第01讲 实数（讲义）2024年中考数学一轮复习（讲义+练习）（全国通用）

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TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc159614335" PAGEREF _Tc159614335 \h 2
\l "_Tc159614336" 考点一 实数的分类（高频考点） PAGEREF _Tc159614336 \h 2
\l "_Tc159614337" 题型01 实数的分类 PAGEREF _Tc159614337 \h 3
\l "_Tc159614338" 题型02 无理数估值 PAGEREF _Tc159614338 \h 4
\l "_Tc159614339" 题型03 相反意义的量 PAGEREF _Tc159614339 \h 4
\l "_Tc159614340" 考点二 实数的相关概念（高频考点） PAGEREF _Tc159614340 \h 5
\l "_Tc159614341" 题型01 用数轴上的点表示数 PAGEREF _Tc159614341 \h 6
\l "_Tc159614342" 题型02 求数轴上两点之间的距离 PAGEREF _Tc159614342 \h 7
\l "_Tc159614343" 题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负 PAGEREF _Tc159614343 \h 7
\l "_Tc159614344" 题型04 数轴上的动点问题 PAGEREF _Tc159614344 \h 8
\l "_Tc159614345" 题型05 求一个数的相反数 PAGEREF _Tc159614345 \h 10
\l "_Tc159614346" 题型06 多重符号化简 PAGEREF _Tc159614346 \h 10
\l "_Tc159614347" 题型07 相反数的应用 PAGEREF _Tc159614347 \h 11
\l "_Tc159614348" 题型08 求一个数的绝对值 PAGEREF _Tc159614348 \h 11
\l "_Tc159614349" 题型09 化简绝对值 PAGEREF _Tc159614349 \h 11
\l "_Tc159614350" 题型10 绝对值非负性的应用 PAGEREF _Tc159614350 \h 12
\l "_Tc159614351" 题型11 利用几何意义化简绝对值 PAGEREF _Tc159614351 \h 12
\l "_Tc159614352" 题型12 乘方运算 PAGEREF _Tc159614352 \h 14
\l "_Tc159614353" 题型13 乘方的应用 PAGEREF _Tc159614353 \h 14
\l "_Tc159614354" 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） PAGEREF _Tc159614354 \h 15
\l "_Tc159614355" 题型01 用科学记数法表示数 PAGEREF _Tc159614355 \h 16
\l "_Tc159614356" 题型02 求一个数的近似数 PAGEREF _Tc159614356 \h 16
\l "_Tc159614357" 考点四 实数比较大小 PAGEREF _Tc159614357 \h 17
\l "_Tc159614358" 题型01 利用数轴法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614358 \h 17
\l "_Tc159614359" 题型02利用类比法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614359 \h 18
\l "_Tc159614360" 题型03 利用作差法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614360 \h 18
\l "_Tc159614361" 题型04 利用作商法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614361 \h 19
\l "_Tc159614362" 题型05 利用平方法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614362 \h 19
\l "_Tc159614363" 题型06 利用其它方法比较实数大小 PAGEREF _Tc159614363 \h 19
\l "_Tc159614364" 考点五 平方根、算术平方根、立方根 PAGEREF _Tc159614364 \h 20
\l "_Tc159614365" 题型01 求一个数的算术平方根 PAGEREF _Tc159614365 \h 21
\l "_Tc159614366" 题型02 利用算术平方根的非负性解题 PAGEREF _Tc159614366 \h 22
\l "_Tc159614367" 题型03 求一个数的平方根 PAGEREF _Tc159614367 \h 22
\l "_Tc159614368" 题型04 已知一个数的平方根，求这个数 PAGEREF _Tc159614368 \h 22
\l "_Tc159614369" 题型05 求一个数的立方根 PAGEREF _Tc159614369 \h 22
\l "_Tc159614370" 考点六 实数的运算（高频考点） PAGEREF _Tc159614370 \h 22
\l "_Tc159614371" 题型01 实数的运算 PAGEREF _Tc159614371 \h 24
考点一 实数的分类（高频考点）
1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数.
2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.
4、实数的分类：
1）按定义分类： 2）按性质分类：
1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：53100 QUOTE b-3100 b-3100）、1.333333…（分数形式：43）等）.
2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，π3（不是分数）等).
3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数.
4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0.
题型01 实数的分类
【例1】（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ）
A．38B．3.232232223???C．π3D．2
【变式1-1】（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（ ）
A．2023B．-2023C．12023D．0
【变式1-2】（2022·浙江金华·中考真题）在-2,12,3,2中，是无理数的是（ ）
A．-2B．12C．3D．2
【变式1-3】（2022·山东日照·中考真题）在实数2，x0（x≠0），cs30°，38中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式1-4】（2023·江西·中考真题）下列各数中，正整数是（ ）
A．3B．2.1C．0D．-2
题型02 无理数估值
【例2】（2023·浙江台州·中考真题）下列无理数中，大小在3与4之间的是（ ）．
A．B．C．D．
【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·中考真题）下面四个数中，比1小的正无理数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2023·天津·中考真题）估计的值应在 （）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之
【变式2-3】（2023·内蒙古·中考真题）若为两个连续整数，且，则 ．
题型03 相反意义的量
【例3】（2023·广东广州·中考真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，如果把收入5元记作+5元，那么支出5元记作（ ）
A．-5元B．0元C．+5元D．+10元
【变式3-1】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“-30”表示（ ）
A．运出30吨粮食B．亏损30吨粮食C．卖掉30吨粮食D．吃掉30吨粮食
【变式3-2】（2023·吉林·中考真题）月球表面的白天平均温度零上，记作+126°Ca，夜间平均温度零下，应记作（ ）
A．+150°CaB．C．+276°CaD．
判断一个数是有理数或无理数的方法
关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式.
2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数．
常见的无理数：
开方开不尽的数，如：2、35 等.
有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，π3等.
具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）.
某些三角函数，如sin60°、cs20°.
考点二 实数的相关概念（高频考点）
1.0的相反数是0，0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数.
2.任何一个数都有且只有一个相反数. 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数）.
3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式|x−a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴上x所对应的点与－a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆．
题型01 用数轴上的点表示数
【例1】（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【变式1-1】（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA=OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．-2023C．12023D．-12023
【变式1-2】（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表示的数是6，则点A表示的数是（ ）
A．-2B．-3C．-4D．-5
【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数7的点可能是( )

