2024年河北省唐山市古冶区九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上．
3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，考生务必将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共16个小题：1~6小题，每题3分；7~16小题，每题2分，共38分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的减法，根据有理数的减法进行计算即可求解．
【详解】解：
故选：A．
2. 榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据主视图是从前向后观察到的图形，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图为：

故选C．
【点睛】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，积的乘方，完全平方公式；根据以上运算法则进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
4. 下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意；
B、 ，，y随x的增大而减小，符合题意；
C、 ，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、 ，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键．
5. 一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，若，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质，得出，进而．
【详解】由图知，
∴
故选：B
【点睛】本题考查平行线的性质，特殊角直角三角形，由图形的位置关系推出角之间的数量关系是解题的关键．
6. 一次函数y=6x+1的图象不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：先判断出一次函数y=6x+1中k的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．
解：∵一次函数y=6x+1中k=6＞0，b=1＞0，
∴此函数经过一、二、三象限，
故选D．
7. 下列有关分式的运算，结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了分式的运算，根据分式的运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
8. 掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A. 每2次必有1次正面向上B. 不可能有10次正面向上
C. 必有5次正面向上D. 可能有5次正面向上
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币10次，每2次不一定有1次正面向上，原说法错误，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币10次，有可能有10次正面向上，原说法错误，不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，原说法错误，不符合题意；
D、掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上，原说法正确，符合题意；
故选：D．
9. 估计：的值应在（ ）
A. 2和3之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，无理数的估算，先将3放入根号内，估算，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
10. 如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠，使点A落在点处，若为的中点，则折痕的长为（ ）
A. B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键．由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可．
【详解】解：沿折叠，使点A落在点处，
，，
又∵，
∴，
∴，
，
又为的中点，，
∴，
，
即，
．
故选：C．
11. 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．
【详解】解：如图
作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长．
∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点，
∴M′是AD的中点，
又∵N是BC边上的中点，
∴AM′∥BN，AM′=BN，
∴四边形ABNM′是平行四边形，
∴M′N=AB=1，
∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1，
故选B．
12. 圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（ ）
A. 5cmB. 10cmC. 6cmD. 5cm
【答案】A
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•5=，然后解方程即可母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】设圆锥的母线长为R，
根据题意得2π•5，
解得R＝10．
即圆锥的母线长为10cm，
∴圆锥的高为：5cm．
故选A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13. 如图，点A的坐标是(-2,0)，点B的坐标是(0,6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值是（ ）
A. 9B. 12C. 15D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．
【详解】解：作轴于．
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵点的坐标是，点的坐标是，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
14. 如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）

A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出．
【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，

矩形中，，
，
．
由作图过程可知，平分，
四边形是矩形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
．
，
．
，，
，
，即，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出．
15. 如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A. 4.5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
详解】连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
16. 小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的的值小，则原方程的根的情况（ ）
A. 不存在实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是D. 有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】直接把已知数据代入进而得出 的值，再解方程求出答案．
【详解】解：∵小刚在解关于的方程时，只抄对了，解出其中一个根是，
∴，
解得：，
故原方程中，
∴原方程为，
则，
则原方程的根的情况是不存在实数根，
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式和一元二次方程的解，正确得出的值是解题关键．
二、填空题（本大题有3个小题，每空2分，共10分）
17. 在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据第一象限的点的特征，可得共有2个点在第一象限，进而根据概率公式即可求解．
【详解】解：在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，
其中，，在第一象限，共2个点，
∴从中任选一个点恰好在第一象限的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式求概率，第一象限点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键．
18. 四边形具有不稳定性，如图，将面积为5的矩形“推”成面积为4的平行四边形，则_______；若，则平行四边形的面积为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形，矩形，平行四边形，关键是由矩形、平行四边形的面积推出．由矩形、平行四边形的面积得到，即可求出的值，由得到，即可求出平行四边形的面积．
【详解】
解：如图，作于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
平行四边形的面积．
故答案为：，．
19. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，．

（1）的面积为________；
（2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________．
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积；
（2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长．
【详解】解：（1）过点E作，

