2021年河北省唐山市古冶区中考数学一模试卷 word版，解析版

这是一份2021年河北省唐山市古冶区中考数学一模试卷 word版，解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若a与1互为相反数，那么a+1＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣2
2．（3分）如图，在数轴上，点A表示的数是﹣2，将点A沿数轴正方向向右移动4个单位长度得到点P，则点P表示的数是（ ）
A．4B．3C．2D．﹣2
3．（3分）如图均由正六边形与两条对角线所组成，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）2019年全国共享单车投放量达23000000辆，将23000000用科学记数法表示为（ ）
A．2.3×107B．23×106C．0.23×108D．2.3×106
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5B．a3÷a＝a3C．a2•a3＝a5D．（a2）4＝a6
6．（3分）将一副三角板（∠A＝45°，∠E＝60°）按如图所示方式摆放，点F在CB的延长线上，若DE∥CF，则∠BDF＝（ ）
A．15°B．25°C．30°D．35°
7．（3分）如图，A处在B处的北偏东45°方向，A处在C处的北偏西15°方向，则∠BAC等于（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
8．（3分）点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，4），这种图形变化可以是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．绕原点逆时针旋转90°D．绕原点顺时针旋转90°
9．（3分）数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图．由图可知，全班同学答对题数的众数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．（3分）当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
11．（2分）以下是小明同学解方程的过程：
解：方程两边同时乘以（x﹣3），得1+x＝﹣2﹣（x﹣3），第一步
即x+x＝﹣2+1+3，第二步
解得，x＝1，第三步
检验：当x＝1时，x﹣3＝1﹣3≠0，
所以原方程的解是x＝1．第四步
针对以上解题过程，下列说法正确的是（ ）
A．从第一步开始有错B．从第二步开始有错
C．从第三步开始有错D．完全正确
12．（2分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是100，小正方形面积是20，则sinθ•csθ的值是多少（ ）
A．B．C．D．
13．（2分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝CA，∠A＝50°，则∠BCD＝（ ）
A．25°B．30°C．50°D．60°
14．（2分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
15．（2分）关于抛物线y＝x2+bx+1，有以下结论：①当b＝﹣1时，抛物线过原点；②抛物线必过点（0，1）；③顶点的纵坐标最大值为1；④若当x＝1时，y＞0，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是﹣2＜b≤4．错误结论的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
16．（2分）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．+1B．+C．2+1D．2﹣
二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分.把答案写在题中横线上）
17．（3分）分解因式：m2﹣2m＝ ．
18．（3分）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠CAB＝ °．
19．（6分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）与反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象如图所示，P（2，y1），Q（6，y2）是反比例函数图象上的两点，记P、Q两点间的部分为PQ．
（1）当k＝5时，二次函数的对称轴为 ；
（2）y1＝ ；
（3）若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7个小题，满分共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）老师写出一个整式（ax2+bx﹣1）﹣（4x2+3x）（其中a、b为常数，且表示为系数），然后让同学给a、b赋予不同的数值进行计算，
（1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为2x2﹣3x﹣1，则甲同学给出a、b的值分别是a＝ ，b＝ ；
（2）乙同学给出了a＝5，b＝﹣1，请按照乙同学给出的数值化简整式；
（3）丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．
21．（8分）观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”．
（1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”；
