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专题23 立体几何解答题（理科）-十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）
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这是一份专题23 立体几何解答题（理科）-十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用），文件包含专题23立体几何解答题理科原卷版docx、专题23立体几何解答题理科解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共202页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140660210" 题型一：证明平行问题 PAGEREF _Tc140660210 \h 1
\l "_Tc140660211" 题型二：证明垂直问题 PAGEREF _Tc140660211 \h 2
\l "_Tc140660212" 题型三：求线线角 PAGEREF _Tc140660212 \h 5
\l "_Tc140660213" 题型四：求线面角 PAGEREF _Tc140660213 \h 7
\l "_Tc140660214" 题型五：求二面角 PAGEREF _Tc140660214 \h 16
\l "_Tc140660215" 题型六：求几何题的表面积和体积 PAGEREF _Tc140660215 \h 18
\l "_Tc140660216" 题型七：求距离的问题 PAGEREF _Tc140660216 \h 30
\l "_Tc140660217" 题型八：根据条件确定点的位置 PAGEREF _Tc140660217 \h 31
\l "_Tc140660218" 题型九：立体几何中求最值问题 PAGEREF _Tc140660218 \h 36
\l "_Tc140660219" 题型十：立体几何的综合应用 PAGEREF _Tc140660219 \h 37
题型一：证明平行问题
1．(2019·江苏·第16题)如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，．
求证：(1)平面；(2)．
2．(2022高考北京卷·第17题)如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
3．(2016高考数学山东理科·第17题)(本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线．
(I)已知分别为，的中点，求证：GH∥平面ABC；
(II)已知，．求二面角的余弦值．
题型二：证明垂直问题
1．(2020江苏高考·第15题)在三棱柱中，，平面，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
2．(2018年高考数学江苏卷·第15题)(本小题满分14分)在平行六面体中，．
求证：(1)；
(2)．
3．(本小题满分12分)如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．
(Ⅰ)证明平面；
(Ⅱ)设，证明平面．
4．(2014高考数学江苏·第16题)如图，在三棱锥中，，E，F分别为棱的中点． 已知，
(1)求证：直线平面；
(2)求证：平面平面．
5．(2015高考数学江苏文理·第16题)如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，．
求证：(1)；
(2)．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
6．(2017年高考数学江苏文理科·第15题)如图,在三棱锥中,, , 平面⊥平面, 点(与不重合)分别在棱,上,且⊥．
求证:(1)∥平面;
(2)⊥．
(第15题)
A
D
B
C
E
F
7．(2016高考数学江苏文理科·第16题)如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，．
求证：(1)直线平面； (2)平面平面．
8．(2023年全国乙卷理科·第19题)如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角正弦值．
题型三：求线线角
1．(2018年高考数学上海·第17题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2，
(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
(2)设，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与 所成的角的大小．
2．(2015高考数学新课标1理科·第18题)如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，，．
(1)证明：平面⊥平面;
(2)求直线与直线所成角的余弦值．
3．(2016高考数学上海理科·第19题)(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
将边长为1的正方形(及其内部)绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求异面直线与所成的角的大小．
4．(2015高考数学广东理科·第18题)(本小题满分14分)
如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
(1)证明：PE⊥FG；
(2)求二面角P—AD—C的正切值；
(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
题型四：求线面角
1．(2021年高考浙江卷·第19题)如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第20题)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．
3．(2020北京高考·第16题)如图，在正方体中，为的中点．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．
4．(2019·浙江·第19题)如图，已知三棱柱，平面平面，，，
，，分别是，的中点．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值．
5．(2019·天津·理·第17题)如图，平面，，．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值；
(Ⅲ)若二面角的余弦值为，求线段的长．
6．(2023年全国甲卷理科·第18题)如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．
(1)证明：；
(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
7．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．
(1)证明：平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
8．(2020年浙江省高考数学试卷·第19题)如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
(I)证明：EF⊥DB；
(II)求DF与面DBC所成角的正弦值．
9．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第18题)在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
10．(2022年浙江省高考数学试题·第19题)如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
11．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第18题)如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
12．(2018年高考数学江苏卷·第25题)(本小题满分10分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
13．(2018年高考数学浙江卷·第19题)(本题满分15分)如图，已知多面体，均垂直于平面，
，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
