专题07 抛物线与阿基米德三角形（讲义）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题

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专题07 抛物线与阿基米德三角形
【突破满分数学之秒杀技巧与答题模板】：
抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因为阿基米德本人最早利用逼近的思想证明 如下结论：
抛物线与阿基米德三角形定理：
如图，假设抛物线方程为， 过抛物线准线上一点向抛物线引两条切线，切点分别记为，其坐标为. 则以点和两切点围成的三角形中，有如下的常见结论:
结论1．直线过抛物线的焦点.
结论2．直线的方程为.
证明：参见下面的例1．也可由极点与极线得到．
进一步，设：，则.
则，显然由于过焦点，代入可得．我们得到了抛物线焦点弦两端点坐标之间的基本关系．
结论3．过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线．
证明：过点的切线方程为，过点的切线方程为，两式相除可得：．这就证明了该结论．
结论4..
证明：由结论3，，．那么.
结论5..
证明：,则．由抛物线焦点弦的性质可知，代入上式即可得，故.
结论6．直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴．
证明：由结论3的证明可知，过点的切线的交点在抛物线准线上．且的坐标为，显然平行于抛物线的对称轴．
例1、已知的方程为，过直线上的动点作的两条切线，切点分别为，证明：直线恒过定点．
【详解】曲线：，即，则，
设，
可知切线的斜率为，所以切线：，
则，整理得，
同理由切线可得：，
可知：为方程的两根，则，
可得直线的斜率，
设的中点为，则，
即，
所以直线：，整理得，
所以直线恒过定点.

例2、已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，．
（1）证明：直线过定点．
（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求该圆的方程．
【解析】（1）证明：设，，，则，
由于，切线的斜率为，故，
整理得：．
设，，同理可得．
故直线的方程为．
直线过定点；
（2）解：由（1）得直线的方程．
由，可得．
于是．
设为线段的中点，则，
由于，而，与向量平行，
，解得或．
当时，，所求圆的方程为；
当时，，所求圆的方程为．
1．在平面直角坐标系中，为直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，，切点分别为，，为的中点．
（1）证明：轴；
（2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解析】解：（1）证明：设切点为，，，，
即的导数为，
所以切线的斜率为，切线的方程为，
设，则有，
化简可得，
同理可得，
所以，是方程的两根，
所以，，
，
所以轴；
（2）因为，
所以，
因为，
所以直线的方程为，
即，
所以直线恒过定点．
2．设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，.
(1)求抛物线的标准方程．
(2)已知点，直线、分别与抛物线交于点、．求证：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用弦长求解，即可求解抛物线方程；
（2）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点．
【详解】（1）解：由题意，当直线垂直于轴时，直线的方程为，
联立可得，则，所以，即，
所以抛物线的方程为.
（2）证明：若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
同理可知，直线也不与轴重合，
设、，设直线的方程为，
联立得，，
因此，.
设直线的方程为，联立得，
则，因此，，则，同理可得.
所以.
因此直线的方程为，
由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以，直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
例3、（2023届·黄冈中学5月二模·T6）设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=()
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【详解】
法一：因为弦AB过焦点，故点P在准线上，勾股求出P点到x轴距离，进而可知∠PFO=30°，
又∵∠PFB=90°，故∠FBP=60°，由焦点弦公式可得.
法二：常规解法
，设直线AB的方程为 ，显然m是存在的，
设 ，显然 ，求导： ，
在A点处的切线方程为…①，
同理可得在B点处的切线方程为：；
联立方程 ，解得 ， ， ，
联立方程 解得 ， ，
即P点在准线 上，设 ， ，
考虑抛物线关于x轴对称，不妨取 ，代入①得： ，解得 或 ，
由图可知 ，再代入抛物线方程得 ，
例4、已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】设出点的坐标，利用导数的几何意义求出切线的方程，进而抽象出直线的方程，即可推理作答．
【详解】抛物线的准线为，设点，对函数求导得，
于是直线的方程为，即，亦即，
同理，直线的方程为，而点为直线、的公共点，则，
因此点，的坐标都满足方程，即直线的方程为，从而直线恒过定点，
所以点到直线的距离的最大值.