A．点PB．点QC．点RD．点S
题型02 求数轴上两点之间的距离
【例2】（2023·广东汕头·模拟预测）一只蚂蚁从数轴上A点出发爬了4个单位到了相反数B点所在的位置，则点A所表示的是（ ）
A．﹣2或2B．﹣2C．2D．4或﹣4
【变式2-1】（2021·广东广州·中考真题）如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0，若AB=6，则点A表示的数为（ ）
A．-3B．0C．3D．-6
【变式2-2】（2023·宁夏·中考真题）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是-1，点B是AC的中点，线段AB=2，则点C表示的数是 ．

题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负
【例3】（2023·山东潍坊·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ）

A．-c-cC．a-b=b-aD．c-a=a-c
【变式3-1】（2023·山东·中考真题）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）

A．c(b-a)<0B．b(c-a)<0C．a(b-c)>0D．a(c+b)>0
【变式3-2】【多选】（2022·山东潍坊·中考真题）如图，实数a，b在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（ ）
A．ab>1B．-a0D．-ab>0
【变式3-3】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点A、BCam分别对应实数a、bCam，则a+b 0.(用“>”“<”或“=”填空)

利用特殊值法判断式子正负
利用数轴来判断代数式的符号这类题目，在做选择题和填空题的时候，还可以利用数轴，选择特殊值法.【变式3-3】中根据数轴A、B点的位置，首先可知a为负数，b为正数且a的绝对值大于b的绝对值，所以我们假设a=-2,b=1，然后代入到代数式中判断正负. 利用特殊值法做题时，大家需要注意：根据题目信息将合适的数值带入到代数式中判断式子正负.
题型04 数轴上的动点问题
【例4】（2022·广东·惠州一中校考二模）如图，直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑动地滚动一周到达点 A，则点 A 表示的数是（ ）．
A．3B．4C．πD．2π
【变式4-1】（2021·广西百色·一模）正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A,D对应的数分别为1和0，若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与2020对应的点是（ ）
A．AB．BC．CD．D
【变式4-2】（2023·河北承德·二模）如图，数轴上点M对应的数为-10，点N在点M右侧，对应的数为a，矩形ABCD的边AD在数轴上．矩形从点A与M重合开始匀速向正方向运动，到点D与点N重合时停止运动．同时一动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿折线绕矩形匀速运动一周，且点P与矩形同时到达各自终点．已知AB=10，BC=30，设运动时间为t秒，过点Р作垂直于数轴的直线，将垂足对应的数称为点Р对应的数．