14．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第18题)(12分)如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
(1)证明:平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
15．(2014高考数学陕西理科·第19题)四面体及其三视图如图所示，过被的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点．
⑴证明：四边形是矩形；⑵求直线与平面夹角的正弦值．
1
2
2
主视图
左视图
俯视图
A
B
C
D
E
F
G
H
16．(2014高考数学福建理科·第17题)(本小题满分12分)
在平行四边形中，，．
将沿折起，使得平面平面，如图：
(1)求证：；
(2)若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
17．(2014高考数学北京理科·第17题)如图, 正方形AMDE的边长为2, B, C分别为AM、MD的中点, 在五棱锥P−ABCDE中, F为棱PE的中点, 平面ABF与棱PD, PC分别交于点G、H
(1)求证：AB // FG ；
(2)若PA⊥平面ABCDE, 且PA=AE, 求直线BC与平面ABF所成角的大小, 并求线段PH的长．
18．(2015高考数学新课标2理科·第19题)(本题满分12分)如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
D
D1
C1
A1
E
F
A
B
C
B1
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．
19．(2015高考数学上海理科·第19题)(本题满分12分)如图，在长方体中，，，、分别是棱、的中点，证明、、、四点共面，并求直线与平面所成角的大小．
20．(2017年高考数学浙江文理科·第19题)如图,已知四棱锥,是以为斜边的等腰直角三角
形,,,,为的中点．
(Ⅰ)证明:∥平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．
(第19题图)
21．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图,四棱锥中,地面,AD∥BC,,,为线段上一点,,为的中点.
(Ⅰ)证明∥平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
P
N
M
A
B
C
D
22．(2016高考数学天津理科·第17题)如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求二面角的正弦值；
(Ⅲ)设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值．
23．(2016高考数学四川理科·第18题)如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，异面直线与所成的角为
(1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；
(2)若二面角的大小为 ，求直线与 所成的角正弦值．
24．(2017年高考数学北京理科·第16题)如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点在线段上,平面,,．
(Ⅰ)求证:为的中点;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．
题型五：求二面角
1．(2020天津高考·第17题)如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求二面角的正弦值；
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．
2．(2020江苏高考·第24题)在三棱锥中，已知,，为的中点，平面，，为的中点．
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值．
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第19题)在四棱锥中，底面是正方形，若．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角平面角的余弦值．
4．(2021年高考全国乙卷理科·第18题)如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
(1)求；
(2)求二面角的正弦值．
5．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第18题)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
6．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
(1)证明：点平面内；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
7．(2019·全国Ⅲ·理·第19题)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角B−CG−A的大小．
8．(2019·全国Ⅱ·理·第17题)如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．
证明：平面；
若，求二面角的正弦值．
9．(2019·全国Ⅰ·理·第18题)如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
10．(2023年北京卷·第16题)如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
11．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第20题)如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
12．(2022新高考全国II卷·第20题)如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角正弦值．
13．(2022新高考全国I卷·第19题)如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第20题)(12分)
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
P
A
B
M
C
O
15．(2014高考数学重庆理科·第19题)如图(19)，四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面，
， 为上一点，且，．
(1)求的长；
(2)求二面角的正弦值。
16．(2014高考数学浙江理科·第20题)如图，在四棱锥中，平面平面．
(1)证明：平面;
(2)求二面角的大小
17．(2014高考数学四川理科·第18题)三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示．设分别为线段的中点，为线段上的点，且．
(Ⅰ)证明：是线段的中点；
(Ⅱ)求二面角的余弦值．
18．(2014高考数学山东理科·第17题)如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点．
(Ⅰ)求证：∥平面；
(Ⅱ)若垂直于平面且，求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值．
19．(2014高考数学辽宁理科·第19题)(本小题满分12分)
如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点．
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
20．(2014高考数学课标1理科·第19题)如图三棱柱中,侧面为菱形,．
(1)证明:;
(2)若,,, 求二面角的余弦值．
21．(2014高考数学湖南理科·第19题)如图,四棱柱的所有棱长都相等,
四边形和四边形均为矩形．
(Ⅰ)证明:底面;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值．
22．(2014高考数学广东理科·第18题)如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点．
(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值．
23．(2014高考数学大纲理科·第19题)如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，．
