浙江省杭州学军中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

这是一份浙江省杭州学军中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

命题人：刘武林 审题人：李丽丽
一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合， 则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合交集运算求解即可；
【详解】因为，所以．
故选：C.
2. 若复数为纯虚数，则（ ）
A. B. －2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的概念列式可求出结果.
【详解】解法一 因为为纯虚数，
所以且，则．
解法二 设，则，即，，则.
故选：B．
3. 一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为9100，若它的两底面边长分别为60m和50m，则此时鱼塘的水深（ ）
A. 2mB. 3mC. 3.5mD. 4m
【答案】B试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。【解析】来这里 全站资源一元不到！【分析】根据棱台的体积公式可由体积直接计算出水深.
【详解】设水深为，则，
解得，故此时水深为.
故选：B.
4. 如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在直观图中，求出的长，得出原图形中的长，从而可得原图形中各线段长，再计算后判断各选项．
【详解】设，，在和中分别应用余弦定理得：
，解得（舍去），
则在原图形，，，显然，
，
．
故选：C．
5. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角公式变形后，弦化切转化为正切的式子代入计算．
【详解】因为，
所以．
故选：A．
6. 函数在上图象可能是（ ）
A. B.
C. D. 【答案】C
【解析】
【分析】确定奇偶性，可排除两个选项，然后确定函数在上的单调性可再排除一个选项，从而得正确选项．
【详解】，是奇函数，排除AB，
在时，由复合函数单调性知是增函数，且，又增函数，且，
所以是增函数，而是增函数，所以是增函数，排除D．
故选：C．
7. 正方形ABCD的边长为6点E，F分别在边AD，BC上，且，.如果对于常数，在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P，使得成立，那么的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，由点在不同的边上求出的表达式，分类讨论利用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质，得出有一解，有两解的情况，即可得的取值范围.
【详解】以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图，
则， ，
若在上，设，，
则，，
∴，
∵，
∴．
∴当时有一解，当时有两解；
若在上，设，，
则，，
∴，
∵，
∴，
当或，有一解，当时有两解；
若在上，设，，
则，，
∴，
∵，∴，
∴当时有一解，当时有两解；
④若在上，设，，
则，，
∴，
∵，∴，
∴当或时有一解，当时有两解；
综上，若在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P，则．
故选：D.8. 在中，角所对应的边分别为，设的面积为，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由面积公式和余弦定理，基本不等式对进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数的有界性，列出关于t的不等式，求出最大值.
【详解】，，
则设
所以，即
，
故选：A.
【点睛】三角函数最值问题，要充分使用题干中的条件及一些工具，比如正余弦定理，面积公式，基本不等式等对不等式进行变形，这道题目的难点在于使用了三角函数的有界性，辅助角公式来求解最值.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（ ）
A. ，，，，
B. ，C. ，
D. ，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据函数的定义，结合函数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；
对于B中，集合中的任意一个元素，按某种对应法则，在集合中存在唯一的元素相对应，所以能构成从集合到集合的函数；
对于C中，集合，当时，可得，所以不能构成从集合到集合的函数；
对于D中，集合中的任一元素，按，在集合有唯一的元素与之对应，所以能构成从集合到集合的函数.
故选：ABD
【点睛】本题主要考查了函数的基本概念及判定，其中解答中熟记函数的基本概念，结合函数的定义逐项判定是解答的关键，着重考查推理与判定能力，属于基础题.
10. 已知为坐标原点，点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算，结合三角恒等变换即可结合选项逐一求解.
【详解】A：，所以，A正确；
B：，所以，
同理，故不一定相等，B错误；
C：由题意得：
，不一定总成立，故，C错误．
D：由题意得：，D正确.
故选：AD
11. 已知函数在区间上有且仅有个对称中心，则下列正确的是（ ）
A. 的值可能是B. 的最小正周期可能是
C. 在区间上单调递减D. 图象的对称轴可能是
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断AD选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；利用正弦型函数的周期公式可判断B选项.
【详解】因为函数在区间上有且仅有个对称中心，
且当时，，
所以，，解得，A对；
因为，则函数的最小正周期为，且，B对；
当时，，
因为，则，
所以，函数在区间上单调递减，C对；，所以，图象的对称轴不可能是，D错.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
12. 在△ABC中，，，，则__；若，（），且，则值为____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由余弦定理可求出；由平面向量基本定理共理求出，再由数量积的运算律化简，解方程即可得出答案.
【详解】因为，，，
所以由余弦定理可得：，
所以.
因为，
所以
则.
解得：.
故答案为：；.
13. 在棱长为2的正方体中，则它的外接球的表面积为__________；若E为的中点，则过B、D、E三点的平面截正方体所得的截面面积为____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用正方体的对角线和外接球的半径的关系，求得外接球的半径，进而求得球的表面积，再利用直线间的平行关系和平面的基本性质，得出截面，进而求得截面等腰梯形的面积.
【详解】在棱长为2的正方体中，可得其外接球的半径为，所以,
所以外接球的表面积为；
如图所示，过点作，连接，
所以过三点的平面截正方体所得的截面为且为等腰梯形，
过点作于点，过点作，连接，
所以为等腰梯形的高，且,
所以梯形的面积为.
故答案为：；.
14. 函数，若关于x的方程恰好有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】令，由对勾函数得到其单调性和值域情况，画出函数的图象，数形结合得到不同的时，两函数交点情况，得到答案.