（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） “共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（4）如果（m，n）是“共生有理数对”（其中n≠1），直接用含n的式子表示m．
22．（9分）某学校从甲、乙两位班主任中选拔一位参加局班主任技能大赛，选拔内容包括案例分析、班会设计、才艺展示三个项目，选拔比赛结束后，统计这两位班主任的成绩并制成了如图所示的统计图1．
（1）乙班主任三个项目的成绩的中位数是 ；
（2）用6张相同的卡片分别写上甲、乙两位班主任的六项成绩，洗匀后，从中任意抽取一张，求抽到的卡片写有“85”的概率；
（3）若按照图2所示的权重进行计算，选拔总分最高的一位班主任参加比赛，请你确定哪位班主任将获得参赛资格，说明理由．
23．（9分）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．
（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，则∠ACB＝ ；
（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时（即连接PO并延长交⊙O于点C），连接AC，BC，
①求证：△APC≌△BPC；
②若PC交⊙O于另一点D，∠APB＝60°，求图中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
24．（10分）如图，直角坐标系xOy中，过点A（6，0）的直线l1与直线l2：y＝kx﹣1相交于点C（4，2），直线l2与x交于点B．
（1）求k的值及l1的函数表达式；
（2）求S△ABC的值；
（3）直线y＝a与直线l1和直线l2分别交于点M，N．
①直接写出M，N都在y轴右侧时a的取值范围；
②在①的条件下，以MN为边作正方形MNDE，边DE恰好在x轴上，直接写出此时a的值．
25．（10分）如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．
（1）若∠AOB＝60°，OM＝4，OQ＝1，求CP的长；（提示：过点P作PE⊥OA）
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形，
①证明：是定值；
②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．
26．（12分）某公司生产一种产品，月销售量为x吨（x＞0），每吨售价为7万元，每吨的成本y（万元）由两部分组成，一部分是原材料费用a固定不变，另一部分人力等费用，y﹣a与月销售量x成反比，市场部研究发现月销售量x吨与月份n（n为1～12的正整数）符合关系式x＝2n2﹣26n+k2（k为常数），参考下面给出的数据解决问题．
（1）求y﹣a与x的函数关系式；
（2）求k的值；
（3）在这一年12个月中，
①求月最大利润；
②若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，直接写出m的值．
2021年河北省唐山市古冶区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1～10小题，每小题3分；11～16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若a与1互为相反数，那么a+1＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣2
【分析】直接利用相反数的定义得出a的值，进而得出答案．
【解答】解：∵a与1互为相反数，
∴a＝﹣1，
∴a+1＝﹣1+1＝0．
故选：B．
2．（3分）如图，在数轴上，点A表示的数是﹣2，将点A沿数轴正方向向右移动4个单位长度得到点P，则点P表示的数是（ ）
A．4B．3C．2D．﹣2
【分析】根据右移加可求点P表示的数．
【解答】解：点P表示的数是﹣2+4＝2．
故选：C．
3．（3分）如图均由正六边形与两条对角线所组成，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是中心对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、既不是轴对称也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
4．（3分）2019年全国共享单车投放量达23000000辆，将23000000用科学记数法表示为（ ）
A．2.3×107B．23×106C．0.23×108D．2.3×106
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：23000000＝2.3×107．
故选：A．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5B．a3÷a＝a3C．a2•a3＝a5D．（a2）4＝a6
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a3+a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；
B、a3÷a＝a2，故此选项错误；
C、a2•a3＝a5，正确；
D、（a2）4＝a8，故此选项错误；
故选：C．
6．（3分）将一副三角板（∠A＝45°，∠E＝60°）按如图所示方式摆放，点F在CB的延长线上，若DE∥CF，则∠BDF＝（ ）
A．15°B．25°C．30°D．35°
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE＝45°，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：∠EDF＝30°，∠ABC＝45°，
∵DE∥CB，
∴∠BDE＝∠ABC＝45°，