(1)证明：；
(2)设直线与平面的距离为，求二面角的大小．
24．(2015高考数学重庆理科·第19题)(本小题满分13分，(1)小问4要，(2)小问9分)
如图，三棱锥中，平面．分别为线段上的点，且
(1)证明：平面;
(2)求二面角的余弦值．
25．(2015高考数学浙江理科·第17题)(本题满分15分)如图，在三棱柱-中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
26．(2015高考数学四川理科·第18题)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为．
(1)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)
(2)证明：直线平面
(3)求二面角的余弦值．
27．(2015高考数学陕西理科·第18题)(本小题满分12分)如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．
(Ⅰ)证明：平面；
(Ⅱ)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
28．(2015高考数学山东理科·第17题)如图，在三棱台中，分别为的中点．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)若平面， ， ,求平面与平面 所成的角(锐角)的大小．
29．(2015高考数学福建理科·第17题)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
(Ⅰ)求证：平面 ；
(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
30．(2015高考数学北京理科·第17题)(本小题14分)如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求二面角的余弦值；
(Ⅲ)若平面，求的值．
31．(2015高考数学安徽理科·第19题)(本小题满分13分)如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)求二面角的余弦值．
32．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第18题)如图,在四棱锥中,,且．
(1)证明:平面平面;
(2)若,,求二面角的余弦值．
33．(2017年高考数学山东理科·第17题)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形(及其内部)以边所在直线为旋转轴旋转得到的,是的中点．
(Ⅰ)设是上的一点,且,求的大小;
(Ⅱ)当,,求二面角的大小．
34．(2017年高考数学江苏文理科·第25题)如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,．
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值．
(第22题)
35．(2016高考数学浙江理科·第17题)(本题满分15分)如图，在三棱台中，平面⊥平面， ．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值．
35．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)(本小题满分)如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到的位置，．
( = 1 \* ROMAN I)证明：平面；
( = 2 \* ROMAN II)求二面角的正弦值．
37．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第18题)(本题满分为12分)如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．
(= 1 \* ROMANI)证明平面；
(= 2 \* ROMANII)求二面角的余弦值．
题型六：求几何题的表面积和体积
1．(2016高考数学江苏文理科·第17题)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．
(1)若，，则仓库的容积是多少；
(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？
2．(2014高考数学上海理科·第19题)底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图．求的各边长及此三棱锥的体积．
3．(2014高考数学课标2理科·第18题)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(Ⅰ)证明：PB∥平面AEC；
(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积．
P
E
D
C
B
A
4．(2014高考数学安徽理科·第20题)如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过三点的平面记为，与的交点为．
(Ⅰ)证明：为的中点；
(Ⅱ)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
(Ⅲ)若，梯形的面积为，求平面与底面所成二面角的大小．
5．(2015高考数学湖南理科·第21题)如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点，分别在棱，BC上．
(1)若是的中点，证明：；
(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积．
题型七：求距离的问题
1．(2019·上海·第17题)如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.
(1)求直线与平面的夹角；
(2)求点到平面的距离.
2．(2023年天津卷·第17题)三棱台中，若面，分别是中点．
(1)求证：//平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
题型八：根据条件确定点的位置
1．(2021高考北京·第17题)如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．
(1)求证：为的中点；
(2)点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
2．(2014高考数学湖北理科·第19题) 如图，在棱长为2的正方体中，、、、分别是棱、、、
的中点，点、分别在棱、上移动，且．
(Ⅰ)当时，证明：直线平面；
(Ⅱ)是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
3．(2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点．
(1)证明：；
(2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
4．(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
(1)证明：；
(2)若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
5．(2016高考数学北京理科·第17题)(本小题14分)如图，在四棱锥中，平面平面，,，．
(I)求证：平面;
(II)求直线与平面所成角的正弦值；
(Ⅲ)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由．
6．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第18题)如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
7．(2018年高考数学天津(理)·第17题)(本小题满分13分)如图，且，，且，，且，平面，．
(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
8．(2014高考数学天津理科·第17题)如图,在四棱锥中,底面,,,,点为棱的中点．
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值．
9．(2015高考数学湖北理科·第19题)(本小题满分12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接
(Ⅰ)证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；
