2022年北京市房山区中考数学模拟试卷（二）（含解析）

2022年北京市房山区中考数学模拟试卷（二）

一．选择题（本题共8小题，共16分）

1. 某物体的展开图如图，它的左视图为

A.
B.
C.
D.

2. 中国空间站俯瞰地球的高度约为米，将用科学记数法表示应为

A.  B.  C.  D.

3. 当多边形的边数增加时，它的内角和与外角和

A. 都不变
B. 都增加
C. 内角和增加，外角和减少
D. 内角和增加，外角和不变

4. 如图，，点在直线上，若，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，数轴上，两点的位置如图所示，则下列说法中，能判断原点一定位于、之间的是
    

A.  B.  C.  D. 、互为倒数

6. 如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是

A. 点
B. 格点
C. 格点
D. 格点

7. 口袋里有三枚除颜色外都相同的棋子，其中两枚是白色的，一枚是黑色的．从中随机摸出一枚记下颜色，不放回，再从剩余的两枚棋子中随机摸出一枚记下颜色，摸出的两枚棋子颜色相同的概率是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系，下列说法中错误的是

1. 
   甲乙两地相距
   B. 点表示此时两车相遇
   C. 慢车的速度为
   D. 折线表示慢车先加速后减速最后到达甲地

二．填空题（本题共8小题，共16分）

9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是          ．
10. 分解因式： ______ ．
11. 方程组的解是______．
12. 如图，用直尺、三角尺按“边一直角、边一直角、边一直角、边”这样四步画出一个四边形，这个四边形是______形，依据是______．

13. 已知点，在反比例函数的图象上，且，则的值可以是______只需写出符合条件的一个的值
14. 如图，在中，点在上不与点，重合，过点作交于点，若，则______．
    
     

15. 如图，，切于，两点．连接，连接交于点，若，，则半径为______，的长为______．

16. 某公司生产一种营养品，每日购进所需食材千克，制成，两种包装的营养品，并恰好全部用完．信息如表：

已知生产的营养品当日全部售出．若包装的数量不少于包装的数量，则为______包时，每日所获总售价最大，最大总售价为______元．

三．解答题（本题共12小题，共68分）

17. 计算：．
18. 解不等式组．
19. 已知，求代数式的值．
20. 已知：如图，四边形是平行四边形．
    求作：菱形，使点，分别在，上．
    作法：连接；
    作的垂直平分线分别交，于点，；，交于点；
    连接，所以，四边形就是所求作的菱形．
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：四边形是平行四边形，
    ．
    ．
    又，，
    ≌．
    ．
    四边形是平行四边形______填推理的依据．
    又，
    平行四边形是菱形______填推理的依据．

21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
    求的取值范围；
    若为正整数，求方程的根．
22. 已知：如图，在四边形中，，，垂足为，过点作，交的延长线于点．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，求的长．

23. 已知，在平面直角坐标系中，直线：经过点，与轴交于点．
    求该直线的解析式；
    过动点且垂直于轴的直线与直线交于点，若，直接写出的取值范围．
24. 如图，已知是的直径，点在上，是  的中点，过点作，交的延长线于点连接，过点作于点．
    求证：是的切线；
    若，，求的长．
25. 某校九年级甲、乙两班各有名学生，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，并对数据进行收集、整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
    收集数据从甲、乙两个班各随机抽取名学生进行身体素质测试，测试成绩百分制如下
    甲班
    乙班
    整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据：

分析数据两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：

得出结论
______；
______；
在此次身体素质测试中，身体素质更好的是______班填“甲”或“乙”，理由是______；
若规定测试成绩在分以上含分的学生身体素质为优秀，请估计乙班名学生中身体素质为优秀的学生的人数．

26. 在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上．
    直接写出这个二次函数的解析式；
    当时，函数值的取值范围是，求的值；
    将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点设平移后的图象对应的函数表达式为，当时，随的增大而减小，求的取值范围．
27. 如图，在四边形中，，过点作交边于点，过点作交边于点，连接，过点作交于点，连接．
    求证：≌；
    如图，若的延长线经过的中点，求的值．

28. 对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”例如，图中线段为线段关于点的“垂直图形”．
    线段关于点的“垂直图形”为线段．
    若点的坐标为，则点的坐标为______；
    若点的坐标为，则点的坐标为______；
    ，，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为．
    求点的坐标用含的式子表示；
    若的半径为，上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的取值范围．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由物体的展开图的特征知，它是圆锥的平面展开图，又圆锥的左视图是三角形，故选B．
易得此物体为圆锥，那么它的左视图为等腰三角形．
本题考查了立体图形的平面展开图和三视图，熟练掌握立体图形的展开图和三视图的特征是正确解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：当多边形边数增加时，内角和增加，外角和是个固定值为，
故选：．
利用内角和定理可知，边数增加，内角和增加，外角和都是，推理即可．
本题考查内角和、外角和定理，解题的关键是熟练掌握内角和定理，外角和定理．
 

