2021杭州学军中学高一下学期期中考试数学含答案

这是一份2021杭州学军中学高一下学期期中考试数学含答案，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年浙江省杭州市学军中学高一（下）期中数学试卷
一、选择题（8个单选题，每题4分；2个多选题，每题5分；共42分）
1．复数z＝﹣i的虚部为（　　）
A． B．﹣ C．i D．﹣i
2．已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k＝（　　）
A．﹣ B．0 C．3 D．
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，则B的解的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
4．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
5．已知向量，不共线，且向量λ+与+（2λ﹣1）的方向相反，则实数λ的值为（　　）
A．1 B．﹣ C．1或﹣ D．﹣1或﹣
6．设复数z满足＝i，则|z|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
7．若直线 l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
8．已知，为单位向量，|+|＝|﹣|，记是与+方向相同的单位向量，则在+方向上的投影向量为（　　）
A． B．﹣ C． D．
9．设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是（　　）
A．若|z1﹣z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1•＝z2•
D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝ccosA，角A的角平分线交BC于点D，AD＝1，cosA＝，以下结论正确的是（　　）
A．AC＝ B．AB＝8
C．＝ D．△ABD的面积为
二、填空题（6题，每题5分，共30分）
11．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则c＝　 　．
12．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为　 　．

13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为　 　．
14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，则△ABC的面积为　 　．
15．设P为△ABC所在平面上一点，且满足（m＞0）．若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为　 　．
16．如图，圆O是半径为1的圆，OA＝，设B，C为圆上的任意2个点，则•的取值范围是　 　．

三、解答题（4题，每题12分，共48分）
17．如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC．

18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c＝0．
（1）求A；
（2）若AD为BC边上的中线，cosB＝，AD＝，求△ABC的面积．

19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．
（1）设＝x+y，求x+y的值；
（2）若＝6，求的值．

20．设a为实数，函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
（3）设函数h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．


参考答案
一、选择题（8个单选题，每题4分；2个多选题，每题5分；共42分）
1．复数z＝﹣i的虚部为（　　）
A． B．﹣ C．i D．﹣i
解：z＝﹣i的虚部为﹣，
故选：B．
2．已知向量＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k＝（　　）
A．﹣ B．0 C．3 D．
解：∵＝（k，3），＝（1，4），＝（2，1）
∴2﹣3＝（2k﹣3，﹣6），
∵（2﹣3）⊥，
∴（2﹣3）•＝0'
∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）＝0，
解得，k＝3．
故选：C．
3．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，则B的解的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
解：因为a＝80，b＝100，A＝30°，
由正弦定理得，，
所以sinB＝，
因为a＜b，
所以B＞A，
故B有两解．
故选：C．
4．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的高为（　　）
A．1 B． C．2 D．2
解：设圆锥的底面半径为r，
∵它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，
∴圆锥的母线长为3r，
又∵圆锥的表面积为π，
∴πr（r+3r）＝π，
解得：r＝，l＝，
故圆锥的高h＝＝，
故选：B．
5．已知向量，不共线，且向量λ+与+（2λ﹣1）的方向相反，则实数λ的值为（　　）
A．1 B．﹣ C．1或﹣ D．﹣1或﹣
解：与的方向相反，且不共线，
∴存在μ＜0，使，
∴，解得或1（舍去）．
故选：B．
6．设复数z满足＝i，则|z|＝（　　）
A．1 B． C． D．2
解：∵复数z满足＝i，
∴1+z＝i﹣zi，
∴z（1+i）＝i﹣1，
∴z＝＝i，
∴|z|＝1，
故选：A．
7．若直线 l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
解：A．l与l1，l2可以相交，如图：
∴该选项错误；
B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；
C．l可以和l1，l2都相交，如下图：
，∴该选项错误；
D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；
∵l和l1，l2都共面；
∴l和l1，l2都平行；
∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；
∴该选项正确．
故选：D．
8．已知，为单位向量，|+|＝|﹣|，记是与+方向相同的单位向量，则在+方向上的投影向量为（　　）
A． B．﹣ C． D．
解：由题意可得2+2＝2﹣4+2，可得＝，则＝1+＝，
设与+的夹角为α，则||•||cosα＝，
有||＝＝，故＝＝．
则在+方向上的投影向量为：．
故选：C．
9．设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是（　　）
A．若|z1﹣z2|＝0，则＝
B．若z1＝，则＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1•＝z2•
D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22
解：对（A），若|z1﹣z2|＝0，则z1﹣z2＝0，z1＝z2，所以为真；
对（B）若，则z1和z2互为共轭复数，所以为真；
对（C）设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，若|z1|＝|z2|，则，
，所以为真；
对（D）若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而，所以为假．
故选：ABC．
10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝ccosA，角A的角平分线交BC于点D，AD＝1，cosA＝，以下结论正确的是（　　）
A．AC＝ B．AB＝8
C．＝ D．△ABD的面积为
解：因为b＝ccosA，
由正弦定理可得，sinB＝sinCcosA＝sin（A+C），
所以sinAcosC＝0，
因为sinA≠0，
所以cosC＝0即C＝，
∵＝cosA＝，
由角平分线定理可得，＝，
设AC＝x，AB＝8x，则BC＝3x，CD＝，
Rt△ACD中，由勾股定理可得，，
解可得x＝，即AC＝，AB＝6，
∵SABC＝＝，
所以S△ABD＝＝．
故选：ACD．

