浙江省杭州市学军中学西溪校区2020-2021学年高一（上）期中数学试卷含答案

这是一份浙江省杭州市学军中学西溪校区2020-2021学年高一（上）期中数学试卷含答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省杭州市学军中学西溪校区高一（上）期中数学试卷
一、选择题：每小题4分，共40分
1．（4分）已知集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，则（∁RA）∩B＝（　　）
A．[﹣1，1） B．[0，1] C．[0，1） D．[﹣1，1]
2．（4分）下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（　　）
A．f（x）＝，g（x）＝
B．f（x）＝1，g（x）＝x0
C．f（x）＝|x|，g（x）＝
D．f（x）＝，g（x）＝
3．（4分）“x＞1”是“≥0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）设函数D（x）＝，则下列结论正确的是（　　）
A．D（x）的值域为[0，1] B．D（x）是偶函数
C．D（π）＞D（3.14） D．D（x）是单调函数
5．（4分）函数f（x）＝x2+bx+c对任意实数t满足f（t）＝f（4﹣t），则f（1），f（2），f（4）的大小关系是（　　）
A．f（1）＜f（2）＜f（4） B．f（2）＜f（1）＜f（4）
C．f（4）＜f（2）＜f（1） D．f（4）＜f（1）＜f（2）
6．（4分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），f（x）+f（﹣x）＝0，且在（0，1]上有，则f（2020.5）＝（　　）
A． B． C． D．
7．（4分）若函数f（x）满足a≤f（x）≤b（a＜b），定义b﹣a的最小值为f（x）的值域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是（　　）
A． B．f（x）＝2﹣|x|
C． D．f（x）＝|x+1|﹣|x|
8．（4分）已知f（x）＝x2+ax+b，函数y＝f（x）的图象与x轴的交点个数为m，函数y＝f[f（x）]与x轴的交点个数为M，则M﹣m的值可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（4分）已知3a＝5b＝15，则a，b满足下列关系的是（　　）
A．ab＞4 B．a+b＞4
C．a2+b2＜4 D．（a+1）2+（b+1）2＞16
10．（4分）已知函数，使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a+1，b+1]，则实数t的取值范围为（　　）
A． B．（﹣1，0] C． D．
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分
11．（4分）已知，则x＝　 　．
12．（6分）若指数函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），则＝　 　；不等式的解集是 　 　．
13．（6分）若函数f（x）＝，则函数是 　 　（奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇又偶函数）；不等式f（|2x+3|）≤9的解集为 　 　．
14．（6分）函数的定义域是 　 　；值域是 　 　．
15．（4分）设函数对任意x∈[2，+∞），f（ax）+af（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是 　 　．
16．（4分）设非零实数a，b满足a2+b2＝4，若函数存在最大值M和最小值m，则M﹣m＝　 　．
17．（4分）设实数s，t满足t＞0，且2s+t＝4，则的最小值是 　 　．
三、解答题：5小题，共74分
18．（15分）化简求值：
（1）；
（2）．
19．（15分）已知函数的定义域为A，函数g（x）＝﹣x2+4x﹣1，x∈[0，3]的值域为B．
（1）设集合M＝（A∩B）∩Z，其中Z为整数集，写出集合M的所有非空子集；
（2）设集合C＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}，且B∩C＝∅，求实数a的取值范围．
20．（15分）已知为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并解不等式．
21．（15分）荷兰阿斯麦尔公司（ASML）是全球高端光刻机霸主，最新的EUV（极紫外光源）具备7nm工艺．芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件．如果某工厂一条手机配件生产线的产量ω（单位：百个）与生产成本x（单位：百元）满足如下关系：ω（x）＝．此外，还需要投入其他成本（如运输、包装成本等）2x百元，已知这种手机配件的市场售价为16元/个（即16百元/百个），且市场需要始终供不应求．记这条生产线获得的利润为L（x）（单位：百元）．
（Ⅰ）求L（x）的函数表达式；
（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？