(1)若矩形运动速度为每秒1个单位长度，则点A对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示，不必写范围）．
(2)若a=60，当，即点Р在BC边上时，点Р对应数轴上的数为 ；（用含t的代数式表示）
(3)若运动过程中有一段时间，点Р对应数轴上的数不变，则a= ．
【变式4-3】．（2022·河北石家庄·石家庄二十三中校考模拟预测）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：
①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；
②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位；
③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位．
(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；
(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数；
(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若AB=3，求x的值．
【变式4-4】（2022·河北邯郸·校考三模）如图，在数轴上，点P、A、B表示的数分别是﹣6、﹣3、2．点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点P、B运动的时间为t秒时，点P、B分别位于数轴上P'、B'处．
(1)当t＝ 时，AB＝8．
(2)当P'A＝3P'B时，求t的值．
数轴上的动点问题
解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程展开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解.而对于建立在数轴上的动点问题来说，由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路.一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系，就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程. 因此解决数轴上的动点问题要明确以下几个问题：
1.找出动点的基准坐标，即运动的起始坐标；
2.算出动点运动后的坐标：
向右运动：运动后的坐标 = 基准坐标 + 运动路程；
向左运动：运动后的坐标 = 基准坐标 - 运动路程；
3.表示线段长度：线段右端点表示的数 - 线段左端点表示的数；
4.列方程：根据运动的关系或题目中的条件，列出方程，未知数通常是运动时间t、速度v或所求坐标；
5.求解
题型05 求一个数的相反数
【例5】（2023·辽宁锦州·中考真题）2023的相反数是（ ）
A．12023B．-2023C．2023D．-12023
【变式5-1】（2023·湖北恩施·中考真题）如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（ ）
A．9B．-19C．19D．-9
【变式5-2】（2023·四川绵阳·中考真题）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣0.5的相反数是（ ）
A．0.5B．±0.5C．﹣0.5D．5
题型06 多重符号化简
【例6】（2023·广东广州·中考真题）--2023=（ ）
A．-2023B．2023C．-12023D．12023
【变式6-1】（2023·广东广州·校考模拟预测）下列各对数中，互为相反数的是（ ）
A．-+5和-5B．+-5和-5
C．+-8和-+8D．+-8和--8
题型07 相反数的应用
【例7】（2021·河北·中考真题）能与-34-65相加得0的是（ ）
A．-34-65B．65+34
C．-65+34D．-34+65
【变式7-1】（2023·山东潍坊·一模）若实数a的相反数是﹣1，则a+1等于（ ）
A．2B．﹣2C．0D．12
【变式7-2】（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则3a+3b-4c的值为（ ）
A．-8B．-5C．-1D．16
【变式7-3】（2021·甘肃陇南·一模）若m+1与-2互为相反数，则m的值为 .
题型08 求一个数的绝对值
【例8】（2023·浙江·中考真题）计算： ．
【变式8-1】（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ）
①－2022的相反数是2022；②－2022的绝对值是2022；③的倒数是2022．
A．3B．2C．1D．0
【变式8-2】（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果为5的是（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】（2023·山东淄博·中考真题）的运算结果等于（ ）
A．3B．C．D．
题型09 化简绝对值
【例9】（2022·内蒙古·中考真题）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）

A．1B．2C．2aD．1﹣2a
【变式9-1】（2022·宁夏·中考真题）已知实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】（2023·安徽蚌埠·模拟预测）有理数、、在数轴上的位置如图所示，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-3】（2023·湖北黄冈·校考模拟预测）已知有理数，，满足，且，则 ．
【变式9-4】．（2023·山东青岛·校考一模）设a，b，c为有理数，则由构成的各种数值是 ．
题型10 绝对值非负性的应用
【例10】（2023·西藏·中考真题）已知a，b都是实数，若，则的值是（ ）
A．B．C．1D．2023
【变式10-1】（2023·山东·中考真题）的三边长a，b，c满足，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形
【变式10-2】（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则 ．
【变式10-3】（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在数轴上点表示数，点表示数，且．