二、填空题（6题，每题5分，共30分）
11．若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，则c＝　3　．
解：因为1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0的一个复数根，所以1﹣i也是方程的根，
由根与系数的关系可知：，所以b＝﹣2，c＝3．
故答案为：3．
12．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为　2+　．

解：DC＝ABsin 45°＝，BC＝ABsin 45°+AD＝+1，
S梯形ABCD＝（AD+BC）DC＝（2+）＝+，
S＝S梯形ABCD＝2+．
故答案为：2+
13．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为　　．
解：正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，
记为O，PO＝AO＝R，PO1＝4，OO1＝4﹣R，
在Rt△AO1O中，AO1＝，由勾股定理R2＝2+（4﹣R）2得R＝，
∴球的体积为．
故答案为：．

14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，则△ABC的面积为　　．
解：∵cosA＝，A为三角形的内角，
∴sinA＝＝＝，
∵sinB＝cosC，且sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinC＝cosC，则cosC+sinC＝cosC，
即sinC﹣cosC＝0，
由得，sinC＝，cosC＝，
∴sinB＝cosC＝，
又a＝，由正弦定理得，
则c＝＝＝，
∴△ABC的面积S＝＝＝，
故答案为：．
15．设P为△ABC所在平面上一点，且满足（m＞0）．若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为　14　．
解：由3+4＝m，
可得+＝，
可设＝+，
则D，A，C共线，且D在线段AC上，
可得＝，
即有D分AC的比为4：3，
即有C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的倍，
故S△ABC＝S△ABP＝×8＝14．
故答案为：14．

16．如图，圆O是半径为1的圆，OA＝，设B，C为圆上的任意2个点，则•的取值范围是　　．

解：如图，

设D是线段BC的中点，则OD⊥BC，连接OA，OB．OC，OD，设θ为和的夹角，
则 •＝（﹣）•＝•﹣•＝||•||•∠BCO﹣||•||•cosθ
＝﹣|•cosθ≥﹣|＝（||﹣）2﹣，
∵||∈[0，2]，∴当||＝时，• 有最小值为﹣，
当||＝2且cosθ＝﹣1时，﹣|•cosθ有最大值为3，即 • 有最大值为3，
故答案为：[﹣，3]．
三、解答题（4题，每题12分，共48分）
17．如图所示，已知P是ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）设平面PBC∩平面PAD＝l，求证：l∥BC．

【解答】证明：（1）取PD的中点E，连接AE、NE，如图所示：

由NE∥DC，且NE＝DC，
AM∥DC，且AM＝DC，
所以NE∥AM，且NE＝AM，
所以四边形MNEA是平行四边形，
所以MN∥AE，
又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
所以MN∥平面PAD；
（2）因为BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
所以BC∥平面PAD，
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以l∥BC．
18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+asinC﹣b﹣c＝0．
（1）求A；
（2）若AD为BC边上的中线，cosB＝，AD＝，求△ABC的面积．

解：（1）由题意知，acosC+asinC﹣b﹣c＝0，
由正弦定理得：sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0，
由sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）得，
sinAcosC+sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC＝0，
则sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0，
又sinC≠0，则sinA﹣cosA＝1，
化简得，，即，
又0＜A＜π，所以A＝；
（2）在△ABC中，cosB＝得，sinB＝＝…
则sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB
＝＝…
由正弦定理得，＝＝…
设a＝7x、c＝5x，
在△ABD中，由余弦定理得：
AD2＝AB2+BD2﹣2•AB•BD•cosB，
，
解得x＝1，
则a＝7，c＝5…
所以△ABC的面积S＝＝…
19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．
（1）设＝x+y，求x+y的值；
（2）若＝6，求的值．

解：（1）△ABC中，D是BC的中点，BE＝2EA，AD与CE交于点O．
设＝x+y＝x+y（﹣）＝﹣x﹣y+y＝（﹣x﹣y）+y，
又＝，＝，
所以＝（﹣x﹣y）+y，
所以﹣x﹣y+y＝1，①
又＝﹣（x+y）+2y，
所以﹣（x+y）+2y＝1，②
由①②组成方程组解得，
所以x+y＝﹣＝﹣；
（2）设＝m＝m（+），
＝+＝+n＝+n（﹣）＝（1﹣n）+n＝+n；
所以，，
所以＝＝（+），＝﹣＝﹣+，
所以6•＝6×（+）•（﹣+）＝﹣+•+；
又•＝6，
所以0＝﹣+，
所以＝3，
所以＝．

20．设a为实数，函数f（x）＝2x2+（x﹣a）|x﹣a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
（3）设函数h（x）＝f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．
解：（1）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1，
∵|a|＞0，∴﹣a＞0
∴⇒a≤﹣1
（2）当x≥a时，f（x）＝3x2﹣2ax+a2，∴，
如图所示：

当x≤a时，f（x）＝x2+2ax﹣a2，
∴．

综上所述：．
（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，
得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△＝4a2﹣12（a2﹣1）＝12﹣8a2
当a≤﹣或a≥时，△≤0，x∈（a，+∞）；
当﹣＜a＜时，△＞0，得：
即
进而分2类讨论：
当﹣＜a＜﹣时，a＜，
此时不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；
当﹣≤a≤时，＜a＜；
此时不等式组的解集为[，+∞）．
当＜x＜，a＞；
此时不等式组的解集为（a，+∞）．
综上可得，
当a∈（﹣∞，﹣]∪（，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；
当a∈（﹣，﹣）时，不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；
当a∈[﹣，]时，不等式组的解集为[，+∞）．