【详解】令，由对勾函数的性质可知：
对于一个确定的值，关于的方程最多两个解，
画出的图象如下：
故值域为，
作出函数的图象，如下：
令，解得：，
令，解得：，，
令，解得：，
当时，存在唯一的，使得，此时方程有两解；
当时，存在使得，此时方程有三解，
其中时，有1个解，即，时，有2个解；
当时，存在使得，此时方程有四解，
时，无解，时，有2个解，时，有2个解；
当时，存在使得，此时方程有七解，
时，有1个解，即，时，有2个解，时，有2个解，
时，有2个解；
当时，存在使得，此时方程有八个解，
当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解；
当时，存在使得，此时方程有六解，
当时，有2个解，时，有2个解，时，有2个解；
当时，存在使得，此时方程有四解，
当时，有2个解，时，有2个解；
综上：实数t的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
四、解答题；本大题共5小题，第15题12分，第16题13分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求值：
（1）；
（2）已知，，，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由对数和指数幂的运算性质化简即可得出答案；
（2）由基本不等式“1”的代换求解即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
因为，，，
所以
.
当且仅当，即时取等.
16. 在①，②，③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在中，角所对的边分别为，且______．
（1）求；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若选①，利用两角和的正弦公式以及正弦定理化简得，进而得到；若选②，化简得，根据余弦定理，得到；若选③，利用正弦定理化简得，进而根据余弦定理得到.
（2）解法一：结合（1），利用正弦定理得到，结合平方关系得到；解法二：根据，得到，根据正弦定理得到.
【小问1详解】若选①：由及正弦定理得，
即．
又，
所以．
因为，所以，
即．
因为，所以，
所以，．
若选②：在中，由，
得，
由余弦定理的推论得．
因为，所以．
若选③：由及正弦定理得，
即，
即．
由余弦定理的推论得．
因为，所以．
【小问2详解】
解法一：由（1）知，，
由正弦定理得．又，所以，
，
解得．
又，且，
所以．
解法二：由（1）知．
又，即，
所以，
所以，故由正弦定理得，
所以．
17. 2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95的水冲泡，等茶水温度降至60饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
（1）给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式.时间／分钟
0
1
2
3
4
5
水温／
95.00
88.00
81.70
7603
70.93
66.33
（2）根据（1）中所求模型，
（i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．
（参考数据：）
【答案】（1）选模型②，理由见解析，解析式为
（2）（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．
【解析】
【分析】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式；
（2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可．
【小问1详解】
由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢，
模型③为单调递增的函数，不符合，
模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢，
故模型①③不符合，选模型②，
则，解得，
所以；
【小问2详解】
（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于，
所以推测实验室室温为；
令，则，
所以，
即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为．
18. 如图所示，为等边三角形，，为的内心，点在以为圆心，为半径的圆上运动.
（1）求出值.
（2）求的范围.
（3）若，当最大时，求的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）以为原点，为轴建立平面直角坐标系如图所示，依题意点在圆上，设，即可表示，，，根据平面向量模的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）由（1）知，根据正弦函数的性质计算可得；
（3）根据平面向量线性运算坐标表示得到，再根据同角三角函数的基本关系，得到，又，两边同除，令，，将原式化为，再根据求出的取值范围，即可得解；
【小问1详解】
以为原点，为轴建立平面直角坐标系如图所示．
由正弦定理得外接圆半径，则，进而可得，．
因为点在以为圆心，为半径的圆上运动，故设，
则，，，
所以
．
【小问2详解】
由（1）知，
又因为，所以，
即.
【小问3详解】
因为
，
所以，
代入整理得，，
显然，两边同时除以，
得，令，，则，
即，
所以，即，
解得，所以（即）的最大值为．
此时，所以，
所以，，所以.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，将问题转化为三角函数及不等式问题.
19. 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，，…，，使得（其中，2，…，n，），则称为的“n重覆盖函数”.
（1）判断（）是否为（）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由；
（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
（3）函数表示不超过x的最大整数，如，，，若，为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.
【答案】（1）是的“n重覆盖函数”，；
（2）实数a的取值范围是；
（3）正实数a的取值范围是.
【解析】
【分析】（1）第一问根据新定义，结合函数单调性即可求解；（2）第二问先求出的值域，然后把问题转化为与有两个交点，然后对a分类讨论即可求解；
（3）第三问可由题意得，则，，要有2024个根，作出函数的图像，结合图像即可求解.
【小问1详解】
,，
由题目定义可知，对，恰好存在不同的实数，
使得，其中
即，易得，
故对，能找到一个，使得，
是的“n重覆盖函数”，.
【小问2详解】
由题意得：的定义域为R，
即对，存在2个不同的实数，
使得（其中），
又，故，
所以，即：
，
即对，有2个根，
当时，已有1个根，
故只需时，仅有1个跟，
当时，，符合题意，
当时，，则需满足，解得：，
当时，抛物线开口向下，
，，若仅有一个根，
由可知，当时，，
所以无解，则只需：，
综上，实数a的取值范围是.
【小问3详解】
因为，则对于，
， 要有2024个根，
，作出函数图象如下：
有图象易知，当时，
，此时当时，则有，
解得：，要使得有2024个根，
则，
又因为，故，故正实数a的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出分段函数的图象，数形结合，转化为直线与函数图象交点个数问题.