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2023-2024学年九年级下册人教版数学第二十八章锐角三角函数单元测试
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2023-2024学年九年级下册人教版数学第二十八章锐角三角函数单元测试一、单选题（本大题共12小题）1．已知，且，则的值为（ ）．A． B． C． D．2．在中，，如果所对的边是，下列等式中成立的是（ ）A． B． C． D．3．如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）A． B． C． D．4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（ ）A．2 B． C． D．5．如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）A． B． C． D．6．如图，在中，，，为上一点且：：，于，连接，则的值等于（ ）A． B． C． D．7．如图，中，，，则（ ）A． B． C． D．8．下列三角函数的值是的是（ ）A． B． C． D． 9．的结果是（ ）A．1 B．2 C．3 D．010．点关于轴对称的点的坐标是( )A． B． C． D．11．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，那么sin∠AEB的值为（ ）A． B． C． D．12．计算：＝（ ）A． B．1 C． D．二、填空题（本大题共2小题）13．已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ．14．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝ ．三、解答题（本大题共7小题）15．如图，在中，，点E在上，且，，，求的长及的值．16．如图，在中，是边上的中线，，，．(1)求的周长；(2)求的余切值．17．如图，在中，，，，且为锐角，求的值．18．如图，是的中线，，，，求：(1)的长；(2)的值．19．如图，在四边形中，，，连接，如果，求的长．20．我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角，如图，在中，，互为半余角，且，则求的正切值．21．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，腰AB=AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一 一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝ ，若canB＝1，则∠B＝ °．(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．四、单选题（本大题共20小题）22．如图，某游乐场有一个长的跷跷板，的支撑柱垂直地面于点，为的中点，当的一端A着地时，，则支撑柱的长可表示为( )A． B． C． D．23．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中厘米，则高的长为（ ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米24．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损.已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（ ） A． B． C． D．25．图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（ ）A． B．C． D．26．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代我，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则( )A． B． C． D．27．如图，A、D、B在同一条直线上，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为( )A． B． C． D．28．图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（）A． B． C． D．29．在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是（ ）A． B． C． D．30．如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ）A． B．C． D．31．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为i＝1：3的斜坡向上移动了10米，此时滑块上升的高度是（ ）（单位：米） A． B． C． D．1032．在种植树木时，负责人员要求株距（相邻两树间的水平距离）为． 如图，若在坡比为的山坡上种树，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A． B．4 C．8 D．433．如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ） A．米 B．米 C．米 D．米34．据古书记载：“春秋，鲁班至楚为楚王作攻城云梯，云梯之面为二角约为，若楚欲攻宋，知宋城高为十余丈，则梯长为修矣？”译：春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（ ）A．丈 B．丈 C．丈 D．丈35．如图，某地区准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ） A．B．C．D．36．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点的距离是4米，折断部分与地面成的夹角，那么原来这棵树的高度是（ ）A．米 B．米 C．米 D．米37．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ）A． B．20tan37° C． D．20sin37°38．如图，一架飞机在空中A处检测到正下方地平面目标，此时飞机的飞行高度米，从飞机上看地平面指挥台的俯角，此时长为（ ）A．米 B．米 C．米 D．米39．某兴趣小组想测量一座大楼 AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC ，已知 BC的长为 12 米它的坡度 ．