北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线3 抛物线3.1 抛物线及其标准方程精品课时作业

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一、单选题
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的方程直接写出准线方程即可.
【详解】抛物线的准线方程为，
故选：C
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先把抛物线方程转化为标准方程，再求出焦点坐标即可.
【详解】抛物线可化为.它的焦点坐标是.
故选：B.
3．在同一平面直角坐标系中，方程与的曲线大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将椭圆方程和抛物线方程化为标准形式进行分析判断
【详解】由，得，
因为，所以椭圆的焦点在轴上，所以排除AB，
由，得，可知抛物线的焦点在轴的负半轴上，所以排除C，
故选：D
4．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若到直线的距离为7，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据题意转化为点到准线的距离为，结合抛物线的定义，即可求解.
【详解】由抛物线的焦点为，准线方程为，如图，

因为点在上，且到直线的距离为，
可得到直线的距离为，即点到准线的距离为，
根据抛物线的定义，可得点到焦点的距离等于点到准线的距离，
所以.
故选：B
5．已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义求解．
【详解】由题意抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相，因此，，抛物线方程为．
故选：C．
6．已知抛物线C：的顶点为O，经过点，且F为抛物线C的焦点，若，则p＝（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义结合可求得，然后将点的坐标代入抛物线方程可求出的值.
【详解】因为点在抛物线上，，
所以，所以，
所以，所以，解得.
故选：C

二、多选题
7．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点的抛物线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】分焦点在轴上和轴上两种情况，利用待定系数法求解即可.
【详解】若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得，
解得，所以抛物线的标准方程为；
若焦点在轴上，设方程为，将点的坐标代入，得，
解得，所以抛物线的标准方程为．
故选：BD
8．已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C是圆
B．若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆
C．若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线
D．曲线C可以是抛物线
【答案】AC
【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线的有关知识求得正确答案.
【详解】A选项，当时，曲线，表示圆心在原点，
半径为的圆，所以A选项正确.
B选项，当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，B选项错误.
C选项，当时，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确.
D选项，由于是非零实数，所以的最高次项都是，
所以曲线不可能是抛物线，D选项错误.
故选：AC
三、填空题
9．已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，若，则 ．
【答案】9
【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解.
【详解】由题可知，，解得．
故答案为：9
10．抛物线焦点为，准线上有点是抛物线上一点，为等边三角形，则点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，推理论证与抛物线准线垂直，再借助抛物线定义求解作答.
【详解】抛物线焦点为，点在准线上，
在等边中，，因此长等于点到准线的距离，即有与抛物线准线垂直，

令抛物线准线与x轴交于点，则，由轴，得，
于是，
令，则，解得，
所以点坐标为.
故答案为：
四、解答题
11．分别求适合下列条件的方程：
(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；
(2)经过点的抛物线的标准方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出a、c，进而求出b，即可求解；
（2）设抛物线方程为或，将点P坐标代入，即可求解.
【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为
由条件可得.所以.
所以，
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；
当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.
（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，
此时，所求抛物线的标准方程为；
当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，
此时，所求抛物线的标准方程为.
综上所述，所求抛物线的标准方程为或.
12．动点与定点的距离等于点P到直线的距离，设动点P的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)经过定点直线与曲线交于两点，且点M是线段AB的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据抛物线的定义直接求解；(2)利用点差法求出的斜率即可求解.
【详解】（1）根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，
且该抛物线以为焦点，所以所以，
所以曲线的方程为.
（2）若直线垂直于轴，则AB的中点在轴上，不满足题意，
若直线不垂直于轴，设，且，
因为在曲线上，所以，两式相减得，
，所以，
即，所以的方程为整理得.
1．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，M为C上一点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．8
【答案】C
【分析】首先根据焦半径公式求点的坐标，再代入面积公式，即可求解.
【详解】设点，,所以，得，,
所以的面积.
故选：C
2．设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义求得，进而确定正确答案.
【详解】抛物线的开口向上，
由于在上，且，
根据抛物线的定义可知，
所以抛物线的方程为.
故选：A
3．（多选）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点，线段AF交抛物线C于点B，过点B作l的垂线，垂足为H，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用三角形相似及抛物线定义求解.
【详解】抛物线C：的焦点，准线为，
设准线与轴交于点，
∵，由与△相似得：，
∵，∴，即，故A错误；
由抛物线定义得，∴，
即，，故BC正确，D错误．
故选：BC．
4．（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（ ）
A．B．
C．1D．2
【答案】BC
【分析】设直线方程，并与抛物线联立方程，再用根的判别式来处理，即可求得斜率范围.
【详解】抛物线的准线与x轴交于点Q，
准线为，Q点的坐标，
又直线l过点Q，且斜率必存在，
可设l：，
联立，可得，
当时，得，即交点为，
当时，由得，即，
解得，或，
综上，k的取值范围是．
故选：BC.
5．上世纪90年代，南京江宁区和陕西洛南县就建立了深厚的友谊，1993年江宁区出资帮助洛南修建了宁洛桥，增强了两地之间的友谊.如今人行道两侧各加宽6米，建成了“彩虹桥”（图1），非常美丽.桥上一抛物线形的拱桥（图2）跨度，拱高，在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，则支柱的长度为 .（精确到0.01）

