2024高考数学新试卷结构与压轴题研究：13.解析几何压轴17分大题

这是一份2024高考数学新试卷结构与压轴题研究：13.解析几何压轴17分大题，共18页。试卷主要包含了解析几何，圆锥曲线四点共圆，椭圆，双曲线，抛物线等内容，欢迎下载使用。

★一．解答题常见二级结论背景
结论1.圆锥曲线四点共圆：若两条直线与
二次曲线有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是.
结论2.设抛物线的弦过定点，过点作非水平线交于两点，若直线与轴交于定点，直线的斜率存在且非零，则.
结论3.已知椭圆，点为直线上任一点，过的直线与椭圆交于两点，设椭圆的下顶点为，则.
结论4．设为椭圆上顶点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为，则：
（1）直线过定点
（2）若，则则直线过.
结论5.设为椭圆上的定点，是椭圆上一条动弦，直线的斜率分别为；
（1）若，则有， （2）若，则直线过定点，
（3）若，则有， （4）若，则直线过定点.
结论6.椭圆：已知椭圆，点，设不与轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则直线过定点的充要条件是轴是的角平分线.
结论7.双曲线：已知双曲线，点，设不与轴垂直的直线与双曲线相交于两点，则直线过定点的充要条件是轴是的角平分线.
结论8.抛物线：已知抛物线，点，设不与轴垂直的直线与抛物线相交于两点，则直线过定点的充要条件是轴是的角平分线.