例5、（多选）设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）
A．轴B．C．D．
【答案】AC
【简证】
由结论1可得A对，
因为AB一定不过焦点F，故B错，
由结论5可得C对,
由结论5可得故D错
【详解】对于A选项：设,
,,
过点A切线为：①,
过点B切线为:②,
①②得
化简可得
轴,A选项正确．
设
过A点的切线为,过B点的切线为,交点为
AB的中点为，所以不垂直,B选项错误；
,所以,D选项错误;
作抛物线准线的垂线 ,连接
则
显然 ,所以
又因为由抛物线定义,得,故知 是线段 的中垂线,得到则
同理可证：,，
所以，即,
所以 ,即.
例6．已知抛物线的方程为，点是抛物线的准线上的任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，点是的中点．
（1）求证：切线和互相垂直；
（2）求证：直线与轴平行；
（3）求面积的最小值．
【解析】（1）证明：由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在．
设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，
联立方程，，
消去，得，
由△，得，
记关于的一元二次方程的两根为，，
则，分别为切线，的斜率，由根与系数的关系知，
所以切线和互相垂直．
（2）证明：设点，由，知，则，
所以过点的切线方程为，
将点代入，化简得，
同理可得，
所以，是关于的方程的两个根，
由根与系数的关系知，
所以，即中点的横坐标为，
而点的横坐标也为，所以直线与轴平行．
（3）解：点，则，
则，
由（2）知，，，
则，，，
当时，面积的最小值为4．
1．过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是 .
【答案】.
【简证】半代入得切点弦QR方程为，故QR过定点，所以点的轨迹为以为直径的圆
点与圆相切时斜率取到最值
【常规法详解】设，不妨设，
由，可得，可得，则，
可得切线的方程为
因为点在直线上，可得，
同理可得：，
所以直线的方程为，可得直线过定点，
又因为在直线上的射影为，可得且，
所以点的轨迹为以为直径的圆，其方程为，
当与相切时，
由抛物线，可得，设过点与圆相切的直线的斜率为，
可得切线方程为，则，解得或，
所以实数的范围为.
故答案为：.

2．（2023秋·海南·高三统考期末）已知，是抛物线上位于不同象限的两点，分别过，作的切线，两条切线相交于点，为的焦点，若，，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【简证】由阿基米德三角形性质可得
【常规法详解】解：抛物线的焦点，抛物线的准线方程为，
如图所示，根据抛物线对称性，不妨令第二象限，Q在第一象限，
根据抛物线的定义，可知
所以的纵坐标为1，的纵坐标为4，则，．
由得，得，所以抛物线在，两点处的切线斜率分别为和2，
得到两条切线方程并联立，解得，则，
所以．
3．（多选）已知抛物线，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是（ ）
A．B．当时，
C．当时，直线AB的斜率为2D．直线AB过定点
【答案】BD
【分析】根据为准线上的点列方程，解方程即可得到可判断A；利用导数的几何意义得到过点，的切线斜率，可得到，为方程的解，然后利用导数的几何意义和韦达定理得到，即可判断B；利用韦达定理和斜率公式求即可判断C；联立和得到，同理可得，即可得到直线的方程为，可判断D.