【答案】4.59
【分析】先建立直角坐标系，把抛物线方程写出来，再结合的长度即可把的长度求出来.
【详解】以为原点，方向分别为轴正向，建立如下图所示的直角坐标系：

由题意，，所以，，
又抛物线开口向下，所以设，将点的坐标代入，
解得，所以抛物线方程为，
又由题意在建造时每隔相等长度用一个柱子支撑，由图可知有14个空格，
因此每一个空格的长度为，所以，所以设点，
又因为点在抛物线上，所以将其坐标代入抛物线方程得.
故答案为：4.59
6．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，求线段的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线所过点求得抛物线的标准方程.
（2）写出直线的方程，并与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得.
【详解】（1）抛物线经过点，
设抛物线的方程为，则，
所以抛物线方程为.
（2）抛物线的焦点为，
直线的方程为，
由，消去并化简得，
，所以.
1．已知抛物线：的焦点为，是抛物线在第一象限的一点，过作的准线的垂线，垂足为，的中点为，若直线经过点，则直线的斜率为（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】C
【分析】设，进而可得，再根据抛物线定义可得，结合列式可得，进而求得.
【详解】由题意，设，则，又的中点为，故.
由抛物线定义可得， 故.
则，因为直线经过点，即，
故，又是抛物线在第一象限的一点，故，解得.
故，直线的斜率为.

故选：C
2．已知点分别是抛物线和圆上的动点，点到直线的距离为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】分别画出抛物线和圆图象，由抛物线定义以及圆上点与圆外一点距离的最值问题即可求得结果.
【详解】如图所示：

由圆的标准方程为可知圆心，半径为，
抛物线的焦点为，准线方程为，
由抛物线定义可知，
圆外一点到圆上点的距离满足，即；
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立；
即的最小值为．
故答案为：
3．已知为抛物线：的焦点，，，为上的三点，若，则 .
【答案】
【分析】根据平面向量坐标的线性运算、抛物线的定义求得正确答案.
【详解】由题意知，设，，的横坐标分别为，，，
由，得，所以，
由抛物线的定义得.
故答案为：

4．如图，地在地东偏北方向，相距处，地与东西走向的高铁线（近似看成直线）相距已知曲线形公路上任意一点到地的距离等于到高铁线的距离，现要在公路旁建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向地、地送电．

(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路所在曲线的方程；
(2)问变电房应建在相对地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．
【答案】(1)
(2)电房应建在地正南方向且与地相距时，所用电线长度最短，最短长度为
【分析】（1）根据抛物线的定义，联想到抛物线标准方程推导时的建系办法来处理；
（2）根据抛物线的性质进行求解.
【详解】（1）如图，以经过点且垂直于（垂足为）的直线为轴，线段的中点为原点，
建立直角坐标系，则

因为曲线形公路上任意一点到地的距离等于到高铁线的距离，
所以所在的曲线是以为焦点，为准线的抛物线．
设抛物线方程为，则，
故曲线形公路所在曲线的方程为.
（2）要使架设电路所用电线长度最短，即值最小．
如图所示，过作，垂足为，依题意得，
所以，故当三点共线时，
取得最小值，即取得最小值，此时，
变电房应建在地正南方向且与地相距时，所用电线长度最短，最短长度为