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    2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一(下)期中数学试卷(含解析)
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    2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一(下)期中数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年浙江省杭州市学军中学高一(下)期中数学试卷(含解析),共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知集合A={x|x<5},B={x|3−x<1},则A∩B=( )
    A. (−2,5)B. (4,5)C. (−∞,2)D. (2,5)
    2.若复数a+bi1+2i(a,b∈R)为纯虚数,则ab=( )
    A. −52B. −2C. 25D. 12
    3.一个正四棱台形状的鱼塘,灌满水时,蓄水量为9100m3,若它的两底面边长分别为60m和50m,则此时鱼塘的水深( )
    A. 2mB. 2.5mC. 3mD. 4m
    4.如图,△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图,其中A′B′=2,A′C′=B′C′= 10,则在原平面图形△ABC中有( )
    A. AC=BCB. AB=2C. BC= 82D. S△ABC=3 2
    5.已知tanα=2,则sin2α+cs2αsin2α+cs2α的值为( )
    A. 15B. 13C. 35D. 45
    6.函数f(x)=x+ln( x2+1+x)⋅csx在[−2π,2π]上的图象可能是( )
    A. B.
    C. D.
    7.正方形ABCD的边长为6,点E,F分别在边AD,BC上,且DE=EA,CF=2FB,如果对于常数λ,在正方形ABCD的四条边上(不含顶点)有且只有6个不同的点P,使得PE⋅PF=λ成立,那么λ的取值范围为( )
    A. (−3,−14)B. (−3,3)C. (−14,3)D. (3,12)
    8.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,则Sa2+4bc的最大值为( )
    A. 216B. 312C. 316D. 218
    二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.下列对应关系f,能构成从集合M到集合N的函数的是( )
    A. M={12,1,32},N={−6,−3,1},f(12)=−6,f (1)=−3,f(32)=1
    B. M=N={x|x≥−1},f(x)=2x+1
    C. M=N={1,2,3},f(x)=2x+1
    D. M=Z,N={−1,1},f(x)=−1,x为奇数1,x为偶数
    10.已知O为坐标原点,点P1(csα,sinα),P2(csβ,−sinβ),P3(cs(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( )
    A. |OP1|=|OP2|B. |AP1|=|AP2|
    C. OA⋅OP3=OP1⋅OP2D. OA⋅OP1=OP2⋅OP3
    11.已知函数f(x)=cs(ωx+π4)(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有3个对称中心,则下列正确的是( )
    A. ω的值可能是3B. f(x)的最小正周期可能是2π3
    C. f(x)在区间[0,π16]上单调递减D. f(x)图象的对称轴可能是x=3π8
    三、填空题:本题共3小题,每小题6分,共18分。
    12.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,则BC= ______;若BD=2DC,AE=λAC−AB(λ∈R),且AD⋅AE=−4,则λ的值为______.
    13.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,则它的外接球的表面积为______;若E为B1C1的中点,则过B、D、E三点的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面面积为______.
    14.函数f(x)=|lg5(1−x)|(x<1)−(x−2)2+2(x≥1),若关于x的方程f(x+1x−2)−t=0恰好有8个不同的实数根,则实数t的取值范围是 .
    四、解答题:本题共5小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题12分)
    求值:
    (1)80.25×42+lg510−1lg25−2lg23;
    (2)已知a>0,b>0,a+b=1,求1a(b+1b)的最小值.
    16.(本小题13分)
    在①2sin(A+π6)=a+cb,②(a+c−b)(a+c+b)=3ac,③sinA−sinBa−c=sinCa+b这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并解决该问题.
    问题:在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且_____.
    (1)求B;
    (2)若BC=3AB,求sinA.
    17.(本小题15分)
    2023年9月17日,联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议,将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》,成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明,某种普洱茶用95℃的水冲泡,等茶水温度降至60℃饮用,口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下,刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1分钟测量一次茶水温度,得到茶水温度y(单位:℃)与时间(单位:分钟)的部分数据如下表所示:
    (1)给出下列三种函数模型:①y=at+b(a<0),②y=a⋅bt+c(a>0,0③y=lga(t+b)+c(b>0,a>1),请根据上表中的数据,选出你认为最符合实际的函数模型,简单叙述理由,并利用前2分钟的数据求出相应的解析式:
    (2)根据(1)中所求模型,
    (i)请推测实验室室温(注:茶水温度接近室温时,将趋于稳定);
    (ii)求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.1).
