人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.3 空间中的平行关系11.3.3 平面与平面平行导学案

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请同学们拿一个三角板做下面的实验．
思考 (1)三角板的一条边所在的直线与桌面平行，这个三角板所在的平面与桌面平行吗？
(2)三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何？
知识点1 两个平面的位置关系
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)没有公共点的两平面平行．( )
(2)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( )
(3)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行．( )
[提示] (1)由平面与平面平行的定义知正确．
(2)若两个平面都平行于同一条直线，两平面可能平行，也可能相交，故错误．
(3)两平面可能相交．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
知识点2 平面与平面平行的判定定理与推论
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．
2．底面为平行四边形的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，与平面BB1C1C平行的平面是( )
A．平面AA1D1D B．平面AA1B1B
C．平面DD1C1C D．平面ABCD
A [根据图形及平面与平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D．]
知识点3 平面与平面平行的性质定理
推论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
[拓展]
两平面平行还有以下性质
(1)证明线面平行的常用方法：α∥β，a⊂β⇒a∥α．
(2)夹在两个平行平面内的所有平行线段的长度相等．
(3)经过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行．
(4)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交．
3．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是( )
A．两两相互平行
B．两两相交于一点
C．两两相交但不一定交于同一点
D．两两相互平行或交于同一点
A [根据面面平行的性质，知四条直线两两互相平行．]
类型1 平面与平面平行的判定
【例1】 (教材P104例1改编)已知正方形ABCD与菱形ABEF所在平面相交，求证：平面BCE∥平面ADF．
[思路探究] 由四边形ABCD是正方形，证得BC∥平面ADF，由四边形ABEF为菱形，证得BE∥平面ADF，即可利用面面平行的判定定理，证得平面BCE∥平面ADF．
[证明] 因为四边形ABCD是正方形，所以BC∥AD．
因为BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，
所以BC∥平面ADF．
因为四边形ABEF是菱形，所以BE∥AF．
因为BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，
所以BE∥平面ADF．
因为BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，所以平面BCE∥平面ADF．
常见面面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点；
(2)判定定理法：转化为线面平行；
(3)平行平面的传递性：两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行；
(4)利用平面与平面平行的判定定理的推论．
eq \O([跟进训练])
1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD．求证：平面MNQ∥平面PBC．
[证明] 因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP．又因为BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC．
因为四边形ABCD为平行四边形．所以BC∥AD，所以MQ∥BC．又因为BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，所以MQ∥平面PBC．又因为MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC．
类型2 面面平行的性质定理的应用
1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点．你能证明直线EG∥平面BDD1B1吗？
[提示] 如图，连接SB，
因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB．
又因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1．
所以直线EG∥平面BDD1B1．
2．上述问题中，条件不变，请证明平面EFG∥平面BDD1B1．
[提示] 连接SD．因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD．
又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1．又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1．
【例2】 如图，已知平面α∥β，Pα，且Pβ，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD＝ ．
[思路探究] 面面平行⇒线线平行⇒分线段比例相等．
eq \f(24,5) [因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，
因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD．所以eq \f(PA,AC)＝eq \f(PB,BD)，即eq \f(6,9)＝eq \f(8－BD,BD)．所以BD＝eq \f(24,5)．]
[母题探究]
1．将本例改为：若点P位于平面α，β之间(如图)，其他条件不变，试求BD的长．
[解] 与本例同理，可证AB∥CD．
所以eq \f(PA,PC)＝eq \f(PB,PD)，即eq \f(6,3)＝eq \f(BD－8,8)，所以BD＝24．
2．将本例改为：如图所示，平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C与D，E，F．
已知AB＝6，eq \f(DE,DF)＝eq \f(2,5)，求AC．
[解] 由题图可知eq \f(DE,DF)＝eq \f(AB,AC)⇒AC＝eq \f(DF,DE)·AB＝eq \f(5,2)×6＝15．
