2024版高考数学微专题专练50直线与圆圆与圆的位置关系理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练50直线与圆圆与圆的位置关系理（附解析），共5页。

[基础强化]
一、选择题
1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交但不过圆心
C．相交过圆心D．相离
2．[2022·山西吕梁一模]已知圆C：x2＋y2－4x＝0，过点M(1，1)的直线被圆截得的弦长的最小值为( )
A．eq \r(2) B．2eq \r(2)
C．1 D．2
3．[2022·广西联考模拟]过圆x2＋y2＝1上一点A作圆(x－4)2＋y2＝4的切线，切点为B，则|AB|的最小值为( )
A．2B．eq \r(5)
C．eq \r(6)D．eq \r(7)
4．两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
A．4条B．3条
C．2条D．1条
5．[2022·江西省南昌中学月考]倾斜角为45°的直线l将圆C：x2＋y2＝4分割成弧长的比值为eq \f(1,2)的两段弧，则直线l在y轴上的截距为( )
A.1B．eq \r(2)
C．±1D．±eq \r(2)
6．已知直线l经过点(0，1)且与圆(x－1)2＋y2＝4相交于A、B两点，若|AB|＝2eq \r(2)，则直线l的斜率k的值为( )
A．1B．－1或1
C．0或1D．1
7．[2020·全国卷Ⅰ]已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A．2x－y－1＝0B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0D．2x＋y＋1＝0
8．[2022·江西省九校联考]已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l：2x－y＋4＝0，点P为直线l上任意一点，过P作圆C的一条切线，切点为A，则切线段PA的最小值为( )
A．eq \f(8\r(5),5)B．eq \f(2\r(55),5)
C．2D．4
9．[2020·全国卷Ⅲ]若直线l与曲线y＝eq \r(x)和圆x2＋y2＝eq \f(1,5)都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1B．y＝2x＋eq \f(1,2)
C．y＝eq \f(1,2)x＋1D．y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)
二、填空题
10．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是________．
11．已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
12．过点P(1，－3)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A，B，则切线方程为______________.
[能力提升]
13．若在圆x2＋y2－2x－6y＝0内过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．5eq \r(2)B．10eq \r(2)
C．15eq \r(2)D．20eq \r(2)
14．已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法错误的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
15．[2022·山东青岛一中高三测试]已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4，若点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，则eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)的最小值为________．
16．[2022·贵州省普通高中测试]如图，圆O：x2＋y2＝4交x轴的正半轴于点A.B是圆上一点，M是弧eq \x\t(AmB)的中点，设∠AOM＝θ(0＜θ＜π)，函数f(θ)表示弦AB长与劣弧eq \x\t(AM)长之和．当函数f(θ)取得最大值时，点M的坐标是________．
专练50 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．B 圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝eq \f(|2－2－5|,\r(22＋12))＝eq \r(5)∴两圆相交但不过圆心．
2．B 若过点M(1，1)的直线被圆截得的弦的长度最小，
则点M(1，1)为该弦的中点，
由x2＋y2－4x＝0，得(x－2)2＋y2＝4，
所以若要弦长最小，
只要圆心到直线的距离即为圆心到定点M(1，1)的距离，
由|CM|＝eq \r(2)，所以弦长＝2eq \r(4－2)＝2eq \r(2).
3．B 设圆x2＋y2＝1与圆(x－4)2＋y2＝4的圆心分别为O，C，则|AB|＝eq \r(|AC|2－4)，当|AC|最小时，|AB|最小，由于点A在圆O上，则|AC|的最小值为|OC|－1＝4－1＝3，所以|AB|的最小值为eq \r(5).
4．B 圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心C1(2，－1)，C2(－2，2)，半径r1＝2，r2＝3，圆心距|C1C2|＝eq \r(（－2－2）2＋（2＋1）2)＝5，
r1＋r2＝5，
∴|C1C2|＝r1＋r2，∴两圆C1与C2外切，∴它们有3条公切线．
5．D
设原点为O，直线l与圆C交于点A，B，由题意，得∠AOB＝120°.过O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝1；
设直线l的方程为y＝x＋b，由|OH|＝1，得eq \f(|b|,\r(2))＝1，解得b＝±eq \r(2)，所以直线l在y轴上的截距为±eq \r(2).
6．D 由题意得圆心(1，0)到直线l：y＝kx＋1的距离d为d＝eq \f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq \r(4－（\r(2)）2)，得(k＋1)2＝2(k2＋1)，得k＝1.
7．D 如图，由题可知，AB⊥PM，
|PM|·|AB|＝2S四边形APBM＝2(S△PAM＋S△PBM)＝2(|PA|＋|PB|)，
∵|PA|＝|PB|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|
＝4eq \r(|PM|2－|AM|2)
＝4eq \r(|PM|2－4)，
当|PM|最小时，|PM|·|AB|最小，易知|PM|min＝eq \f(5,\r(4＋1))＝eq \r(5)，
此时|PA|＝1，AB∥l，设直线AB的方程为y＝－2x＋b(b≠－2)，
圆心M到直线AB的距离为d＝eq \f(|3－b|,\r(5))，
|AB|＝eq \f(4|PA|,|PM|)＝eq \f(4,\r(5))，
∴d2＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2)))eq \s\up12(2)＝|MA|2，
即eq \f(（3－b）2,5)＋eq \f(4,5)＝4，解得b＝－1或b＝7(舍).