    (参考数据:lg3≈0.477,lg5≈0.699)
    18.(本小题17分)
    如图所示,△ABC为等边三角形,AB=4 3.I为△ABC的内心,点P在以I为圆心,1为半径的圆上运动.
    (1)求出(PA)2+(PB)2+(PC)2的值.
    (2)求PA⋅PB的范围.
    (3)若xPA+yPB+zPC=0(x,y,z∈R),当xy最大时,求zx+y的值.
    19.(本小题17分)
    已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2,若对任意x0∈D1,恰好存在n个不同的实数x1,x2,…,xn∈D2,使得g(xi)=f(x0)(其中i=1,2,…,n,n∈N*),则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数”.
    (1)判断g(x)=x2−2x+1(x∈[0,4])是否为f(x)=x+4(x∈[0,5])的“n重覆盖函数”,如果是,求出n的值;如果不是,说明理由;
    (2)若g(x)=ax2+(2a−3)x+1,−2≤x≤1x−1,x>1为f(x)=lg22x+22x+1的“2重覆盖函数”,求实数a的取值范围;
    (3)函数[x]表示不超过x的最大整数,如[1.2]=1,[2]=2,[−1.2]=−2,若h(x)=ax−[ax],x∈(0,2)为f(x)=xx2+1,x∈[0,+∞)的“2024重覆盖函数”,求正实数a的取值范围.
    答案和解析
    1.【答案】D
    【解析】解:集合A={x|x<5},B={x|3−x<1}={x|x>2},
    则A∩B={x|2故选:D.
    求出集合A,B,利用交集定义能求出A∩B.
    本题考查集合的运算,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
    2.【答案】B
    【解析】解:设a+bi1+2i=mi(m∈R,m≠0),
    则a+bi=−2m+mi,
    即a=−2m,b=m,
    则ab=−2.
    故选:B.
    根据复数的除法运算化简复数,再根据纯虚数的概念列式可求出结果.
    本题考查了复数的基本概念,考查了复数是纯虚数的条件,是基础题.
    3.【答案】C
    【解析】解:设水深为hm,则13(602+ 602×502+502)h=9100,
    解得h=3,故此时水深为3m.
    故选:C.
    根据棱台的体积公式直接计算出水深.
    本题考查棱台的体积公式,属于基础题.
    4.【答案】C
    【解析】解:把直观图转化为原平面图形,如图所示:
    取A′B′的中点D,连接C′D,
    △A′B′C′中,A′B′=2,A′C′=B′C′= 10,
    所以C′D⊥A′B′,
    所以C′D= ( 10)2−12=3,
    所以O′D=C′D=3,
    所以O′A′=3−1=2,O′C′= 2O′D=3 2;
    在原平面图形△ABC中,AB=2A′B′=4,AC= OA2+AC2= 42+(3 2)2= 34,
    BC= OB2+OC2= 82+(3 2)2= 82,
    △ABC的面积为S△ABC=S△OBC−S△OAC=12×3 2×8−12×3 2×4=6 2.
    故选:C.
    把直观图转化为原平面图形,再对选项中的命题真假性判断即可.
    本题考查了平面图形的直观图与原图形的转化和应用问题,是基础题.
    5.【答案】A
    【解析】解:由于:tanα=2,
    sin2α+cs2αsin2α+cs2α=cs2α2sinαcsα+cs2α=12tanα+1=15.
    故选:A.
    直接利用三角函数的关系式的变换的应用求出结果.
    本题考查的知识要点:三角函数的关系式的变换,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.
    6.【答案】C
    【解析】解:因为函数y=ln( x2+1+x)为奇函数,y=csx为偶函数,
    则y=ln( x2+1+x)csx为奇函数,又y=x为奇函数,
    故f(x)=x+ln( x2+1+x)⋅csx为奇函数,
    故选项A,B错误;
    当x=π时,f(π)=π−ln( π2+1+π),
    f(2π)=2π+ln( 4π2+1+2π),
    所以f(2π)>f(π),
    故选项C正确,选项D错误.
