专题08 圆锥曲线第二定义与焦点弦（讲义）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

专题8 圆锥曲线的第二定义与焦点弦
焦点弦定义：过焦点的直线与曲线相交于两点A、B，弦AB叫做曲线的焦点弦。
秒杀题型一：椭圆与双曲线焦点弦中常考的秒杀公式：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①焦点弦长公式：(为直线与焦点所在轴的夹角)，通径：(最短焦点弦)；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦点弦被焦点分成两部分，则(定值)(取通径即可)。
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③，则有(为直线与焦点所在轴的夹角)。
秒杀题型二：抛物线的焦点弦中常考的秒杀公式：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，则:,。(焦点在轴上的性质对比给出。)
引伸:在抛物线的对称轴上，过的直线交抛物线于两点。
,=(定值)。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②(是直线与焦点所在轴的夹角)=(焦点在轴正半轴上)(其它三种同理可以推导)，焦点弦中通径(垂直于对称轴的焦点弦,长为)最短。
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③，则有，，(为直线与焦点所在轴的夹角)。
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④面积:，(是直线与焦点所在轴的夹角)。
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤以为直径的圆与准线相切，切点为中点，分别是抛物线的切线，并且分别是的角平分线。
= 6 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑥以为直径的圆与相切，切点为焦点。
= 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦以焦半径为直径的圆与轴相切。
= 8 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑧三点共线,三点共线。
= 9 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑨(定值)。
= 10 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑩设抛物线的顶点为，经过焦点垂直于轴的直线和抛物线交于两点，经过抛物线上一点垂直于轴的直线和轴交于点，线段是和的比例中项。
例1．已知椭圆过焦点的直线与椭圆C交于A，B两点（点A位于轴上方），若，则直线的斜率的值为__________．
【答案】
【解析】由题可得，联立直线与椭圆，利用韦达定理建立关系即可求出．
【详解】由题，点A位于轴上方且，则直线l的斜率存在且不为0，
，设，则可得，
设直线l方程为，
联立直线与椭圆可得，
，，
，解得，
则直线的斜率为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为，；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为形式；
（5）代入韦达定理求解．
例2．过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线分别交椭圆于，，，四点，则
的值为
A．B．C．1D．
【解答】解：由椭圆，得椭圆的右焦点为，
当直线的斜率不存在时，，
则．此时，，
则；
当直线的斜率存在时，
设，则．
又设点，，，．
联立方程组，
消去并化简得，
，
，
由题知，直线的斜率为，
同理可得．
为定值．
故选：．
1．已知是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，是坐标原点，则的取值范围是 ， ．
【解答】解：设的坐标为
椭圆中，，，
，得椭圆的准线方程为，即
作出椭圆的右准线，设在右准线上的射影为，连结，
根据圆锥曲线的统一定义，得，
，同理可得，
，
点在椭圆上，得，
，
由此可得，得，
，即，，得，，
，．
故答案为：，
2．（2024上·山东潍坊·高二统考期末）月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物．它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依据题意求得椭圆和圆的方程后，解出关键点的坐标，再求面积即可．
【详解】由题意得，半圆的方程为，在半椭圆中，则，
故半椭圆方程为，将代入半椭圆，解得，
将代入半圆，解得，故，
然，
故选：D
例3．已知，为双曲线的左、右焦点，以，为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，，，则双曲线的标准方程为______．
【答案】
【分析】先把用a表示出来，解出a、b、c，写出双曲线的标准方程．
【详解】由双曲线定义得
又，解得：，，
∵为以，为直径的圆与双曲线在第一象限的交点，
∴
∴，
解得：，∴，故双曲线标准方程为：．
故答案为：
例4．已知点是双曲线上的动点，，为该双曲线的左右焦点，为坐标原点，则的最大值为