在离 C点 40 米的 D处，用测量仪测得大楼顶端 A的仰角为 37度，测角仪DE的高度为 1.5米，求大楼AB 的高度约为（ ）米（）A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.740．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1∶2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，）A．米 B．米 C．56米 D．66米41．如图，某幢建筑物的高为米，一架航拍无人机从A处测得该建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，则此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为（ ）（结果精确到米，参考数据：，）A．米 B．米 C．米 D．米五、填空题（本大题共1小题）42．某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米．六、单选题（本大题共4小题）43．如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O的（ ）A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北44．喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西方向上，终点B位于点P的北偏东方向上，米，求点P到赛道AB的距离（ ）（结果保留整数，参考数据：）A． B． C．87 D．17345．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若米，则的长等于（ ） A． B． C． D．46．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭A在大树的正西方向，若米，则A、两点相距为（ ）米．A． B．C． D． 参考答案1．【答案】C【分析】根据题意画出图形，设，，求出，即可求解．【详解】解：如图， ∵，∴，∵，∴设，，∴，∴，故选：C．【关键点拨】本题考查解直角三角形，涉及到勾股定理，熟记公式是关键．2．【答案】C【分析】本题考查锐角三角函数；根据锐角三角函数，确定中各角的三角函数值，进行判断即可．【详解】解：如图所示， A．由，可得，故A错；B．由，可得，故B错；C．由，可得，故C正确；D．由，可得，故D错误；故选：C．3．【答案】B【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【详解】过C点作，垂足为D则根据旋转性质可知，在中，所以故选B．【关键点拨】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．4．【答案】D【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，解题的关键是连接判断是直角三角形是解题的关键．【详解】连接，则，，，∴，∴是直角三角形且，∴，故选D．5．【答案】C【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键．【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，只有选项C错误，符合题意． 故选C．6．【答案】C【分析】的值就是直角中，与的比值，设，则与就可以用表示出来．就可以求解．【详解】解：根据题意：在中，，，，∴，：：，，，设，则，在中有，．则．故选：C．【关键点拨】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．7．【答案】D【分析】首先根据，可得，然后根据余弦的求法，求出的值是多少即可．【详解】解：∵，∴．∴．故选：D．【关键点拨】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，要熟练掌握，解题的关键是要明确：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．8．【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】解：，，， ，观察四个选项，选项A符合题意，故选：A．【关键点拨】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．9．【答案】B【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握、、角的三角函数值是解题的关键，按照题中所给式子进行运算即可．【详解】解：∵，，，∴故选：B．10．【答案】B【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，关于轴对称的点的坐标特征；先求得，，进而根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．【详解】解：∵，∴即∴关于轴对称的点的坐标是，故选：B．11．【答案】D【详解】解：在中， 在中， 故选:D12．【答案】B【分析】本题考查特殊角的三角函数值相关计算，求出对应角度的三角函数值即可．【详解】解：∵，∴＝＝＝．故选：B．13．【答案】75°/75度【分析】根据非负数的性质得到sinα=，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可．【详解】由已知得sinα－=0，tanβ－1=0，∴α=30°，β=45°，∴α+β=75°．【关键点拨】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．14．【答案】60°．【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA＝，cosB＝，∴∠A＝∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．故答案为：60°．【关键点拨】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．15．【答案】，.【分析】由题意设，则，可得，可得，即，可得，，再求解，从而可得答案.【详解】解：，，∴，设，则，∵，则，∵，，∴，即，∴，，∴，∴.【关键点拨】本题考查的是解直角三角形，熟练的利用锐角三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键.16．