(1)______，______；
(2)点、点开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动．求秒后点、点之间的距离（用含的代数式表示）．
【变式10-4】（2023·湖南·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
题型11 利用几何意义化简绝对值
【例11】（2023·四川内江·校考三模）阅读下列材料：
我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离；即；这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：
例1：解方程．
容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的±4；
例2：解方程．
由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与-1和2的距离之和为5的点对应的的值．在数轴上，-1和2的距离为3，满足方程的对应的点在2的右边或在-1的左边．若对应的
点在2的右边，如图可以看出；同理，若对应点在-1的左边，可得．所以原方程的解是或．
例3：解不等式．
在数轴上找出的解，即到1的距离为3的点对应的数为-2，4，如图，在-2的左边或在4的右边的值就满足，所以的解为或．
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程的解为 ；
（2）方程的解为 ；
（3）若，求的取值范围．
【变式11-1】（2023·河北邢台·模拟预测）我们知道，的几何意义是：在数轴上数a对应的点到原点的距离，类似的，的几何意义就是：数轴上数对应点之间的距离；比如：2和5两点之间的距离可以用表示，通过计算可以得到他们的距离是3
（1）数轴上1和两点之间的距离可以用 表示，通过计算可以得到他们的距离是_______
（2）数轴上表示x和的两点A、B之间的距离可以表示为AB= ；如果AB=2，结合几何意义，那么x的值为 ；
（3）代数式表示的几何意义是 ，该代数式的最小值是
利用零点分段法化简绝对值
零点:使得绝对值符号内的代数式为0的未知数的值，称为绝对值的零点
利用零点分段法去绝对值符号的方法：
1.化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号，先根据所给的条件,确定绝对值符号内的数的正负(即a>0，a<0，还是a =0)如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论.
2.分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数(或式子)等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点(零点)将数轴分成了若干段，在每一小段上，绝对值内代数式的符号都是能够判定的；最后依次在每一段上化简原式，这种方法被称为零点分段法
零点分段法的具体步骤：1.找零点;2.分区间; 3.定正负;4.去符号.
题型12 乘方运算
【例12】（2023·广东佛山·校考一模）以下式子和的值相同的是（ ）
A．B．C．D．
【变式12-1】（2023·江西赣州·赣州市第三中学校考模拟预测）下列各对数中，相等的一对数是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【变式12-2】（2023·福建泉州·南安市实验中学校考模拟预测）若x、y、z是三个连续的正整数，若x2＝44944，z2＝45796，则y2＝（ ）
A．45 369B．45 371C．45 465D．46 489
【变式12-3】（2023·山东东营·一模）的相反数是（ ）
A．－1B．1C．－2023D．2023
题型13 乘方的应用
【例13】（2022·湖南娄底·中考真题）在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．1335天B．516天C．435天D．54天
【变式13-1】（2023·陕西西安·高新一中校考模拟预测）有一张厚度是0.1mm的纸，将它对折20次后，其厚度可表示为（ ）mm
A．B．C．D．
【变式13-2】（2023·陕西西安·模拟预测）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是 ．
【变式13-3】（2023·河北沧州·校考模拟预测）若，则 ．
考点三 科学记数法与近似数（高频考点）
1.含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值.
2.科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数；
n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数.
3.对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6×105.
4.用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0.
题型01 用科学记数法表示数
【例1】（2023·四川成都·中考真题）2023年5月17日10时49分，我国在西昌卫星发射中心成功发射第五十六颗北斗导航卫星．北斗系统作为国家重要基础设施，深刻改变着人们的生产生活方式．目前，某地图软件调用的北斗卫星日定位量超亿次．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023·贵州·中考真题）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2023·湖北武汉·中考真题）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系．其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在95%．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是 （备注：1亿＝100000000）．
【变式1-3】（2023·山东东营·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003，将0.0000003用科学记数法可以表示为 ．
题型02 求一个数的近似数
【例2】（2022·山东济宁·中考真题）用四舍五入法取近似值，将数0.0158精确到0.001的结果是（ ）
A．0.015B．0.016C．0.01D．0.02
【变式2-1】（2021·山东潍坊·中考真题）第七次全国人口普查数据显示，山东省常住人口约为10152.7万人，将101 527 000用科学记数法（精确到十万位）（ ）
A．1.02×108B．0.102×109C．1.015×108D．0.1015×109
【变式2-2】（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）用四舍五入法把某数取近似值为，精确度正确的是（ ）
A．精确到0.01B．精确到0.1C．精确到万分位D．精确到千分位
考点四 实数比较大小
实数比较大小的6种基础方法：
1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则
①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b
②对任意负实数a，b，若a2>b2a5. 倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a/b=1a=b
2)任意正实数a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b
3)任意负实数a，b，a/b>1ab
题型01 利用数轴法比较实数大小
【例1】（2023·湖北黄石·中考真题）实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ）