(Ⅱ)若面与面所成二面角的大小为，求的值．
10．(2017年高考数学天津理科·第17题)如图,在三棱锥中,底面,．点,,分别为棱,,的中点,是线段的中点,,．
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知点在棱上,且直线与直线所成角的余弦值为,求线段的长．
11．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．
(1)证明：平面平面；
(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．
12．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)如图，四棱锥 中，侧面 为等比三角形且垂直于底面 ， 是 的中点．
(1)证明：直线 平面 ；
(2)点 在棱 上，且直线 与底面 所成锐角为 ，求二面角 的余弦值．
题型九：立体几何中求最值问题
1．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第19题)(12分)如图，边长为的正方形所在平面与半圆弧所在的平面垂直，是弧上异于的点．
(1)证明：平面平面；
(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
3．(2014高考数学江西理科·第20题)如图,四棱锥中,为矩形,平面平面．
求证:
A
B
C
D
P
若问为何值时,四棱锥的体积最大?并求此时平面与平面夹角的余弦值．
4．(2015高考数学江苏文理·第25题)如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,．
(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；
(2)点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长．
P
A
B
C
D
Q
题型十：立体几何的综合应用
1．(2019·北京·理·第16题)如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；
(Ⅱ)求二面角F–AE–P的余弦值；
(Ⅲ)设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
2．(2017年高考数学江苏文理科·第18题)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线,的长分别为14cm和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm． 现有一根玻璃棒l,其长度为40cm．(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将放在容器Ⅰ中,的一端置于点A处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度;
(2)将放在容器Ⅱ中,的一端置于点E处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度．
(第18题)
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc140660210" 题型一：证明平行问题 PAGEREF _Tc140660210 \h 1
\l "_Tc140660211" 题型二：证明垂直问题 PAGEREF _Tc140660211 \h 2
\l "_Tc140660212" 题型三：求线线角 PAGEREF _Tc140660212 \h 5
\l "_Tc140660213" 题型四：求线面角 PAGEREF _Tc140660213 \h 7
\l "_Tc140660214" 题型五：求二面角 PAGEREF _Tc140660214 \h 16
\l "_Tc140660215" 题型六：求几何题的表面积和体积 PAGEREF _Tc140660215 \h 18
\l "_Tc140660216" 题型七：求距离的问题 PAGEREF _Tc140660216 \h 30
\l "_Tc140660217" 题型八：根据条件确定点的位置 PAGEREF _Tc140660217 \h 31
\l "_Tc140660218" 题型九：立体几何中求最值问题 PAGEREF _Tc140660218 \h 36
\l "_Tc140660219" 题型十：立体几何的综合应用 PAGEREF _Tc140660219 \h 37
题型一：证明平行问题
1．(2019·江苏·第16题)如图，在直三棱柱中，分别为，的中点，．
求证：(1)平面；(2)．
2．(2022高考北京卷·第17题)如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
3．(2016高考数学山东理科·第17题)(本小题满分12分)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线．
(I)已知分别为，的中点，求证：GH∥平面ABC；
(II)已知，．求二面角的余弦值．
题型二：证明垂直问题
1．(2020江苏高考·第15题)在三棱柱中，，平面，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
2．(2018年高考数学江苏卷·第15题)(本小题满分14分)在平行六面体中，．
求证：(1)；
(2)．
3．(本小题满分12分)如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．
(Ⅰ)证明平面；
(Ⅱ)设，证明平面．
4．(2014高考数学江苏·第16题)如图，在三棱锥中，，E，F分别为棱的中点． 已知，
(1)求证：直线平面；
(2)求证：平面平面．
5．(2015高考数学江苏文理·第16题)如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，．
求证：(1)；
(2)．
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
6．(2017年高考数学江苏文理科·第15题)如图,在三棱锥中,, , 平面⊥平面, 点(与不重合)分别在棱,上,且⊥．
求证:(1)∥平面;
(2)⊥．
(第15题)
A
D
B
C
E
F
7．(2016高考数学江苏文理科·第16题)如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点在侧棱上，且，．
求证：(1)直线平面； (2)平面平面．
8．(2023年全国乙卷理科·第19题)如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
(3)求二面角正弦值．
题型三：求线线角
1．(2018年高考数学上海·第17题)(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2，
(1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；
(2)设，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与 所成的角的大小．
2．(2015高考数学新课标1理科·第18题)如图，四边形为菱形，，是平面同一侧的两点，⊥平面，⊥平面，，．
(1)证明：平面⊥平面;
(2)求直线与直线所成角的余弦值．
3．(2016高考数学上海理科·第19题)(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
将边长为1的正方形(及其内部)绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求异面直线与所成的角的大小．
4．(2015高考数学广东理科·第18题)(本小题满分14分)
如图2，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF=2FB，CG=2GB．
(1)证明：PE⊥FG；
(2)求二面角P—AD—C的正切值；
(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值．
题型四：求线面角
1．(2021年高考浙江卷·第19题)如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
2．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第20题)如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．
(1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．
