
【答案】D
【分析】先求出定义域，然后由反比例函数的性质可得答案
【详解】的定义域为，
由反比例函数的性质可知的单调递增区间为和，
故选：D
2．函数，的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的对称轴，即可判断函数的单调性.
【详解】解：函数对称轴为，开口向上，
所以函数，的单调减区间为.
故选：D
3．函数的单调递减区间是（ ）
A． B．和 C．D．和
【答案】B
【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求
【详解】，
则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；
当，的单调递减区间为，
故的单调递减区间是和.
故选：B
4．函数单调减区间是 .
【答案】
【分析】画出函数的图像，从图像上即可得结论.
【详解】由，如图所示：
由图可知函数单调减区间是：，
故答案为：.
5．函数的单调减区间为 .
【答案】和
【分析】分离参数，根据反比例函数的性质可得的单调区间，进而可求解.
【详解】，由于函数的单调减区间为和.
故函数的单调减区间为和.
故答案为：和
考查题型四 根据函数的单调性求参数的取值范围
1．若在上单调递减，则实数满足 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】函数的图象是开口向上，且以为对称轴，则，解不等式即可得出答案.
【详解】函数的图象是开口向上，
且以为对称轴，若在上单调递减，所以，解得：.
故选：B.
2．若函数在上是减函数，则与的大小关系是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】由为减函数可得，再利用函数为减函数可得结论.
【详解】因为函数在上是减函数，所以，得，
因为在上是减函数，所以，
故选：B
3．若函数f(x)=在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先将函数化成，结合反例函数的单调性可求的取值范围.
【详解】由题设可得，因为函数在区间单调递减，
所以，故，
故选：A .
4．已知是上的增函数，那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据是R上的增函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案．
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：C.
5．已知函数，若对于任意，，都有，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用换元法分析求出的解析式，对变形分析可得在区间上为增函数，据此分析可得答案．
【详解】根据题意，已知函数，
设，则，有，故，
不妨设，则，都有，即，
变形可得，
设，则在区间上为增函数，
当时，在和上单调递减，不符合要求，舍去，
当时，在和上单调递增，要使在区间上为增函数，则必有或，解可得或，
当时，为常函数，不符合要求，
综上，的取值范围为
故选：C．
考查题型五 利用函数单调性求最值
1．已知函数y=x2−2x+2,x∈[−5,5]，求函数的最大值和最小值．
【答案】ymin＝1，ymax＝37.
【分析】考查函数的单调性，判定最值点，求出最值即可.
【详解】y=x2−2x+2=(x−1)2+1，∴y在[−5,1]上单调递减，y在[1,5]上单调递增．
∴ymin＝12－2×1＋2＝1，ymax＝(－5)2－2×(－5)＋2＝37.
2．已知函数fx=4x+2x
(1)判断并证明函数fx在区间1,+∞上的单调性；
(2)求函数fx在区间1,2上的值域．
【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)6,9
【分析】（1）利用定义法得到函数的单调性；
（2）在（1）的基础上得到fx∈f1,f2，从而求出函数在1,2上的值域.
【详解】（1）fx在1,+∞上单调递增，理由如下：
∀x1,x2∈1,+∞，且x1则fx1−fx2=4x1+2x1−4x2−2x2=4x1−x2+2x2−x1x1x2=x1−x24−2x1x2
=x1−x2⋅4x1x2−2x1x2，因为x1,x2∈1,+∞，且x11,4x1x2−2>0，
故fx1−fx2=x1−x2⋅4x1x2−2x1x2<0，故fx1（2）由（1）知fx在区间1,+∞上的单调递增，所以fx∈f1,f2，其中f1=6,f2=9，
所以fx的值域为6,9.
3．已知函数fx=2x−3x−1.
(1)求函数的定义域；
(2)用定义法证明：fx在2,6上单调递增；
(3)求fx在2,6上的最大值与最小值.
【答案】(1)−∞,1∪1,+∞(2)证明见解析(3)fxmax=95，fxmin=1
【分析】（1）由分母不等于零可求得函数定义域；
（2）设2≤x10可证得结论；
（3）由单调性可确定最值点，结合解析式可得最值.
【详解】（1）由x−1≠0得：x≠1，∴fx的定义域为−∞,1∪1,+∞.
（2）设2≤x1∵x2−x1>0，x2−1>x1−1>0，∴fx2−fx1>0，∴fx在2,6上单调递增.
（3）由（2）知：fx在2,6上单调递增，∴fxmax=f6=95，fxmin=f2=1.
4．求关于x的二次函数y=x2−2tx+1在−1≤x≤1上的最小值．
【答案】ymin=2+2t,t<−11−t2,−1≤t≤12−2t,t>1
【分析】对t进行分类讨论，由此求得函数在−1≤x≤1上的最小值.
