浙江省杭州第二中学2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（Word版附解析）

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本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知在中，，则（ ）
A B. C. 或D.
4. 已知圆柱底面直径和高均为2，则该圆柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正方形的边长为，点满足，则（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
6. 以下说法正确的是（ ）
A. 是平面外的一条直线，则过且与平行的平面有且只有一个
B. 若夹在两个平面间的三条平行线段长度相等，则这两个平面平行
C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等，则
D. 空间中三点构成边长为2的正三角形，则与这三点距离均为1的平面恰有两个
7. 已知满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正四棱锥的内切球半径为，则当四棱锥的体积最小时，它的高为（ ）
A. B. C. D.
二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下关于向量的说法正确的有（ ）
A.
B. 若，则
C.
D. 若，则
10. 已知为复数，，则以下说法正确的有（ ）
A.
B.
C. 互为共轭复数
D. 若，则最大值为6
11. 如图，在菱形中，分别为的中点，将菱形沿对角线折起，使点不在平面内.在翻折的过程中，下列结论正确的有（ ）
A. 平面
B. 异面直线与所成角为定值
C. 设菱形边长为，当二面角为时，三棱锥外接球表面积为
D. 若存在某个位置，使得直线与直线垂直，则的取值范围是
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数满足，则的虚部为__________.
13. 已知向量，则与夹角相同的单位向量为__________.
14. 如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________.

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，且是实数.
（1）求的值；
（2）求的值.
16. 如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足.

（1）若，证明：平面；
（2）连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围.
17. 设三个内角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）设为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围.
18. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，.
（1）证明：平面平面；
（2）若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值.
19. 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数.
（1）已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球棱数；
（2）证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；
（3）已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值.