结论9.若为准线上任一一点，则直线过抛物线的焦点.
结论10.过的直线与抛物线交于两点，以分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点的轨迹即为抛物线的准线.
若为准线上任一一点，则有：
结论11.直线的方程为.
结论12..
结论13..
结论14.直线的中点为，则平行于抛物线的对称轴.
结论15.面积最小值为.
★下面均为极点极线背景
结论16.极点与极线作法：
（1）如图，是不在圆锥曲线上的点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点，连接交于，连接交于，则直线为点对应的极线．
（2）若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线．由图1可知，同理为点对应的极线，为点所对应的极线．称为自极三点形．若连接交圆锥曲线于点，则恰为圆锥曲线的两条切线．事实上，图1也给出了两切线交点对应的极线的一种作法．
P
E
F
G
H
M
A
N
B
结论17.调和点列
直线上依次四点，若满足，则称成调和点列（为内分点，为外分点），特别地，若在无穷远处，则，即此时为中点．
（2）调和点列与极点极线
设点关于圆锥曲线的极线为，过点任作一割线交于，交于，则；反之，若有成立，则称点调和分割线段，或称关于调和共辄．
结论18.已知调和线束，若有一条直线分别与调和线束交于四点，那么也成调和点列．
结论19.己知调和线束，若有一条直线平行于调和线束中的一条，且与剩余三条分别交于三点，那么这三点中的内点平分该线段．
结论20.从直线上任意一点向椭圆的左右顶点引两条割线与椭圆交于两点，则直线恒过定点．
结论21.已知椭圆，过定点作一直线交椭圆于两点，交点的极线于点，是椭圆上一点，且点横坐标为,则直线的斜率成等差数列.
结论22.已知椭圆，为过定点的动弦，为椭圆上任意一点，交直线于两点，则以为直径的圆恒过定点，特别地，当为椭圆的焦点时，以为直径的圆恒过焦点以及它关于准线的对称点．
★二．优质模拟试题汇编
1．（浙江省宁波市镇海中学2024届高三上学期期末）已知椭圆C：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为（）的直线l与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方），的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，将平面xOy沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
①若，求三棱锥的体积，
②若，异面直线和所成角的余弦值；
③是否存在（），使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）由椭圆的定义知：，，所以的周长，所以，又椭圆离心率为，所以，所以，，
由题意，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为；
（2）①由直线l：与，由得或，
所以（因为点A在x轴上方）以及，
，，
②O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则
，，，，，．
记异面直线和所成角为，则；
③设折叠前，，折叠后A，B在新图形中对应点记为，，，折叠前周长是8，则折叠后周长是，
由，，故，设方程为，由，得，
，，在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原x轴仍然为x轴，原y轴正半轴为y轴，原y轴负半轴为z轴）；
，，
所以，（ⅰ）
又，
所以，（ⅱ）
由（ⅰ）（ⅱ）可得，因为，所以，即，
所以，解得，因为，所以．
2．（新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2024届高三第一次质量监测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，过点的两条直线，分别与椭圆交于另一点A，B，且直线，，的斜率满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明直线过定点；
(3)椭圆C的焦点分别为，，求凸四边形面积的取值范围．
【详解】（1）由题设得，解得，所以的方程为；
（2）由题意可设，设，，由，整理得，．
由韦达定理得，，由得，
即，整理得，因为，得，解得或，时，直线过定点，不合题意，舍去；
时，满足，所以直线过定点．
（3））由（2）得直线，所以，由，
整理得，，
由题意得，因为，所以，所以，令，，所以，在上单调递减，所以的范围是．
3. （合肥一中2024届高三上学期期末）已知双曲线：（，）的一条渐近线与双曲线：的一条渐近线垂直，且的一个焦点到的一条渐近线的距离为2．
（1）求的方程；
（2）若上任意一点关于直线的对称点为，过分别作的两条渐近线的平行线，与分别交于求证：为定值．
【详解】（1）由双曲线：可得其中一条渐近线的方程为，
因为双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，所以双曲线的一条渐近线的方程为，所以，即，所以，所以的一个焦点为，点F到双曲线的一条渐近线的距离为，
所以，故的方程为．
（2）设，则，即，，
由题意上任意一点关于直线的对称点为，得，
设，，由题意直线与的渐近线的平行，故的斜率为，
则直线方程为，与，
联立得，
直线的方程为，与,
联立得，
所以，
故为定值．
.
4．（江西省南昌市第二中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试）在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且.
(1)求的方程；
(2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.
【详解】（1）设点，则，因为，，
所以，，所以点，
代入方程中，得，所以的方程为.
（2）设点，，，，则直线的斜率，
同理得直线的斜率，直线的斜率，
直线的斜率，所以，
，从而得.由消去得，所以，
由，得或.设和的中点分别为，，
则，，同理，，
所以，即，
所以得.
5．（江西省抚州市临川第一中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试）已知双曲线，点，经过点M的直线交双曲线C于不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线在曲线上某点处的切线方程为）
(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N，，求的值；
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记，，的面积分别为，问：是否存在常数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）证明：设，由题意得：切线EA的方程为：，将点E带入得：，同理可得：，易知点A，B都在直线上，所以直线l的方程为：，因为直线l过点，所以，所以点E恒在定直线上．
（2）法一：设，因为，所以整理得
因为点在双曲线上，所以，整理得，
同理可得，所以，是关于x的方程的两个实根，
所以．
法二：由题意知，l的斜率存在，设l的方程：，联立得：，，所以，设，因为，所以，所以，同理，所以
.
（3）设，与联立得：，
，
因为直线L的方程为，所以，所以，同理，
所以，
故存在，使得．
6．（吉林省长春市五校2023-2024学年高三上学期联合模拟考试）已知椭圆的两焦点，且椭圆过.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点（与均不重合），记直线的斜率为，直线的斜率为，且，设，的面积分别为，求的取值范围
【详解】（1）由题意可得：，解得，所以椭圆的方程为：；
（2）依题意，，设，直线斜率为.若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意.
所以直线的斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆的方程联立得，
所以，且因为是椭圆上一点，满足，所以，则，即.因为
所以，此时，故直线恒过轴上一定点.
因此，所以
，令，
当即时，取得最大值..
7．（2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考））已知抛物线的焦点为，过的直线交于两点，过与垂直的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
(1)证明：直线过定点；
(2)设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
【详解】（1）【方法一】：由，故，由直线与直线垂直，故两只直线斜率都存在且不为，设直线、分别为、，有，
、、、，联立与直线，即有，
消去可得，，故、，
则，故，，
即，同理可得，当时，
则，
即
，
由，即，
故时，有，
此时过定点，且该定点为，当时，即时，由，即时，有，亦过定点，故直线过定点，且该定点为；
【方法二】：设，，不妨设．
设，则．由，得，
故，，，．
所以．同理可得．
若，则直线，MN过点．
若，则直线，MN过点．
综上，直线MN过定点．
（2）法1：由、、、，
则，由、，
故，
同理可得，联立两直线，即，
有，即，有，由，同理，故
，故，过点作轴，交直线于点，则，由、，故，当且仅当时，等号成立，
下证：由抛物线的对称性，不妨设，则，
当时，有，则点在轴上方，点亦在轴上方，
有，由直线过定点，此时，
同理，当时，有点在轴下方，点亦在轴下方，有，故此时，
当且仅当时，，故恒成立，且时，等号成立，
故，
法2：设H为AD的中点，S为直线GM与AD的交点．由M，H分别为AB，AD的中点知，所以，故．设T为直线GN与AD的交点，同理可得．所以．
由（1）中的法2可得，同理可得．
所以，
当且仅当时等号成立．因此的面积的最小值为8．