    故选:C.
    利用函数奇偶性排除选项A,B,然后利用以f(2π)和f(π)的大小关系,即可判断选项C,D.
    本题考查了函数图象的识别,解题的关键是掌握识别图象的方法:可以从定义域、值域、函数值的正负、特殊点、特殊值、函数的性质等方面进行判断,考查了直观想象能力与逻辑推理能力,属于基础题.
    7.【答案】C
    【解析】解:以DC为x轴,以DA为y轴建立平面直角坐标系,如图,则E(0,3),F(6,4).
    (1)若P在CD上,设P(x,0),0≤x≤6.∴PE=(−x,3),PF=(6−x,4)
    ∴PE⋅PF=x2−6x+12=(x−3)2+3,
    ∵x∈[0,6],∴3≤PE⋅PF≤12.
    ∴当λ=3时有一解,当3<λ≤12时有两解.
    (2)若P在AD上,设P(0,y),
    ∵0∴PE⋅PF=y2−7y+12=(y−72)2−14,
    ∵0∴当λ=−14或6<λ<12,有一解,当−14≤λ<6时有两解.
    (3)若P在AB上,设P(x,6),0∴PE⋅PF=x2−6x+6=(x−3)2−3,
    ∵0∴当λ=−3时有一解,当−3<λ≤6时有两解.
    (4)若P在BC上,设P(6,y),0∴PE=(−6,3−y),PF=(0,4−y).
    ∴PE⋅PF=y2−7y+12=(y−72)2−14,
    ∵0∴当λ=−14或6≤λ<12时有一解,
    当−14≤λ<12时有两解.
    综上,若在正方形ABCD的四条边上(不含顶点)有且只有6个不同的点P,
    则−14<λ<3.
    故选:C.
    以DC为x轴,以DA为y轴建立平面直角坐标系,求出数量积PE⋅PF的表达式,结合一元二次函数的图象和性质求出PE⋅PF=λ有一解,两解的情况,即可得到结论.
    本题主要考查数量积的应用,建立坐标系,转化为一元二次函数,利用一元二次函数的图象和性质进行求解是解决本题的关键.
    8.【答案】A
    【解析】解:由题意可得S=12bcsinA,
    Sa2+4bc=12bcsinAb2+c2−2bccsA+4bc≤12bcsinA2bc−2bccsA+4bc=12bcsinA6bc−2bccsA=12sinA6−2csA,
    令12sinA6−2csA=t,
    可得12sinA=6t−2tcsA,
    12sinA+2tcsA=6t≤ 14+4t2,
    ∴t≤ 216,
    故选:A.
    将Sa2+4bc利用面积公式和余弦定理展开可得12bcsinAb2+c2−2bccsA+4bc,在运用基本不等式化简为12sinA6−2csA,最后结合辅助角公式即可求得t的最大值.
    本题主要考查了三角形面积公式,余弦定理在解三角形中的应用,考查了构造函数法求最值,属于中档题.
    9.【答案】ABD
    【解析】解:∵M={12,1,32},N={−6,−3,1},
    f(12)=−6,f (1)=−3,f(32)=1,
    由定义知M中的任一个元素,N中都有唯一的元素和它相对应,
    ∴能构成从集合M到集合N的函数,故A正确;
    对于B,M=N={x|x≥−1},f(x)=2x+1,能构成从集合M到集合N的函数,故B正确;
    对于C,M=N={1,2,3},f(x)=2x+1,
    ∵f(2)=5,f(3)=7,5∉{1,2,3},7∉{1,2,3},
    ∴不能构成从集合M到集合N的函数,故C错误;
    对于D,M=Z,N={−1,1},f(x)=−1,x为奇数1,x为偶数,
    能构成从集合M到集合N的函数,故D正确.
    故选:ABD.
    利用函数的概念及构成要素直接求解.
    本题考查函数的判断,考查函数的概念及构成要素等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
    10.【答案】AC
    【解析】【分析】
    本题考查平面向量数量积的性质及运算,考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数,是中档题.
    由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标,然后逐一验证四个选项得答案.
