北京市首都师范大学附属中学第一分校2023-2024学年七年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 16的平方根是（ ）
A. ±4B. 4C. 8D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【详解】解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是：±4．
故选A．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2. 在平面直角坐标系中，点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
根据各象限内点的坐标特征解答即可．
【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
故点所在的象限是第四象限．
故选：D．
3. 下列实数、、、、中，无理数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数对每个数字逐一分析判断即可．
【详解】解：，是分数，是有理数，
、、是无理数，共有个，
故选：．
【点睛】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数是解答本题的关键．
4. 如图，已知直线，平分，若，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据，得，又因为平分，，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得的值．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及两直线平行，同旁内角互补等知识内容，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
5. 下列各式中，运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据算术平方根与立方根的性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D．
【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的性质；负数的立方根是负数，正数的立方根是正数，一个数的算术平方根是非负数．
6. 若方程的两个解是，，则，的值为( )
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】把，代入方程得出方程组，再求出方程组的解即可．
【详解】解：把，代入方程得
解得：
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能根据二元一次方程的解得出关于、的方程组是解此题的关键．
7. 小虫在小方格上沿着小方格的边爬行，它的起始位置是A（2，2）先爬到B（2，4），再爬到C（5，4），最后爬到D(5,6)，则小虫共爬了（ ）
A. 7个单位长度B. 5个单位长度C. 4个单位长度D. 3个单位长度
【答案】A
【解析】
【详解】本题考查了平面直角坐标系内点的位置的变化，注意小虫是沿横坐标爬行还是沿纵坐标爬行即可. 分析小虫的爬行路线即可得解．
解：从A（2，2），爬行到B（2，4），爬行了4-2=2个单位，
再爬行到C（5，4），又爬行了5-2=3个单位，
最后爬行到D（5，6），又爬行了6-4=2个单位，
所以小虫一共爬行了2+3+2=7个单位．
故选A．
8. 已知两点和，下列说法正确的有（ ）个
①直线轴； ②A、B两点间的距离
③三角形的面积 ④线段的中点坐标是
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点和的纵坐标都是2，则直线轴，即可判断①；那么A、B两点间的距离，即可判断②；那么，即可判断③；线段的中点坐标是，化简即可判断④．
【详解】解：∵两点和的纵坐标都是2，
∴直线轴，故①是错误的；
∵两点和的横坐标分别是和6，且直线轴，
∴A、B两点间的距离，故②是正确的；
∴，故③是正确的；
∵，
∴线段的中点坐标是，故④是正确的；
正确的是②③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形，涉及坐标点以及坐标点构成线段中点，三角形面积为底×高的一半；正确掌握相关性质内容是解题的关键．
9. 我国民间流传一道数学名题．其题意为：一群老者去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个，请问君子知道否，几个老者几个梨？设有老者x人，有梨y个，则可列二元一次方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设有老者x人，有梨y个，一人一个多一个可得方程，根据一人两个少两个可得方程，由此即可得到答案．
【详解】解：设有老者x人，有梨y个，
由题意得，，
故选B．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
10. 将一副三角板按如图的方式放置，则下列结论：①；②若，则有；③若，则有；④若，则必有，其中正确的有（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ③④D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】应用平行线的判定与性质进行判定即可得出答案．本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质进行求解是解决本题的关键．
【详解】解：①，，
∴，
故①结论正确；
②，
，
，
∴．
故②结论正确；
③，
，
，
∴．
故③结论正确；
④如图
，
∴，
，
，
，
．
故④结论正确．
故选：D
二、填空题（本题共20分，每空2分）
11. 如图，将一个长方形纸条折成如图的形状，若已知，则______°．

【答案】65
【解析】
【分析】延长，由平行线的性质可求出，再由折叠及平角的定义求出．
【详解】解：如图所示：

由题意可得：，
，
，
，
由图形折叠可知，
，
．
故答案为：65．
【点睛】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
12. 如果a，b分别是的两个平方根，那么_______________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了平方根的性质和意义，解本题的关键是熟练掌握平方根的性质．
根据一个正数的两个平方根互为相反数即可得到，再根据，代入即可得出结论．
【详解】解：∵a，b分别是的两个平方根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 若二元一次方程组的解为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】把、的值代入方程组，再将两式相加即可求出的值．
【详解】解：将代入方程组，
得：，
得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出的值．
14. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是_____．