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）作于点E，根据，可求出，再利用勾股定理可求出，进而求得，再次利用勾股定理可求出的长度，从而求得 的周长；（2）作于点F，，且点D是的中点，可得是的中位线，则有，，利用勾股定理可得，进而可求得解．【详解】（1）解：如图所示：作于点E 三角形为直角三角形， ,即，解得：，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，的周长为：，（2）如上图，作于点F，是边上的中线，点D是的中点，，,与平行，是的中位线，，，， 在中，，．【关键点拨】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，中位线定理等知识，熟练相关的性质和定理是解题的关键．17．【答案】【分析】过点A作于点D，利用，，可得．再利用勾股定理可得，问题随之得解．【详解】解：过点A作于点D，如图．∵，，∴．又∵，∴，∴．【关键点拨】本题主要考查了解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的定义及求解方法是解答本题的关键．18．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点A作，先利用锐角三角函数求的长，从而利用勾股定理求的长，再利用锐角三角函数求的长，从而求的长，即可解答；（2）利用三角形的中线求的长，从而求出的长，利用勾股定理求出的长，在利用锐角三角函数进行计算即可解答．【详解】（1）解：过点A作，垂足为，在中，，，，，在中，，，，的长为；（2）是的中线，，，在中，，，，的值为．19．【答案】10【分析】先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：，，，，，，，，的长为．【关键点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及勾股定理是解题的关键．20．【答案】【分析】过点作⊥交的延长线与点，求出，得到，根据，得到，求出，再根据正切定义求出答案．【详解】解：过点作⊥交的延长线与点，∵， ∴，∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，．【关键点拨】此题考查了等角对等边证明边相等，求角的正切值，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．【答案】(1)， 60(2)36【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据∠B=30°，可得出BD=AB，结合等腰三角形的性质可得出BC=AB，继而得出canB；只需要证明△ABC是等边三角形即可得到答案；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，先得到， 设BC＝8x，AB＝5x，则BD＝BC＝4x，AD＝＝3x， 再由S△ABC＝48，得到BC•AD＝48，由此求解即可．【详解】（1）解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B=30°，∴cos∠B==，∴BD=AB，∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD=AB，∴can30°==；∵canB==，∴ 又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，故答案为：， 60；（2）解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵canB＝，∴， 设BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x，∴AD＝＝3x， ∵S△ABC＝48，∴BC•AD＝48，∴•8x•3x＝48， ∴x2＝4，∴x＝±2（负值舍去），∴x＝2， ∴AB＝AC＝10，BC＝16，∴△ABC的周长为36．【关键点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，特殊角三角函数值，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够正确理解题意．22．【答案】C【分析】根据题意得出，在中，，，即可求解．【详解】解：∵为的中点，，∴，在中，，∴，故选：C．【关键点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．23．【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质及厘米，可得厘米．再解求得的长度即可得到答案．【详解】解：∵等腰三角形，，为边上的高，∴，∵厘米，∴厘米．∴在中，，∴厘米．故选：A．【关键点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．24．【答案】B【分析】根据底部是边长为的正方形求出的长，再由含角的直角三角形的性质求解的长，利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：如图， 底部是边长为的正方形，，，，，，．故选：．【关键点拨】本题考查的是勾股定理，含角的直角三角形的性质，正方形的性质，理解题意是解答此题的关键．25．【答案】D【分析】作辅助线如图，由题意可得，，解直角三角形求出，然后根据即可得出答案.【详解】解：如图，作直线，交双翼闸机于点E、F，则，由题意可得，，在直角三角形中，∵，∴，∴；故选：D.【关键点拨】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.26．【答案】D【分析】如图，作交于交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题．【详解】解：如图，作交于交圆弧于由题意：，∴，∵，为半径，∴，在中由勾股定理得，∴，∴，∴， ，∴．故选：D．【关键点拨】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点，灵活运用垂径定理与勾股定理是解题关键．27．【答案】A【分析】根据同角的余角相等得，由知．【详解】解：，，，在中，，，故选：A．【关键点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．28．【答案】C【分析】在中，，可得的长度，在中，根据勾股定理，代入即可得出答案．【详解】解∶，在中，，在中，故选：C．【关键点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．