    【解答】
    解:∵P1(csα,sinα),P2(csβ,−sinβ),P3(cs(α+β),sin(α+β)),A(1,0),
    ∴OP1=(csα,sinα),OP2=(csβ,−sinβ),
    OP3=(cs(α+β),sin(α+β)),OA=(1,0),
    AP1=(csα−1,sinα),AP2=(csβ−1,−sinβ),
    则|OP1|= cs2α+sin2α=1,|OP2|= cs2β+(−sinβ)2=1,则|OP1|=|OP2|,故A正确;
    |AP1|= (csα−1)2+sin2α= cs2α+sin2α−2csα+1= 2−2csα,
    |AP2|= (csβ−1)2+(−sinβ)2= cs2β+sin2β−2csβ+1= 2−2csβ,
    |AP1|=|AP2|不能恒成立,故B错误;
    OA⋅OP3=1×cs(α+β)+0×sin(α+β)=cs(α+β),
    OP1⋅OP2=csαcsβ−sinαsinβ=cs(α+β),
    ∴OA⋅OP3=OP1⋅OP2,故C正确;
    OA⋅OP1=1×csα+0×sinα=csα,
    OP2⋅OP3=csβcs(α+β)−sinβsin(α+β)=cs[β+(α+β)]=cs(α+2β),
    ∴OA⋅OP1=OP2⋅OP3不能恒成立,故D错误.
    故选:AC.
    11.【答案】ABC
    【解析】解:因为函数f(x)=cs(ωx+π4)(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有3个对称中心,
    且当0≤x≤π时,π4≤ωx+π4≤πω+π4,
    所以,5π2≤πω+π4<7π2,解得94≤ω<134,A对;
    因为94≤ω<134,则函数f(x)的最小正周期为T=2πω∈(8π13,8π9],
    且2π3∈(8π13,8π9],B对;
    当0≤x≤π16时,π4≤ωx+π4≤π16ω+π4,
    因为94≤ω<134,则25π64≤π16ω+π4<2964π,
    所以,函数f(x)在区间[0,π16]上单调递减,C对;
    35π32≤3πω8+π4<47π32,所以,f(x)图象的对称轴不可能是x=3π8,D错.
    故选:ABC.
    利用辅助角公式化简函数f(x)的解析式,利用正弦型函数的对称性可判断AD选项;利用正弦型函数的单调性可判断C选项;利用正弦型函数的周期公式可判断B选项.
    本题考查三角函数的性质,属于中档题.
    12.【答案】 7 311
    【解析】解:如图所示,
    在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,
    由余弦定理可得:BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅csA
    =9+4−2×3×2×12=7,则BC= 7;
    ∵BD=2DC,
    ∴AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC,
    又∵AE=λAC−AB(λ∈R),
    ∴AD⋅AE=(13AB+23AC)⋅(λAC−AB)
    =(13λ−23)AB⋅AC−13AB2+23λAC2
    =(13λ−23)×3×2×cs60°−13×32+23λ×22=−4,
    ∴113λ=1,解得λ=311.
    故答案为: 7;311.
    根据题意画出图形,结合图形,直接利用余弦定理求解BC;再利用AB、AC表示出AD,根据平面向量的数量积列方程求出λ的值.
    本题考查平面向量的线性运算与数量积运算,训练了余弦定理的应用,是中档题.
    13.【答案】12π 92
    【解析】解:①在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,则它的外接球半径为2R= 22+22+22,解得R= 3,所以外接球的表面积为S=4⋅π⋅( 3)2=12π;
    ②如图所示:
    过点E作EK//BD,连接DK,所以过B、D、E三点的平面截正方体ABCD−A1B1C1D1所得的截面为EKDB且为等腰梯形,
    过点E作EF⊥BC于点F,过点F作FG⊥BD,连接EG,所以EG为梯形EKDB的高,
    且EG= 22+( 22)2=3 22,
    所以S梯形EKDB=12×(2 2+ 2)×3 22=92.
    故答案为:12π;92.
    ①首先利用正方体的对角线和外接球的半径的关系求出R的值,进一步求出球的表面积;
    ②首先利用直线间的平行关系求出截面,进一步求出截面的高和截面面积.
    本题考查的知识点:正方体和外接球的关系,球的半径的求法,截面积的求法,主要考查学生的运算能力,属于中档题.