3．(2020北京高考·第16题)如图，在正方体中，为的中点．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．
4．(2019·浙江·第19题)如图，已知三棱柱，平面平面，，，
，，分别是，的中点．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值．
5．(2019·天津·理·第17题)如图，平面，，．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值；
(Ⅲ)若二面角的余弦值为，求线段的长．
6．(2023年全国甲卷理科·第18题)如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．
(1)证明：；
(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．
7．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．
(1)证明：平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．
8．(2020年浙江省高考数学试卷·第19题)如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．
(I)证明：EF⊥DB；
(II)求DF与面DBC所成角的正弦值．
9．(2022年高考全国甲卷数学(理)·第18题)在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
(2)求PD与平面所成的角的正弦值．
10．(2022年浙江省高考数学试题·第19题)如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
11．(2022年高考全国乙卷数学(理)·第18题)如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
12．(2018年高考数学江苏卷·第25题)(本小题满分10分)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．
(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；
(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．
13．(2018年高考数学浙江卷·第19题)(本题满分15分)如图，已知多面体，均垂直于平面，
，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
14．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第18题)(12分)如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
(1)证明:平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值．
15．(2014高考数学陕西理科·第19题)四面体及其三视图如图所示，过被的中点作平行于，的平面分别交四面体的棱于点．
⑴证明：四边形是矩形；⑵求直线与平面夹角的正弦值．
1
2
2
主视图
左视图
俯视图
A
B
C
D
E
F
G
H
16．(2014高考数学福建理科·第17题)(本小题满分12分)
在平行四边形中，，．
将沿折起，使得平面平面，如图：
(1)求证：；
(2)若为中点，求直线与平面所成角的正弦值．
17．(2014高考数学北京理科·第17题)如图, 正方形AMDE的边长为2, B, C分别为AM、MD的中点, 在五棱锥P−ABCDE中, F为棱PE的中点, 平面ABF与棱PD, PC分别交于点G、H
(1)求证：AB // FG ；
(2)若PA⊥平面ABCDE, 且PA=AE, 求直线BC与平面ABF所成角的大小, 并求线段PH的长．
18．(2015高考数学新课标2理科·第19题)(本题满分12分)如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
D
D1
C1
A1
E
F
A
B
C
B1
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．
19．(2015高考数学上海理科·第19题)(本题满分12分)如图，在长方体中，，，、分别是棱、的中点，证明、、、四点共面，并求直线与平面所成角的大小．
20．(2017年高考数学浙江文理科·第19题)如图,已知四棱锥,是以为斜边的等腰直角三角
形,,,,为的中点．
(Ⅰ)证明:∥平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值．
(第19题图)
21．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图,四棱锥中,地面,AD∥BC,,,为线段上一点,,为的中点.
(Ⅰ)证明∥平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
P
N
M
A
B
C
D
22．(2016高考数学天津理科·第17题)如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求二面角的正弦值；
(Ⅲ)设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值．
23．(2016高考数学四川理科·第18题)如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，异面直线与所成的角为
(1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；
(2)若二面角的大小为 ，求直线与 所成的角正弦值．
24．(2017年高考数学北京理科·第16题)如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点在线段上,平面,,．
(Ⅰ)求证:为的中点;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．
题型五：求二面角
1．(2020天津高考·第17题)如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求二面角的正弦值；
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．
2．(2020江苏高考·第24题)在三棱锥中，已知,，为的中点，平面，，为的中点．
(1)求直线与所成角的余弦值；
(2)若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值．
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第19题)在四棱锥中，底面是正方形，若．
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角平面角的余弦值．
4．(2021年高考全国乙卷理科·第18题)如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
(1)求；
(2)求二面角的正弦值．
5．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第18题)如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
6．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，在长方体中，点分别在棱上，且，．
(1)证明：点平面内；
(2)若，，，求二面角的正弦值．
7．(2019·全国Ⅲ·理·第19题)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
(2)求图2中的二面角B−CG−A的大小．
8．(2019·全国Ⅱ·理·第17题)如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．
证明：平面；
若，求二面角的正弦值．
9．(2019·全国Ⅰ·理·第18题)如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，，的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值．
10．(2023年北京卷·第16题)如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求二面角的大小．
11．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第20题)如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
