人教B版 (2019)必修 第四册11.1.4 棱锥与棱台学案设计

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我们见到的很多建筑物呈棱锥形状．
思考：观察棱锥的结构，你能给出一个几何体是棱锥的充要条件吗？
知识点1 棱锥的有关概念
1．棱锥
2．正棱锥及有关概念
(1)正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥．
(2)侧面性质：正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形．
(3)正棱锥的斜高：侧面等腰三角形底边上的高．
1．(1)在三棱锥A­BCD中，可以当作棱锥底面的三角形有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2)下面描述中，不是棱锥的结构特征的为( )
A．三棱锥的四个面是三角形
B．棱锥都是有两个面互相平行的多边形
C．棱锥的侧面都是三角形
D．棱锥的侧棱相交于一点
(1)D (2)B [(1)每个面都可作为底面，有4个．
(2)根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B错．]
知识点2 棱台的有关概念
1．棱台
2．正棱台及有关概念
(1)正棱台：由正棱锥截得的棱台称为正棱台．
(2)正棱台的高：上下底面中心的连线．
(3)侧面性质：正棱台的侧面都全等，而且都是等腰梯形．
(4)正棱台的斜高：侧面等腰梯形的高．
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．( )
(2)用一平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，一个是棱台．( )
(3)有两个面平行，且其余各面均为梯形的几何体一定是棱台．( )
[提示] (1)√．依据棱台的定义可知：由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分是棱台．
(2)×．只有用一平行于底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，才能一个是棱锥，一个是棱台．
(3)×．未必是棱台，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，如图，用一个平行于楔形几何体底面的平面去截楔形几何体，截面与底面之间的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
类型1 棱锥及其有关概念
【例1】 下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为( )
A B C D
A [判断一个几何体是否是棱锥，关键是看它是否满足以下条件：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，且是有一个公共顶点的三角形．故A不是棱锥；B是四棱锥；C、D是五棱锥．]
棱锥有哪三个特征？
(1)有一个面是多边形．
(2)其余各面是三角形．
(3)这些三角形有一个公共顶点．
eq \O([跟进训练])
1．有下列几个命题：
(1)底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥；(2)所有侧棱相等的棱锥一定是正棱锥；(3)正棱锥的棱都相等；(4)侧棱长相等，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥，一定是正棱锥．其中真命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [由正棱锥的定义可知：(1)缺少“各侧面全等”这个条件，故不能得到正棱锥，所以(1)是假命题；侧棱都相等时，底面可以不是正多边形，比如一个三棱锥，侧棱都相等，但侧棱的夹角不相等，因此底面边长不相等，不是正三棱锥，所以(2)是假命题；棱锥的棱包括侧棱和底棱，正棱锥的侧棱都相等，底棱也相等，但侧棱和底棱可能不相等，所以(3)是假命题；(4)符合正棱锥的定义，所以(4)是真命题．]
类型2 棱台的结构特征
【例2】 下列关于棱锥、棱台的说法中，正确说法的序号是 ．
(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；
(3)棱台的各侧棱延长后必交于一点；
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
(2)(3) [(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
(3)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；
(4)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．]
棱台结构特征问题的判断方法
(1)举反例法
结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
eq \O([跟进训练])
2．下列几何体是棱台的是 (写出所有满足题意的序号)．
④ [①③都不是由棱锥截得的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意；②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意；④符合棱台的定义．]
类型3 几何体的计算问题
1．计算正三棱锥中底面边长、斜高、高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？
[提示] 常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形；②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形．
2．其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？
[提示] 是．
3．正棱台中的计算呢？
[提示] 根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解．
【例3】 (教材P73例1改编)正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2eq \r(3)，求正三棱锥的高．
[思路探究] 正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形⇒勾股定理求解．
[解] 作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点．
在Rt△ADO中，AD＝eq \f(3,2)，
∠OAD＝30°，
故AO＝eq \f(\f(3,2),cs∠OAD)＝eq \r(3)．
在Rt△SAO中，SA＝2eq \r(3)，AO＝eq \r(3)，
故SO＝eq \r(SA2－AO2)＝3，其高为3．
[母题探究]
1．将本例中“侧棱长为2eq \r(3)”，改为“斜高为2eq \r(3)”，则结论如何？
[解] 连接SD(图略)，在Rt△SDO中，SD＝2eq \r(3)，DO＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(\r(3),2)，故SO＝eq \r(SD2－DO2)＝eq \r(12－\f(3,4))＝eq \f(3\r(5),2)．
2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？
[解] 如图，正四棱锥S­ABCD中，SO为高，连接OC．
则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝eq \f(3\r(2),2)，又因为SC＝2eq \r(3)，则SO＝eq \r(SC2－OC2)＝eq \r(12－\f(9,2))＝eq \r(\f(15,2))＝eq \f(\r(30),2)．
故其高为eq \f(\r(30),2)．
正棱锥、正棱台中的计算技巧
(1)正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高．
①斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC．
②斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE．
③侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC．
(2)正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，
①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1．
②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO．
③高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1．
1．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( )
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
B [②显然是棱锥．]
2．(多选题)棱台具备的特点是( )
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都平行 D．侧棱延长后都交于一点
ABD [由棱台的定义和结构特征，C为棱台不具备的特点．]
3．如图，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
B [剩余几何体为四棱锥A′­BCC′B′．]
4．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为 ．
48 [正四棱锥的斜高h′＝eq \r(52－32)＝4，S侧＝4×eq \f(1,2)×6×4＝48．]
5．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为 ．
eq \r(10) [将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝eq \r(AD2＋DD\\al(2,1))＝eq \r(10)．
]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．棱柱、棱台、棱锥之间有怎样的形成关系？
[提示]
2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？
[提示] 未必是棱锥．如图所示的几何体，满足各面都是三角形，但这个几何体不是棱锥，因为它不满足条件“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”．
3．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？
[提示] 棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．
4．试比较棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
[提示]
1．了解棱锥、棱台的定义和结构特征．(重点)
2．掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质．(难点)
3．知道棱锥、棱台的表面积计算公式，能用公式解决简单的实际问题．(重点、难点)
1．通过棱锥、棱台的定义及结构特征的学习，培养数学抽象的核心素养．
2．借助棱锥、棱台中的有关计算问题，提升数学运算的核心素养．
定义
如果一个多面体有一个面是多边形，且其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥
图及相关概念
底面：是多边形的那个面
侧面：有公共顶点的各三角形
顶点：各侧面的公共顶点
侧棱：相邻两侧面的公共边
高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)
侧面积：所有侧面的面积之和
棱锥
的分类
依据底面的形状分类：三棱锥、四棱锥、五棱锥……
定义
一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台
图及相关概念
下底面：原棱锥的底面
上底面：截面
侧面：其余各面
侧棱：相邻两侧面的公共边
高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)
侧面积：所有侧面的面积之和
棱台的分类
依据底面的形状分类：三棱台、四棱台、五棱台……
棱台
定底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
延长后相交于一点
几何体
结构
棱柱
棱锥
棱台
底面
全等的多边形
多边形
相似的多边形
侧面
平行四边形
三角形
梯形
侧棱
平行且相等
相交于顶点
延长线交于一点
平行于底面的截面
与两个底面全等的多边形
与底面相似的多边形
与两个底面相似的多边形
过不相邻两侧棱的截面
平行四边形
三角形
梯形