    14.【答案】(1,2)
    【解析】【分析】
    本题考查了复合函数的零点问题,属于中档题.
    令m=x+1x−2,由对勾函数得到其单调性和值域情况,画出函数f(x)的图象,数形结合得到不同的t,根据两函数交点情况,得到答案.
    【解答】
    解:令m=x+1x−2,由对勾函数的性质可知:
    对于一个确定的m值,关于x的方程m=x+1x−2最多两个解,
    画出m=x+1x−2的图象如下:
    故m=x+1x−2值域为(−∞,−4]∪[0,+∞),
    作出函数f(x)的图象,如下:
    令|lg5(1−x)|=1,解得:x1=0.8,x2=−4,
    令|lg5(1−x)|=2,解得:x3=0.96,x4=−24,
    令−(x−2)2+2=0,解得:x5=2+ 2,
    当t<0时,存在唯一的m∈(2+ 2,+∞),使得f(m)=t,此时方程m=x+1x−2有两解;
    当t=0时,存在m1=0,m2=2+ 2使得f(m)=0,此时方程m=x+1x−2有三解,
    其中m1=0时,有1个解即x=1,m2=2+ 2时,有2个解;
    当t∈(0,1)时,存在m1∈(−4,0),m2∈(0,0.8),m3∈(3,2+ 2)使得f(m)=t,此时方程m=x+1x−2有四解,
    m1∈(−4,0)时,无解,m2∈(0,0.8)时,有2个解,m3∈(3,2+ 2)时,有2个解;
    当t=1时,存在m1=−4,m2=0.8,m3=1,m4=3使得f(m)=1,此时方程m=x+1x−2有七解,
    m1=−4时,有1个解,即x=−1,m2=0.8时,有2个解,m3=1时,有2个解,
    m4=3时,有2个解;
    当t∈(1,2)时,存在m1∈(−24,−4),m2∈(0.8,0.96),m3∈(1,2),m4∈(2,3)使得f(m)=t,此时方程m=x+1x−2有八个解,
    当m1∈(−24,−4)时,有2个解,m2∈(0.8,0.96)时,有2个解,m3∈(1,2)时,有2个解,m4∈(2,3)时,有2个解;
    当t=2时,存在m1=−24,m2=0.96,m3=2使得f(m)=2,此时方程m=x+1x−2有六解,
    当m1=−24时,有2个解,m2=0.96时,有2个解,m3=2时,有2个解;
    当t∈(2,+∞)时,存在m1∈(−∞,−24),m2∈(0.96,1)使得f(m)=t,此时方程m=x+1x−2有四解,
    当m1∈(−∞,−24)时,有2个解,m2∈(0.96,1)时,有2个解;
    综上:实数t的取值范围是(1,2).
    故答案为:(1,2).
    15.【答案】解:(1)80.25×42+lg510−1lg25−2lg23
    =234×214+lg510−lg52−3
    =2+lg55−3
    =2+1−3=0;
    (2)因为a>0,b>0,a+b=1,
    所以1a(b+1b)=ba+1ab=ba+a+bab=1−aa+1b+1a
    =2a+1b−1=(2a+1b)(a+b)−1
    =2+2ba+ab≥2+2 2ba⋅ab=2+2 2,
    当且仅当a= 2b,即b= 2−1,a=2− 2时取等号,1a(b+1b)的最小值为2+2 2.
    【解析】(1)结合指数及对数的运算性质即可求解;
    (2)利用乘1法,结合基本不等式即可求解.
    本题主要考查了对数及指数的运算性质的应用,还考查了基本不等式在最值求解中的应用,属于基础题.
    16.【答案】解:(1)若选①:由2sin(A+π6)=a+cb及正弦定理得2sin(A+π6)=sinA+sinCsinB,
    即 3sinAsinB+csAsinB=sinA+sinC.
    又sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB,
    所以 3sinAsinB=sinA+sinAcsB.
    因为sinA>0,所以 3sinB=1+csB,
    即sin(B−π6)=12.
    因为0所以B−π6=π6,B=π3.
    若选②:在△ABC中,由(a+c−b)(a+c+b)=3ac,
    得a2+c2−b2=ac,
    由余弦定理的推论得csB=a2+c2−b22ac=12.