29．【答案】B【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键；根据坡角的定义、余弦的概念列式计算即可；【详解】解：如图，过点A作于，∴，∵，∴；故选：B．30．【答案】C【分析】根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．【详解】解：∵迎水坡的坡度，∴，∴（米），在中，由勾股定理得，（米），故选：C．【关键点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键．31．【答案】A【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，明确坡度的概念是解题的关键．利用坡度关系知道铅直高度于水平宽度之比，再利用勾股定理列方程求出铅直高度h的值即可．【详解】解：如图，设，过点作于点， 由，得，，在中，，，解得，滑块上升的高度为：．故选：A．32．【答案】A【分析】根据坡比垂直距离水平距离，求出相邻两树的垂直高度，再根据勾股定理即可求解．【详解】相邻两树间的水平距离为，坡比为，相邻两树的垂直高度为，相邻两树间的坡面距离为，故选A．【关键点拨】本题考查三角函数的应用，正确理解坡比的含义（坡比垂直距离水平距离）是解决本题的关键．33．【答案】D【分析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度．【详解】解：在中，，，∴米，在中，，，∴，∴（米），∴（米）故选：D．【关键点拨】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．34．【答案】A【分析】根据正弦的定义即可直接作答．【详解】根据题意可知：，，，在中，有：，即，故选：A．【关键点拨】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，理解正弦的定义是解答本题的关键．35．【答案】C【分析】先设出与，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵，∴设，∵，∴，∴，∴，故选：C．【关键点拨】本题考查了解直角三角形，余弦的应用，勾股定理等知识，解题关键是理解题意，根据相等关系列出方程求解．36．【答案】B【分析】通过解直角三角形即可求得．【详解】解：在中，，故原来这棵树的高度为：(米)，故选：B．【关键点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．37．【答案】B【详解】如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m，可得tanC=，则AB=BC•tanC=20tan37°．故选B．38．【答案】B【分析】在中，，则的正弦值是的对边与斜边的比值，即可得出的长度．【详解】解：由题意得，米，在中，，∴，∴（米）．故选：B．【关键点拨】本题考查的是解直角三角形，需结合三角函数的定义进行求解．39．【答案】C【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．【详解】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，=，∴设BF=k，则CF=k，BC=2k．又∵BC=12，∴k=6，∴BF=6，CF=，∵DF=DC+CF，∴DF=40+，∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=，∴AH=tan37°×（40+）≈37.785（米），∵BH=BF-FH，∴BH=6-1.5=4.5．∵AB=AH-HB，∴AB=37.785-4.5≈33.3．故选：C．【关键点拨】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．40．【答案】B【分析】通过作辅助线，利用斜坡的坡度为，，由勾股定理可求出的长，设出的长，根据坡度表示，进而表示出，由于是等腰直角三角形，可表示，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出．【详解】解：如图，延长与水平线交于，过作，为垂足，过作，为垂足，连接，，斜坡的坡度为，，设米，则米，在中，米，由勾股定理得，，即，解得，（米，（米，斜坡的坡度为，设米，则米，，米，米，在中，米，米，，，解得，（米，（米，（米，（米，答：基站塔的高为米．故选：B．【关键点拨】本题考查解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．41．【答案】D【分析】本题考查的知识点是求特殊角的三角函数值、三角函数综合，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．先根据特殊角的三角函数（正切）用表示、长，后根据即可求解．【详解】解：依题得：在中，，在中，，（米），（米），，，解得：（米），故选：．42．【答案】4【分析】本题考查坡度问题，利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离．【详解】解：坡比，，，即，解得，（米），故答案为：4．43．【答案】B【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出的余角即可解答．【详解】解：，，，，是直角三角形，，由题意得：，点在点的北偏东方向，故选：B．【关键点拨】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．44．【答案】D【分析】过点P作，垂足为P，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据米，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】解：过点P作，垂足为C，设米，在中，，∴（米），在中，，∴（米），∵米，∴，∴，∴，∴米，∴点P到赛道的距离约为173米，故选D．【关键点拨】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．45．【答案】D【分析】过C作于D，利用锐角三角函数求得、、即可．【详解】解：过C作于D，由题意，，，在中，，，在中，，∴，故选：D． 【关键点拨】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法．46．【答案】C【分析】过点作的垂线交于，是直角三角形和的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长．【详解】解：过点作的垂线交于，点在点的正东方向，，，在中，，，，在中，，，故选：C．【关键点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键．