【详解】二次函数y=x2−2tx+1−1≤x≤1的开口向上，对称轴为x=t，
当t<−1时，二次函数在−1,1上单调递增，所以ymin=−12−2t×−1+1=2+2t.
当−1≤t≤1时，ymin=t2−2t×t+1=1−t2.
当t>1时，二次函数在−1,1上单调递减，所以ymin=12−2t×1+1=2−2t.
综上所述，ymin=2+2t,t<−11−t2,−1≤t≤12−2t,t>1.
考查题型六 根据函数的最值求参数
1．已知函数fx=x2−2x+3在闭区间0,m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．1,+∞ B．0,2 C．−∞,−2D．1,2
【答案】D
【分析】根据题意结合二次函数的性质运算求解.
【详解】因为fx=x2−2x+3=x−12+2，可知fx开口向上，对称轴为x=1，
则fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
又因为f1=2,f0=f2=3，且fx在闭区间0,m有最大值3，最小值2，所以m∈1,2.
故选：D.
2．二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3，则a=（ ）
A．−1B．1C．−2D．−12
【答案】A
【分析】根据题意得到a<0，然后再根据二次函数的最大值可求出a的值．
【详解】因为二次函数有最大值，所以a<0．又二次函数y=ax2+4x+a的最大值为4a2−164a=a2−4a，
由题意得a2−4a=3⇒a2−3a−4=0⇒a=4或a=−1，因为a<0，所以a=−1，
故选：A.
（多选题）3．已知函数f(x)=x2−2ax+2,x≤1x+9x−3a,x>1的最小值为f(1)，则a的可能取值是（ ）
A．1B．3C．5D．7
【答案】AB
【分析】根据二次函数的单调性、对钩函数的单调性，结合最小值的性质进行求解判断即可.
【详解】函数y=x+9x−3a在x∈(1,3)上单调递减，在x∈(3,+∞)上单调递增，
故当x>1时，函数fxmin=f3=6−3a，y=x2−2ax+2=(x−a)2+2−a2，对称轴为x=a，
当a≥1时，当x≤1时，fxmin=f1=3−2a，
要想函数的最小值为f(1)，只需f3≥f1⇒6−3a≥3−2a⇒a≤3，即1≤a≤3，
显然选项AB符合，当a<1时，当x≤1时，fxmin=fa=2−a2，显然不是f(1)，
综上所述：只有选项AB符合条件，
故选：AB
4．已知函数fx=x+ax+b，x∈b,+∞，其中b>0，a∈R，若fx的最小值为2，则实数a的取值范围是 .
【答案】−∞,1
【分析】根据a讨论函数单调性，再根据单调性确定函数最值，最后根据最值确定a的取值范围.
【详解】①当a≤0时，f(x)在[b,+∞)上单调递增，
所以fxmin=fb=2b+ab=2,∵b>0,∴b=1+1−2a2，因此a≤0满足题意；
②当a>0时，f(x)在[a,+∞)上单调递增，在(0,a)上单调递减
（i）当a≤b时，f(x)在[b,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(b)=2b+ab=2，则2b2−2b+a=0，
∴Δ=1−2a≥0,b=1±1−2a2≥a，所以a≤b2，2b−2b2≤b2，b>0，
∴b≥23，∴b=1+1−2a2，∵1+1−2a2≥a⇒1−2a≥2a−1，
⇒0141−2a≥4a−4a+1⇒0（ii）当a>b时，f(x)在[a,+∞)上单调递增，在[b,a)上单调递减，
所以fxmin=fa=2a+b=2,∵02−2a>0，∴49综上，a的取值范围为a<1.
故答案为：(−∞,1)
5．写出使不等式x+ax≥3x∈R+恒成立的一个实数a的值 ．
【答案】不少于94的任意一个实数
【分析】对不等式x+ax≥3x∈R+全分离,即a≥3x−x2x∈R+恒成立,只需a≥3x−x2max,对二次函数配方即可求得最大值,进而求得结果.
【详解】解:因为x+ax≥3x∈R+恒成立,所以a≥3x−x2x∈R+,即只需a≥3x−x2max,
因为3x−x2=−x−322+94x∈R+,所以3x−x2max=94,故只需a≥94即可.
故答案为: 不少于94的任意一个实数
考查题型七 复合函数的单调性
1．函数y=x2+3x的单调增区间为（ ）
A．−∞,−32B．−32,+∞C．[0,+∞)D．(−∞,−3]
【答案】C
【分析】利用复合函数的单调性求解.
【详解】解：因为函数y=x2+3x，令t=x2+3x≥0，解得x≥0或x≤−3，
所以函数的定义域为(−∞−3]∪[0,+∞)，又t在[0,+∞)上递增，y=t在[0,+∞)上递增，
由复合函数的单调性知：y=x2+3x的单调增区间为[0,+∞)，
故选：C
2．若函数f(x)=6-ax在[0，3]上为减函数，则a的取值范围为（ ）
A．0,2 B．0,2C．1,2 D．1,2
【答案】B
【解析】根据函数的单调性以及解析式有意义可得实数a的取值范围.