    因为0若选③:由sinA−sinBa−c=sinCa+b及正弦定理得sinA−sinBsinA−sinC=sinCsinA+sinB,
    即sin2A−sin2B=sinAsinC−sin2C,
    即a2+c2−b2=ac.
    由余弦定理的推论得csB=a2+c2−b22ac=12.
    因为0(2)解法一:由(1)知,sinB= 32,C=2π3−A,
    由正弦定理得BCsinA=ABsin(2π3−A).
    又BC=3AB,所以sinA=3sin(2π3−A),
    sinA=3×( 32csA+12sinA),
    解得tanA=−3 3.
    又sin2A+cs2A=1,且A∈(π2,2π3),
    所以sinA=3 2114.
    解法二:由(1)知a2+c2−b2=ac.
    又BC=3AB,即a=3c,
    所以b2=a2+c2−ac=79a2,
    所以b= 73a,故由正弦定理得asinA= 73asinπ3,
    所以sinA=3 2114.
    【解析】(1)若选①,利用两角和的正弦公式以及正弦定理化简得 3sinB=1+csB,进而得到B;若选②,化简得a2+c2−b2=ac,根据余弦定理,得到B;若选③,利用正弦定理化简得a2+c2−b2=ac,进而根据余弦定理得到B.
    (2)解法一:结合(1),利用正弦定理得到tanA=−3 3,结合平方关系得到sinA;解法二:根据b2=a2+c2−ac=79a2,得到b= 73a,根据正弦定理得到sinA.
    本题主要考查了正弦定理,余弦定理和差角公式,辅助角公式在求解三角形中的应用,属于中档题.
    17.【答案】解:(1)由表格数据可知,函数单调递减且递减速度逐渐变慢,
    故模型①③不符合,选模型②y=a⋅bt+c(a>0,0则a+c=95ab+c=88ab2+c=81.7,解得a=70b=0.9c=25,
    所以y=70⋅0.9t+25(t≥0);
    (2)(i)因为当t→+∞时,y→25,
    所以推测实验室室温为25℃;
    (ii)令70⋅0.9t+25=60,则0.9t=12,
    所以t=lg0.912=lg12lg0.9=−lg22lg3−1=1−lg51−2lg3≈6.5,
    即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为6.5min.
    【解析】(1)由表格数据可知,函数单调递减且递减速度逐渐变慢,故模型①③不符合,选模型②,把前3组数据代入求出a,b,c的值,即可得到函数解析式;
    (2)(i)利用指数函数的性质求解;
    (ii)令70⋅0.9t+25=60,结合对数的运算性质求出t的值即可.
    本题主要考查了函数的实际应用,考查了对数的运算性质,属于中档题.
    18.【答案】解:(1)如下图所示,以I为原点,IA为y轴建立平面直角坐标系,

    根据正弦定理可以得到△ABC的外接圆半径为:R=12×4 3sin60°=4,所以求得A点坐标(0,4),
    于是得到B(−2 3,−2),C(2 3,−2),
    因为|PI|=1,所以点P在圆x2+y2=1上,
    不妨设P(csθ,sinθ),
    故PA=(−csθ,4−sinθ),PB=(−2 3−csθ,−2−sinθ),PC=(2 3−csθ,−2−sinθ),
    进而得到PA2+PB2+PC2=[cs2θ+(4−sinθ)2]+[(2 3+csθ)2+(2+sinθ)2]+[(2 3−csθ)2+(2+sinθ)2]
    =3(cs2θ+sin2θ)+48=51.