【详解】因为为准线上的点，所以，解得，故A错；
根据抛物线方程得到，则，设切点坐标为，，
则，整理得，同理得，
所以，为方程的解，，
所以，则，故B正确；
由B选项得，所以，故C错；
由B选项得，又，联立得，
同理得，所以直线AB的方程为，恒过点，故D正确．

4．已知抛物线的方程为，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，．
（1）若点坐标为，求切线，的方程；
（2）若点是抛物线的准线上的任意一点，求证：切线和互相垂直．
【解析】（1）解：由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，设切线斜率为，
点坐标为，过点的切线方程为，
联立，消去，得，
由△，解得，
所以切线，的方程分别为和，
即切线方程分别为和；
（2）证明：设点坐标为，切线斜率为，过点的切线方程为，
联立，消去，得，
由△，得，
记关于的一元二次方程的两根为，，
则，分别为切线，的斜率，由根与系数的关系知，
所以切线和互相垂直．
例7、已知抛物线：，直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值．
【答案】
【详解】如图所示，

设，则，联立方程组整理得，
所以，且，
所以.
由，可得，则，所以抛物线的过点A的切线方程是，
将代入上式整理得，
同理可得抛物线的过点的切线方程为
由解得，所以，
所以到直线的距离，
所以的面积，
当时，，
所以面积的最小值为.
例8、已知点，动点到点的距离比动点到直线的距离大1，动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值
【解析】解：（1）设动点，
由题意得，动点到点的距离与动点到直线的距离相等，
动点的轨迹为抛物线，且焦点为，准线为，
曲线的方程为：；
（2）设，设切线的斜率为，
则切线方程为：，代入抛物线整理：，
由△得：，
，
，解得：，
切点坐标为，
由，得，，
设直线与的夹角为，则，
则
．
令切点到的距离为，
则，
，，
，
当，即时，的面积取得最小值．
1．已知点、，直线与相交于点，且直线的斜率与直线的斜率之差为，点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；
（Ⅱ）为直线上的动点，过做曲线的切线，切点分别为、，求的面积的最小值．
【解析】解：设，由题意可得：，
化为．
曲线 的轨迹方程为且．
设，切线方程为，
联立，化为，
由于直线与抛物线相切可得△，即．
，解得．可得切点，
由．，．
切线．
为直角三角形，．
令切点到的距离为，
则，
，
，
，
当时，即时，的面积取得最小值4．
2．（2022·浙江杭州·学军中学模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点，过线段的中点M且与x轴平行的直线依次交直线，，l于点P，Q，N．
(1)求证：；
(2)若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，若，求实数的取值范围；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设，即可表示、的坐标，再由直线的方程，得到点坐标，同理可得点坐标，从而得证；
（2）依题意可得，即可求出、，再根据三角形面积求出的取值范围；
【详解】（1）解：设，
则，
由于A，F，B三点共线，则，整理得，
又，
则，同理可得
则，
，所以，即证；
（2）解：若线段上的任意一点均在以点Q为圆心、线段长为半径的圆内或圆上，
即，则，
化简得，，
即
可得，又因为，
，
可得，，，
，，即例9、双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式，
，从而解出、，利用勾股定理可解．
【详解】内切圆Q分别与，，，轴切于点S，T，N，P
则四边形、都为正方形，
设内切圆半径为，由圆的切线性质，
则，则 ，①
又因为，②
且双曲线定义得，，③
由①、②、③得，
所以，
从而，
由勾股定理，，所以，解得．
例10、已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】利用双曲线的焦点三角形的内切圆的性质，圆心在实轴上的射影点就是双曲线对应的顶点，从而构造直角三角形，结合正切的二倍角公式求解．
【详解】如图，设的内切圆的圆心为，内切圆与三边相切于，

，
所以，即的内切圆与轴相切于右顶点，即双曲线的右顶点为，
设直线的倾斜角为，即，则由内切圆的性质可知轴，
所以在中，，
所以
例10、（2023届·湖南师范大学附属中学月考(三)）已知椭圆的左､右焦点分别为为上不与左､右顶点重合的一点，为的内心，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取中点，由及得到三点共线且，再根据双曲线定义及得到的比例关系，进而解出离心率．
【详解】设是的中点，连接，如图，则，由，得
三点共线，．由既是的平分线，又是边上的中线，得．作轴于点，，且，.
故选：B.
