2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练44直线与圆圆与圆的位置关系

这是一份2025版高考数学一轮复习微专题小练习专练44直线与圆圆与圆的位置关系，共5页。
一、选择题
1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交但不过圆心
C．相交过圆心 D．相离
答案：B
解析：圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝ eq \f(|2－2－5|,\r(22＋12))＝ eq \r(5)< eq \r(6)，
∴两圆相交但不过圆心．
2．已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2＋6x－8y＋16＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是( )
A.相离 B．外切 C．相交 D．内切
答案：B
解析：∵x2＋y2＝4的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，
又x2＋y2＋6x－8y＋16＝0可化为(x＋3)2＋(y－4)2＝9，其圆心C2(－3，4)，半径r2＝3，又圆心距|C1C2|＝ eq \r(（0＋3）2＋（0－4）2)＝5＝r1＋r2，∴两圆相外切．
3．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是( )
A．1＋ eq \r(2) B．2
C．1＋ eq \f(\r(2),2) D．2＋2 eq \r(2)
答案：A
解析：x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心C(1，1)，半径为1，圆心C到直线x－y－2＝0的距离d＝ eq \f(|1－1－2|,\r(12＋（－1）2))＝ eq \r(2)，∴圆上的点到直线距离的最大值为d＋r＝ eq \r(2)＋1.
4．两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
答案：B
解析：圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝9，∴圆心C1(2，－1)，C2(－2，2)，半径r1＝2，r2＝3，圆心距|C1C2|＝ eq \r(（－2－2）2＋（2＋1）2)＝5，
r1＋r2＝5，
∴|C1C2|＝r1＋r2，∴两圆C1与C2外切，
∴它们有3条公切线．
5．已知直线l：y＝k(x＋ eq \r(3))和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝( )
A．0 B． eq \r(3)
C． eq \f(\r(3),3)或0 D． eq \r(3)或0
答案：D
解析：由题意得圆心(0，1)到直线kx－y＋ eq \r(3)k＝0的距离为1，即： eq \f(|－1＋\r(3)k|,\r(k2＋1))＝1得k＝0或k＝ eq \r(3).
6．已知直线l经过点(0，1)且与圆(x－1)2＋y2＝4相交于A、B两点，若|AB|＝2 eq \r(2)，则直线l的斜率k的值为( )
A．1 B．－1或1
C．0或1 D．1
答案：D
解析：由题意得圆心(1，0)到直线l：y＝kx＋1的距离d为d＝ eq \f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝ eq \r(4－（\r(2)）2)，得(k＋1)2＝2(k2＋1)，得k＝1.
7．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是( )
A.－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案：B
解析：x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，
则圆心(－1，1)到直线x＋y＋2＝0的距离d＝ eq \f(|－1＋1＋2|,\r(12＋12))＝ eq \r(2)，
由题意得2＋22＝2－a，∴a＝－4.
8．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A.2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
答案：D
解析：如图，由题可知，AB⊥PM，
|PM|·|AB|＝2S四边形APBM＝2(S△PAM＋S△PBM)＝2(|PA|＋|PB|)，
∵|PA|＝|PB|，
∴|PM|·|AB|＝4|PA|＝4 eq \r(|PM|2－|AM|2)＝4 eq \r(|PM|2－4)，
当|PM|最小时，|PM|·|AB|最小，易知|PM|min＝ eq \f(5,\r(4＋1))＝ eq \r(5)，此时|PA|＝1，AB∥l，设直线AB的方程为y＝－2x＋b(b≠－2)，
圆心M到直线AB的距离为d＝ eq \f(|3－b|,\r(5))，
|AB|＝ eq \f(4|PA|,|PM|)＝ eq \f(4,\r(5))，∴d2＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(AB,2))) eq \s\up12(2)＝|MA|2，
即 eq \f(（3－b）2,5)＋ eq \f(4,5)＝4，解得b＝－1或b＝7(舍).
综上，直线AB的方程为y＝－2x－1，即2x＋y＋1＝0.故选D.
9．若直线l与曲线y＝ eq \r(x)和圆x2＋y2＝ eq \f(1,5)都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋ eq \f(1,2)
C．y＝ eq \f(1,2)x＋1 D．y＝ eq \f(1,2)x＋ eq \f(1,2)
答案：D
解析：方法一(直接计算法) 由题可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l为y＝kx＋m，直线l与曲线y＝ eq \r(x)的切点为A(x0，y0).由导数的几何意义可知 eq \f(1,2\r(x0))＝k，即 eq \r(x0)＝ eq \f(1,2k)，点A既在直线l上，又在曲线y＝ eq \r(x)上，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝kx0＋m，,y0＝\r(x0)．))∴kx0＋m＝ eq \r(x0)，即k· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2k))) eq \s\up12(2)＋m＝ eq \f(1,2k)，化简可得m＝ eq \f(1,4k)，又∵直线l与圆x2＋y2＝ eq \f(1,5)相切，∴ eq \f(|m|,\r(1＋k2))＝ eq \f(\r(5),5)，将m＝ eq \f(1,4k)代入化简得16k4＋16k2－5＝0，解得k2＝ eq \f(1,4)或k2＝－ eq \f(5,4)(舍去).∵y＝ eq \r(x)的图象在第一象限，∴k>0，∴k＝ eq \f(1,2)，∴m＝ eq \f(1,2)，∴l的方程为y＝ eq \f(1,2)x＋ eq \f(1,2).故选D.