正方形的边长为3，
，
是等腰三角形，，，
，
在中，，
,
故答案为：3；
（2）延长交于点K，
正方形的边长为3，
，，
，，
，
，
，
F为的中点，
，
在和中，
，
，
，
由（1）可知，，，
，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
三、解答题（本大题共7个小题；共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 有个填写数字的游戏：在“”中的每个内，填入数字（可重复使用），然后计算结果．
（1）计算：；
（2）若，请推算□内的数字；
（3）若三个内从左往右依次填入入三个数，请你直接写出计算结果（计算结果要求用科学记数法表示）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，二次根式的混合运算，幂的运算；
（1）根据有理数的混合运算进行计算即可求解．
（2）根据题意可得□内的数字为:，进而根据二次根式的乘法进行计算即可求解；
（3）根据题意列出算式，进而根据幂的运算进行计算，最后表示成科学记数法的形式，即可求解．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
□内的数字为:
∴□内的数字为1；
【小问3详解】
解：
21. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．
例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”．
（1）判断四位数5324是不是“递减数”；
（2）若一个“递减数”为，求这个“递减数”；
（3）若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，直接写出满足条件的递减数的最大值．
【答案】（1）不是“递减数”；
（2）4312； （3）8165．
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义：
（1）根据“递减数”的定义求解即可；
（2）根据“递减数”的定义可得，解方程即可得到答案；
（3）先由“递减数”的定义得到，再求出，进而推出能被9整除，据此求出能满足能被9整除的正整数a、b即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，
∴5324不是“递减数”；
【小问2详解】
解：∵一个“递减数”为，
∴，
∴，
∴这个“递减数”为4312；
【小问3详解】
解：∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，
∴，
∵，
∴，
∵能被整除，
∴能被9整除，
∵各数位上数字互不相等且均不为0，
∴或或或或或或或，
∴当时，有最大的“递减数”，
∴，即：，
∴最大取，此时，
∴这个最大的“递减数”为8165．
故答案为：8165．
22. 某校为了初步了解学生的劳动教育情况，对九年级学生“参加家务劳动的时间”进行了抽样调查，并将劳动时间x分为如下四组（：分钟）进行统计，绘制了如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取的学生人数为______人，扇形统计图中m的值为______，请你补全条形统计图；
（2）已知该校九年级有600名学生，请估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在 80分钟（含80分钟）以上的学生有______人；
（3）若D组中有3名女生，其余均是男生，从中随机抽取两名同学交流劳动感受，请用列表法或树状图法，求抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率．
【答案】（1）50；30；统计图见解析
（2）300人 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率：
（1）用D组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，进而求出m的值和C组的人数，最后补全统计图即可；
（2）用600乘以样本中C、D两组的人数占比之和即可得到答案；
（3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：人，
∴本次抽取的学生人数为50人，
∴，
∴，
C组人数为人，
补全统计图如下：
【小问2详解】
解：人，
∴估计该校九年级学生中参加家务劳动的时间在 80分钟（含80分钟）以上的学生有300人；
【小问3详解】
解：设用A、B、C表示3名女生，用D、E表示2名男生，列表如下：
由表格可知，一共有20种等可能性的结果数，其中抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的结果数有12种，
∴抽取的两名同学中恰好是一名女生和一名男生的概率为．
23. 甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．

（1）甲组比乙组多挖掘了__________天．
（2）求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数．
【答案】（1）30 （2）
（3）10天
【解析】
【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可；
（2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围；
（3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可．
【小问1详解】
解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，
∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天，
（天）
∴甲组比乙组多挖掘了30天，
故答案为：30；
【小问2详解】
解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为，
将和两个点代入，可得，
解得，
∴
【小问3详解】
解：甲组每天挖（米）
甲乙合作每天挖（米）
∴乙组每天挖（米），乙组挖掘的总长度为（米）
设乙组己停工的天数为a，
则，
解得，
答：乙组已停工的天数为10天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键．
24. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）.
【解析】
【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明即可；
（2）过O作于G，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形AODF是菱形，得到，，于是得到结论．
【详解】（1）直线DE与⊙O相切，
连结OD．
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作于G，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形AODF是菱形，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
25. 如图1，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线AD交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，将沿直线AD平移得到．
①当点M落在抛物线上时，求点M的坐标．
②在移动过程中，存在点M使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．
【答案】（1）；（2）①或；②或或或
【解析】
【分析】（1）抛物线的表达式为：，即：，即可求解；
（2）①将点M的坐标代入抛物线表达式，即可求解）；②分为直角、为直角、为直角三种情况，分别求解即可．
【详解】解：（1）抛物线的表达式为：，
即：，解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，解得：或，故点，
函数的对称轴为：，故点；
（2）将点A、D的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，
故直线AD的表达式为：，
设点，
，则点，
①将点M的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故点M的坐标为或；
②点，点B、D的坐标分别为、，
则，，，
当为直角时，
由勾股定理得：，
解得：，
当为直角时，
同理可得：，
当为直角时，
同理可得：，
故点M的坐标为：或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理的运用等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．
26. 综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，D为上一点，，动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形设点P的运动时间为，正方形的而积为S，探究S与t的关系

（1）初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当时，_______．
②S关于t的函数解析式为_______．
（2）当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图象信息，求S关于t的函数解析式及线段的长．
（3）延伸探究：若存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
①_______；
②当时，求正方形面积．
【答案】（1）①3；②
（2），
（3）①4；②
【解析】
【分析】（1）①先求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求解即可；②仿照（1）①先求出，进而求出，则；
（2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案；
（3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案．
【小问1详解】
解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿匀速运动，
∴当时，点P在上，且，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：3；
②∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由图2可知当点P运动到B点时，，
∴，
解得，
∴当时，，
由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，
∴可设S关于t的函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴S关于t的函数解析式为，
在中，当时，解得或，
∴；
【小问3详解】
解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时，
∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，
设是函数上的两点，则，是函数上的两点，
∴，
∴，
∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等．
∴可以看作，
∴，
故答案为：4；
②由（3）①可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
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【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．