22．（16分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c，当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立．
（1）若a＝1，b+c＝0，求实数b的取值范围；
（2）证明：|a|+|b|+|c|≤3，并找出一组{a，b，c}，使得等号成立．

2020-2021学年浙江省杭州市学军中学西溪校区高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题4分，共40分
1．（4分）已知集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，则（∁RA）∩B＝（　　）
A．[﹣1，1） B．[0，1] C．[0，1） D．[﹣1，1]
【解答】解：∵集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，
∴∁RA＝{x|x≥0}，
∴（∁RA）∩B＝[0，1）．
故选：C．
2．（4分）下列选项中两个函数，表示同一个函数的是（　　）
A．f（x）＝，g（x）＝
B．f（x）＝1，g（x）＝x0
C．f（x）＝|x|，g（x）＝
D．f（x）＝，g（x）＝
【解答】解：A选项，f（x）的定义域为{x|x2﹣1≥0}＝{x|x≤﹣1，或 x≥1}；g（x）的定义域为{x|x≥1}，定义域不同；
B选项：f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x|x≠0}，定义域不同；
C选项，根据绝对值的含义，f（x）＝g（x）；
D选项，f（x）＝|x|，g（x）＝x，解析式不同；
故选：C．
3．（4分）“x＞1”是“≥0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：解不等式≥0可得x＜﹣1或x≥0，
故由“x＞1”⇒“x＜﹣1或x≥0”，当由“x＜﹣1或x≥0”不能推出“x＞1”，
故“x＞1”是“≥0”的充分不必要条件，
故选：A．
4．（4分）设函数D（x）＝，则下列结论正确的是（　　）
A．D（x）的值域为[0，1] B．D（x）是偶函数
C．D（π）＞D（3.14） D．D（x）是单调函数
【解答】解：对于A，函数的值域为{0，1}，可知A错误；
对于B，当x为有理数时，﹣x为有理数，则D（﹣x）＝D（x）＝1，
当x为无理数时，﹣x为无理数，则D（﹣x）＝D（x）＝0，
又D（x）的定义域为R，则D（x）是偶函数，故B正确；
对于C，D（π）＝0，D（3.14）＝1，D（π）＜D（3.14），故C错误；
对于D，D（2）＝1，D（3）＝1，D（）＝0，D（）＝0，可知函数不是单调函数，故D错误．
故选：B．
5．（4分）函数f（x）＝x2+bx+c对任意实数t满足f（t）＝f（4﹣t），则f（1），f（2），f（4）的大小关系是（　　）
A．f（1）＜f（2）＜f（4） B．f（2）＜f（1）＜f（4）
C．f（4）＜f（2）＜f（1） D．f（4）＜f（1）＜f（2）
【解答】解：由对任意实数t满足f（t）＝f（4﹣t），可知f（x）关于x＝2对称，
由函数f（x）＝x2+bx+c知：图象开口向上，且对称轴为x＝＝﹣＝2．
∴f（x）在[2，+∞）上单调递增，而f（1）＝f（4﹣1）＝f（3），
∴f（2）＜f（1）＜f（4），
故选：B．
6．（4分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），f（x）+f（﹣x）＝0，且在（0，1]上有，则f（2020.5）＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（2﹣x），f（x）+f（﹣x）＝0，
则f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），变形可得f（x+2）＝﹣f（x），
则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为4的周期函数，
又由在（0，1]上有，
故f（2020.5）＝f（2020+）＝f（）＝＝，
故选：D．
7．（4分）若函数f（x）满足a≤f（x）≤b（a＜b），定义b﹣a的最小值为f（x）的值域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是（　　）
A． B．f（x）＝2﹣|x|
C． D．f（x）＝|x+1|﹣|x|
【解答】解：因为0≤﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4，
所以0≤f（x）≤2，则值域跨度为2，故选项A正确；
因为﹣|x|≤0，所以0＜f（x）≤1，
则值域的度为1，故选项B错误；
当x＝0时，f（x）＝0，
当x＞0时，≤＝1，
当x＜0时，＝，
所以﹣1≤f（x）≤1，则值域跨度为2，故选项C正确；
f（x）＝|x+1|﹣|x|＝，
所以﹣1≤f（x）≤1，则值域跨度为2，故选项D正确．
故选：B．
8．（4分）已知f（x）＝x2+ax+b，函数y＝f（x）的图象与x轴的交点个数为m，函数y＝f[f（x）]与x轴的交点个数为M，则M﹣m的值可能是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由f（x）＝x2+ax+b知：△＝a2﹣4b，且f（x）min＝f（﹣）＝b﹣，
