2024年江苏省无锡市大桥实验学校中考数学一模试题（原卷版+解析版）

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1. 下列互为倒数的是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】A
【解析】
【分析】根据互为倒数意义，找出乘积为1的两个数即可．
【详解】解：A．因为，所以3和是互为倒数，因此选项符合题意；
B．因为，所以与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；
C．因为，所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
D．因为，所以和不是互为倒数，因此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了倒数，解题的关键是理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两个数互为倒数”．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类二次根式判断A，根据零次幂判断B，根据积的乘方判断C，根据同底数幂的除法判断D．
【详解】解：A.不是同类二次根式，不能合并，此选项运算错误，不符合题意；
B.，此选项运算错误，不符合题意；
C.，此选项运算正确，符合题意；
D.，此选项运算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的加法、零次幂、积的乘方、同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3. 由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】观察图形可知，该几何体的俯视图如下：
．
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4. 正八边形的每一个内角都是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求得每个外角的度数，然后根据外角与相邻的内角互为邻补角即可求解．
【详解】解：正八边形的每个外角的度数是：，
则每一个内角的度数是：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的计算，正确理解内角与外角的关系是解题的关键．
5. 下列函数中，其图象一定不经过第三象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象是解题的关键．
分别判断二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象经过的象限，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，图象经过，
∴图象经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限，故A符合要求；
经过第一、第三象限，故B不符合要求；
经过第二、第三、第四象限，故C不符合要求；
经过第一、第三象限，故D不符合要求；
故选：A．
6. 已知一个扇形的半径为6，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ）
A. 60°B. 30°C. 90°D. 120°
【答案】A
【解析】
【分析】根据弧长公式即可求出扇形的圆心角度数．
【详解】解：∵
∴°
故选：A
【点睛】本题考查了弧长公式，利用弧长公式求该弧所对的圆心角，必须熟记公式，并能熟练运用．
7. 已知方程组，则x﹣y的值为（ ）
A. B. 2C. 3D. ﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】把两个方程相减即可得到．
【详解】解：
∴①-②得：
故选：C．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握“利用整体思想解方程组”是解本题的关键．
8. 设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（ ）
A. 1B. C. 3或D. 1或
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．
先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
，
解得：或，
当时，原方程为，，
则原方程有实数根，符合题意；
当时，原方程为，，
则原方程无实数根，不符合题意；
综上：．
故选：A．
9. 在平面直角坐标系中，为原点，，的半径为1，是上一动点，以为边作等边，且点在第一象限，设的坐标为，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线的性质和判定、等边三角形的性质、三角函数，作轴于，得出，根据得出与轴相切，设切点为，当点与点重合时，的值最小，结合等边三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作轴于，
，
的坐标为，且点在第一象限，
，
，的半径为1，
与轴相切，设切点为，
当点与点重合时，的值最小，
是等边三角形，
，
，
的坐标为，
，
故选：A．
10. 已知实数满足，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的为（ ）
A. ②③④B. ①②③④C. ①②③D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的加减、求代数式的值，由得出即可判断①；由结合得出，代入计算即可判断②；由得出，结合即可判断③；由得出，结合，代入计算即可判断④．
【详解】解：，
，
，
，
，故①正确；
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，
，，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
解得：，故④错误，
综上所述，正确的是①②③，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分．请把下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．）
11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得出，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为： ．
12. 年无锡市总量为万元，这个数据用科学记数法可表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴用科学记数法表示为，
故选：．
13. 分解因式：______．
【答案】##
【解析】
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14. 命题“如果，那么”，则它的逆命题是________命题（填“真”或“假”）．
【答案】假
【解析】
【分析】先写出该命题的逆命题，再进行真假判断即可得到答案．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题为：“如果，那么”，
由于如果，那么，
故此命题为假命题，
故答案为：假．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，先写出该命题的逆命题是解题的关键．
15. 数学中很多图形拥有对称之美，请你在所学习的几何图形中，写出一个既是中心对称图形又是轴对称图形的图形：_____．
【答案】圆（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形”与中心对称图形的概念“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”求解．
【详解】解：圆既是中心对称图形又是轴对称图形的图形，
故答案为：圆（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键是熟记轴对称图形和中心对称图形的概念．
16. 明代《算法纂要》书中有一题：“牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问有几个牧童几个杏？”题目大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏．若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．有多少个牧童，多少个杏？则该问题中的牧童有_____个．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有个牧童，根据杏的总数不变列出一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：设共有个牧童，
由题意得：,
解得：，
∴共有个牧童，
故答案为： ．
17. 如图，中，，D为边中点，的图象经过A、D，则_____．（用含m的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数解析式，平行四边形性质，正切等知识．熟练掌握反比例函数解析式，平行四边形的性质，正切是解题的关键．
如图，过作于，设，则，则，将代入得，，即，由，，可得，，将代入得，，联立①②，解得，进而可求．
详解】解：如图，过作于，
设，则，
∴，
将代入得，，
解得，，
∵，，D为 边中点，
∴，，
将代入得，，
联立①②，解得，，
∴，
故答案为：．
18. 矩形中，E为对角线上一点，且，点F在边上，，当为直角三角形时，的长为_____．
【答案】12或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：①当时，易得，则可得，即可求出的长；②当时，易得，则可得．设，则，，代入比例式中即可求出x的值，即可知的长．
本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的性质．熟练掌握以上知识，并且正确的进行分类讨论是解题的关键．
【详解】①如图，当时，
，，
，
，
，
，
，
.