∴∠BDF＝∠BDE﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
7．（3分）如图，A处在B处的北偏东45°方向，A处在C处的北偏西15°方向，则∠BAC等于（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【分析】根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，即可求解．
【解答】解：如图，
∵AE，DB是正南正北方向，
∴BD∥AE，
∵∠DBA＝45°，
∴∠BAE＝∠DBA＝45°，
∵∠EAC＝15°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝45°+15°＝60°，
故选：D．
8．（3分）点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，4），这种图形变化可以是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．绕原点逆时针旋转90°D．绕原点顺时针旋转90°
【分析】根据旋转的定义得到即可．
【解答】解：因为点A（4，3）经过某种图形变化后得到点B（﹣3，4），
所以点A绕原点逆时针旋转90°得到点B，
故选：C．
9．（3分）数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的答题情况绘制成条形统计图．由图可知，全班同学答对题数的众数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】根据统计图中的数据，可知做对9道的学生最多，从而可以得到全班同学答对题数的众数，本题得以解决．
【解答】解：由条形统计图可得，
全班同学答对题数的众数为9，
故选：C．
10．（3分）当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不等的实数根
C．有一个实数根D．没有实数根
【分析】计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案．
【解答】解：x2+4x+k＝0，
△＝42﹣4k＝4（4﹣k），
∵﹣1＜k＜0，
∴4﹣k＞0，
∴△＞0，
∴该方程两个不等的实数根．
故选：B．
11．（2分）以下是小明同学解方程的过程：
解：方程两边同时乘以（x﹣3），得1+x＝﹣2﹣（x﹣3），第一步
即x+x＝﹣2+1+3，第二步
解得，x＝1，第三步
检验：当x＝1时，x﹣3＝1﹣3≠0，
所以原方程的解是x＝1．第四步
针对以上解题过程，下列说法正确的是（ ）
A．从第一步开始有错B．从第二步开始有错
C．从第三步开始有错D．完全正确
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
【解答】解：从第二步开始出错，
正确的是：，
方程两边同时乘以（x﹣3），得1+x＝﹣2﹣（x﹣3），
1+x＝﹣2﹣x+3，
即x+x＝﹣2﹣1+3，
合并同类项，得，2x＝0，
系数化成1，得x＝0，
检验：当x＝0时，x﹣3＝0﹣3≠0，
所以原方程的解是x＝0，
即从第二步开始有错，
故选：B．
12．（2分）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是100，小正方形面积是20，则sinθ•csθ的值是多少（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．
【解答】解：∵大正方形的面积是100，小正方形面积是20，
∴大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，
∴10csθ﹣10sinθ＝2，
∴csθ﹣sinθ＝，
∴（sinθ﹣csθ）2＝，
sin2θ﹣2sinθ•csθ+cs2θ＝，
1﹣2sinθ•csθ＝，
sinθ•csθ＝．
故选：B．
13．（2分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝CA，∠A＝50°，则∠BCD＝（ ）
A．25°B．30°C．50°D．60°
【分析】利用等腰三角形的性质得到∠CDA＝∠A＝50°，再利用基本作图得到MN垂直平分BC，则DB＝DC，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠BCD的度数．
【解答】解：∵CD＝CA，
∴∠CDA＝∠A＝50°，
由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠CDA＝∠B+∠BCD，
∴∠BCD＝∠CDA＝×50°＝25°．
故选：A．
14．（2分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形
B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C．平行四边形→正方形→菱形→矩形
D．平行四边形→菱形→正方形→矩形
【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．
【解答】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：B．
15．（2分）关于抛物线y＝x2+bx+1，有以下结论：①当b＝﹣1时，抛物线过原点；②抛物线必过点（0，1）；③顶点的纵坐标最大值为1；④若当x＝1时，y＞0，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，则b的取值范围是﹣2＜b≤4．错误结论的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】当b＝﹣1时，y＝x2﹣x+1，当x＝0时，y＝1，可判定①；当x＝0时，y＝02+b×0+1＝1，可判定②；将函数配方得y＝x2+bx+1＝（x+）2﹣+1，顶点纵坐标为﹣+1，可判定③；当x＝1时，y＞0，得b＞﹣2，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，得b≤4，可判定④．