例11、已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且．
（1）判断点是否在直线上？说明理由；
（2）设点是的外接圆的圆心，求点的轨迹方程．
【解析】解：（1）由抛物线的方程可得顶点，由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为：，设，，，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，△，即，
，，，，
因为，，，
而，所以，解得，满足判别式大于0，
即直线方程为，所以恒过
可得点在直线上．
（2）因为点是的外接圆的圆心，所以点是三角形三条边的中垂线的交点，
设线段的中点为，线段的中点为，
因为，设，，，
所以，，，，，，
所以线段的中垂线的方程为：，
因为在抛物线上，所以，
的中垂线的方程为：，即，
同理可得线段的中垂线的方程为：，
联立两个方程，解得，
由（1）可得，，
所以，，
即点，所以，
即点的轨迹方程为：．
1、已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是△的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是 ．
【答案】
【详解】设的内切圆的半径为，
由双曲线的定义可得，
则，
因为，所以，
可得，故
2、已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若上存在点，满足（为坐标原点），且的内切圆的半径等于，则双曲线的离心率为 ．
【答案】5
【详解】设，，点在双曲线的右支上，
由，可知，
又由双曲线的定义有，，
在中，的内切圆的半径，又由，可得，联立解得代入，
有，整理为，可得，
有，故双曲线的离心率．
3、已知双曲线的左、右焦点分别为，，P是双曲线上一点，且（为坐标原点），若内切圆的半径为，则C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由分析可得，根据内切圆性质结合双曲线定义分析可得切点D为双曲线的右顶点，在中，由勾股定理列式求解．
【详解】，即为，即为，可得．所以．
根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，如图所示，由题意设的内切圆切三边分别于G，D，E三点，则，，．
又，所以．
设，则，所以，
所以切点D为双曲线的右顶点，所以，
．
在中，由勾股定理得，
整理得，即，解得，
又因为，所以C的离心率为，
故选：C．
4、（多选）双曲线的左、右焦点分别，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A．到轴的距离为
B．点的轨迹是双曲线
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义求得，可判断A；在等腰中，利用中位线结合双曲线的定义可求出，可判断B；设，由，即，由余弦定理代入化简可得，再结合椭圆和双曲线的定义可判断C；由，即可判断D.
【详解】设圆与三边的切点为，
，
又，故，故，所以到轴的距离为，故A正确；

过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，
因为，则为的中点且，于是，
故点的轨迹是在以为圆心，半径为的圆上，故B不正确；
设椭圆的长半轴长为，它们的半焦距为，并设，
根据椭圆和双曲线的定义可得：，所以，
在中，由余弦定理得：，
即，
在中，由余弦定理得：，
即，由，
两式相加，则，又，所以，
所以，所以，即，故C正确；
，即，所以，即，故D正确
5．已知是抛物线的顶点，、是上的两个动点，且．
（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；
（2）设点是的外接圆圆心，求点的轨迹方程．
【解析】解：（1）因为点是抛物线的顶点，
故点的坐标为，
根据题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为：，
设，，，，
故，
因为，
则，
因为、是上的两个动点，
则有，，
故，
整理可得，解得，
由，消去可得，
则有，，
所以，解得，
故直线的方程为，
所以直线经过一个定点．
（2）线段的中点坐标为，
又直线的斜率为，
所以线段的垂直平分线的方程为，①
同理，线段的垂直平分线的方程为，②
由①②解得，
设点，则有，
消去，得到，
所以点的轨迹方程为．
例12、已知双曲线C：过点，则其方程为 ，设，分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为，的内心，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】①将点代入方程中求出，即可得答案；②据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得，的内切圆与轴切于双曲线的右顶点，设直线的倾斜角为，可用表示，根据两点都在右支上得到的范围，利用的范围可求得的取值范围
【详解】①由双曲线C：过点，所以
所以方程为
②如图：
设的内切圆与分别切于，
所以，
所以，
又，所以，
又，所以与重合，所以的横坐标为，同理可得的横坐标也为，
设直线的倾斜角为．则，，
，
当时，，
当时，由题知，...