(2)点F满足，求二面角的正弦值．
12．(2022新高考全国II卷·第20题)如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．
(1)证明：平面；
(2)若，，，求二面角正弦值．
13．(2022新高考全国I卷·第19题)如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
(1)求A到平面的距离；
(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第20题)(12分)
如图，在三棱锥中，，，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
P
A
B
M
C
O
15．(2014高考数学重庆理科·第19题)如图(19)，四棱锥，底面是以为中心的菱形，底面，
， 为上一点，且，．
(1)求的长；
(2)求二面角的正弦值。
16．(2014高考数学浙江理科·第20题)如图，在四棱锥中，平面平面．
(1)证明：平面;
(2)求二面角的大小
17．(2014高考数学四川理科·第18题)三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示．设分别为线段的中点，为线段上的点，且．
(Ⅰ)证明：是线段的中点；
(Ⅱ)求二面角的余弦值．
18．(2014高考数学山东理科·第17题)如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点．
(Ⅰ)求证：∥平面；
(Ⅱ)若垂直于平面且，求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值．
19．(2014高考数学辽宁理科·第19题)(本小题满分12分)
如图，和所在平面互相垂直，且，，E、F分别为AC、DC的中点．
(1)求证：；
(2)求二面角的正弦值．
20．(2014高考数学课标1理科·第19题)如图三棱柱中,侧面为菱形,．
(1)证明:;
(2)若,,, 求二面角的余弦值．
21．(2014高考数学湖南理科·第19题)如图,四棱柱的所有棱长都相等,
四边形和四边形均为矩形．
(Ⅰ)证明:底面;
(Ⅱ)若,求二面角的余弦值．
22．(2014高考数学广东理科·第18题)如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点．
(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值．
23．(2014高考数学大纲理科·第19题)如图，三棱柱中，点在平面内的射影在上，，．
(1)证明：；
(2)设直线与平面的距离为，求二面角的大小．
24．(2015高考数学重庆理科·第19题)(本小题满分13分，(1)小问4要，(2)小问9分)
如图，三棱锥中，平面．分别为线段上的点，且
(1)证明：平面;
(2)求二面角的余弦值．
25．(2015高考数学浙江理科·第17题)(本题满分15分)如图，在三棱柱-中，，，，在底面的射影为的中点，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的余弦值．
26．(2015高考数学四川理科·第18题)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设的中点为，的中点为．
(1)请将字母标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)
(2)证明：直线平面
(3)求二面角的余弦值．
27．(2015高考数学陕西理科·第18题)(本小题满分12分)如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．
(Ⅰ)证明：平面；
(Ⅱ)若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
28．(2015高考数学山东理科·第17题)如图，在三棱台中，分别为的中点．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)若平面， ， ,求平面与平面 所成的角(锐角)的大小．
29．(2015高考数学福建理科·第17题)如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．
(Ⅰ)求证：平面 ；
(Ⅱ)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．
30．(2015高考数学北京理科·第17题)(本小题14分)如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求二面角的余弦值；
(Ⅲ)若平面，求的值．
31．(2015高考数学安徽理科·第19题)(本小题满分13分)如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)求二面角的余弦值．
32．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第18题)如图,在四棱锥中,,且．
(1)证明:平面平面;
(2)若,,求二面角的余弦值．
33．(2017年高考数学山东理科·第17题)如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形(及其内部)以边所在直线为旋转轴旋转得到的,是的中点．
(Ⅰ)设是上的一点,且,求的大小;
(Ⅱ)当,,求二面角的大小．
34．(2017年高考数学江苏文理科·第25题)如图, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=,．
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角B-A1D-A的正弦值．
(第22题)
35．(2016高考数学浙江理科·第17题)(本题满分15分)如图，在三棱台中，平面⊥平面， ．
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值．
35．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)(本小题满分)如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到的位置，．
( = 1 \* ROMAN I)证明：平面；
( = 2 \* ROMAN II)求二面角的正弦值．
37．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第18题)(本题满分为12分)如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．
(= 1 \* ROMANI)证明平面；
(= 2 \* ROMANII)求二面角的余弦值．
题型六：求几何题的表面积和体积
1．(2016高考数学江苏文理科·第17题)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱(如图所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．
(1)若，，则仓库的容积是多少；
(2)若正四棱锥的侧棱长为，当为多少时，仓库的容积最大？
2．(2014高考数学上海理科·第19题)底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图．求的各边长及此三棱锥的体积．
3．(2014高考数学课标2理科·第18题)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．
(Ⅰ)证明：PB∥平面AEC；
(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积．
P
E
D
C
B
A
4．(2014高考数学安徽理科·第20题)如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过三点的平面记为，与的交点为．
(Ⅰ)证明：为的中点；
(Ⅱ)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；
(Ⅲ)若，梯形的面积为，求平面与底面所成二面角的大小．
5．(2015高考数学湖南理科·第21题)如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点，分别在棱，BC上．
(1)若是的中点，证明：；
(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积．
题型七：求距离的问题
1．(2019·上海·第17题)如图，在长方体中，为上一点，已知，，，.