2023-2024学年九年级下册人教版数学第二十八章锐角三角函数单元测试一、单选题（本大题共12小题）1．已知，且，则的值为（ ）．A． B． C． D．2．在中，，如果所对的边是，下列等式中成立的是（ ）A． B． C． D．3．如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（ ）A． B． C． D．4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则的正切值是（ ）A．2 B． C． D．5．如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）A． B． C． D．6．如图，在中，，，为上一点且：：，于，连接，则的值等于（ ）A． B． C． D．7．如图，中，，，则（ ）A． B． C． D．8．下列三角函数的值是的是（ ）A． B． C． D． 9．的结果是（ ）A．1 B．2 C．3 D．010．点关于轴对称的点的坐标是( )A． B． C． D．11．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70°，∠C＝50°，那么sin∠AEB的值为（ ）A． B． C． D．12．计算：＝（ ）A． B．1 C． D．二、填空题（本大题共2小题）13．已知α、β均为锐角，且满足+=0，则α+β= ．14．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝ ．三、解答题（本大题共7小题）15．如图，在中，，点E在上，且，，，求的长及的值．16．如图，在中，是边上的中线，，，．(1)求的周长；(2)求的余切值．17．如图，在中，，，，且为锐角，求的值．18．如图，是的中线，，，，求：(1)的长；(2)的值．19．如图，在四边形中，，，连接，如果，求的长．20．我们给出定义：如果两个锐角的和为，那么称这两个角互为半余角，如图，在中，，互为半余角，且，则求的正切值．21．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，腰AB=AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一 一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：(1)can30°＝ ，若canB＝1，则∠B＝ °．(2)如图2，在△ABC中，AB=AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．四、单选题（本大题共20小题）22．如图，某游乐场有一个长的跷跷板，的支撑柱垂直地面于点，为的中点，当的一端A着地时，，则支撑柱的长可表示为( )A． B． C． D．23．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中厘米，则高的长为（ ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米24．如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未受损.已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为（ ） A． B． C． D．25．图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形，，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（ ）A． B．C． D．26．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代我，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积，弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为3，则( )A． B． C． D．27．如图，A、D、B在同一条直线上，电线杆的高度为，两根拉线与相互垂直，，则拉线的长度为( )A． B． C． D．28．图1是第七届国际数学教育大会（）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，则的值为（）A． B． C． D．29．在山坡上植树，要求两棵树间的坡面距离是3，测得斜坡的倾斜角为，则斜坡上相邻两棵树的水平距离是（ ）A． B． C． D．30．如图，河堤的横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ）A． B．C． D．31．如图，在外力的作用下，一个滑块沿坡度为i＝1：3的斜坡向上移动了10米，此时滑块上升的高度是（ ）（单位：米） A． B． C． D．1032．在种植树木时，负责人员要求株距（相邻两树间的水平距离）为． 如图，若在坡比为的山坡上种树，那么相邻两树间的坡面距离为（ ）A． B．4 C．8 D．433．如图所示，有一天桥高为5米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（ ） A．米 B．米 C．米 D．米34．据古书记载：“春秋，鲁班至楚为楚王作攻城云梯，云梯之面为二角约为，若楚欲攻宋，知宋城高为十余丈，则梯长为修矣？”译：春秋时期，鲁班来到楚国为楚王制作了攻城用的云梯，如图所示，云梯与水平面的夹角为，若楚国欲攻打宋国，已知宋国城墙高为10丈，则云梯梯身长约为（ ）A．丈 B．丈 C．丈 D．丈35．如图，某地区准备修建一座高的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ） A．B．C．D．36．如图，一棵大树被台风拦腰刮断，树根A到刮断点的距离是4米，折断部分与地面成的夹角，那么原来这棵树的高度是（ ）A．米 B．米 C．米 D．米37．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB（单位：米）为（ ）A． B．20tan37° C． D．20sin37°38．如图，一架飞机在空中A处检测到正下方地平面目标，此时飞机的飞行高度米，从飞机上看地平面指挥台的俯角，此时长为（ ）A．米 B．米 C．米 D．米39．某兴趣小组想测量一座大楼 AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC ，已知 BC的长为 12 米它的坡度 ．