【详解】因为f(x)=6-ax在0,3上为减函数，故a>06−3a≥0，故0故选：B.
3．函数y=1x−1的单调区间是 .
【答案】(−∞,1)和(1,+∞)/(1,+∞)和(−∞,1)
【分析】根据复合函数的单调性判断y=1x−1的单调区间即可.
【详解】令t=x−1且x≠1，则y=1t，∵t=x−1在(−∞,1)、(1,+∞)上均为递增，而y=1t在(−∞,0)、(0,+∞)上均为递减，∴y=1x−1在(−∞,1)、(1,+∞)上均为递减.故函数单调区间为(−∞,1)、(1,+∞).
故答案为：(−∞,1)和(1,+∞)
1．若定义在0,+∞上的函数fx满足：对于定义域内任意的x1，x2，当x1≠x2时，恒有x2fx1−x1fx2x1−x2>0，则称函数fx为“理想函数”．给出下列四个函数：
①fx=−1；②f(x)=x3+3x2−2x；③f(x)=x；④f(x)=x2+x．
能被称为“理想函数”的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据已知，不妨设x1>x2，可将x2fx1−x1fx2x1−x2>0化简变形后，可将“理想函数”问题转化问判断函数单调性问题，即可得解
【详解】根据“理想函数”定义，由定义域内任意的x1，x2，当x1≠x2时，恒有x2fx1−x1fx2x1−x2>0，不妨设x1>x2>0，可得x2fx1>x1fx2，即fx1x1>fx2x2，
由单调性定义可知，函数y=f(x)x在0,+∞上单调递增．
即若y=f(x)x在0,+∞上单调递增，则fx为“理想函数”
①中y=f(x)x=−1x，而这个函数在0,+∞上为增函数，符合“理想函数”的定义；
②中y=f(x)x=x2+3x−2，该函数在0,+∞上单调递增，符合“理想函数”的定义；
③中y=f(x)x=xx=1x，在0,+∞上为减函数，不符合“理想函数的定义”
④中y=f(x)x=x+1，在0,+∞上为增函数，符合“理想函数”的定义；
易知①②④为“理想函数”．
故选：C
2．已知函数fx的定义域为0,+∞,且对任意的正实数x,y都有fxy=fx+f(y),且当x>1时,fx>0,f4=1.
(1)求f116;
(2)求证:fx为0,+∞上的增函数;
(3)解不等式fx+fx−3≤1.
【答案】(1)−2(2)证明见解析(3)3,4
【分析】（1）利用赋值法,先令x=y=1求出f1;令x=y=4,可求得f16;再令x=16,y=116,可求得f116;
（2）设x1>x2>0,根据单调性定义结合当x>1时,fx>0证明即可;
（3）将fx+fx−3≤1转化为fxx−3≤f4,再根据（2）的结论,列不等式组求解即可.
【详解】（1）因为fxy=fx+f(y),f4=1,
令x=y=1,则f1=f1+f(1),解得f1=0,令x=y=4,则f16=f4+f(4)=2,
令x=16,y=116,则f1=f16+f116,所以f116=f1−f16=−2.
（2）设x1>x2>0,
因为当x>1时,fx>0,则fx1x2>0,令y=1x,则f1=fx+f1x,即f1x=−fx,
所以fx1−fx2=fx1+f1x2=fx1x2>0,根据单调性定义,fx为0,+∞上的增函数.
（3）因为fx在0,+∞上为增函数,又fx+fx−3=fxx−3≤1=f4,
所以x>0x−3>0xx−3≤4,解得3即原不等式的解集为3,4.
3．已知二次函数.
(1)若在区间上不单调，求实数的取值范围；
(2)求函数在区间上的最小值；
(3)在（2）的条件下，恒成立，求的最小值.
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）配方后，由函数在区间上不单调性得到不等式，求出实数的取值范围；
（2）结合函数对称轴，分，和三种情况，结合函数单调性求出最小值；
（3）法一：在（2）基础上得到，参变分离后得到，由基本不等式求出的最大值，从而求出的最小值；
法二：在（2）基础上得到，先得到，再根据对称轴分和两种情况，结合函数单调性得到的最小值.
【详解】（1），要使函数在区间上不单调，
则，且，解得:，实数的取值范围是；
（2）由（1）知，
所以函数图象开口向上，对称轴方程为，
当即时，函数在区间上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为；
当即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故当时，的最小值；
当时，函数在区间上单调递减，
当时，取得最小值，最小值为
综上所述，；
（3）法一：由，易知，
∵恒成立，∴，∵，
∴，当且仅当时等号成立，∴，
∴，∴的最小值为.
法二：由，易知，∵恒成立，∴，
当，即时，令，此时在上单调递增，
只需，解得，当，即时，此时，不合要求，舍去，综上，∴的最小值为.