【解答】解：①当b＝﹣1时，y＝x2﹣x+1，
当x＝0时，y＝1，抛物线不过原点，
故①不正确；
②当x＝0时，y＝02+b×0+1＝1，
∴抛物线必过（0，1），
故②正确；
③y＝x2+bx+1＝（x+）2﹣+1，
顶点纵坐标为：﹣+1，
∵b2≥0，
∴﹣≤0，
∴﹣+1≤1，
∴顶点纵坐标最大值为1，
故③正确；
④当x＝1时，y＞0，
得：12+b+1＞0，
解得：b＞﹣2，
当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，
得：﹣≥﹣2，
解得：b≤4，
∴b的取值范围是﹣2＜b≤4，
故④正确．
故选：A．
16．（2分）如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．+1B．+C．2+1D．2﹣
【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
【解答】解：如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
取OD＝OA＝2，连接CD，
∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM＝CD，
当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，
∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，
∴BD＝2，
∴CD＝2+1，
∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；
故选：B．
二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分.把答案写在题中横线上）
17．（3分）分解因式：m2﹣2m＝ m（m﹣2） ．
【分析】直接把公因式m提出来即可．
【解答】解：m2﹣2m＝m（m﹣2）．
18．（3分）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠CAB＝ 117 °．
【分析】根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义可得结论．
【解答】解：由题意得：正八边形的每个内角都为：＝135°，正五边形的每个内角都为：＝108°，
故∠CAB＝360°﹣135°﹣108°＝117°，
故答案为：117．
19．（6分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）与反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象如图所示，P（2，y1），Q（6，y2）是反比例函数图象上的两点，记P、Q两点间的部分为PQ．
（1）当k＝5时，二次函数的对称轴为 x＝5 ；
（2）y1＝ ﹣3 ；
（3）若二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是 4≤k≤6﹣ ．
【分析】（1）利用对称轴公式即可求得；
（2）P（2，y1）代入反比例函数解析式即可求得；
（3）把P、Q分别代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数），求得k的值，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）当k＝5时，抛物线对称轴为直线x＝﹣＝5，
故答案为x＝5；
（2）∵反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象经过点P（2，y1），
∴y1＝﹣＝﹣3，
故答案为﹣3；
（3）∵反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象经过点Q（6，y2），
∴y2＝﹣＝﹣1，
∴Q（6，﹣1），
∵△＝（2k）2﹣4×（﹣1）×（1﹣k2）＝4＞0，
∴抛物线y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）与x轴有两个交点，
把Q（6，﹣1）代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）得．﹣36+12k+1﹣k2＝﹣1，
解得，k＝6﹣（正值舍去），
把P（2，﹣3）代入y＝﹣x2+2kx+1﹣k2（k为常数）得．﹣4+4k+1﹣k2＝﹣3，
解得k＝4或k＝0（舍去），
∴二次函数的图象与PQ有两个公共点，则k的取值范围是4≤k≤6﹣，
故答案为4≤k≤6﹣．
三、解答题（本大题共7个小题，满分共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）老师写出一个整式（ax2+bx﹣1）﹣（4x2+3x）（其中a、b为常数，且表示为系数），然后让同学给a、b赋予不同的数值进行计算，
（1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为2x2﹣3x﹣1，则甲同学给出a、b的值分别是a＝ 6 ，b＝ 0 ；
（2）乙同学给出了a＝5，b＝﹣1，请按照乙同学给出的数值化简整式；
（3）丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果．
【分析】（1）将所求式子化简，然后根据计算的结果为2x2﹣3x﹣1，即可得到a、b的值；
（2）将a、b的值代入（1）中化简后的结果，即可解答本题；
（3）根据（1）中化简后的结果和题意，可以写出丙同学的计算结果．