在离 C点 40 米的 D处，用测量仪测得大楼顶端 A的仰角为 37度，测角仪DE的高度为 1.5米，求大楼AB 的高度约为（ ）米（）A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.740．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1∶2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，）A．米 B．米 C．56米 D．66米41．如图，某幢建筑物的高为米，一架航拍无人机从A处测得该建筑物顶部的仰角为，测得底部的俯角为，则此时航拍无人机与该建筑物的水平距离为（ ）（结果精确到米，参考数据：，）A．米 B．米 C．米 D．米五、填空题（本大题共1小题）42．某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米．六、单选题（本大题共4小题）43．如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O的（ ）A．北偏东 B．北偏东 C．东偏北 D．东偏北44．喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟，小亮在龙舟竞渡中心广场点P处观看400米直道竞速赛，如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西方向上，终点B位于点P的北偏东方向上，米，求点P到赛道AB的距离（ ）（结果保留整数，参考数据：）A． B． C．87 D．17345．如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若米，则的长等于（ ） A． B． C． D．46．如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭A在大树的正西方向，若米，则A、两点相距为（ ）米．A． B．C． D． 参考答案1．【答案】C【分析】根据题意画出图形，设，，求出，即可求解．【详解】解：如图， ∵，∴，∵，∴设，，∴，∴，故选：C．【关键点拨】本题考查解直角三角形，涉及到勾股定理，熟记公式是关键．2．【答案】C【分析】本题考查锐角三角函数；根据锐角三角函数，确定中各角的三角函数值，进行判断即可．【详解】解：如图所示， A．由，可得，故A错；B．由，可得，故B错；C．由，可得，故C正确；D．由，可得，故D错误；故选：C．3．【答案】B【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【详解】过C点作，垂足为D则根据旋转性质可知，在中，所以故选B．【关键点拨】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．4．【答案】D【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，解题的关键是连接判断是直角三角形是解题的关键．【详解】连接，则，，，∴，∴是直角三角形且，∴，故选D．5．【答案】C【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义，得出是解题关键．【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，只有选项C错误，符合题意． 故选C．6．【答案】C【分析】的值就是直角中，与的比值，设，则与就可以用表示出来．就可以求解．【详解】解：根据题意：在中，，，，∴，：：，，，设，则，在中有，．则．故选：C．【关键点拨】本题考查平行线分线段成比例，锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．7．【答案】D【分析】首先根据，可得，然后根据余弦的求法，求出的值是多少即可．【详解】解：∵，∴．∴．故选：D．【关键点拨】本题考查锐角三角函数的定义和勾股定理，要熟练掌握，解题的关键是要明确：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．8．【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【详解】解：，，， ，观察四个选项，选项A符合题意，故选：A．【关键点拨】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．9．【答案】B【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握、、角的三角函数值是解题的关键，按照题中所给式子进行运算即可．【详解】解：∵，，，∴故选：B．10．【答案】B【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，关于轴对称的点的坐标特征；先求得，，进而根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．【详解】解：∵，∴即∴关于轴对称的点的坐标是，故选：B．11．【答案】D【详解】解：在中， 在中， 故选:D12．【答案】B【分析】本题考查特殊角的三角函数值相关计算，求出对应角度的三角函数值即可．【详解】解：∵，∴＝＝＝．故选：B．13．【答案】75°/75度【分析】根据非负数的性质得到sinα=，tanβ=1，利用特殊角的三角函数值分别求出α、β，计算即可．【详解】由已知得sinα－=0，tanβ－1=0，∴α=30°，β=45°，∴α+β=75°．【关键点拨】本题考查的是特殊角的三角函数值、非负数的性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性是解题的关键．14．【答案】60°．【分析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA＝，cosB＝，∴∠A＝∠B＝60°．∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣60°＝60°．故答案为：60°．【关键点拨】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．15．【答案】，.【分析】由题意设，则，可得，可得，即，可得，，再求解，从而可得答案.【详解】解：，，∴，设，则，∵，则，∵，，∴，即，∴，，∴，∴.【关键点拨】本题考查的是解直角三角形，熟练的利用锐角三角函数求解直角三角形的边长是解本题的关键.16．