    (2)由(1)可知PA⋅PB=2 3csθ−2sinθ−7=−4sin(θ−π3)−7,
    当θ∈[−π2,−π6]时,PA⋅PB=−4sin(θ−π3)−7∈[−5,−3],
    (3)根据题意可得:0=xPA+yPB+zPC=(2 3(z−y)−(x+y+z)csθ,4x−2y−2z−(x+y+z)sinθ),
    得到csθ=2 3(z−y)x+y+zsinθ=4x−2y−2zx+y+z,根据sin2θ+cs2θ=1,可得5x2+5y2+5z2−6xy−6xz−6yz=0①,
    又因为x,y,z∈R+,
    ①两边同时除以y2得到:5x2y2+5+5z2y2−6xy−6xzy2−6zy=0,
    令m=xy,n=zy,则5m2+5+5n2−6m−6mn−6n=0,整理得到5n2−(6m+6)n+5m2−6m+5=0,
    因为Δ=(6m+6)2−4×5×(5m2−6m+5)≥0,即m2−3m+1≤0,
    得到3− 52≤m≤3+ 52,故xy(即m)的最大值为3+ 52,
    此时,Δ=0,因此n=3m+35,
    所以z=3m+35y,x=my,
    从而得到zx+y=3m+35y(m+1)y=35.
    【解析】(1)以I为原点,IA为y轴建立平面直角坐标系,求出A,B,C的坐标,依题意设P(csθ,sinθ),求得PA,PB,PC的坐标,进而可求得结果;
    (2)由(1)求得PA⋅PB,得到关于角的函数表达式,由对称性考查θ∈[−π2,π2]时的情况可得结果;
    (3)依题意可得5x2y2+5+5z2y2−6xy−6xzy2−6zy=0,令m=xy,n=zy,得5n2−(6m+6)n+5m2−6m+5=0,进而由判别式法可求得结果.
    本题主要考查平面向量的数量积,属于中档题.
    19.【答案】解:(1)g(x)=x2−2x+1=(x−1)2,(x∈[0,4]),f(x)=x+4,x∈[0,5]),
    由定义可得,对任意x0∈[0,5],恰好存在不同的实数x1,x2,……,xn∈[0,4],
    使得g(x1)=f(x0),其中(i=1,2,…,n,n∈N*),
    即(xi−1)2=x0+4∈[4,9],可得xi∈[3,4],
    所以对于任意x0∈[0,5],能找到一个x1,使得(x1−1)2=x0+4,
    所以g(x)是f(x)的“n重覆盖函数”,n=1;
    (2)由题意可得f(x)=lg22x+22x+1=lg2(1+12x+1)的定义域为R,
    即对任意x0∈R,存在2个不同的实数x1,x2∈[−2,+∞),
    使得g(xi)=f(x0)(其中i=1,2),
    因为2x>0,则2x+1>1⇒0<12x+1<1⇒1<1+12x+1<2,
    所以0即对任意0当x>1时,g(x)=x−1=k已有一个根,故只需−2≤x≤1时,g(x)=k仅有1个根,
    当a=0时,g(x)=−3x+1,符合题意,
    当a>0时,g(−2)=4a−4a+6+1=7,则需满足g(1)=a+2a−3+1≤0,解得0当a<0时,抛物线开口向下,g(−2)=4a−4a+6+1=7,g(0)=1,
    若仅有1个根,由a<0可知3−2a2a≤−1,
    当x∈[−2,0]时,g(x)≥1,所以g(x)=k无解,
    则只需g(1)=3a−2≤0a<0,解得a<0,
    综上,实数a的取值范围是{a|a≤23};
    (3)f(x0)=x0x02+1∈[0,12],
    则对于任意m∈[0,12],h(x)=m,x∈(0,2)要有2024个根,
    h(x)=ax−[ax]=ax,x∈(0,1a)ax−1,x∈[1a,2a)ax−2,x∈[2a,3a)…,作出函数的图像,如图:

    易知,当x∈[2023a,2024a)时,h(x)=ax−2023,
    此时当m=12时,则有ax−2023=12,
    解得x=40472a,
    要使h(x)=m,x∈(0,2)有2024个根,
    则40472a<2≤2024a,
    又a>0,则40474故正实数a的取值范围(40474,1012].
    【解析】(1)根据新定义,结合单调性即可求解;
    (2)先求出f(x)的值域,然后把问题转化为y=g(x)与y=k有两个交点,然后对a分类讨论即可求解;
    (3)由题意可得0≤f(x)≤12,则有对于任意m∈[0,12],h(x)=m,x∈(0,2)要有2024个根,作出函数h(x)的图象,结合图象求解即可.
    本题以新定义为载体,主要考查了函数性质的综合应用,体现了转化思想及分类讨论思想的应用,属于难题.时间/分钟
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