②如图

如图，当时，
，，
，
，
设，
，
，
∵，
，
，
，
解得，（舍去），
，
综上，的长为12或．
故答案为：12或．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请把下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据负整数指数幂的、二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
（2）根据分式的加减运算以及分式的乘除运算即可求出答案．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查分式的混合运算、负整数指数幂的、二次根式的性质以及绝对值的性质，本题属于基础题型．
20. （1）解方程：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】本题考查的是利用直接开平方法解方程，一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】解：（1），
∴，
∴，
解得：或；
（2）
由①得：，
解得：，
由②得：，
∴，
所以不等式组的解集为．
21. △ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，F为EC的中点，BC、DF的延长线交于点G．
（1）求证：△DEF≌△GCF；
（2）求证：BC＝2CG．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）由D、E分别是AB、AC的中点,，可知DE是△ABC的中位线，从而有DE∥BC，故有∠ED F=∠G，余下易得△DEF≌△GCF；
（2）由（1）得DE=CG，再由DE是中位线，则有BC=2DE，所以有结论成立．
【详解】证明：（1）∵D、E分别为AB、AC的中点，F为EC的中点，
∴BC＝2DE，DE∥BC，EF＝FC，
∴∠EDF＝∠G，
在△DEF和△GCF中，
，
∴△DEF≌△GCF（AAS）；
（2）∵△DEF≌△GCF，
∴DE＝CG，
∴BC＝2CG．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形中位线定理等知识，中位线定理的应用是关键．
22. 一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【答案】（1）
（2）2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）画树状图表示所有等可能出现的情况，从中找出两个球颜色不同的结果数，进而求出概率．
【小问1详解】
解：∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为： ．
故答案为：；
【小问2详解】
解： 画树状图，如图所示：
共有16种不同的结果数，其中两个球颜色不同的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为．
【点睛】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
23. 4月日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，某中学开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格）．数据整理和成绩统计如图的图表：
学生成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出统计表中a，b，c的值；
（2）若该校八年级有名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数；
（3）请根据“学生成绩统计表”，对本次活动中两个年级的总体情况做出评价，并说明理由．
【答案】（1），，
（2）
（3）七年级成绩好于八年级成绩，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意知，七年级成绩的众数，合格率，八年级成绩的中位数为第位数的平均数，求解作答即可；
（2）根据，计算求解即可；
（3）根据中位数，众数进行决策即可．
【小问1详解】
解：由题意知，七年级成绩的众数，合格率，
八年级成绩的中位数为第位数的平均数，
∴，，；
【小问2详解】
解：由题意知，，
∴估计该校八年级学生成绩合格的人数为人；
【小问3详解】
解：七年级成绩好于八年级成绩，理由如下；
由题意知，七年级成绩的中位数，众数均高于八年级成绩，
∴七年级成绩好于八年级成绩．
【点睛】本题考查了条形统计图，众数，中位数，用样本估计总体．熟练掌握条形统计图，众数，中位数，用样本估计总体是解题的关键．
24. 中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求两种图书的单价分别为多少元？
（2）为等备“3．14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？
【答案】（1）《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
（2）当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2316元．
【解析】
【分析】（1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，根据“用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本”列分式方程，解之即可求解；
（2）根据购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半列出不等式求出m的取值范围，根据m的取值范围结合函数解析式解答即可．
【小问1详解】
解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价元，
依题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元；
【小问2详解】
