2024年江苏省常州市中考数学一模模拟预测题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了倒数．乘积是1的两数互为倒数．据此解答即可．
【详解】解：的倒数是，
故选：A．
2. 港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长约55000米，把55000用科学记数法表示为( )
A. 55×103B. 5.5×104C. 5.5×105D. 0.55×105
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】55000是5位整数，小数点向左移动4位后所得的数即可满足科学记数法的要求，由此可知10的指数为4，
所以，55000用科学记数法表示为5.5×104，
故选B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上面看该零件的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段，

故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别利用幂的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式、合并同类项进行计算即可．
【详解】A、，选项说法错误，不符合题意；
B、，选项说法正确，符合题意；
C、，选项说法错误，不符合题意；
D、，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查整式的运算，熟记运算法则是解题的关键．
5. 如图，现将一块含有60°角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠2=50°，那么∠1的度数为( )
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
【答案】C
【解析】
【分析】先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠3=∠2，
∵∠2=50°，
∴∠3=50°，
∵∠1+∠3+60°=180°，
∴∠1=180°-60°-50°，
∴∠1=70°，
故选：C．
【点睛】此题考查平行线的性质，三角板的知识，熟记性质是解题的关键．
6. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点关于y轴的对称点的坐标是，即点P的坐标为关于y轴对称的点的坐标．
【详解】点关于y轴的对称点的坐标是，
故选C．
【点睛】此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出，，的值，即可得出结论．
【详解】解：，，都在反比例函数的图象上，
∴，，．
∴．
故选C．
【点睛】本题考查比较反比例函数的函数值的大小．根据图象上的点的特征，求出函数值，是解题的关键．
8. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D．
【详解】解：由题意得，，平分，
∵在中，，，
∴
∵平分，
∴，故A正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故C错误；
过点E作于G，于H，

∵平分，，，
∴
∴，故D正确；
故选：C．
【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________．
【答案】x≤
【解析】
【详解】根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）列出关于x的不等式，然后解不等式即可．
解：根据二次根式有意义，得：1-2x≥0，
解得：x≤．
故答案是：x≤．
10. 分解因式：x2y-4y=____．
【答案】y(x+2)(x-2)
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，
故答案为：y(x+2)(x-2)．
【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．
11. 计算的结果是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的性质化简，再计算括号内的，然后计算乘法，即可求解．
【详解】解：



故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
12. 使分式与的值相等的x的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到方程，解出即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为，
即使分式与的值相等的x的值为9．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤．
13. 如图是中国古代建筑中的一个正六边形的窗户，则它的内角和为 _____．
【答案】720°##720度
【解析】
【分析】根据多边形内角和可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：该正六边形的内角和为；
故答案为720°．
【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
14. 已知一元二次方程的一个根是1，则另一个根是______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解．
【详解】解：设该方程的两个根分别为：，
根据题意可得：，
∵，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程两根之积为．
15. 如图，在中，，点D在边AB上，连接CD．若，，则_____．

【答案】##
【解析】
【分析】由题意可设，则，，在中求得，在中求出答案即可．
【详解】解： ，，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
在中，．
【点睛】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值．
16. 如图，半径为3的经过原点O和点，B是y轴左侧优弧上一点，则为_________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了圆心角，圆周角，弧之间关系，勾股定理，锐角三角函数．连接，根据圆周角所对的弦是圆的直径，确定，根据勾股定理计算，根据同弧上的圆周角相等，计算即可．
【详解】解：连接，
因为，
所以为直径，即，
因为，
所以，
在中，，
所以，
所以，
因，
所以，
故答案为：．
17. 某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中、分别表示去年、今年水费（元）与用水量（）之间的关系．小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元．
【答案】210．
【解析】
【分析】根据函数图象中的数据可以求得时，对应的函数解析式，从而可以求得时对应的函数值，由的的图象可以求得时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．
【详解】设当时，对应的函数解析式为，
，得，
即当时，对应的函数解析式为，
当时，，
由图象可知，去年的水价是（元/），故小雨家去年用水量为150，需要缴费：（元），
（元），
即小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案210．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
18. 如图，将矩形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕为EF；展开后再次折叠，使点A与点D重合于EF上的点P处，折痕分别为BM、CN，若AB=10，BC=16，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据折叠的性质可求出PE=6，从而得出PF=4，设，则FN=8-x，在中，由勾股定理列出方程可求出x的值，即可得出结论．
【详解】解：由矩形ABCD的对折可知：，，
，，，
，，，
设，则
在中，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换的知识，有一定难度，注意掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【解析】
【分析】利用完全平方公式和整式加减的运算法则进行化简，根据平方根的性质即可求得答案．
【详解】原式
．
当时，
原式
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、整式的加减、平方根，牢记完全平方公式和整式加减的运算法则是解题的关键．
20. 解不等式组，并写出它的所有负整数解．
【答案】不等式组的解集为，它的所有负整数解为
【解析】
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后写出它的所有负整数解即可得．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集为，
它的所有负整数解为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．
21. 哥哥和弟弟在同一所学校上学．一天，弟弟与哥哥先后从家出发沿同一道路勺速去往学校，哥哥用时到达学校，弟弟比哥哥早出发，却在哥哥到达时还距离学校．哥哥、弟弟所走的路程，与哥哥所用的时间之间的函数关系如图所示．