【解答】解：（1）（ax2+bx﹣1）﹣（4x2+3x）
＝ax2+bx﹣1﹣4x2﹣3x
＝（a﹣4）x2+（b﹣3）x﹣1，
∵甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为2x2﹣3x﹣1，
∴a﹣4＝2，b﹣3＝﹣3，
解得a＝6，b＝0，
故答案为：6，0；
（2）由（1）（ax2+bx﹣1）﹣（4x2+3x）化简的结果是（a﹣4）x2+（b﹣3）x﹣1，
∴当a＝5，b＝﹣1时，
原式＝（5﹣4）x2+（﹣1﹣3）x﹣1
＝﹣x2﹣4x﹣1，
即按照乙同学给出的数值化简整式结果是﹣x2﹣4x﹣1；
（3）由（1）（ax2+bx﹣1）﹣（4x2+3x）化简的结果是（a﹣4）x2+（b﹣3）x﹣1，
∵丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，
∴原式＝﹣1，
即丙同学的计算结果是﹣1．
21．（8分）观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为“共生有理数对”，记为（a，b），如：数对（2，），（5，）都是“共生有理数对”．
（1）通过计算判断数对（1，2）是不是“共生有理数对”；
（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；
（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 是 “共生有理数对”（填“是”或“不是”）；
（4）如果（m，n）是“共生有理数对”（其中n≠1），直接用含n的式子表示m．
【分析】（1）根据共生有理数对的定义判断即可；
（2）根据共生有理数对的定义列方程求解；
（3）根据共生有理数对的定义对（﹣n，﹣m）变形即可判断；
（4）根据共生有理数对的定义得到m，n的方程，变形即可．
【解答】解：（1）∵1﹣2＝﹣1，1×2+1＝3，
∴1﹣2≠1×2+1，
∴（1，2）不是共生有理数对；
（2）由题意，得a﹣3＝3a+1，
解得a＝﹣2；
（3）∵（m，n）是共生有理数对，
∴m﹣n＝mn+1，
∴﹣n﹣（﹣m）＝m﹣n＝mn+1，
∴（﹣n，﹣m）是共生有理数对；
故答案为：是．
（4））∵（m，n）是共生有理数对，
∴m﹣n＝mn+1，
∴m（1﹣n）＝1+n，
∴．
22．（9分）某学校从甲、乙两位班主任中选拔一位参加局班主任技能大赛，选拔内容包括案例分析、班会设计、才艺展示三个项目，选拔比赛结束后，统计这两位班主任的成绩并制成了如图所示的统计图1．
（1）乙班主任三个项目的成绩的中位数是 85 ；
（2）用6张相同的卡片分别写上甲、乙两位班主任的六项成绩，洗匀后，从中任意抽取一张，求抽到的卡片写有“85”的概率；
（3）若按照图2所示的权重进行计算，选拔总分最高的一位班主任参加比赛，请你确定哪位班主任将获得参赛资格，说明理由．
【分析】（1）直接从三个数据中找到中位数即可；
（2）利用概率公式求解即可；
（3）分别按照不同的权，利用加权平均数求解即可．
【解答】解：（1）乙班主任的得分排序为：77，85，90，
中位数为85；
故答案为：85；
（2）六张卡片中写着85的共两张，
因此P（抽到的卡片写有85）＝＝；
（3）甲班主任得分：80×30%+85×60%+87×10%＝83.7
乙班主任得分：90×30%+77×60%+85×10%＝81.7
∴甲获得参赛资格
23．（9分）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．
（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，则∠ACB＝ 50° ；
（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时（即连接PO并延长交⊙O于点C），连接AC，BC，
①求证：△APC≌△BPC；
②若PC交⊙O于另一点D，∠APB＝60°，求图中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．
【分析】（1）PA，PB为⊙O的切线，则∠PAO＝∠PBO＝90°，而∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，故∠APB+∠AOB＝180°，进而求解；
（2）①由PA＝PB，∠APC＝∠BPC，PC＝PC，即可求解；
②求出∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，利用AD弧的长度＝，即可求解．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，OB，
∵PA，PB为⊙O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360°，
∴∠APB+∠AOB＝180°，
∵∠APB＝80°，
∴∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝50°，
故答案为：50°；
（2）①∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC，
又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC（SAS）；
②连接OA，
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝∠BPO＝30°，
∴PA为⊙O的切线，
∴∠PAO＝90°，
∵OA＝r，
∴OP＝2r，
∴，PD＝r，
∵∠AOP＝90°﹣∠APO＝60°，
∴AD弧的长度＝，
∴阴影部分的周长＝．
24．（10分）如图，直角坐标系xOy中，过点A（6，0）的直线l1与直线l2：y＝kx﹣1相交于点C（4，2），直线l2与x交于点B．
（1）求k的值及l1的函数表达式；
（2）求S△ABC的值；
