十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）专题23 立体几何解答题（理科）-2

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（2020天津高考·第17题）
如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
（2020江苏高考·第24题）
在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
（2021年新高考全国Ⅱ卷·第19题）
在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
（2021年高考全国乙卷理科·第18题）
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
（2020年高考课标Ⅰ卷理科·第18题）
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
（2020年高考课标Ⅲ卷理科·第19题）
如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
（1）证明：点在平面内；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
（2019·全国Ⅲ·理·第19题）
图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.
（2019·全国Ⅱ·理·第17题）
如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.
（2019·全国Ⅰ·理·第18题）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
（2023年北京卷·第16题）
如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
（2023年新课标全国Ⅱ卷·第20题）
如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
（2022新高考全国II卷·第20题）
如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
（2022新高考全国I卷·第19题）
如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
（2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第20题）
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
（2014高考数学重庆理科·第19题）
如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且．
(1)求的长；
(2)求二面角的正弦值．
（2014高考数学浙江理科·第20题）
如图，在四棱锥中，平面平面，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小．
（2014高考数学四川理科·第18题）
三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示.设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且.
(1)证明：为线段的中点；
(2)求二面角的余弦值.
（2014高考数学山东理科·第17题）
如图，在四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，M是线段AB的中点.
(1)求证：平面；
(2)若垂直于平面ABCD且，求平面和平面ABCD所成的角的余弦值.
（2014高考数学辽宁理科·第19题）
如图所示，和所在平面互相垂直，且，，，分别为，的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.
（2014高考数学课标1理科·第19题）
如图，三棱柱中，侧面为菱形，.
（Ⅰ）证明：;
（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.
（2014高考数学湖南理科·第19题）
如图，四棱柱的所有棱长都相等， ，四边形和四边形 为矩形．
（1）证明：底面 ；
（2）若，求二面角 的余弦值．
（2014高考数学广东理科·第18题）
如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
（2014高考数学大纲理科·第19题）
如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.
(1)证明：；
(2)设直线与平面的距离为，求二面角的大小.
（2015高考数学重庆理科·第19题）
如图，三棱锥中，平面
，，．分别为线段上的点，且．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
（2015高考数学浙江理科·第17题）
如图，在三棱柱-中， ，， ，在底面 的射影为的中点， 为的中点.
（1）证明：D 平面；
（2）求二面角-BD- 的平面角的余弦值.
（2015高考数学四川理科·第18题）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为
(1)请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
(2)证明：直线平面
(3)求二面角的余弦值.
（2015高考数学陕西理科⋅第18题）
如图，在直角梯形中，，是的中点，是与的交点，将沿折起到的位置，如图2.
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值.
（2015高考数学山东理科·第17题）
如图，在三棱台中， 分别为的中点．
（Ⅰ）求证：平面 ；
（Ⅱ）若平面 ,，
，求平面 与平面所成角（锐角）的大小．
（2015高考数学福建理科·第17题）
如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，，，，分别是线段，的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值．
（2015高考数学北京理科·第17题）
如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．
（）求证：．
（）求二面角的余弦值．
（）若平面，求的值．
（2015高考数学安徽理科·第19题）
如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角余弦值.
（2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第18题）
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值.
（2017年高考数学山东理科·第17题）
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点.
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小.
（2017年高考数学江苏文理科·第25题）
如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
(2)求二面角B－A1D－A的正弦值．
（2016高考数学浙江理科·第17题）
如图,在三棱台中,平面平面,.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.
（2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题）
如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点，将沿折到位置，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
（2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第18题）
如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，且二面角与二面角都是.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.