（1）学校与家的距离是______；
（2）求点的坐标，并解释它的实际意义；
（3）哥哥出发多久后，追上弟弟？
【答案】（1）1200
（2）
（3）哥哥出发后，追上弟弟
【解析】
【分析】（1）根据图象中，哥哥所走路程和哥哥所用时间的函数图象最大值，即可得出结论；
（2）根据哥哥用时到达学校，弟弟比哥哥早出发，却在哥哥到达时还距离学校，可求出弟弟速度，以及哥哥出发时弟弟所走路程，即可解答；
（3）先求出哥哥的速度，再根据哥哥追上弟弟时，两人所走路程相同，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：由图可知：学校与家的距离是，
故答案为：．
小问2详解】
解：∵哥哥用时到达学校，弟弟比哥哥早出发，却在哥哥到达时还距离学校，
∴弟弟用所走路程为，
∴弟弟的速度为：，
∴当哥哥出发时，弟弟已经行走路程为：，
∴点A的坐标为，
综上：，实际意义为：当哥哥出发时，弟弟已经走了．
【小问3详解】
解：哥哥的速度为，
设哥哥出发后，追上弟弟，
，
解得：，
答：哥哥出发后，追上弟弟．
【点睛】本题主要考查了根据函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解函数图象，明白其实际意义．
22. 农历正月十五是我国的传统节日——元宵节，这一天人们有吃汤圆的习俗．今年的元宵节，圆圆爸爸给圆圆准备了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅的，一个汤圆是豆沙馅的，还有两个汤圆是芝麻馅的，这四个汤圆除了馅以外，其他都一样．
（1）圆圆吃了其中两个汤圆，求这两个汤圆都是芝麻馅的概率；
（2）圆圆吃了三个汤圆后，剩下的汤圆是芝麻馅的概率是 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意知，可列表如下，然后计算求解即可；
（2）由题意知，第四个汤圆有花生馅，豆沙馅，芝麻馅，芝麻馅4种等可能的情况，根据概率的计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，可列表如下
吃的两个汤圆共有12种等可能的情况，都是芝麻馅的汤圆共有4种情况
∴吃的两个汤圆中，都是芝麻馅的概率为．
【小问2详解】
解：第四个汤圆有花生馅，豆沙馅，芝麻馅，芝麻馅4种等可能的情况，
∴是芝麻馅的概率为
故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率，概率的计算公式．解题的关键在于熟练掌握求概率的方法．
23. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：