因为两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，
∴．且，，
综上所述，.
例13、图，已知是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，与轴分别交于，．
（1）求证：直线过定点，并求出该定点；
（2）设直线与轴相交于点，记，两点到直线的距离分别为，；求当取最大值时的面积．
【解析】解：（1）证明：设过点与抛物线相切的直线方程为：，
由，
因为相切，所以，
设，是该方程的两根，
由韦达定理得：，
，分别表示切线，斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，
所以切点
所以直线为：，
直线方程为：，
所以过定点．
（2）方法一
由（1）知，
由（1）知点坐标为，，所以直线方程为：，
即：，，分居直线两侧，，
，
当且仅当，
又由，令得：，
；
方法二：
因为，
由（1）知点坐标为，，
又由（1）知直线方程为：，
，
当且仅当取到等号，
又由，令得：，．
1、（多选）已知椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为A，点M为椭圆上一点，点I是的内心，延长MI交线段于N，抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，若四边形是菱形，则下列结论正确的是（ ）
A．B．椭圆的离心率是
C．的最小值为D．的值为
【答案】ACD
【详解】对于A，因为椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，则，，，，
因为抛物线（其中c为椭圆下的半焦距）与椭圆交于B，C两点，
所以由椭圆与抛物线的对称性可得，两点关于轴对称，不妨设，，，
因为四边形是菱形，所以的中点是的中点，
所以由中点坐标公式得，则，
将代入抛物线方程得，，
所以，则，所以，故A正确；
对于B，由选项A得，再代入椭圆方程得，
化简得，则，故，所以，故B错误；
对于C，由选项B得，所以，则，
所以，不妨设，则，且，
所以，
当且仅当且，即，即时，等号成立，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，连接和，如图，
因为的内心为，所以为的平分线，则有，
同理：，所以，
所以，所以，故D正确．
2．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，作﹐垂足分别为，若，直线分别与以为直径的圆相切于不同的点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】法一：应用解析法，设，，联立抛物线方程，结合已知条件求参数，即可确定所在直线为轴，进而求；法二：应用几何法，根据抛物线的性质及已知条件有，由勾股定理可得，且，即可确定所在直线为轴，进而求；
【详解】法一：如图所示，
由抛物线得﹐设，其中，
若直线，则，
由得：，故，
∵
∴，解得，
由以为直径的圆均与轴相切，则直线为，
∴.
法二:如图，
由题知：，，
∴，则，则，
∴
由以为直径的圆均与轴相切，则直线为轴，.
故选：D.
3．（2021·全国·统考高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析
【分析】（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；
（2）方法一：先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论．
【详解】（1）依题意设抛物线，
，
所以抛物线的方程为，
与相切，所以半径为，
所以的方程为；
（2）[方法一]：设
若斜率不存在，则方程为或，
若方程为，根据对称性不妨设，
则过与圆相切的另一条直线方程为，
此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；
若方程为，根据对称性不妨设
则过与圆相切的直线为，
又，
，此时直线关于轴对称，
所以直线与圆相切；
若直线斜率均存在，
则，
所以直线方程为，
整理得，
同理直线的方程为，
直线的方程为，
与圆相切，
整理得，
与圆相切，同理
所以为方程的两根，
，
到直线的距离为：
，
所以直线与圆相切；
综上若直线与圆相切，则直线与圆相切．
[方法二]【最优解】：设．
当时，同解法1．
当时，直线的方程为，即．
由直线与相切得，化简得，
同理，由直线与相切得．
因为方程同时经过点，所以的直线方程为，点M到直线距离为．
所以直线与相切．
综上所述，若直线与相切，则直线与相切．
【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用的对称性，抽象出与关系，把的关系转化为用表示，法二是利用相切等条件得到的直线方程为，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路