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）作于点E，根据，可求出，再利用勾股定理可求出，进而求得，再次利用勾股定理可求出的长度，从而求得 的周长；（2）作于点F，，且点D是的中点，可得是的中位线，则有，，利用勾股定理可得，进而可求得解．【详解】（1）解：如图所示：作于点E 三角形为直角三角形， ,即，解得：，由勾股定理得：，，在中，由勾股定理得：，的周长为：，（2）如上图，作于点F，是边上的中线，点D是的中点，，,与平行，是的中位线，，，， 在中，，．【关键点拨】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，中位线定理等知识，熟练相关的性质和定理是解题的关键．17．【答案】【分析】过点A作于点D，利用，，可得．再利用勾股定理可得，问题随之得解．【详解】解：过点A作于点D，如图．∵，，∴．又∵，∴，∴．【关键点拨】本题主要考查了解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的定义及求解方法是解答本题的关键．18．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解直角三角形及勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）过点A作，先利用锐角三角函数求的长，从而利用勾股定理求的长，再利用锐角三角函数求的长，从而求的长，即可解答；（2）利用三角形的中线求的长，从而求出的长，利用勾股定理求出的长，在利用锐角三角函数进行计算即可解答．【详解】（1）解：过点A作，垂足为，在中，，，，，在中，，，，的长为；（2）是的中线，，，在中，，，，的值为．19．【答案】10【分析】先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：，，，，，，，，的长为．【关键点拨】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及勾股定理是解题的关键．20．【答案】【分析】过点作⊥交的延长线与点，求出，得到，根据，得到，求出，再根据正切定义求出答案．【详解】解：过点作⊥交的延长线与点，∵， ∴，∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，．【关键点拨】此题考查了等角对等边证明边相等，求角的正切值，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．【答案】(1)， 60(2)36【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据∠B=30°，可得出BD=AB，结合等腰三角形的性质可得出BC=AB，继而得出canB；只需要证明△ABC是等边三角形即可得到答案；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，先得到， 设BC＝8x，AB＝5x，则BD＝BC＝4x，AD＝＝3x， 再由S△ABC＝48，得到BC•AD＝48，由此求解即可．【详解】（1）解：过点A作AD⊥BC于点D，∵∠B=30°，∴cos∠B==，∴BD=AB，∵△ABC是等腰三角形，∴BC=2BD=AB，∴can30°==；∵canB==，∴ 又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，故答案为：， 60；（2）解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵canB＝，∴， 设BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x，∴AD＝＝3x， ∵S△ABC＝48，∴BC•AD＝48，∴•8x•3x＝48， ∴x2＝4，∴x＝±2（负值舍去），∴x＝2， ∴AB＝AC＝10，BC＝16，∴△ABC的周长为36．【关键点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，特殊角三角函数值，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，解题的关键在于能够正确理解题意．22．【答案】C【分析】根据题意得出，在中，，，即可求解．【详解】解：∵为的中点，，∴，在中，，∴，故选：C．【关键点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．23．【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质及厘米，可得厘米．再解求得的长度即可得到答案．【详解】解：∵等腰三角形，，为边上的高，∴，∵厘米，∴厘米．∴在中，，∴厘米．故选：A．【关键点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握正切的定义是解题的关键．24．【答案】B【分析】根据底部是边长为的正方形求出的长，再由含角的直角三角形的性质求解的长，利用勾股定理求出的长即可．【详解】解：如图， 底部是边长为的正方形，，，，，，．故选：．【关键点拨】本题考查的是勾股定理，含角的直角三角形的性质，正方形的性质，理解题意是解答此题的关键．25．【答案】D【分析】作辅助线如图，由题意可得，，解直角三角形求出，然后根据即可得出答案.【详解】解：如图，作直线，交双翼闸机于点E、F，则，由题意可得，，在直角三角形中，∵，∴，∴；故选：D.【关键点拨】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意、熟练掌握锐角三角函数的知识是解题的关键.26．【答案】D【分析】如图，作交于交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题．【详解】解：如图，作交于交圆弧于由题意：，∴，∵，为半径，∴，在中由勾股定理得，∴，∴，∴， ，∴．故选：D．【关键点拨】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点，灵活运用垂径定理与勾股定理是解题关键．27．【答案】A【分析】根据同角的余角相等得，由知．【详解】解：，，，在中，，，故选：A．【关键点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．28．【答案】C【分析】在中，，可得的长度，在中，根据勾股定理，代入即可得出答案．【详解】解∶，在中，，在中，故选：C．【关键点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．29．【答案】B【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键；根据坡角的定义、余弦的概念列式计算即可；【详解】解：如图，过点A作于，∴，∵，∴；故选：B．