十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题23 立体几何解答题（理科）-3

这是一份十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题23 立体几何解答题（理科）-3，共12页。

(2016高考数学江苏文理科·第17题)
现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.

（1）若则仓库的容积是多少？
（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？
(2014高考数学上海理科·第19题)
底面边长为2的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.
(2014高考数学课标2理科·第18题)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(1) 证明：PB∥平面AEC
(2) 设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积
(2014高考数学安徽理科·第20题)
如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过三点的平面记为与的交点为．
(1)证明：为的中点；
(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
(3)若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小．
(2015高考数学湖南理科·第21题)
如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为3和6的正方形， ，且底面 ，点分别在棱 上．
（1）若是 的中点，证明：；
（2）若平面 ，二面角的余弦值为 ，求四面体的体积．
题型七：求距离的问题
(2019·上海·第17题)
如图，在长方体中，为上一点，已知，，，．
(1)求直线和平面的夹角；
(2)求点到平面的距离．
(2023年天津卷·第17题)
如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，

(1)求证：//平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
题型八：根据条件确定点的位置
(2021高考北京·第17题)
如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．
（1）求证：为的中点；
（2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
(2014高考数学湖北理科·第19题)
如图，在棱长为的正方体中，、、、分别是棱、、、的中点，点、分别在棱、上移动，且.
（1）当时，证明：直线平面；
（2）是否存在，使面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
(2021年高考全国甲卷理科·第19题)
已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
(2016高考数学北京理科·第17题)
如图,在四棱锥中, 平面平面,.
（1）求证:平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 说明理由.
(2023年新课标全国Ⅰ卷·第18题)
如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
(2018年高考数学天津(理)·第17题)
如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.
（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面；
（II）求二面角的正弦值；
（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.
(2014高考数学天津理科·第17题)
如图，在四棱锥中，底面，，点为棱的中点．

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
(2015高考数学湖北理科·第19题)
《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马中，侧棱 底面，且 ，过棱的中点 ，作交 于点，连接
（Ⅰ）证明：．试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面与面 所成二面角的大小为，求的值．
(2017年高考数学天津理科·第17题)
如图，在三棱锥中，底面，．点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)
（2017新课标全国Ⅲ理科）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)
如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面，是的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值．
题型九：立体几何中求最值问题
(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第20题)
如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第19题)
如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
(2014高考数学江西理科·第20题)
四棱锥中，为矩形，平面平面.
（1）求证：
（2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.
(2015高考数学江苏文理·第25题)
如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.
（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长.
题型十：立体几何的综合应用
(2019·北京·理·第16题)
如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
(2017年高考数学江苏文理科·第18题)
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；
（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度.