2022年江苏省无锡市江阴市敔山湾实验学校中考数学一模试卷（含解析）

2022年江苏省无锡市江阴市敔山湾实验学校中考数学一模试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 函数中自变量的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，直线直线，直线直线，若，则

A.
B.
C.
D.

5. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

6. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

7. 如图，的三个顶点均在格点上，则的值为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，矩形的对角线经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点在反比例函数的图象上，若点的坐标为 ，则的值为

A.
B.
C.
D.

9. 在平面直角坐标系中，将抛物线沿轴向下平移个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

10. 如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一动点，设，图是关于的函数图象，其中是图象上的最低点那么的值为

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共30分）

11. 分解因式：______．
12. 第七次人口普查数据公布：全国人口与年第六次人口普查相比，增加万人，这个数据用科学记数法可以表示为______人．
13. 圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为______度．
14. 如图，已知，垂直平分分别交、于、两点，若，则______
    
    
     

15. 如图，一块含角的直角三角板，它的一个锐角顶点在上，边，分别与交于点，，则的度数为_____________．
    
     

16. 命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是______，它是一个______命题填“真”或“假”．
17. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，交于点，且，则的长为______．
    
     

18. 如图，已知正方形的边长为，点、分别在边、上，，点、在正方形的内部或边上，解答下列问题：
    ______ ；
    若四边形是菱形，则菱形的最大面积为______ ．
     

三．计算题（本题共1小题，共8分）

19. 计算：．
    化简：．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共9小题，共82分）

20. 解方程：；
    解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
21. 某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查通过简单随机抽样，获得了个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如表：

求这组数据的中位数已知这组数据的平均数为，你对它与中位数的差异有什么看法？
为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按倍价格收费若要使的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？






 

22. 小明登陆泰微课学习页面后，发现推荐的数学微课有四个，其中有两个等级为，另外两个等级为，如果小明点击微课学习是随机的，且每个微课只点击学习一次．
    求小明第一次点击学习的微课等级为的概率；
    如果小明第一次点击的微课等级为，小明继续点击学习两次，利用树状图或表格求三次点击学习中有两个等级为的概率．
    
    
    
    
    
    
     
23. 某物流公司的一辆货车从乙地出发运送货物至甲地，小时后，这家公司的一辆货车从甲地出发送货至乙地．货车、货车距甲地的距离与时间之间的关系如图所示．
    求货车距甲地的距离与时间的关系式；
    求货车到乙地后，货车还需多长时间到达甲地．

24. 请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求完成画图．
    
    如图，在菱形中，，分别是，上的中点，以为边画一个矩形；
    如图，在网格中有一定角和一定点，请作一条线段，使点为中点，且点、分别在、上．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高他俩在小明家的窗台处，测得商业大厦顶部的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在处测得商业大厦底部的俯角的度数．于是，他俩上楼来到小华家，在窗台处测得大厦底部的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知，，三点共线，，，，，试求商业大厦的高．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，是的内接三角形，，连接并延长，交于点，连接过点作的切线，与的延长线相交于点．
    求证：；
    若，求线段的长．
    
    
    
    
     

27. 如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在直线上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点，
    求抛物线与直线的函数解析式；
    设点的坐标为，求当以为直径的圆与轴相切时的值；
    若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由．

28. 问题提出
    如图，在中，，，的平分线交于点过点分别作，垂足分别为，，则图中与线段相等的线段是______．
    问题探究
    如图，是半圆的直径，是上一点，且，连接，的平分线交于点，过点分别作，，垂足分别为，，求线段的长．
    问题解决
    如图，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知的直径，点在上，且为上一点，连接并延长，交于点连接，过点分别作，，重足分别为，按设计要求，四边形内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设的长为，阴影部分的面积为
    求与之间的函数关系式；
    按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当的长度为时，整体布局比较合理．试求当时．室内活动区四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是．
根据相反数的定义直接求得结果．
【解答】
解：的相反数是．
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用二次根式加减运算法则以及完全平方公式和积的乘方运算法则分别化简求出答案．
此题主要考查了二次根式加减运算以及完全平方公式和积的乘方运算等知识，正确把握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定方法与性质定理．首先根据垂直于同一条直线的两直线平行可得，再根据两直线平行同位角相等可得根据对顶角相等可得，利用等量代换可得到．
【解答】
解：直线直线，直线直线，
，
，
，
．
故选A．  