A．B．2C．D．
【解答】解：由题意，分子最大且分母最小时，即在顶点处取得最大值，不妨取顶点，，则的最大值为，
故选：．
1．已知双曲线的离心率为，过左焦点且斜率为的直线交的两支于两点．若，则________________．
【答案】
【分析】由题意设双曲线的方程为，直线为，即，
联立方程，设，由，得，由根与系数的关系求解即可
【详解】因为，
所以，双曲线的方程为，
设过左焦点且斜率为的直线为，即，
与双曲线联立得，
设，则，
因为，
所以，
所以，
消去得，
化简得，即，
因为，
所以，
故答案为：
2．（2023上·江苏宿迁·高二校考期末）已知为坐标原点，双曲线的渐近线方程是，且经过点，过的右焦点的直线与两条渐近线分别交于点A，，以为直径的圆过点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的标准方程为B．直线的倾斜角为或
C．圆的面积等于D．与的面积之比为
【答案】D
【分析】设双曲线方程为，代入求出双曲线的标准方程可判断A；，根据渐近线方程和倾斜角可得直线的倾斜角可判断B；根据双曲线的对称性，设的倾斜角为，求出直线的方程分别与两条渐近线方程联立，解得，点坐标，求出得圆的半径，求出圆的面积可判断C； 为与的公共边， 与的面积之比等于可判断D.
【详解】对于A，∵双曲线的渐近线为，∴设双曲线方程为，
∵双曲线经过点，∴，得.
∴双曲线的标准方程为，故A正确；
对于B，∵以为直径的圆过点，∴，又渐近线方程为，
可得渐近线的倾斜角分别为，，则，，
则直线的倾斜角为或，故B正确；
对于C，根据双曲线的对称性，不妨设的倾斜角为，由，
可得直线的方程为，分别与两条渐近线方程联立，
解得，，此时，
故圆的半径，其面积为，故C正确；
对于D，∵为与的公共边，
∴与的面积之比等于，
故与的面积之比为，故D错误．
故选：D.
例5．抛物线具有以下光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴的夹角均为60°，且两条反射光线和之间的距离为，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】写出直线AF、BF的方程，求出，，由，解出p.
【详解】抛物线的焦点.
由,所以直线AF的方程为，即，
联立，得，解得：或，可得：.
同理直线BF的方程为，即，
联立，解得：.
所以，解得：.
故选：B
例6．设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，则（ ）
A．B．8C．12D．
【答案】B
【分析】由题意得出焦点坐标，直线方程，由直线方程与抛物线方程联立，由抛物线过焦点的弦长公式可得出答案．
【详解】依题意可知抛物线焦点为，直线AB的方程为，
代入抛物线方程得，可得，
根据抛物线的定义可知直线AB的长为．
故选：B．
例7．点F为抛物线的焦点，过F的直线交抛物线C于两点（点A在第一象限），过A、B分别作抛物线C的准线的垂线段，垂足分别为M、N，若，则直线的斜率为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】令，根据抛物线焦点弦的性质可得，
可得，由勾股定理可得，再根据等面积法求出，即可求出抛物线的焦点坐标与点坐标，最后利用斜率公式计算可得；
【详解】解：如图令，易知：．
．
因为
所以抛物线方程为，焦点坐标
，（舍去），所以
故选：D
【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，焦点弦的性质的应用，属于中档题．
例8．已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，则当取得最小值时，四边形的面积为
A．32B．16C．24D．8
【解答】解：因为，要使最小，而，
由抛物线的对称性可得与，与关于轴对称，
所以可得直线的斜率为1，又过抛物线的焦点，
所以直线的方程为：，
，整理可得，，，
所以可得，
所以．
故选：．
1．如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且，则线段AB的长为（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】C
【分析】设在准线上的射影分别为，根据点是的中点， ，取得，
设，根据相似求得，再结合焦点弦的性质，即可求解．
【详解】设在准线上的射影分别为，准线与轴交于，则，
由于点是的中点，且，
根据抛物线的定义，可得，所以，
设，则，即，解得，
所以，
即的长为.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及其应用，其中解答中熟记抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力．
2．如图，已知抛物线，圆，过C点的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则等于（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】设，，由抛物线的焦半径公式求得，，按直线斜率存在和不存在分类讨论，斜率不存在时直接求出，斜率存在时，设出直线方程，代入抛物线方程后应用韦达定理得结论．
【详解】圆，点C与抛物线的焦点重合，设，，所以，，
∴．
①当直线l的斜率不存在时，，∴；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(),
与抛物线方程联立消y，得，
∴．
综上，.