∴令t＝f（x），y＝f（t）的定义域为[b﹣，+∞），对称轴为t＝﹣，△＝a2﹣4b，
1、当m＝0时，△＝a2﹣4b＜0，y＝f（t）中M＝0；
2、当m＝1时，△＝a2﹣4b＝0，
1）当b﹣≤﹣时，y＝f（t）有一个零点t0，若t0≠b﹣时，M＝2，若t0＝b﹣时，M＝1；
2）当b﹣＞﹣时，y＝f（t）无零点，M＝0；
3、当m＝2时，△＝a2﹣4b＞0，
1）当b﹣≤时，y＝f（t）有两个零点，则M＝4；
2）当﹣＜b﹣＜时，y＝f（t）有一个零点，则M＝2；
3）当b﹣＞时，y＝f（t）无零点，M＝0．
综上知：M﹣m的可能值有0，1，2．
故选：ABC．
9．（4分）已知3a＝5b＝15，则a，b满足下列关系的是（　　）
A．ab＞4 B．a+b＞4
C．a2+b2＜4 D．（a+1）2+（b+1）2＞16
【解答】解：∵3a＝5b＝15，∴a＞0，b＞0，a≠b，
a＝log315，b＝log515，∴+＝log153+log155＝1，
A：∵1＝+＞2，∴ab＞4，∴A正确，
B：∵a+b＝（a+b）（+）＝++2≥2+2＝4，
∵又a≠b，∴a+b＞4，∴B正确，
C：∵1＝+，∴a+b＝ab，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（ab）2﹣2ab＝（ab﹣1）2﹣1＞8，∴C错误，
D：∵（a+1）2+（b+1）2＝a2+b2+2（a+b）+2＝（ab）2+2＞18＞16，∴D正确，
故选：ABD．
10．（4分）已知函数，使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a+1，b+1]，则实数t的取值范围为（　　）
A． B．（﹣1，0] C． D．
【解答】解：函数的定义域为[﹣1，+∞）且函数f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，
因为函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a+1，b+1]，
则，
令k＝，
所以为方程k2﹣k﹣2t＝0的两个根，
所以，
解得，
所以实数t的取值范围为．
故选：D．
二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分
11．（4分）已知，则x＝　9　．
【解答】解：∵，∴，
∴＝3，
∴x＝9，
故答案为：9．
12．（6分）若指数函数y＝f（x）的图象经过点（2，4），则＝　　；不等式的解集是 　[0，+∞）　．
【解答】解：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），
因为y＝f（x）的图象经过点（2，4），
则4＝a2，解得a＝2，
所以f（x）＝2x，
故＝；
则不等式等价于22x﹣1≤23x﹣1，
因为f（x）在R上为单调递增函数，
所以2x﹣1≤3x﹣1，解得x≥0，
所以不等式的解集是[0，+∞）．
故答案为：；[0，+∞）．
13．（6分）若函数f（x）＝，则函数是 　奇函数　（奇函数；偶函数；非奇非偶函数；既奇又偶函数）；不等式f（|2x+3|）≤9的解集为 　[﹣3，0]　．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，其定义域为R，
当x＞0时，﹣x＜0，有f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣x2，
当x＝0时，f（0）＝0，
当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）＝﹣f（x）＝x2，
综合可得：f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，故f（x）为奇函数，
函数f（x）＝，则f（x）为增函数，且f（3）＝9，
f（|2x+3|）≤9⇒f（|2x+3|）≤f（3）⇒|2x+3|≤3，解可得﹣3≤x≤0，
即不等式f（|2x+3|）≤9的解集为[﹣3，0]；
故答案为：奇函数，[﹣3，0]．
14．（6分）函数的定义域是 　{x|x≠0}　；值域是 　（0，2）∪（2，+∞）　．
【解答】解：函数，
所以函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
因为，所以，
所以＞0且≠2，
所以函数f（x）的值域为（0，2）∪（2，+∞）．
故答案为：{x|x≠0}；（0，2）∪（2，+∞）．
15．（4分）设函数对任意x∈[2，+∞），f（ax）+af（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是 　（﹣∞，﹣1）　．
【解答】解：函数对任意x∈[2，+∞），f（ax）+af（x）＜0恒成立，
即对任意x∈[2，+∞）恒成立，
即对任意x∈[2，+∞）恒成立，
当a＞0时，，由于x2∈[4，+∞），不符合题意；
当a＜0时，，由于x2∈[4，+∞），
所以，
解得a＞1或a＜﹣1，所以a＜﹣1．
综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）．