5.【答案】
 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

6.【答案】
 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
即．
故选A．
因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，解此不等式即可求出的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

7.【答案】
 

【解析】解：过点作，如图，
由勾股定理得，
，
，
，
故选：．
过点作，得的长，的长，利用锐角三角函数得结果．
本题考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设的坐标为，又，
，，，，
，，
，，
∽，
，即，
整理得：，即，
则．
故选：．
设的坐标为，根据矩形的性质求得，；由相似三角形∽的对应边成比例列出比例式求得，即．
主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数系数的几何意义．反比例函数系数的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值，同时也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积，本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
 

9.【答案】
 

【解析】解：，
该抛物线顶点坐标是，
将其沿轴向下平移个单位后得到的抛物线的顶点坐标是，
，
，
，
，
点在第四象限；
故选：．
根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．
本题考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质，求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，将沿折叠得到，则四边形为菱形，菱形的对角线交于点，

由图可知，当点与点重合时，
，
解得：，即菱形的边长为．
则该菱形的高为，
点关于的对称点为点，连接交于点，此时最小，
，，
则，故为等边三角形，
点是的中点，
，
，
为直角，，
则，
此时，，
则．
故选：．
点关于的对称点为点，连接交于点，此时最小，进而求解．
本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
 

11.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再对剩余项利用平方差公式继续进行因式分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底．
 

12.【答案】
 

【解析】解：万．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】
 

【解析】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为度，
圆锥的底面半径为，
圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，
则，
解得：，
故答案为：．
根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
由垂直平分分别交、于、两点，利用线段垂直平分线的性质，可得，即可求得的度数，又由，即可求得的度数，继而求得答案．
【解答】
解：垂直平分分别交、于、两点，
，
，
，
，
．
故答案为：．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．
直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】
解：，
．
故答案为．  

16.【答案】对角线互相垂直的四边形是菱形  假
 

【解析】解：命题“菱形的对角线互相垂直”的逆命题是对角线互相垂直的四边形是菱形，它是一个假命题．
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么把另一个叫做它的逆命题．本题只需将命题“菱形的对角线互相垂直”的条件和结论部分互换，变成新的命题即可得到它的逆命题；再根据正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，运用所学知识对它进行判断．
写出一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换．在写逆命题时要用词准确，语句通顺．而判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
 

17.【答案】
 

【解析】解：将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，
，
，
，
设，
，
，
，
即，
解得：，
即的长为，
故答案为：．
根据旋转的性质得到，设，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质及勾股定理解直角三角形是解题的关键．
 

18.【答案】 
 

【解析】解：四边形是正方形，，，
过作于，如图所示：
则，，，
，
，
故答案为：；
四边形为菱形，
，
当菱形的面积最大时，只需值最大，
根据题意可得，在正方形的边上时，最大，
过作于，过点作于，如图所示：
则，，
又，
，
在和中，

≌，
，
，
即菱形的最大面积为，
故答案为：．
由勾股定理求解即可；
根据题意求出当菱形的面积最大时所满足的条件，然后根据条件求出长度，即可求出面积．
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

．
原式

．
 

【解析】根据零指数幂、特殊角三角函数值、立方根定义、绝对值定义计算即可．
先算除法，再计算加法即可．
本题考查实数的混合运算和分式的混合运算，解题关键是零指数幂、特殊角三角函数值、立方根定义、绝对值定义以及分式的运算法则．
 

20.【答案】解：，
 ，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根；
原方程无解；
  ，
解不等式得：，
 解不等式得：
原不等式组的解集为：．
 

【解析】按照解分式方程的步骤进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式组的步骤进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

21.【答案】解：共有个数，按大小顺序排列后第，个数据分别是，，所以中位数为：；
已知这组数据的平均数为，
从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约用水观念，少数家庭用水比较浪费，
答：这组数据的中位数是；
，
第个家庭去年的月均用水量为，
所以为了鼓励节约用水，要使的家庭水费支出不受影响，即要使户的家庭水费支出不受影响，故家庭月均用水量应该定为．
答：这个标准应该定为．
 

