2024年中考数学复习讲义 第01讲 实数(含答案)

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考点一 实数的分类（高频考点）2
题型01 实数的分类3
题型02 无理数估值5
题型03 相反意义的量6
考点二 实数的相关概念（高频考点）7
题型01 用数轴上的点表示数8
题型02 求数轴上两点之间的距离10
题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负11
题型04 数轴上的动点问题13
题型05 求一个数的相反数17
题型06 多重符号化简18
题型07 相反数的应用19
题型08 求一个数的绝对值20
题型09 化简绝对值21
题型10 绝对值非负性的应用24
题型11 利用几何意义化简绝对值26
题型12 乘方运算29
题型13 乘方的应用30
考点三 科学记数法与近似数（高频考点）32
题型01 用科学记数法表示数33
题型02 求一个数的近似数34
考点四 实数比较大小35
题型01 利用数轴法比较实数大小36
题型02利用类比法比较实数大小36
题型03 利用作差法比较实数大小37
题型04 利用作商法比较实数大小40
题型05 利用平方法比较实数大小41
题型06 利用其它方法比较实数大小42
考点五 平方根、算术平方根、立方根43
题型01 求一个数的算术平方根44
题型02 利用算术平方根的非负性解题45
题型03 求一个数的平方根46
题型04 已知一个数的平方根，求这个数47
题型05 求一个数的立方根47
考点六 实数的运算（高频考点）48
题型01 实数的运算50
考点一 实数的分类（高频考点）
1.正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数.
2.正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3.整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.
4.实数的分类：
1）按定义分类： 2）按性质分类：
1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：53100 QUOTE b-3100 b-3100）、1.333333…（分数形式：43）等）.
2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等).
3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.
4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0.
题型01 实数的分类
【例1】（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A．38B．3.232232223???C．D．2
【答案】A
【提示】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得．
【详解】解：A.38=2，是有理数，则此项符合题意；
是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意；
C.是无理数，则此项不符合题意；
D.2是无理数，则此项不符合题意；
故选：A．
【点拨】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键．
【变式1-1】（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023B．-2023C．12023D．0
【答案】B
【提示】根据小于0的数即为负数解答可得．
【详解】-2023是负数，2023和12023是正数，0既不是正数也不是负数
故选：B．
【点拨】本题主要考查正数和负数，熟练掌握负数的概念是解题的关键．
【变式1-2】（2022·浙江金华·中考真题）在-2,12,3,2中，是无理数的是（ ）
A．-2B．12C．3D．2
【答案】C
【提示】根据无理数的定义判断即可；
【详解】解：∵-2，12，2是有理数，3是无理数，
故选： C．
【点拨】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π．
【变式1-3】（2022·山东日照·中考真题）在实数2，x0（x≠0），cs30°，38中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【提示】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答．
【详解】解：在实数2，x0（x≠0）=1，，38=2中，有理数是38=2，x0=1，
所以，有理数的个数是2，
故选：B．
【点拨】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
【变式1-4】（2023·江西·中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
A．3B．2.1C．0D．-2
【答案】A
【提示】根据有理数的分类即可求解．
【详解】解：3是正整数，2.1是小数，不是整数，0不是正数，-2不是正数，
故选：A．
【点拨】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
题型02 无理数估值
【例2】（2023·浙江台州·中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】根据无理数的估算可得答案．
【详解】解：∵，，而，，
∴大小在3与4之间的是，
故选：C．
【点拨】本题考查了无理数的估算，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【提示】根据正数负数，即可进行解答．
【详解】解：∵
∴
∴
∴比1小的正无理数是．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数负数．
【变式2-2】（2023·天津·中考真题）估计的值应在 （）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之
【答案】B
【提示】由于4＜6＜9，于是，从而有．
【详解】解：∵4＜6＜9，
∴，
∴，
故选B．
【点拨】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【变式2-3】（2023·内蒙古·中考真题）若为两个连续整数，且，则 ．
【答案】3
【提示】根据夹逼法求解即可．
【详解】解：∵，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点拨】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键．
题型03 相反意义的量
【例3】（2023·广东广州·中考真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（ ）
A．-5元B．0元C．+5元D．+10元
【答案】A
【提示】根据相反数的意义可进行求解．
【详解】解：由把收入5元记作+5元，可知支出5元记作-5元；
故选A．
【点拨】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．
【变式3-1】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“-30”表示（ ）
A．运出30吨粮食B．亏损30吨粮食C．卖掉30吨粮食D．吃掉30吨粮食
【答案】A
【提示】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解．
【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“-30”表示运出30吨粮食．
故选：A
【点拨】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．
【变式3-2】（2023·吉林·中考真题）月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解．
【详解】解：平均温度零上，记作+126°C，夜间平均温度零下，应记作，
故选：B．
【点拨】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．
判断一个数是有理数或无理数的方法
关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式.
2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数．
常见的无理数：
开方开不尽的数，如：2、35 等.
有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，等.
具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）.
某些三角函数，如sin60°、cs20°.
考点二 实数的相关概念（高频考点）
1.0的相反数是0，0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数.
2.任何一个数都有且只有一个相反数. 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数）.
3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式|x−a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴上x所对应的点与－a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆．
题型01 用数轴上的点表示数
【例1】（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】D
【提示】根据数轴及有理数的加法可进行求解．
【详解】解：由数轴可知点A表示的数是-1，所以比-1大3的数是-1+3=2；
故选D．
【点拨】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键．
【变式1-1】（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．-2023C．12023D．-12023
【答案】B
【提示】根据数轴的定义求解即可．
【详解】解；∵数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，
∴OB=2023，
∴点B表示的数是-2023，
故选：B．
【点拨】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
【变式1-2】（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）
A．-2B．-3C．-4D．-5
【答案】B
【提示】根据OB=2OA，点B表示的数是6，先求解OA, 再根据A的位置求解A对应的数即可．
【详解】解：由题意可得：点B表示的数是6，且B在原点的右侧，
OB=2OA，

在原点的左侧，
表示的数为-3
故选B
【点拨】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上的点所对应的数的表示，熟悉数轴的组成与数轴上数的分布是解本题的关键．
【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数7的点可能是( )

A．点PB．点QC．点RD．点S
【答案】B
【提示】根据先估算7的大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解．
【详解】解：∵4