(1)求直线与平面的夹角；
(2)求点到平面的距离.
2．(2023年天津卷·第17题)三棱台中，若面，分别是中点．
(1)求证：//平面；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
题型八：根据条件确定点的位置
1．(2021高考北京·第17题)如图：在正方体中，为中点，与平面交于点．
(1)求证：为的中点；
(2)点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值．
2．(2014高考数学湖北理科·第19题) 如图，在棱长为2的正方体中，、、、分别是棱、、、
的中点，点、分别在棱、上移动，且．
(Ⅰ)当时，证明：直线平面；
(Ⅱ)是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
3．(2021年高考全国甲卷理科·第19题)已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和中点，D为棱上的点．
(1)证明：；
(2)当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
4．(2021年新高考Ⅰ卷·第20题)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
(1)证明：；
(2)若是边长为1等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
5．(2016高考数学北京理科·第17题)(本小题14分)如图，在四棱锥中，平面平面，,，．
(I)求证：平面;
(II)求直线与平面所成角的正弦值；
(Ⅲ)在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由．
6．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第18题)如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．
(1)证明：；
(2)点在棱上，当二面角为时，求．
7．(2018年高考数学天津(理)·第17题)(本小题满分13分)如图，且，，且，，且，平面，．
(1)若为的中点，为的中点，求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
8．(2014高考数学天津理科·第17题)如图,在四棱锥中,底面,,,,点为棱的中点．
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值．
9．(2015高考数学湖北理科·第19题)(本小题满分12分)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接
(Ⅰ)证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；
(Ⅱ)若面与面所成二面角的大小为，求的值．
10．(2017年高考数学天津理科·第17题)如图,在三棱锥中,底面,．点,,分别为棱,,的中点,是线段的中点,,．
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)已知点在棱上,且直线与直线所成角的余弦值为,求线段的长．
11．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第19题)如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，．
(1)证明：平面平面；
(2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值．
12．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第19题)如图，四棱锥 中，侧面 为等比三角形且垂直于底面 ， 是 的中点．
(1)证明：直线 平面 ；
(2)点 在棱 上，且直线 与底面 所成锐角为 ，求二面角 的余弦值．
题型九：立体几何中求最值问题
1．(2020年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第20题)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．
(1)证明：l⊥平面PDC；
(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第19题)(12分)如图，边长为的正方形所在平面与半圆弧所在的平面垂直，是弧上异于的点．
(1)证明：平面平面；
(2)当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．
3．(2014高考数学江西理科·第20题)如图,四棱锥中,为矩形,平面平面．
求证:
A
B
C
D
P
若问为何值时,四棱锥的体积最大?并求此时平面与平面夹角的余弦值．
4．(2015高考数学江苏文理·第25题)如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,．
(1)求平面与平面所成二面角的余弦值；
(2)点是线段上的动点，当直线与所成角最小时，求线段的长．
P
A
B
C
D
Q
题型十：立体几何的综合应用
1．(2019·北京·理·第16题)如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且．
(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；
(Ⅱ)求二面角F–AE–P的余弦值；
(Ⅲ)设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
2．(2017年高考数学江苏文理科·第18题)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm,容器Ⅱ的两底面对角线,的长分别为14cm和62cm． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm． 现有一根玻璃棒l,其长度为40cm．(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)
(1)将放在容器Ⅰ中,的一端置于点A处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度;
(2)将放在容器Ⅱ中,的一端置于点E处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度．
(第18题)
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