浙教版七年级数学下册专题1.3平行线的判定(知识解读)(原卷版+解析)

这是一份浙教版七年级数学下册专题1.3平行线的判定(知识解读)(原卷版+解析)，共19页。

1．理解和掌握平行线的判定公理及3个判定定理．
2．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力．
3．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式，通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．
【知识点梳理】
知识点1：平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c
注意：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性
知识点2：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【典例分析】
【考点1：平行线公理及推论】
【典例1】（2023秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条直线叫做平行线
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．平角是一条直线
D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线
【变式1】（2023秋•奉化区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．永不相交的两条直线叫做平行线
C．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点
D．两点确定一条直线
【典例2】（2023春•麒麟区期末）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c
【变式2-1】（2023春•阳春市校级月考）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）过一点有无数条直线与已知直线平行
（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c
（3）如果两线段不相交，那么它们就平行
（4）如果两直线不相交，那么它们就平行
A．1个AB．2个C．3个D．4个
【变式2-2】（2023春•饶平县校级期中）若AB∥CD，AB∥EF，则 ∥ ，理由是 ．
【考点2：平行线判定】
【典例3】（2023秋•香坊区校级期中）如图，下列各组条件中，能得到AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4
C．∠B＝∠DD．∠1+∠2+∠B＝180°
【变式3-1】（2023春•台江区校级期中）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行
D．两直线平行，内错角相等
【变式3-2】（2023•德保县二模）如图，能判定AD∥BC的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠1＝∠2C．∠2＝∠3D．∠2＝∠4
【变式3-3】（2023春•宾阳县期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．
其中能判断a∥b的条件是（ ）
A．①③B．②④C．①②③④D．①③④
【典例4】（2023春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．
证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ ）
又∵∠1＝∠B（ ）
∴ （ ）
∴∠AFB＝∠AOE（ ）
∴∠AFB＝90°（ ）
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝ （平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ ）
∴ （内错角相等，两直线平行）
【变式4-1】（2023秋•社旗县期末）〖我阅读〗
“推理”是数学的一种基本思想，包括归纳推理和演绎推理．演绎推理是一种从一般到特殊的推理，它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论，通过推断，说明最后结论的正确．
〖我会做〗
填空（理由或数学式）
已知：如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．
求证：AB∥CD．
证明：∵∠1＝∠E （ ）
∴ （ ）
∴ +∠2＝180° （ ）
∵∠B＝
∴ + ＝180°
∴AB∥CD （ ）
【变式4-2】（2023春•岳池县期末）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：AB∥CD．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）
∴∠4＝60°（ ）
又∵∠1＝60°（ ）
∴∠1＝∠4（ ）
∴AB∥CD（ ）
【变式4-3】（2023春•宁远县期末）完成下面的证明
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
完成推理过程
BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（ ）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）
（ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【典例5】（2023春•大埔县期末）如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点D在线段EC上，求证：AB∥CD．
【变式5-1】（2023秋•西乡县期末）如图，已知∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．求证：BE∥CD．
【变式5-2】（2023春•宣恩县期末）如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB与DG平行吗？为什么？
专题1.3 平行线的判定 （知识解读）
【学习目标】
1．理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理．
2．通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力．
3．掌握应用数学语言表示平行线的判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式，通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想．
【知识点梳理】
知识点1：平行公理及推论
1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．
2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c
注意：
(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．
（2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性
知识点2：平行线判定
判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简单说成： 同位角相等，两直线平行。
几何语言：
∵∠1＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
简单说成：内错角相等，两直线平行。
∵∠2＝∠3
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。
∵∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
【典例分析】
【考点1：平行线公理及推论】
【典例1】（2023秋•鼓楼区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．不相交的两条直线叫做平行线
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
C．平角是一条直线
D．过同一平面内三点中任意两点，只能画出3条直线
答案:B
【解答】解：A．应强调在同一平面内，错误；
B．同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，正确；
C．直线与角是不同的两个概念，错误；
D．过同一平面内三点中任意两点，能画出3条直线或1条直线，故错误．
故选：B．
【变式1】（2023秋•奉化区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．两点之间，直线最短
B．永不相交的两条直线叫做平行线
C．若AC＝BC，则点C为线段AB的中点
D．两点确定一条直线
答案:D
【解答】解：A、两点之间，线段最短，故本选项说法错误；
B、同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故本选项说法错误；
C、若AC＝BC且点A、B、C共线时，则点C为线段AB的中点，故本选项说法错误；
D、两点确定一条直线，故本选项说法正确．
故选：D．
【典例2】（2023春•麒麟区期末）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c