解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本，
依题意得，，
解得，
设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），
依题意得，，
∵，
∴y随m的增大而增大，
∴当时，有最小值，此时（元），
（本）
答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键．
25. 如图，是的外接圆，直线与相切于点E，，连接交于点D．
（1）求证：平分；
（2）若的平分线交于点F，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）9
【解析】
【分析】（1）如图1，连接，则，由，可得，由垂径定理得，，则，进而结论得证；
（2）由是平分线，可得，由，可得，由，可得，则，证明，则，即，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：如图1，连接，
∵直线与相切于点E，
∴，
又∵，
∴，
∵是半径，
∴由垂径定理得，，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
解：∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴的长为9．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，角平分线，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．熟练掌握切线的性质，垂径定理，角平分线，同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
26. 如图，中，．
（1）尺规作图：作矩形，使分别在上，在上，且；
（2）若，设第（1）问中所作的矩形的面积为，的面积为，则______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图—复杂作图，等腰三角形的性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）作于，在的左侧作等边三角形，交于，作于，以为圆心，为半径作弧交于点，以为圆心，为半径作弧交于点，连接，，四边形即为所求；
（2）设的面积为，求出的面积，矩形的面积，可得结论．
【小问1详解】
解：如图，矩形即为所求，
，
由作图可得：，，
，
，，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接，，设的面积为，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
的面积为，的面积的面积，矩形的面积为，
的面积为，
．
27. 在中，，是边上一点，将沿着翻折到．
（1）如图1，若、、三点共线，
①求证：；
②若，，求的长．
（2）如图2，若，点是中点，，求的面积．
【答案】（1）①见解析；②；
（2）．
【解析】
【分析】（1）①由四边形是平行四边形，可得，根据将沿着翻折到，有，故，从而；
②证明，可得，故，有，可得的值，再由得到的值，即可求得；
（2）过作于，过作于，由为中点，求得的值，根据沿着翻折到，得，从而得到，然后在和中运用勾股定理求得，再根据得到的值，在中运用勾股定理求得的值，最后根据平行四边形面积公式即可求得答案．
【小问1详解】
①证明：四边形是平行四边形，
，
，
将沿着翻折到，
，
，
；
②将沿着翻折到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，，
，，
由①知，
，
，
，
；
【小问2详解】
过作于，过作于，如图：
为中点，，
，
将沿着翻折到，
，，，
，即，
设，则，
，
，
解得，
，
，
，即，
设，则，
，，
，
，
解得或（舍去），
，
，
的面积为．
【点睛】本题考查了四边形综合应用，涉及翻折变换，相似三角形判定与性质，勾股定理,解直角三角形，解一元二次方程，平行四边形的面积等知识，掌握翻折的性质和平行四边形性质是解题的关键．
28. 如图1，抛物线与x轴交于点，，且经过点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若M、N分别是边、上的动点，且，Q为线段的中点，．
①以为一边，在的上方作正方形，当点H落在该抛物线上时，求此时点H的横坐标；
②如图2，P的坐标为，将绕点P顺时针旋转到，若恰好落在边上，直接写出此时m的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）①过点M作轴于点D，过点H作于点E，证明可得，设，则，，利用求得，再代入求出k，从而得解；
②先证明，再求出直线和的解析式，从而求出点的坐标，继而求出，从而得解．
【小问1详解】
解：将点，， 代入得：，
解得：，
故抛物线的表达式是：；
【小问2详解】
①∵，， ，
∴，
如图，过点M作轴于点D，过点H作于点E，
则轴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
即，
将点代入得：，
解得：，(舍去)
∴，
即点H的横坐标是；
②，理由如下：
作图如下：作的角平分线交y轴于点F，作轴于点T，
由旋转可知：
由①可知：，
∴，，
又∵Q为线段的中点，
∴，
设直线的解析式是
∵，
∴，，，
∵
∴，
设，则由平分可知中边上的高等于，
∵，即，
解得，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴直线的解析式是：，
设直线的解析式是，
将点代入得到：，
解得：，
即直线的解析式是，
同理由， ，可得直线的解析式是：，
将直线的解析式和直线的解析式联立得：，
解得：，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，涉及相似三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，角平分线的性质，两点间的距离公式等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
七年级
八年级
平均数
中位数
8
c
众数
a
7
合格率
b