中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第02讲 实数的计算（解析版）学案

这是一份中考数学《一轮专题讲义》（41专题）第02讲 实数的计算（解析版）学案，共13页。学案主要包含了实数的运算，非负数的性质，实数的大小比较等内容，欢迎下载使用。

聚焦考点☆温习理解
一．实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较：设a、b是实数，
(3)求商比较法：设a、b是两正实数，
(4)绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
(5)平方法：设a、b是两负实数，则。
二、实数的运算
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数的运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
三、非负数的性质
1、；
2、；
3、；
4、如果几个非负数的和等于零，那么这几个非负数都同时等于零.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、实数的大小比较
【例1】下列各数中比3大比4小的无理数是( )
A．B．C．3.1D．
【分析】由于带根号的要开不尽方是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数的定义即可求解．
【解答】解：∵四个选项中是无理数的只有和，而＞4，3＜＜4
∴选项中比3大比4小的无理数只有．
故选：A．
【举一反三】
1. 估计与0.5的大小关系是： 0.5．(填“＞”、“=”、“＜”)[来^源:中国%教育出~版网#*]
【答案】＞
【解析】
试题分析：∵-0.5==，
∵＞0，
∴＞0．
考点：实数大小比较．
2.当0＜x＜1时，x2、x、的大小顺序是( )
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】
试题分析：取x=，则x2=，
考点典例二、实数的运算
【例2】对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=．例如：因为4＞2，所以4*2==8，则(-3)*(-2)= ．
【答案】-1．
【解析】
试题分析：∵-3＜-2，∴(-3)*(-2)=(-3)-(-2)=-1．故答案为：-1．
考点：实数的运算；新定义．
【例3】计算：6sin45°+|2﹣7|﹣()﹣3+(2019﹣)0．
【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝6×﹣2+7﹣8+1＝．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【举一反三】
1.如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D．
考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．图表型．
2. 对于两个非零实数x，y，定义一种新的运算：x*y= +．若1*(﹣1)=2，则(﹣2)*2的值是_____．
【来源】浙江省金华市2018年中考数学试题
【答案】﹣1
【解析】分析：根据新定义的运算法则即可求出答案．
详解：∵1*(-1)=2，∴，即a-b=2
∴原式==−(a-b)=-1故答案为：-1
点睛：本题考查代数式运算，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．
考点典例三、非负数的性质
【例2】(经典题目)若，则=( )
A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】A．
考点：1．解二元一次方程组；2．非负数的性质．
【点睛】如果几个非负数的和等于零，那么这几个非负数都同时等于零.此类问题通常结合一元一次方程或二元一次方程组进行考查.
【举一反三】
1.若，则( )
A. －3 B. －1 C. 3 D. 1
【答案】A
2. 若与互为相反数，则x+y的值为_________。
【答案】27
【解析】
试题解析：∵与互为相反数，
∴
∴x-2y+9=0，x-y-3=0
解得：y=12，x=15
∴x+y=27.
3.嘉琪在做家庭作业时，不小心将墨汁弄倒，恰好覆盖了题目的一部分：计算：(－7)0＋|1－eq \r(3)|＋(eq \f(\r(3),3))－1－□＋(－1)2 018.
经询问，王老师告诉题目的正确答案是1.
(1)求被覆盖的这个数是多少？
(2)若这个数恰好等于2tan(α－15)°，其中α为三角形一内角，求α的值．
【解析】：(1)原式＝1＋eq \r(3)－1＋eq \r(3)－□＋1＝1，
∴□＝1＋eq \r(3)－1＋eq \r(3)＋1－1＝2eq \r(3).
(2)∵α为三角形一内角，
∴0<α<180.
∴－15°<(α－15)°<165°.
∵2tan(α－15)°＝2eq \r(3)，
∴(α－15)°＝60°.
∴α＝75.
归纳：考查实数的运算，先分别计算出每一项的值，再根据实数混合运算的顺序进行计算，即先乘除，再加减，同级运算，按从左向右进行计算．
课时作业☆能力提升
一．选择题
1．估计的值应在( )
A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
【来源】【全国省级联考】2018年重庆市中考数学试卷(A卷)
【答案】B
【解析】【分析】先利用分配律进行计算，然后再进行化简，根据化简的结果即可确定出值的范围.
【详解】=，=，
而，4<<5，所以2<<3，
所以估计的值应在2和3之间，故选B.
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键.
2. 计算-6sin30°的相反数等于
A. 3 B. C. D.
【答案】A.
【解析】
试题分析：-6sin30°= -6×= -3，-3的相反数是3，故-6sin30°的相反数是3，故选A.
考点：实数的相反数.