综上，直线AB的方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.故选D.
8．B 圆C的圆心为C(2，0)，则|PA|＝eq \r(|PC|2－r2)，其中r2＝4，
|PC|的最小值为点C到直线l的距离，即eq \f(|2×2－0＋4|,\r(22＋（－1）2))＝eq \f(8,\r(5))，
所以当|PC|取最小时，|PA|也取最小，即eq \f(2\r(55),5).
9．D 解法一(直接计算法)：由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l为y＝kx＋m，直线l与曲线y＝eq \r(x)的切点为A(x0，y0).由导数的几何意义可知eq \f(1,2\r(x0))＝k，即eq \r(x0)＝eq \f(1,2k)，点A既在直线l上，又在曲线y＝eq \r(x)上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝kx0＋m，,y0＝\r(x0)．))∴kx0＋m＝eq \r(x0)，即k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2k)))eq \s\up12(2)＋m＝eq \f(1,2k)，化简可得m＝eq \f(1,4k)，又∵直线l与圆x2＋y2＝eq \f(1,5)相切，∴eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝eq \f(\r(5),5)，将m＝eq \f(1,4k)代入化简得16k4＋16k2－5＝0，解得k2＝eq \f(1,4)或k2＝－eq \f(5,4)(舍去).∵y＝eq \r(x)的图像在第一象限，∴k>0，∴k＝eq \f(1,2)，∴m＝eq \f(1,2)，∴l的方程为y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2).故选D.
解法二(选项分析法)：由选项知直线l的斜率为2或eq \f(1,2)，不妨假设为2，设直线l与曲线y＝eq \r(x)的切点为P(x0，y0)，则eq \f(1,2)x0－eq \f(1,2)＝2.解得x0＝eq \f(1,16)，则y0＝eq \f(1,4)，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，\f(1,4)))，显然点P在圆x2＋y2＝eq \f(1,5)内，不符合题意，所以直线l的斜率为eq \f(1,2)，又直线l与圆x2＋y2＝eq \f(1,5)相切，所以只有D项符合题意，故选D.
10．相交
解析：解法一：(代数法)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋（y－1）2＝5，))消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．
解法二：(几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))<1解法三：(点与圆的位置关系法)直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
11．2eq \r(6)
解析：x2＋y2－2y－7＝0可化为x2＋(y－1)2＝8，∴圆心(0，1)到直线kx－y－k＋2＝0的距离d＝eq \f(|－1－k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|1－k|,\r(k2＋1))，
∴|AB|＝2eq \r(8－\f(k2－2k＋1,k2＋1))＝2eq \r(7＋\f(2k,k2＋1))
又－1≤eq \f(2k,k2＋1)≤1，∴|AB|min＝2eq \r(6).
12．x＝1或8x－15y－53＝0
解析：当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1，
当切线的斜率存在时，设切线方程为y＋3＝k(x－1)，
即：kx－y－k－3＝0，由题意得
eq \f(|4k－2－k－3|,\r(k2＋1))＝3，得k＝eq \f(8,15)，
∴切线方程为8x－15y－53＝0.
13．B 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，其圆心的坐标为(1，3)，记为P.因为(0－1)2＋(1－3)2＝5<10，所以点E在圆内，且|PE|＝eq \r(5)，则最长弦AC为过点E的直径，|AC|＝2eq \r(10)，最短弦BD为过点E且与AC垂直的弦，|BD|＝2eq \r(10－5)＝2eq \r(5)，可知四边形ABCD的对角线互相垂直，所以四边形ABCD的面积为eq \f(1,2)×2eq \r(10)×2eq \r(5)＝10eq \r(2)，故选B.
14．C 圆心C(0，0)到直线l的距离d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))，
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，
所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))>|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，
即a2＋b2＝r2，
所以d＝eq \f(r2,\r(a2＋b2))＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．
15．8
解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方程为x＋y＝2.
点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，∴a＋b＝2，∴eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)＝eq \f(1,2)(eq \f(1,a)＋eq \f(9,b))(a＋b)＝eq \f(1,2)(10＋eq \f(b,a)＋eq \f(9a,b))≥eq \f(1,2)×(10＋6)＝8，当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(9a,b)，即b＝3a时取等号，所以eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)的最小值为8.
16．(－1，eq \r(3))
解析：由题意知：圆半径为2，OM⊥AB，故AB＝2×2sinθ＝4sinθ，f(θ)＝4sinθ＋2θ，
则f′(θ)＝4csθ＋2，令f′(θ)＝0，解得csθ＝－eq \f(1,2)，又0＜θ＜π，当θ∈(0，eq \f(2π,3))时，f′(θ)＞0，f(θ)单调递增；
当θ∈(eq \f(2π,3)，π)时，f′(θ)＜0，f(θ)单调递减；故当θ＝eq \f(2π,3)时，f(θ)取得最大值，此时M(2·cseq \f(2π,3)，2·sineq \f(2π,3))，即(－1，eq \r(3)).