【答案】1-
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点A表示的数即可．
【详解】解：∵正方形的边长为1，
∴BC==，
∴AC=．
即|A-1|=，故点A表示1-．
故答案为1-．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．
15. 若是方程的解，则a的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意得，进行计算即可得．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握方程的解的意义，正确计算．
16. 如图，有两个正方形夹在AB与CD中，且AB∥CD,若∠FEC=10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为________度(正方形的每个内角为90°)
【答案】70
【解析】
【分析】作IF∥AB，GK∥AB，JH∥AB，由题意易得AB∥CD∥ IF∥GK∥JH，则有∠KGF=∠GFI=80°，然后可得∠JHG=∠HGK=70°，进而问题可求解．
【详解】解：作IF∥AB，GK∥AB，JH∥AB，如图所示：
因为AB∥CD，
所以，AB∥CD∥ IF∥GK∥JH，
所以，∠IFE=∠FEC=10°，
所以，∠GFI=90°-∠IFE=80°，
所以，∠KGF=∠GFI=80°，
所以，∠HGK=150°-∠KGF=70°，
所以，∠JHG=∠HGK=70°，
同理，∠2=90°-∠JHG=20°，
所以，∠1=90°-∠2=70°，
故答案为70．
【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
17. 在平面直角坐标系中，若一个多边形的顶点都在格点（点的横、纵坐标均为整数）上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为，边界上的格点数记为．如图，是格点三角形，对应的，，．
（1）图中格点四边形对应的S为______；
（2）已知格点多边形的面积可以表示为，其中，为常数．若某格点多边形对应的，，则______．
【答案】 ①. 3 ②. 79
【解析】
【分析】（1）理解题意，观察图形，即可求得结论；
（2）先计算格点四边形的N和L，根据格点多边形的面积，结合图中的格点及格点四边形，建立方程组，求出a，b即可求得S．
【详解】解：（1）观察图形，可得，
故答案为：3；
（2）观察图形，可得格点四边形中，，，
根据格点及格点四边形中的S、N、L的值可得，
，
解得，
∴，
将，代入可得．
故答案为：79．
【点睛】本题考查新型定义问题，理解题意，建立方程组求解是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系上有个点，点P第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…依此规律跳动下去，的坐标是______，点P第2023次跳动至的坐标是______．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设第n次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，”，依此规律即可得出点和的坐标．
【详解】解：设第n次跳动至点，
观察发现：
，
，
，…，
∴，，，（n为自然数）．
∵，
∴，即，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”是解题的关键．
三、解答题（本大题共60分）
19. 求出下列等式中x的值：
（1）
（2）
【答案】（1）或；
（2）．
【解析】
【分析】（1）直接利用平方根的性质求解即可；
（2）整理后，利用立方根的性质求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
解得或；
小问2详解】
解：整理得
开立方得．
【点睛】本题考查利用开立方和开平方解方程，注意（1）中一个正数的平方根有两个．
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据绝对值、立方根和算术平方根的性质化简，然后计算即可；
（2）根据绝对值、立方根和二次根式的性质化简，然后计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值、立方根和二次根式的性质是解题的关键．
21. 解下列方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法，是解题的关键．
（1）利用代入消元法，即可求解．
（2）利用加减消元法，即可求解．
（3）利用加减消元法，即可求解．
（4）利用加减消元法，即可求解．
【小问1详解】
解：，
将代入到得：，
解得：，
将代入到中得，
解得，
所以方程组的解为．
【小问2详解】
解：
得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
所以方程组的解为．
【小问3详解】
解：，
得：，
得：，
解得：，
将代入到得：，
解得：，
所以方程组的解为．
【小问4详解】
解：
得：
得：
解得：，
将代入到得：，
解得：
所以方程组的解为．
22. 请将下面的证明过程补充完整：
如图，在四边形中，，，，的角平分线交于点，求证：．

