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浙江省杭州市学军中学海创园学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B. 2C. 4D. 8
2. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们终边关于直线对称，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，是圆上的两个动点，若点在以为直径的圆上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知棱长为a的正方体中，点P为棱上一点，过的平面截得三棱锥的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列不是古典概型是（ ）
A. 任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B. 求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C. 在甲、乙、丙、丁名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，求甲被选中的概率
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
10. 甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（ ）
A. 平均数67B. 平均数为66C. 方差为296D. 方差为287
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线必过定点
B. 直线在y轴上的截距为1
C. 直线倾斜角为
D. 点，直线与线段相交，则实数m的取值范围是或
12. 在长方体中，，E是棱的中点，过点B，E，的平面交棱AD于点F，点P为线段上一动点，则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点P，使得
C. 直线PE与平面所成角的正切值的最大值为
D. 三棱锥外接球表面积的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若，，三点能构成三角形，则实数的取值范围为________.
14. 表示两个数中的最小值，则函数的最大值为____________.
15. 已知存在两个正数和满足则实数的取值范围是_______．
16. 设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知的三个角，，的对边分别是，，，而且满足.
（1）求角的值；
（2）若，，边AB上的中点为D，求CD的长度.
18. 已知函数，且的最大值为3，最小正周期为.
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域，并指出取得最大值时自变量的值.
19. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率.
20. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱，的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，并求直线与平面所成的角的正弦值.
条件①：；条件②：；
21. 已知圆C：，四点P1(1，1)，P2(0，2)，P3(1，)，P4(1，-)中恰有三点在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）设以k为斜率的直线l经过点Q(4，-2)，但不经过点P2，若l与圆C相交于不同两点A，B．
①求k的取值范围；
②证明：直线P2A与直线P2B的斜率之和为定值．
22. 如图所示，已知椭圆焦距为，直线被椭圆 截得的弦长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点是椭圆 上的动点，过原点引两条射线与圆分别相切，且的斜率存在. ①试问 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；
②若射线与椭圆 分别交于点，求的最大值.
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. B. 2C. 4D. 8
2. 复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们终边关于直线对称，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，是圆上的两个动点，若点在以为直径的圆上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知棱长为a的正方体中，点P为棱上一点，过的平面截得三棱锥的体积为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列不是古典概型是（ ）
A. 任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B. 求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C. 在甲、乙、丙、丁名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，求甲被选中的概率
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
10. 甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（ ）
A. 平均数67B. 平均数为66C. 方差为296D. 方差为287
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线必过定点
B. 直线在y轴上的截距为1
C. 直线倾斜角为
D. 点，直线与线段相交，则实数m的取值范围是或
12. 在长方体中，，E是棱的中点，过点B，E，的平面交棱AD于点F，点P为线段上一动点，则（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点P，使得
C. 直线PE与平面所成角的正切值的最大值为
D. 三棱锥外接球表面积的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若，，三点能构成三角形，则实数的取值范围为________.
14. 表示两个数中的最小值，则函数的最大值为____________.
15. 已知存在两个正数和满足则实数的取值范围是_______．
16. 设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知的三个角，，的对边分别是，，，而且满足.
（1）求角的值；
（2）若，，边AB上的中点为D，求CD的长度.
18. 已知函数，且的最大值为3，最小正周期为.
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域，并指出取得最大值时自变量的值.
19. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率.
20. 如图，在直三棱柱中，，分别是棱，的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，并求直线与平面所成的角的正弦值.
条件①：；条件②：；
21. 已知圆C：，四点P1(1，1)，P2(0，2)，P3(1，)，P4(1，-)中恰有三点在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）设以k为斜率的直线l经过点Q(4，-2)，但不经过点P2，若l与圆C相交于不同两点A，B．
①求k的取值范围；
②证明：直线P2A与直线P2B的斜率之和为定值．
22. 如图所示，已知椭圆焦距为，直线被椭圆 截得的弦长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点是椭圆 上的动点，过原点引两条射线与圆分别相切，且的斜率存在. ①试问 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由；
②若射线与椭圆 分别交于点，求的最大值.
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