30．【答案】C【分析】根据坡度的定义求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．【详解】解：∵迎水坡的坡度，∴，∴（米），在中，由勾股定理得，（米），故选：C．【关键点拨】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的定义是解题的关键．31．【答案】A【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，明确坡度的概念是解题的关键．利用坡度关系知道铅直高度于水平宽度之比，再利用勾股定理列方程求出铅直高度h的值即可．【详解】解：如图，设，过点作于点， 由，得，，在中，，，解得，滑块上升的高度为：．故选：A．32．【答案】A【分析】根据坡比垂直距离水平距离，求出相邻两树的垂直高度，再根据勾股定理即可求解．【详解】相邻两树间的水平距离为，坡比为，相邻两树的垂直高度为，相邻两树间的坡面距离为，故选A．【关键点拨】本题考查三角函数的应用，正确理解坡比的含义（坡比垂直距离水平距离）是解决本题的关键．33．【答案】D【分析】在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度．【详解】解：在中，，，∴米，在中，，，∴，∴（米），∴（米）故选：D．【关键点拨】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．34．【答案】A【分析】根据正弦的定义即可直接作答．【详解】根据题意可知：，，，在中，有：，即，故选：A．【关键点拨】本题考查了解直角三角形的应用，明确题意，理解正弦的定义是解答本题的关键．35．【答案】C【分析】先设出与，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵，∴设，∵，∴，∴，∴，故选：C．【关键点拨】本题考查了解直角三角形，余弦的应用，勾股定理等知识，解题关键是理解题意，根据相等关系列出方程求解．36．【答案】B【分析】通过解直角三角形即可求得．【详解】解：在中，，故原来这棵树的高度为：(米)，故选：B．【关键点拨】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．37．【答案】B【详解】如图，在直角△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=20m，可得tanC=，则AB=BC•tanC=20tan37°．故选B．38．【答案】B【分析】在中，，则的正弦值是的对边与斜边的比值，即可得出的长度．【详解】解：由题意得，米，在中，，∴，∴（米）．故选：B．【关键点拨】本题考查的是解直角三角形，需结合三角函数的定义进行求解．39．【答案】C【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．【详解】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，=，∴设BF=k，则CF=k，BC=2k．又∵BC=12，∴k=6，∴BF=6，CF=，∵DF=DC+CF，∴DF=40+，∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=，∴AH=tan37°×（40+）≈37.785（米），∵BH=BF-FH，∴BH=6-1.5=4.5．∵AB=AH-HB，∴AB=37.785-4.5≈33.3．故选：C．【关键点拨】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．40．【答案】B【分析】通过作辅助线，利用斜坡的坡度为，，由勾股定理可求出的长，设出的长，根据坡度表示，进而表示出，由于是等腰直角三角形，可表示，在中由锐角三角函数可列方程求出，进而求出．【详解】解：如图，延长与水平线交于，过作，为垂足，过作，为垂足，连接，，斜坡的坡度为，，设米，则米，在中，米，由勾股定理得，，即，解得，（米，（米，斜坡的坡度为，设米，则米，，米，米，在中，米，米，，，解得，（米，（米，（米，（米，答：基站塔的高为米．故选：B．【关键点拨】本题考查解直角三角形仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．41．【答案】D【分析】本题考查的知识点是求特殊角的三角函数值、三角函数综合，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．先根据特殊角的三角函数（正切）用表示、长，后根据即可求解．【详解】解：依题得：在中，，在中，，（米），（米），，，解得：（米），故选：．42．【答案】4【分析】本题考查坡度问题，利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离．【详解】解：坡比，，，即，解得，（米），故答案为：4．43．【答案】B【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出的余角即可解答．【详解】解：，，，，是直角三角形，，由题意得：，点在点的北偏东方向，故选：B．【关键点拨】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．44．【答案】D【分析】过点P作，垂足为P，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据米，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】解：过点P作，垂足为C，设米，在中，，∴（米），在中，，∴（米），∵米，∴，∴，∴，∴米，∴点P到赛道的距离约为173米，故选D．【关键点拨】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．45．【答案】D【分析】过C作于D，利用锐角三角函数求得、、即可．【详解】解：过C作于D，由题意，，，在中，，，在中，，∴，故选：D． 【关键点拨】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法．46．【答案】C【分析】过点作的垂线交于，是直角三角形和的公共直角边，先求出，再求、，进而得出的长．【详解】解：过点作的垂线交于，点在点的正东方向，，，在中，，，，在中，，，故选：C．【关键点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中是解题的关键．
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