A．B．C．D．无法确定
【变式1-1】（22·23下·惠州·二模）已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）

A．B．C．D．
题型02利用类比法比较实数大小
【例2】（2022·辽宁阜新·中考真题）在有理数，，0，2中，最小的是（ ）
A．B．C．0D．2
【变式2-1】（2023·浙江金华·中考真题）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2023·湖南益阳·中考真题）四个实数，0，2，中，最大的数是（ ）
A．B．0C．2D．
题型03 利用作差法比较实数大小
【例3】（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题：
已知，，，试比较与的大小．
小华：整式的大小比较可采用“作差法”.
老师：比较与的大小．
小华：∵，
∴．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
…
(1)请用“作差法”完成老师提出的问题．
(2)比较大小：__________．（填“”“”或“”）
【变式3-1】（2023·山西临汾·一模）阅读理解下面内容，并解决问题.
请解决以下问题：(1)用“”或“”填空：______．
(2)制作某产品有两种用料方案，方案：用块型钢板，块型钢板；方案：用块型钢板，块型钢板；已知型钢板的面积比型钢板的面积大，若型钢板的面积为，型钢板的面积为，则从省料的角度考虑，应选哪种方案？并说明理由．
(3)已知，比较与的大小．
题型04 利用作商法比较实数大小
【例4】作商比较法的理论依据是，，若，则；若，则；若，则．请用作商法比较与的大小．
【变式4-1】若a＞0，b＞0，且，则a＞b；若a＜0，b＜0，且，则a＜b．以上这种比较大小的方法，叫做作商比较法．试利用作商比较法，比较与的大小．
题型05 利用平方法比较实数大小
【例5】（2023·四川甘孜·中考真题）比较大小： （填“>”“=”或“<”）
【变式5-1】（2022·山东临沂·中考真题）比较大小： （填“”，“”或“”）．
【变式5-2】（2023·江苏盐城·校联考模拟预测）比较大小： ．（填“>”，“=”或“<”）
题型06 利用其它方法比较实数大小
【例6】（2023·江苏扬州·中考真题）已知，则a、b、c的大小关系是( )
A．B．C．D．
【变式6-1】（2022·西藏·中考真题）比较大小： 3．（选填“＞”“＜”“＝”中的一个）
【变式6-2】（2023·陕西西安·一模）比较大小： （填“＞”，“＜”或“=”）
【变式6-3】（2023·陕西西安·一模）比较大小： 1．（填“”“ ”或“”）
其它比较实数大小的方法
1.取近似值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: √2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236
2.添加根号法：如果两个数都是正数，且一个带根号.一个不带根号时，可以将不带根号写成带根号的形式根据“两个正无理数，被开方数大的那个数大”，即可与另一个含根号的数比较大小.
3.放缩法：将一个实数取比它大的整数，而另一个实数取比它小的整数，通过这两个整数的大小即可比较两个实数的大小.（例如：比较√3和2.5大小.∵√3<2,2<2.5 ∴√3<2.5）
考点五 平方根、算术平方根、立方根
常见实数的平方根与立方根：
实数的非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数.
2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即a2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即a≥0
3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
1. 一个正数a的算数平方根用符号表示为√a，一个非负数a的平方根用符号表示为±√a；一个数a的立方根用符号表示为3√a
2. 0的算术平方根、平方根和立方根都是0； 平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1.
3. 有时候题目会故意没有把√a去根号，这时候就要注意千万不要把√a的平方根当作a的平方根，要先把√a去根号，再求平方根．（如：例3）
题型01 求一个数的算术平方根
【例1】（2023·甘肃武威·中考真题）9的算术平方根是（ ）
A．B．C．3D．
【变式1-1】（2023·山东·中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（ ）
A．9的平方根B．9的算术平方根C．9的立方根D．5的算术平方根
【变式1-2】（2022·四川凉山·中考真题）化简：＝（ ）
A．±2B．－2C．4D．2
题型02 利用算术平方根的非负性解题
【例2】（2023·湖北荆门·中考真题）若，则 ．
【变式2-1】（2023·四川内江·中考真题）在中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ．
题型03 求一个数的平方根
【例3】（2023·四川广安·中考真题）的平方根是 ．
【变式3-1】（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）64的算术平方根是 ，的平方根是 ．
题型04 已知一个数的平方根，求这个数
【例4】（2023·广东广州·广东实验中学校考二模）若正数的两个平方根是与，则为（ ）
A．0B．1C．D．1或
题型05 求一个数的立方根
【例5】（2023·浙江嘉兴·中考真题）﹣8的立方根是（ ）
A．±2B．2C．﹣2D．不存在
【变式5-1】（2023·湖南郴州·中考真题）计算： ．
【变式5-2】（2023·湖南·中考真题）的立方根是 ．
【变式5-3】（2021·内蒙古·中考真题）一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为 ．
考点六 实数的运算（高频考点）
常见的实数运算：
实数的四则运算：
1.实数的加法法则：
1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
2.实数的减法法则：
减去一个数等于加上这个数的相反数.
3.实数的乘方法则：
1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
2）任何数同0相乘，都得0.
4.实数的除法法则：
1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数；
2）0除以任何不为0的数，都得0.
5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）.
1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律．
2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错：
①先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号．
题型01 实数的运算
【例1】（2023·云南·中考真题）计算：．