故选：A．
3．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点，且，与的面积之比为，其中为坐标原点，则 .
【答案】1
【分析】过焦点的直线方程与抛物线联立，再根据根与系数关系，利用三角形的面积比和弦长求解.
【详解】由对称性，不妨设,分别在第一、四象限，则,,
设直线方程,
联立,
整理得，,
,,
由与的面积之比为，
可得，则,,
则，得，
,
解得，.

故答案为：1.
【点睛】本题解题关键是设出直线PQ，联立抛物线方程，将与面积比转化为P，Q的纵坐标关系，结合PQ的长度可得解．
4．（2023下·黑龙江绥化·高二校考开学考试）已知抛物线上有，A，B三点，且直线过抛物线的焦点F，抛物线的准线与轴交于点C，若，则 ， ．
【答案】 8 /
【分析】先根据条件求出抛物线的方程，作图，再根据图中的几何关系求解．
【详解】由题意，将点代入，得，解得，所以抛物线的方程为，准线l的方程为；
如图，过A作于M，过B作于N，过B作于，交x轴于G，连接，BC，
设，则由，得，，，所以，
显然，，
所以 ，解得，
所以，，，，，
，，
在中，由余弦定理得，
所以，

故答案为：8，.
例7．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
【解答】解：（1）设，，，，
线段的中点为，
，
将，代入椭圆中，可得
，
两式相减可得，，
即，
点在椭圆内，即，
解得
．①
（2）由题意得，设，，则
，，
由（1）及题设得，．
又点在上，所以，从而，．
于是．
同理．
所以，
故，即，，成等差数列．
设改数列的公差为，则②
将代入①得．
所以的方程为，代入的方程，并整理得．
故，，代入②解得．
所以该数列的公差为或．
例8．已知斜率为的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设为的右焦点，为上的一点，且，证明：，，成等差数列．
【解答】（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）设，，，，
则有（2分）
（1）（2）得．
，．
．（3分）
．（4分）
由题设可知点在椭圆内，
，解得，
．（5分）
（Ⅱ），为的中点，
，（6分）
，．
点在椭圆上，．（7分）
又．（8分）
由（Ⅰ）知，所以．
直线的方程为，即．（9分）
由直线的方程与椭圆方程联立，得
消化简得，解得，．（10分）
从而得，，
又，
，，．（11分）
，，成等差数列．（12分）
1．已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆右焦点，且与直线相切．
（1）求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．
【解答】解：（1）由已知可得，
则所求椭圆方程．由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线，且抛物线的焦点为，准线方程为，则动圆圆心轨迹方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，，
此时的长即为椭圆长轴长，，
从而．
设直线的斜率为，则，直线的方程为：，
直线的方程为，
设，，，，，，，，
由，消去可得，
由抛物线定义可知：，
由，消去得，
从而，
，
令，
，则，
则，
所以，
所以四边形面积的最小值为8．
2．平面直角坐标系中，已知为椭圆的右焦点，且，过作两条互相垂直的直线交椭圆分别于、与、．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求椭圆的极坐标方程与的代数表达式；
（Ⅱ）求的取值范围．
【解答】解：由已知，
（Ⅰ）设，，
，
以右焦点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，
则椭圆的极坐标方程为，即，
其中．
设，，则，，
，
，即；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
．
，，且，
解得．
记（a），则（a），当时，
（a），（a）为增函数，则（a），，
即，．