（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明；
（2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出．
【小问1详解】
证明：解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴（SAS）；
【小问2详解】
证明：∵，
∴
∴，
∴四边形AECF是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
24. 某小区为了绿化环境，分两次购买A，B两种树苗，第一次购买A种树苗10棵，B种树苗20棵，共花费600元；第二次购买A种树苗25棵，B种树苗10棵，共花费1100元．（两次购买的A，B两种树苗各自的单价均不变）
（1）A，B两种树苗每棵的单价分别是多少元？
（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．
【答案】（1）A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元
（2）W＝30t+420（t≥14），购进A种树苗的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元
【解析】
【分析】（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据第一次购买A种树苗10棵，B种树苗20棵，共花费600元；第二次购买A种树苗25棵，B种树苗10棵，共花费1100元；列出方程组，即可解答．
（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42-t）棵，根据B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，得出t的范围，设总费用为W元，根据总费用=两种树苗的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论．
【小问1详解】
解：（1）设A种树苗每棵的价格x元，B种树苗每棵的价格y元，根据题意得：
，
解得，
答：A种树苗每棵的价格40元，B种树苗每棵的价格10元；
【小问2详解】
解：（2）设A种树苗的数量为t棵，则B种树苗的数量为（42﹣t）棵，
∵B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍，
∴42﹣t≤2t，
解得：t≥14，
∵t是正整数，
∴t最小值＝14，
设购买树苗总费用为W＝40t+10（42﹣t）＝30t+420，
∵k＞0，
∴W随t的减小而减小，
当t＝14时，W最小值＝30×14+420＝840（元）．
答：购进A种树苗的数量为14棵、B种28棵，费用最省；最省费用是840元．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，一次函数的性质的运用，解答时根据总费用=两种树苗的费用之和建立函数关系式是关键．
25. 如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点．
（1）求双曲线的表达式和a，b的值；
（2）请直接写出使得的x的取值范围；
（3）若的面积为12，求此时C点的坐标．
【答案】（1），，
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）把点和点代入，求出与的值，再将点坐标代入，即可求出反比例函数解析式；
（2）根据与横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时的范围即可；
（3）根据，求出的长，进而得到此时点的坐标．
【小问1详解】
解：直线过点和点，
，，
．
双曲线过点，
，
双曲线的表达式为；
【小问2详解】
观察图象，可得当或时，反比例函数值大于一次函数值，
即使得的的取值范围是或；
【小问3详解】
，，
，
，
，
此时点的坐标为．
【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想，正确求出反比例函数解析式是解本题的关键．
26. 如图，为的直径，C为上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分．
（1）求证：DC为的切线；
（2）若，求的半径．
【答案】（1）详见解析；（2）2
【解析】
【分析】（1）连接OC，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出∠DAC=∠OCA，得到AD∥OC，即可得到OC⊥CD得到结论；
（2）连接BC，先求出，得到∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD=，再根据为的直径得到∠ACB=90°，再利用三角函数求出AB.
【详解】（1）连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠ADC+∠OCD=180°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∴DC为的切线；
（2）连接BC，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，，
∴，
∴∠DAC=30°，
∴∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD=，
∵AB是的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=，
∴的半径为2.
【点睛】此题考查角平分线的性质定理，圆的切线的判定定理，圆周角定理，锐角三角函数，直角三角形30°角的性质，正确连接辅助线解题是此题的关键.
27. （1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．
【答案】（1）①；②；（2）；；（3）；
【解析】
【分析】（1）①根据证明，即可得出；
②根据全等三角形的性质得出，设交于点O，根据，结合三角形内角和定理，得出即可得出结果；
（2）证明，可得，，根据三角形的外角得出，，即可得结论；
（3）根据勾股定理求出，根据三角函数求出，求出，证明，求出，得出．
【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
设交于点O，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
（2）结论：， ．理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
（3）在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角函数的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，特殊角的三角函数值．
28. 如图，二次函数的图像与x轴相交于点，其顶点是C．

（1）_______；
（2）D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过点D，过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；
（3）将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）把代入即可求解；
（2）过点D作DM⊥OA于点M，设，由，解得，进而求得平移后得抛物线，
平移后得抛物线为，根据二次函数得性质即可得解；
（3）先设出平移后顶点为，根据原抛物线，求得原抛物线的顶点，对称轴为x=1，进而得，再根据勾股定理构造方程即可得解．
【小问1详解】
解：把代入得，
，
解得，
故答案为；
【小问2详解】
解：过点D作DM⊥OA于点M，

∵，
∴二次函数的解析式为
设，
∵D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，，
∴，
解得m=或m=8（舍去），
当m=时，，
∴，
∵，
∴设将原抛物线向左平移后的抛物线为，
把代入得，
解得a=3或a=（舍去），
∴平移后得抛物线为
∵过点作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，
在的对称轴x=的左侧，y随x的增大而减小，此时原抛物线也是y随x的增大而减小，
∴；
【小问3详解】
解：由，设平移后的抛物线为，则顶点为，
∵顶点为在上，
∴，
∴平移后的抛物线为，顶点为，
∵原抛物线，
∴原抛物线的顶点，对称轴为x=1，
∵平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，
∴，
∵点Q、C在直线x=1上，平移后的抛物线顶点P在原抛物线顶点C的上方，两抛物线的交点Q在顶点P的上方，
∴∠PCQ与∠CQP都是锐角，
∵是直角三角形，
∴∠CPQ=90°，
∴，
∴化简得，
∴p=1（舍去），或p=3或p=，
当p=3时，，
当p=时，，
∴点P坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，勾股定理，解直角三角形以及待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
花生
豆沙
芝麻
芝麻
花生
（花生，豆沙）
（花生，芝麻）
（花生，芝麻）
豆沙
（豆沙，花生）
（豆沙，芝麻）
（豆沙，芝麻）
芝麻
（芝麻，花生）
（芝麻，豆沙）
（芝麻，芝麻）
芝麻
（芝麻，花生）
（芝麻，豆沙）
（芝麻，芝麻）