（3）直线y＝a与直线l1和直线l2分别交于点M，N．
①直接写出M，N都在y轴右侧时a的取值范围；
②在①的条件下，以MN为边作正方形MNDE，边DE恰好在x轴上，直接写出此时a的值．
【分析】（1）由点C的坐标，利用待定系数法可求出k值，由点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线l1的函数表达式；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，结合点A，C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出S△ABC的值；
（3）①利用一次函数图象上点的坐标特征可求出直线l1与直线l2与y轴的交点坐标，结合函数图象，即可得出当M，N都在y轴右侧时a的取值范围；
②利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M，N的坐标，结合正方形的性质可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）将C（4，2）代入y＝kx﹣1，得：2＝4k﹣1，
解得：k＝；
设直线l1的函数表达式为y＝mx+n（m≠0），
将A（6，0），C（4，2）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线l1的函数表达式为y＝﹣x+6．
（2）当y＝0时，x﹣1＝0，
解得：x＝，
∴点B的坐标为（，0），AB＝6﹣＝，
∴S△ABC＝AB•yC＝××2＝．
（3）①当x＝0时，y＝x﹣1＝﹣1，y＝﹣x+6＝6，
∴M，N都在y轴右侧时a的取值范围为﹣1＜a＜6．
②当y＝a时，x﹣1＝a，
解得：x＝a+，
∴点N的坐标为（a+，a）；
当y＝a时，﹣x+6＝a，
解得：x＝6﹣a，
∴点M的坐标为（6﹣a，a），
∴MN＝|6﹣a﹣a﹣|＝|﹣a|．
∵四边形MNDE为正方形，
∴|﹣a|＝|a|，
解得：a1＝，a2＝，
∴a的值为或．
25．（10分）如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC＝6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．
（1）若∠AOB＝60°，OM＝4，OQ＝1，求CP的长；（提示：过点P作PE⊥OA）
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形，
①证明：是定值；
②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．
【分析】（1）过点P作PE⊥OA于E，先求出PM＝OQ＝1，∠PME＝∠AOB＝60°，进而求出PE，ME，进而求出CE，最后用勾股定理即可得结论；
（2）设OM＝x，ON＝y，判断出△NQP∽△NOC，得出，即可得出结论；
②过点P作PE⊥OA于点E，过点N作NF⊥OA于点F，得出S1＝OM•PE，S2＝OC•NF，进而得出＝，再判断出△CPM∽△CNO，得出，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，过点P作PE⊥OA于点E．
∵PQ∥OA，PM∥OB，
∴四边形OMPQ为平行四边形，
∴PM＝OQ＝1，∠PME＝∠AOB＝60°，
∴PE＝PM•sin60°＝，ME＝，
∴CE＝OC﹣OM﹣ME＝，
由勾股定理得；
（2）①证明：设OM＝x，ON＝y，
∵四边形OMPQ为菱形，
∴OQ＝QP＝OM＝x，NQ＝y﹣x，
∵PQ∥OA，
∴△NQP∽△NOC，
∴，
即，
∴6y﹣6x＝xy，两边都除以6xy，得，
即；
②如图2，过点P作PE⊥OA于点E，过点N作NF⊥OA于点F，
则S1＝OM•PE，S2＝OC•NF，
∴＝，
∵PM∥OB，
∴△CPM∽△CNO．
∴
∴
∵0＜x＜6，
∴．
26．（12分）某公司生产一种产品，月销售量为x吨（x＞0），每吨售价为7万元，每吨的成本y（万元）由两部分组成，一部分是原材料费用a固定不变，另一部分人力等费用，y﹣a与月销售量x成反比，市场部研究发现月销售量x吨与月份n（n为1～12的正整数）符合关系式x＝2n2﹣26n+k2（k为常数），参考下面给出的数据解决问题．
（1）求y﹣a与x的函数关系式；
（2）求k的值；
（3）在这一年12个月中，
①求月最大利润；
②若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，直接写出m的值．
【分析】（1）设，将表中相关数据代入可求得a、b后即可确定函数解析式；
（2）将n＝1、x＝120代入x＝2n2﹣26n+k2可求得k的值；
（3）第m个月的利润W，第（m+1）个月的利润为W′，分情况作差结合m的范围，由一次函数性质可得．
【解答】解：（1）由题意，设，
由表中数据可得：，
解得：，
∴y﹣a与x的函数关系式为；
（2）将n＝1，x＝120代入x＝2n2﹣26n+k2，
得120＝2﹣26+k2，
解得k＝±12，
∴x＝2n2﹣26n+144，
将n＝2，x＝100代入x＝2n2﹣26n+144也符合；
（3）①设第n个月的利润为W，
则＝10（n2﹣13n+36），
对称轴为n＝6.5，
∴当n＝1或12时，W取得最大值为240；
②第m个月的利润为W，
W＝x（7﹣y）＝7x﹣x（2+）
＝5（x﹣72）
＝10（m2﹣13m+36），
∴第（m+1）个月的利润为W′＝10[（m+1）2﹣13（m+1）+36]＝10（m2﹣11m+24），
若W≥W′，W﹣W′＝20（6﹣m），m取最小1，W﹣W′取得最大值100；
若W＜W′，W′﹣W＝20（m﹣6），由m+1≤12知m取最大11，W′﹣W取得最大值100；
∴m＝1或11．
月份n（月）
1
2
成本y（万元/吨）
5
5.6
销售量为x（吨/月）
120
100
月份n（月）
1
2
成本y（万元/吨）
5
5.6
销售量为x（吨/月）
120
100