3.我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数i，使其满足i2=﹣1(即x2=﹣1方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=(﹣1)•i，i4=(i2)2=(﹣1)2=1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n•i=(i4)n•i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为( )
A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. i
【答案】D
故选D．
4. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是( )
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
【答案】A．
考点：1．二次根式的性质与化简；2．实数与数轴．
5. 如表是一个4×4(4行4列共16个“数”组成)的奇妙方阵，从这个方阵中选四个“数”，而且这四个“数”中的任何两个不在同一行，也不在同一列，有很多选法，把每次选出的四个“数”相加，其和是定值，则方阵中第三行三列的“数”是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C．
【解析】
试题分析：∵第一行为1，2，3，4；第二行为﹣3，﹣2，﹣1，0；第四行为3，4，5，6，∴第三行为5，6，7，8，∴方阵中第三行三列的“数”是7，故选C．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
6.北京等5个城市的国际标准时间(单位：小时)可在数轴上表示如下：
如果将两地国际标准时间的差简称为时差，那么下列说法中正确的是( )
A. 汉城与纽约的时差为13小时 B. 北京与纽约的时差为13小时
C. 北京与纽约的时差为14小时 D. 北京与多伦多的时差为14小时
【答案】B
【解析】理解两地国际标准时间的差简称为时差．根据有理数减法法则计算，减去一个数等于加上这个数的相反数．
解：A.汉城与纽约的时差为9﹣(﹣5)=14小时，故选项错误；
B.北京与纽约的时差为8﹣(﹣5)=13小时，故选项正确；
C.北京与纽约的时差为8﹣(﹣5)=13小时，故选项错误；
D.北京与多伦多的时差为8﹣(﹣4)=12小时，故选项错误．
故选B．
点睛：本题主要考查有理数减法的实际应用.理解题意并正确列出算式是解题的关键.
7.我市今年参加中考的学生人数大约为5.08×104人，对于这个用科学记数法表示的近似数，下列说法正确的是( )
A．精确到百分位，有3个有效数字
B．精确到百分位，有5个有效数字
C．精确到百位，有3个有效数字
D．精确到百位，有5个有效数字
【答案】C．
【解析】
试题分析：5.08×104精确到了百位，有三个有效数字，故选C．
考点：科学记数法与有效数字．
8.数轴上有两个实数a，b，且a＞0，b＜0，a+b＜0，则四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为 (用“＜”号连接)．
【答案】b＜﹣a＜a＜﹣b
【解析】解：∵a＞0，b＜0，a+b＜0，
∴|b|＞a，
∴﹣b＞a，b＜﹣a，
∴四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为b＜﹣a＜a＜﹣b．
故答案为：b＜﹣a＜a＜﹣b
9. 已知: 表示不超过的最大整数，例: ，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D. 或1
【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题
【答案】C
【解析】【分析】根据新定义的运算逐项进行计算即可做出判断.
【详解】A. ==0-0=0，故A选项正确，不符合题意；
B. ===，=，
所以，故B选项正确，不符合题意；
C. =，= ，
当k=3时，==0，= =1，
此时，故C选项错误，符合题意；
【点睛】本题考查了新定义运算，明确运算的法则，运用分类讨论思想是解题的关键.
10.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|b|可化简为( )
a﹣bB．b﹣aC．a+bD．﹣a﹣b
【答案】C．
【解析】
试题分析：观察数轴可得a＞0，b＜0，所以则|a|﹣|b|=a﹣(﹣b)=a+b．故答案选C．
考点：数轴；绝对值.
11. 下列无理数中，与4最接近的是( )
A. B. C. D.
【来源】江苏省南京市2018年中考数学试卷
【答案】C
【解析】分析：根据无理数的定义进行估算解答即可.
详解：4=,与最接近的数为,故选:C.
点睛：本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算出无理数的大小．
二．填空题
12.计算的结果为 ．
【答案】2.
【解析】
试题解析：=6-4=2.
考点：有理数的混合运算.
13. 实数a、b满足，则的值为
A．2 B． C．−2 D．−
【答案】B
【解答】解：由题意：，所以，解之得，所以，故选择B．
14.若x，y为实数，且|x﹣2|+(y+1)2=0，则 的值是__．
【答案】
【解析】
试题解析：由题意得：x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴ ．
故答案为： ．[来源:Z*xx*k.Cm]
15. 设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)，已知，，则___________.
【来源】湖南省娄底市2018年中考数学试题
【答案】4035
【解析】【分析】整理得，从而可得an+1-an=2或an=-an+1，再根据题意进行取舍后即可求得an的表达式，继而可得a2018.
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题，解题的关键是通过已知条件推导得出an+1-an=2.
16.计算：；
【提示】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是正确化简负整数指数幂、锐角三角函数值、二次根式等运算．本题先逐个化简负整数指数幂、锐角三角函数值、二次根式，再按照运算顺序计算．
【解答】解：原式=9﹣+6×=9﹣2+3=9+；
17. 对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：.例如.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【来源】江苏省扬州市2018年中考数学试题
【答案】(1)；(2).
点睛：本题考查新定义型运算，解题的关键是正确利用运算法则，本题属于基础题型．
18.已知a，b互为倒数，c，d互为相反数，|x|=2且数x表示在数轴上在原点的左边，求： 的值
【答案】64
【解析】试题分析：由题意可知：ab=1，c+d=0，x=-2，代数代数式中即可求出答案．
试题解析：由题意可知：ab=1，c+d=0，x=-2，
∴原式=3(c+d)-9×(-2)3+4x
=-9×(-8)+4×(-2)
=72-8
=64.
19.计算：(﹣2)2﹣|﹣2|﹣2cs45°+(3﹣π)0
【分析】先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：(﹣2)2﹣|﹣2|﹣2cs45°+(3﹣π)0，
＝4﹣(2﹣)﹣2×+1，
＝4﹣2+﹣+1，
＝3．