【变式1-1】（2023·北京·中考真题）计算：．
【变式1-2】（2023·湖南怀化·中考真题）计算：
【变式1-3】（2023·辽宁沈阳·中考真题）计算：．
实数运算技巧
实数运算的“两个关键”：
1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
考点要求
新课标要求
命题预测
实数的分类
理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的
实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点.
实数的相关概念
可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应
科学记数法、近似数
利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算
实数比较大小
灵活运用多种方法比较实数大小
平方根、算术平方根、立方根
了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根
实数的相关计算
掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
相关概念
概念
补充与拓展
数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
数轴上的点与实数具有一一对应的关系.
将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大.
在数轴上距原点n个单位长度的点有2个.
数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y.
数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数
（简称大数-小数）.
相反数
只有符号不同的两个数称为互为相反数.
若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）.
互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧.
正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0.
（a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a.
多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正.
绝对值
在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|．
两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小.
正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数
若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0.
若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）.
若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）.
几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离
|x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离
|x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离
倒数
1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数．
0没有倒数.
若a、b互为倒数，则ab=1
互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.
倒数是本身的只有1和-1.
乘方
n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数，
乘方的结果叫做幂.
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数
正数的任何次幂都是正数.
规定：a0=1（a≠0）
相关概念
概念
补充与拓展
科学记数法
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键
当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1
当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）.
小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108
近似数
近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.
近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0
一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字
一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字
用求差法比较大小
学习了不等式的知识后，我们根据等式和不等式的基本性质，可知比较两个数或式子的大小可以通过求它们的差来判断．如果两个数或式子为和，那么
当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．
反过来也正确，即
当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．
因此，我们经常把要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．这种比较大小的方法被称为“求差法”．
例如：已知，比较与的大小．
解：
∵，∴，，，∴，∴．
“求差法”的实质是把两个数（或式子）的大小判断的问题，转化为一个数（或式子）与0的大小比较的问题．一般步骤为①作差；②变形；③判断符号；④得出结论．
相关概念
概念
补充与拓展
算术平方根
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为√a，a叫做被开方数.
正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根
平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
正数有两个平方根，且它们互为相反数.
0的算术平方根为0；负数没有算术平方根.
立方根
如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根
正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根．
互为相反数的两个数的立方根互为相反数
三角函数
30°
45°
60°
1