16．（4分）设非零实数a，b满足a2+b2＝4，若函数存在最大值M和最小值m，则M﹣m＝　2　．
【解答】解：化为yx2﹣ax+y﹣b＝0，
由题意可得△＝a2﹣4y（y﹣b）≥0，
即为4y2﹣4yb﹣a2≤0，
由a2+b2＝4，
可得4y2﹣4yb﹣（2﹣b）（2+b）≤0，
解得≤y≤，
即M＝，m＝，
则M﹣m＝2．
故答案为：2．
17．（4分）设实数s，t满足t＞0，且2s+t＝4，则的最小值是 　　．
【解答】解：∵2s+t＝4
∴，
∴＝

当s为负数的时候，可以取得最小值，最小值为．
故答案为：．
三、解答题：5小题，共74分
18．（15分）化简求值：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝6；
（2）
＝log37×（log321﹣log37）﹣log37
＝log37×log33﹣log37
＝0．
19．（15分）已知函数的定义域为A，函数g（x）＝﹣x2+4x﹣1，x∈[0，3]的值域为B．
（1）设集合M＝（A∩B）∩Z，其中Z为整数集，写出集合M的所有非空子集；
（2）设集合C＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}，且B∩C＝∅，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）对于函数，∵8﹣3x≥0，∴3x≤8，即x≤log38，
所以，A＝{x|x≤log38}，
∵g（x）＝﹣x2+4x﹣1，在x∈[0，3]上的值域为B＝[﹣1，3]，
所以，M＝（A∩B）∩Z＝{﹣1，0，1}，
所以，M的非空子集为：{﹣1}，{0}，{1}，{﹣1，0}，{0，1}，{﹣1，1}，{﹣1，0，1}．
（2）∵集合C＝{x|a﹣1＜x＜2a+1}，且B∩C＝∅，
当C＝∅时，则a﹣1≥2a+1⇒a≤﹣2．
当C≠∅时，由B∩C＝∅，可得，或，
解得a≥4，或﹣2＜a≤﹣1．
综上所述：实数的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）．
20．（15分）已知为奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并解不等式．
【解答】解：（1）因为是奇函数，且函数在x＝0处有意义，
故，即a＝2，
所以，
因此检验成立，
故a＝2．
（2）由（1）可知，，
因为y＝2x+1在R上递增，
故在R上递增，
则f（x）在R上递增，
令，
解得x＝2，
所以原不等式等价于f（0）＜f（x2﹣x）≤f（2），
所以0＜x2﹣x≤2，
故不等式的解集为{x|﹣1≤x＜0或1＜x≤2}．
21．（15分）荷兰阿斯麦尔公司（ASML）是全球高端光刻机霸主，最新的EUV（极紫外光源）具备7nm工艺．芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件．如果某工厂一条手机配件生产线的产量ω（单位：百个）与生产成本x（单位：百元）满足如下关系：ω（x）＝．此外，还需要投入其他成本（如运输、包装成本等）2x百元，已知这种手机配件的市场售价为16元/个（即16百元/百个），且市场需要始终供不应求．记这条生产线获得的利润为L（x）（单位：百元）．
（Ⅰ）求L（x）的函数表达式；
（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知L（x）＝16ω（x）﹣2x﹣x＝，
（Ⅱ）当0≤x≤2时，L（x）＝8x2﹣3x+48，对称轴方程为，∴L（x）max＝L（2）＝74；
当且仅当时，即x＝3时等号成立．
因为75＞74，
所以，当投入的生产成本为300元时，这条生产线获得的最大利润是7500元．
22．（16分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c，当|x|≤1时，|f（x）|≤1恒成立．
（1）若a＝1，b+c＝0，求实数b的取值范围；
（2）证明：|a|+|b|+|c|≤3，并找出一组{a，b，c}，使得等号成立．
【解答】解：（1）由a＝1，b+c＝0，得f（x）＝x2+bx﹣b，
因为|f（x）|≤1，所以﹣1≤x2+bx﹣b≤1，
取x＝﹣1，|f（﹣1）|＝|1﹣b﹣b|＝|1﹣2b|≤1，得0≤b≤1，
故f（x）的对称轴x＝﹣∈[﹣，0]，
∴当|x|≤1时，，解得﹣2﹣2≤b≤﹣2+2，
综上，实数b的取值范围是：．
综合得b的取值范围是；
（2）证明：当x＝0时，|f（0）|＝|c|≤1，
当x＝1时，|f（1）|＝|a+b+c|≤1，
当x＝﹣1时，|f（﹣1）|＝|a﹣b+c|≤1，
由绝对值不等式的性质可得：|a+b+c﹣（a﹣b+c）|＝|a+b+c|+|a﹣b+c|≤1+1＝2，
化简可得|2b|≤2，即|b|≤1，
由|a+b+c|≤1，当b，c同号时，有﹣1≤|a|≤3，
由|a﹣b+c|≤1，当b，c异号时，有﹣3≤|a|≤1，
综合可得|a|≤1．
∴|a|+|b|+|c|≤3，
取：{a，b，c}＝{2，0，﹣1}，即f（x）＝2x2﹣1时，等号成立．
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日期：2021/10/25 20:47:51；用户：我爱数学；邮箱：284515469@qq.com；学号：238023