【解析】本题考查中位数，读频数分布表的能力及利用统计表获取信息的能力；利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计表，才能作出正确的判断和解决问题．
利用所给数据，即可得这组数据的中位数，从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约用水观念，少数家庭用水比较浪费；
由于，所以为了鼓励节约用水，要使的家庭水费支出不受影响，即要使户的家庭水费支出不受影响，故家庭月均用水量应该定为．
 

22.【答案】解：小明第一次点击学习的微课等级为的概率为；
画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中三次点击学习中有两个等级为的有种结果，
三次点击学习中有两个等级为的概率为．
 

【解析】直接利用概率公式计算可得；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
此题主要考查了概率的意义以及树状图法与列表法的运用，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．利用树状图或者列表法列举出所有可能是解题关键．
 

23.【答案】解：设货车距甲地的距离与时间的关系式为，
根据题意得：
，
解得，
货车距甲地的距离与时间的关系式为；
当时，，
故货车的速度为：，
货车到达甲地所需时间为：小时，
小时，
答：货车到乙地后，货车还需小时到达甲地．
 

【解析】设货车距甲地的距离与时间的关系式为，把，代入求解即可；
把代入的结论求出货车行驶小时时的路程，进而求出货车的速度，然后根据“时间路程速度”列式计算即可．
本题考查的是用一次函数解决实际问题，掌握待定系数法求函数关系式是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：如图，四边形即为所求的矩形．
如图，线段即为所求的线段．
 

【解析】连接，交于点，连接，延长交于点，连接，延长交于点，连接，，，四边形即为所求；
取格点，，连接交于点，连接，延长交于点，线段即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：如图，过点作于点，过点作于点，

，
，，
四边形和四边形均为矩形，
，，
，
≌，
，
由矩形性质可知：，
．
答：商业大厦的高为．
 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
过点作于点，过点作于点，可得四边形和四边形均为矩形，可以证明≌，得，进而可得商业大厦的高．
 

26.【答案】证明：连接，

与相切于点，
，
，
，
，

如图，过点作交于，

，，
，
，
，
，
，
，，，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】连接，由切线的性质可得，由圆周角定理可得，可得结论；
过点作交于，由锐角三角函数可求，可证四边形是正方形，可得，由锐角三角函数可求，即可求解．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，正方形的判定和性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

27.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
将点，代入，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
；
点的坐标为，轴，
，，
，、的中点为，
以为直径的圆与轴相切，
，
或；
存在这样的点，使得与相似，理由如下：
，，
当得与相似时有两种情况：
当时，
过点作轴交于点，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
；
当时，轴，
点纵坐标为，
，
，
；
综上所述：点的坐标为或
 

【解析】由已知对称轴可得，再将点，代入，即可求二次函数的解析式，再由待定系数法求直线的解析式即可；
求出、的坐标，然后求出和的中点坐标，根据圆与轴线切的条件，可得，列出方程求出即可；
由题意可知是直角三角形，分两种情况求解：当时，过点作轴交于点，证明∽，再由边的比例关系求出的值；当时，轴，可得点纵坐标为，由此可求的值．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，圆与直线的位置关系是解题的关键．
 

28.【答案】解：、、；
连接，如图所示：
是半圆的直径，，
，，
，
同得：四边形是正方形，
，
在中，，
在中，，
，
，
即：，
解得：；
为的直径，
，
，
，
同得：四边形是正方形，
，，，
将绕点逆时针旋转，得到，，如图所示：
则、、三点共线，，
，即，
，
在中，，
，
；
当时，，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
解得：，
，
当时．室内活动区四边形的面积为．
 

【解析】解：，，，
四边形是矩形，
平分，，，
，
四边形是正方形，
，
故答案为、、；
见答案；
见答案．
证明四边形是正方形，即可得出结果；
连接，由是半圆的直径，，得出，，则，同得四边形是正方形，得，在中，，在中，，推出，即可得出结果；
同得四边形是正方形，得出，，，将绕点逆时针旋转，得到，，则、、三点共线，，证，得出，在中，，，由，即可得出结果；
当时，，，在中，由勾股定理得，由，求，即可得出结果．
本题是圆综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理、矩形的判定、正方形的判定与性质、角平分线的性质、旋转的性质、三角函数定义、三角形面积与正方形面积的计算等知识；熟练掌握圆周角定理和正方形的判定与性质是解题的关键．