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
类型3 探索型问题
【例3】 已知底面是平行四边形的四棱锥P­ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？若存在，证明你的结论，并说出点F的位置．若不存在，请说明理由．
[解] 存在点F，当F为PC中点时，BF∥平面AEC，
证明如下：
如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF．因为BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，所以BG∥平面AEC．同理，GF∥平面AEC，又BG∩GF＝G．所以平面BGF∥平面AEC．所以BF∥平面AEC．因为BG∥OE，O是BD的中点，所以E是GD的中点．
又因为PE∶ED＝2∶1，所以G是PE的中点．而GF∥CE，所以F为PC的中点．综上，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC．
[母题探究]
本例若改为“已知底面是平行四边形的四棱锥P­ABCD，在棱PD上是否存在一点E，使PB∥平面ACE？若存在，请找出E点位置；若不存在，请说明理由”，该如何解决？
[解] 如图，连接AC，BD交于点O，取PD的中点为E，连接OE，AE，CE，则在△PBD中，OE∥PB，又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB∥平面ACE．此时E为PD中点，故当E为PD的中点时，能使PB∥平面ACE．
解探索型问题常用策略
(1)(条件探索型)所给问题结论明确，需要完备条件或条件需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．
(2)(结论探索型)先探索结论再去证明，在探索过程中常先从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳进行猜测，得出结论，再就一般情况去证明结论．
eq \O([跟进训练])
2．如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF．
[解] 如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE．
因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF．所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF．又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF．又PQ∩PB＝P，PQ，PB⊂平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF．又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF．故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF．
1．平面α与平面β平行的条件可以是( )
A．α内有无数多条直线与β平行
B．直线a∥α，a∥β
C．直线a⊂α，直线b⊂β，且a∥β，b∥α
D．α内的任何直线都与β平行
D [由面面平行的定义知，选D．]
2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，则m，n的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
A [因为圆台的上、下底面互相平行，所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n．]
3．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( )
A．若α与β相交，a⊂α，b⊂β，则a与b一定相交
B．若a⊂α，b⊂β，a∥b，则α∥β
C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
D [A错误，a与b可能平行也可能是异面直线；由平面与平面平行的判定定理知B、C错误；由平面与平面平行的性质定理知，D正确．]
4．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是 ．
平行 [由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，知EF是△SBC的中位线，所以EF∥BC．又因为BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，所以EF∥平面ABC．同理DE∥平面ABC，又因为EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面ABC．]
5．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为 ．
平行四边形 [因为平面ABFE∥平面CDHG，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面CDHG＝HG，
所以EF∥HG．同理EH∥FG，
所以四边形EFGH的形状是平行四边形．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？
[提示] 不一定，这无数条直线中可能任何两条都不相交，即全部平行．举反例如下图：
2．对平面与平面平行的判定定理你是怎样理解的？
[提示] (1)定理作用：把判定面面平行问题转化为判定线面平行问题，即要证明面面平行，需证线面平行．
(2)面面平行判定定理的必备条件：
①平面内的两条直线与另一平面平行；
②这两条直线必须是相交直线．
3．两平面平行的相关性质有哪些？
[提示] (1)若两个平面平行，则一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行．这条性质给我们提供了证明线面平行的另一种方法，也可以作为判定定理运用．
(2)夹在两个平行平面间的两条平行线段相等．
(3)平行平面具有传递性，即平行于同一个平面的两个平面平行．该性质同时也是面面平行的一种判定方法．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
1．掌握空间两个平面的位置关系，并会判断．(一般)
2．掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理证明一些空间位置关系的简单命题．(重点)
3．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．(重点、难点)
1．通过学习空间两平面的位置关系，培养直观想象的数学核心素养．
2．借助两平面平行的判定与性质定理的学习，提升逻辑推理、数学抽象的核心素养．
位置关系
图示
表示法
公共点个数
两平面平行
α∥β
0个
两平面相交
α∩β＝l
无数个点(共线)
语言叙述
符号表示
图形表示
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊂α，m⊂α,l∩m≠∅,l∥β，m∥β))
⇒α∥β
文字语言
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m⇒l∥m
图形语言