方法二(选项分析法) 由选项知直线l的斜率为2或 eq \f(1,2)，不妨假设为2，设直线l与曲线y＝ eq \r(x)的切点为P(x0，y0)，则 eq \f(1,2)x0－ eq \f(1,2)＝2.解得x0＝ eq \f(1,16)，则y0＝ eq \f(1,4)，即P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，\f(1,4)))，显然点P在圆x2＋y2＝ eq \f(1,5)内，不符合题意，所以直线l的斜率为 eq \f(1,2)，又直线l与圆x2＋y2＝ eq \f(1,5)相切，所以只有D项符合题意，故选D.
二、填空题
10．若圆x2＋y2－4x－4y＝0上至少有3个不同的点到直线l：y＝kx的距离为 eq \r(2)，则直线l的斜率k的取值范围是________．
答案：[2－ eq \r(3)，2＋ eq \r(3)]
解析：x2＋y2－4x－4y＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝8，∴圆心为(2，2)，半径为2 eq \r(2).当圆心到直线l的距离为 eq \r(2)时，圆上恰好存在3个点到直线l的距离为 eq \r(2)，∴圆心到直线l的距离应小于或等于 eq \r(2)，∴ eq \f(|2k－2|,\r(1＋k2))≤ eq \r(2)，
∴2－ eq \r(3)≤k≤2＋ eq \r(3).
11．[2023·新课标Ⅱ卷]已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为 eq \f(8,5)”的m的一个值________．
答案：2(答案不唯一，可以是± eq \f(1,2)，±2中任意一个)
解析：设直线x－my＋1＝0为直线l，由条件知⊙C的圆心C(1，0)，半径R＝2，C到直线l的距离d＝ eq \f(2,\r(1＋m2))，|AB|＝2 eq \r(R2－d2)＝2 eq \r(4－（\f(2,\r(1＋m2))）2)＝ eq \f(4|m|,\r(1＋m2)).由S△ABC＝ eq \f(8,5)，得 eq \f(1,2)× eq \f(4|m|,\r(1＋m2))× eq \f(2,\r(1＋m2))＝ eq \f(8,5)，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝± eq \f(1,2)，故答案可以为2.
12．过点P(1，－3)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A，B，则切线方程为______________．
答案：x＝1或8x－15y－53＝0
解析：当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝1，
当切线的斜率存在时，设切线方程为y＋3＝k(x－1)，
即：kx－y－k－3＝0，由题意得
eq \f(|4k－2－k－3|,\r(k2＋1))＝3，得k＝ eq \f(8,15)，
∴切线方程为8x－15y－53＝0.
[能力提升]
13．[2024·全国甲卷(理)]已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2 C．4 D．2 eq \r(5)
答案：C
解析：因为a，b，c成等差数列，所以a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0恒过点P(1，－2).x2＋y2＋4y－1＝0化为标准方程得x2＋(y＋2)2＝5，则圆心C为(0，－2)，半径r＝ eq \r(5)，则|PC|＝1，当PC⊥AB时，|AB|取得最小值，此时|AB|＝2 eq \r(5－|PC|2)＝4.故选C.
14．[2023·新课标Ⅰ卷]过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B． eq \f(\r(15),4) C． eq \f(\r(10),4) D． eq \f(\r(6),4)
答案：B
解析：
如图，x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝ eq \r(5)，所以圆心到点(0，－2)的距离为 eq \r(（2－0）2＋（0＋2）2)＝2 eq \r(2)，由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin eq \f(α,2)＝ eq \f(r,2\r(2))＝ eq \f(\r(5),2\r(2))＝ eq \f(\r(10),4)，所以cs eq \f(α,2)＝ eq \f(\r(6),4)，所以sin α＝2sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝2× eq \f(\r(10),4)× eq \f(\r(6),4)＝ eq \f(\r(15),4).故选B.
15．[2022·新高考Ⅰ卷，14]写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程________________．
答案：3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＋1＝0(答对其中之一即可)
解析：
由题意知两圆的圆心和半径分别为O1(0，0)，O2(3，4)，r1＝1，r2＝4.因为|O1O2|＝r1＋r2，所以两圆外切．由两圆外切，画出示意图，如图．设切点为A(x，y).由O1A＝ eq \f(1,5)O1O2，得A( eq \f(3,5)， eq \f(4,5)).因为kO1O2＝ eq \f(4,3)，所以切线l1的斜率k1＝－ eq \f(3,4)，所以l1：y－ eq \f(4,5)＝－ eq \f(3,4)(x－ eq \f(3,5))，即3x＋4y－5＝0.由图象易得两圆均与直线l2：x＝－1相切，过两圆圆心的直线方程为l：y＝ eq \f(4,3)x.联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,3)x，,x＝－1，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－\f(4,3)．))故直线l与l2的交点为P(－1，－ eq \f(4,3)).由切线定理，得两圆的另一公切线l3过点P.设l3：y＋ eq \f(4,3)＝k(x＋1).由点到直线的距离公式，得＝1，解得k＝ eq \f(7,24)，所以l3：y＋ eq \f(4,3)＝ eq \f(7,24)(x＋1)，即7x－24y－25＝0.
16．已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝4，若点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，则 eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b)的最小值为________．
答案：8
解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方程为x＋y＝2.
点P(a，b)(a>0，b>0)在两圆的公共弦上，∴a＋b＝2，∴ eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(9,b)))(a＋b)＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10＋\f(b,a)＋\f(9a,b)))≥ eq \f(1,2)×(10＋6)＝8，当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(9a,b)，即b＝3a时取等号，所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(9,b)的最小值为8.