证明：∵平分，（已知），
∴（理由：_______________）．
∵（已知），
∴__________（理由：_______________）．
∵（已知），
∴__________（等量代换）．
∴（理由：_______________）．
【答案】角平分线的定义；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行
【解析】
【分析】先由角平分线的定义得出，再根据平行线的性质得出的度数，等量代换得到，即可证明．
【详解】证明：∵平分，（已知），
∴（理由：角平分线的定义）．
∵（已知），
∴（理由：两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（等量代换）．
∴（理由：同位角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握相关定义和性质是解题的关键．
23. 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，探索这两个角的关系，并说明理由．
（1）如图（一），，，与的关系是________．
（2）如图（二），，，与的关系是________．
（3）经过上述证明，我们可以得到一个结论：________．
（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度？
【答案】（1）相等 （2）互补
（3）结论见解析 （4）30°，30°或70°，110°
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得出结论；
（2）根据两直线平行，同位角相等，得到，再根据对顶角相等，得到，进而得到，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
（3）通过（1）、（2）小题，即可得出结论；
（4）分情况讨论，当两个角相等时，即，即可得出角的度数，当两个角互补时，即，即可得出角的度数．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴与相等，
【小问2详解】
解：∵，
∴，
又∵（对顶角相等），
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴与互补，
【小问3详解】
经过上述证明，我们可以得到一个结论：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
【小问4详解】
设其中一个角为x°，
当两个角相等时，即，
解得，
，
当两个角互补时，即，
解得，
，
答：这两个角分别是30°，30°或70°，110°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、等量代换等知识点，解本题的关键在熟练掌握平行线的性质．
24. 规定：关于，的二元一次方程有无数组解，每组解记为，称为“成德点”，将这些“成德点”连接得到一条直线，称这条直线是“成德点”的“达才线”，回答下列问题：
（1）已知，，，则是“达才线”的“成德点”的是______．
（2）若，是“达才线”的“成德点”，求，的值．
（3）已知，是实数，且，若是“达才线”的一个“成德点”，用等式表示与之间的关系，并求出的最小值．
【答案】（1）
（2），
（3）与之间的关系为，的最小值是1
【解析】
【分析】（1）将，，代入，判断否使方程成立即可求解；
（2）根据“成德点”和“达才线”的定义，得出二元方程组求解即可；
（3）根据“成德点”和“达才线”的定义，得出关于、、的两个等式，再消掉即可，再根据算术平方根的定义得出的取值范围即可．
【小问1详解】
解：将，，代入，
则，，，
∴是“达才线”的“成德点”，
故答案为：；
【小问2详解】
∵，是“达才线”的“成德点”，
∴，
解得：或，
∴，；
【小问3详解】
∵是“达才线”的一个“成德点”，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，即：因此的最小值为1，
综上，与之间的关系为，的最小值是1．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解及算术平方根的非负性，理解“成德点”和“达才线”的定义是正确解答的前提．
25. 已知：如图，直线，直线绕直线上的一个定点E旋转，交于F，过E作平分，交于点G．

（1）如图1，若，求的度数．
（2）在绕点E旋转过程中，分别作和的角平分线，两条角平分线所在直线交于点H，请画出相应图形，并探究与的数量关系．
【答案】（1）；
（2）或．
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质结合角平分线的定义先求得，再根据邻补角的意义即可求解；
（2）分两种情况讨论，当点M在直线上方和点N在直线上方时，画出图形，利用平行线的性质结合角平分线的定义，以及三角形的内角和定理即可求解．
【小问1详解】
解：∵，

∴，
∵EG平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
小问2详解】
解：当点M在直线上方时，如图，

∵平分，
∴，由（1）知，
∴设，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
当点N在直线上方时，如图，

∵直线平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，
∴设，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
即，
综上，或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理及其推论，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系．
26. 在平面直角坐标系中，任意两点，定义：，的绝对距离是．例如：如图1，，则的绝对距离，即线段与的和．

（1）已知点，则，的绝对距离______．
（2）已知：点，若点满足，则在图2中画出所有符合这一条件的点X组成的图形，此时x、y满足的条件是______
（3）已知，若点Y在坐标轴上，且满足，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）画图见解析，，为任意实数
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据绝对距离的定义，解决问题即可．
（2）根据绝对距离的定义得到，可判断所有符合这一条件的点组成的图形是直线（线段的垂直平分线）．
（3）根据绝对距离的定义得到，分情况去绝对值得到结果，则折线即为所求作．
【小问1详解】
解：由题意，P，Q的绝对距离，
故答案为：17．
【小问2详解】
∵，，
∴，
即，
即，
∴如图2中，所有符合这一条件的点X组成的图形是直线（线段的垂直平分线）．

故答案为：，为任意实数．
【小问3详解】
∵，，
∴，
即，
分，，；
，，共9种情况，
当，时，
，
化简得：；
同理：当，时，有；
当，时，有；
∴如图3中，折线即为所求作，
其中，N，轴．

∵点Y在坐标轴上，
∴或
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了绝对距离的定义，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．