答案:A
【解答】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知：A正确．
故选：A．
【变式2-1】（2023春•阳春市校级月考）下列说法中，正确的个数为（ ）
（1）过一点有无数条直线与已知直线平行
（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c
（3）如果两线段不相交，那么它们就平行
（4）如果两直线不相交，那么它们就平行
A．1个AB．2个C．3个D．4个
答案:A
【解答】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
（2）根据平行公理的推论，正确；
（3）线段的长度是有限的，不相交也不一定平行，故错误；
（4）应该是“在同一平面内”，故错误．
正确的只有一个，故选A．
【变式2-2】（2023春•饶平县校级期中）若AB∥CD，AB∥EF，则 ∥ ，理由是 ．
【解答】解：∵AB∥CD，AB∥EF，
∴CD∥EF，
理由是：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，
故答案为平行于同一条直线的两条直线互相平行
【考点2：平行线判定】
【典例3】（2023秋•香坊区校级期中）如图，下列各组条件中，能得到AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠2＝∠4
C．∠B＝∠DD．∠1+∠2+∠B＝180°
答案:B
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴AD∥BC，
故A不符合题意；
∵∠2＝∠4，
∴AB∥CD，
故B符合题意；
由∠B＝∠D不能判定AB∥CD，
故C不符合题意；
∵∠1+∠2+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
故D不符合题意；
故选：B．
【变式3-1】（2023春•台江区校级期中）如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．内错角相等，两直线平行
C．同位角相等，两直线平行
D．两直线平行，内错角相等
答案:C
【解答】解：如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行．
故选：C．
【变式3-2】（2023•德保县二模）如图，能判定AD∥BC的条件是（ ）
A．∠1＝∠3B．∠1＝∠2C．∠2＝∠3D．∠2＝∠4
答案:A
【解答】解：∵∠1＝∠3，
∴AD∥BC，
故A符合题意；
由∠1＝∠2不能判定AD∥BC，
故B不符合题意；
由∠2＝∠3不能判定AD∥BC，
故C不符合题意；
∵∠2＝∠4，
∴AB∥CD，
故D不符合题意；
故选：A．
【变式3-3】（2023春•宾阳县期中）如图，直线a、b都与直线c相交，给出下列条件：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°．
其中能判断a∥b的条件是（ ）
A．①③B．②④C．①②③④D．①③④
答案:C
【解答】解：∠1＝∠2，同位角相等两直线平行，①正确；
∠3＝∠6，内错角相等两直线平行，②正确；
∠4＝∠6，∠4+∠7＝180°，同旁内角互补两直线平行，③正确；
∠5+∠8＝180°，它们对顶角是∠3，∠2是同旁内角，同上，④正确．
故选：C．
【典例4】（2023春•重庆月考）如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．
证明：∵AF⊥CE（已知）
∴∠AOE＝90°（ ）
又∵∠1＝∠B（ ）
∴ （ ）
∴∠AFB＝∠AOE（ ）
∴∠AFB＝90°（ ）
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝ （平角的定义）
∴∠AFC+∠2＝（ ）°
又∵∠A+∠2＝90°（已知）
∴∠A＝∠AFC（ ）
∴ （内错角相等，两直线平行）
【解答】证明：∵AF⊥CE（已知），
∴∠AOE＝90°（垂直的定义）．
又∵∠1＝∠B（已知），
∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行），
∴∠AFB＝∠AOE（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFB＝90°（等量代换）．
又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°（平角的定义），
∴∠AFC+∠2＝（90）°．
又∵∠A+∠2＝90°（已知），
∴∠A＝∠AFC（同角的余角相等），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；已知；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；180°；90；同角的余角相等；AB∥CD．
【变式4-1】（2023秋•社旗县期末）〖我阅读〗
“推理”是数学的一种基本思想，包括归纳推理和演绎推理．演绎推理是一种从一般到特殊的推理，它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论，通过推断，说明最后结论的正确．
〖我会做〗
填空（理由或数学式）
已知：如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．
求证：AB∥CD．
证明：∵∠1＝∠E （ ）
∴ （ ）
∴ +∠2＝180° （ ）
∵∠B＝
∴ + ＝180°
∴AB∥CD （ ）
【解答】证明：∵∠1＝∠E （已知），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠D+∠2＝180° （两直线平行，同旁内角互补），
∵∠B＝∠D，
∴∠B+∠2＝180°，
∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：已知，AD∥BC，内错角相等，两直线平行，∠D，两直线平行，同旁内角互补，∠D，∠B，∠2，同旁内角互补，两直线平行．
【变式4-2】（2023春•岳池县期末）把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：AB∥CD．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）
∴∠4＝60°（ ）
又∵∠1＝60°（ ）
∴∠1＝∠4（ ）
∴AB∥CD（ ）
【解答】证明：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直定义），
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝60°，
∴∠4＝60°（对顶角相等），
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝∠4（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
故答案为：已知；垂直定义；已知；60°；对顶角相等；已知；等量代换；同位角相等，两直线平行．
【变式4-3】（2023春•宁远县期末）完成下面的证明
如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠α+∠β＝90°，求证：AB∥CD．
完成推理过程
BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（ ）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （ ）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）
（ ）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
【解答】证明：BE平分∠ABD（已知），
∴∠ABD＝2∠α（角平分线的定义）．
∵DE平分∠BDC（已知），
∴∠BDC＝2∠β （角平分线的定义）
∴∠ABD+∠BDC＝2∠α+2∠β＝2（∠α+∠β）（等量代换）
∵∠α+∠β＝90°（已知），
∴∠ABD+∠BDC＝180°（等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，角平分线的定义，等量代换，等量代换，同旁内角互补两直线平行．
【典例5】（2023春•大埔县期末）如图，已知∠A＝∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点D在线段EC上，求证：AB∥CD．
【解答】证明：∵AD⊥BE，BC⊥BE，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠C，
∵∠A＝∠C，
∴∠ADE＝∠A，
∴AB∥CD．
【变式5-1】（2023秋•西乡县期末）如图，已知∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．求证：BE∥CD．
【解答】证明：∵∠A＝∠ADE，
∴DE∥AC，
∴∠ABE＝∠E，
又∵∠C＝∠E，
∴∠ABE＝∠C，
∴BE∥CD．
【变式5-2】（2023春•宣恩县期末）如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB与DG平行吗？为什么？
【解答】解：结论：AB∥DG．
理由：∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，
∴AD∥EF，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠2，
∴AB∥DG．