4.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质得出，进而解答即可．
此题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握并能正确运用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
 

5.【答案】

【解析】解：、，原点可能位于、之间，原点也可能位于的左边，故本选项错误；
B、，与异号，原点一定位于、之间，故本选项正确；
C、，原点可能位于、之间，原点也可能位于的右边，故本选项错误；
D、，互为倒数，原点可能位于的左边，也可能位于的右边，故本选项错误．
故选：．
由题意可知，，根据实数的相关法则判断即可．
本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；数轴上原点左边的点表示负数，右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．
【解答】
解：如图，

连接 和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点 的距离相等，因此格点 就是所求的旋转中心；
故选 B ．   

7.【答案】

【解析】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中两枚棋子颜色相同的结果数为，
所以随机摸出一枚记下颜色，摸出的两枚棋子颜色相同的概率．
故选：．
画树状图展示所有种等可能的结果，找出两枚棋子颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
 

8.【答案】

【解析】解：由图象可得，
甲乙两地相距，故选项A正确；
点表示此时两车相遇，故选项B正确；
慢车的速度为，故选项C正确；
折线表示快车先到达目的地，然后是慢车到达目的地，故选项D错误；
故选：．
根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

9.【答案】

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得到，解之即可求出的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．
 

10.【答案】

【解析】解：

．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有项，可采用完全平方公式继续分解．
本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

11.【答案】

【解析】解：，得，，解得，
把代入得，，解得，
故原方程组的解为：．
故答案为：．
由于方程组中两方程的系数互为相反数，故可先用加减消元法，再用代入消元法求解．
本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
 

12.【答案】矩  有三个角是直角的四边形是矩形

【解析】解：由题意，四边形中有三个角是直角，
所以这个四边形是矩形．
故答案为：矩，有三个角是直角的四边形是矩形．
根据矩形的判定方法解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】答案不唯一

【解析】解：点，在反比例函数的图象上，且，
当时，随着的增大而增大，
，
即的一个值为：，
故答案为：答案不唯一．
根据“时，”，得到当时，随着的增大而增大，根据反比例函数的增减性，得到，即可得到答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的增减性是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：，
∽，
，
，
，
．
故答案为：．
根据相似三角形的判定和性质解答即可．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了比例的性质．
 

15.【答案】 

【解析】解：，切于，两点，
，
，，
≌，
，
，
，，
在中，，
半径为，
，，
∽，
，
，
，
的长为，
故答案为：，．
根据切线的性质可得，从而证明≌，进而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，最后证明∽，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设包装的数量为袋，包装的数量为袋，
由题意可知，，
，
，解得，
设总售价为元，


，
，
当时，的最大值为元，
故答案为：；．
设包装的数量为袋，包装的数量为袋，由题意可得，；设总售价为元，，根据一次函数的性质可得结论．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

17.【答案】解：原式

．

【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数、二次根式和绝对值化简几个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集是．

【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：

，
，
原式．

【解析】利用平方差公式以及完全平方公式计算，进而合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用相关乘法公式是解题关键．
 

20.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形  对角线垂直的平行四边形是菱形

【解析】解：如图，四边形即为所求；

证明：四边形是平行四边形，
，
，
又，，
≌，
，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形对角线垂直的平行四边形是菱形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线垂直的平行四边形是菱形．
根据要求作出图形即可；
根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
的取值范围为；
，且为正整数，
．
此时，方程为，
解得：，，
方程的根为，．

【解析】根据方程根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
由可求得的正整数，代入原方程，解之即可求出方程的根．
本题主要考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：熟记“当时，方程有两个不相等的实数根”；熟练掌握一元二次的解法公式法．
 

22.【答案】证明：，，
，
，
．
四边形为平行四边形；

解：四边形为平行四边形，
，．
，
．
在中，，
，，
．

【解析】直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；
利用锐角三角函数关系得出的长，再利用勾股定理得出的长，进而求出答案．
此题主要考查了平行四边形的判定以及锐角三角函数关系，正确得出的长是解题关键．
 

23.【答案】解：将点，代入直线，
得，
解得，
直线：；
过动点且垂直于轴的直线与直线交于点，
点纵坐标为，代入，
得，
解得，
，
又，
，
解得或，
的取值范围：或．

【解析】待定系数法求解析式即可；
根据题意，先求出点坐标，再根据两点之间的距离公式求出，再根据，得，解不等式即可．
本题考查了一次函数与动点相结合，熟练掌握一次函数的图象上点的坐标特征是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，
点为弧的中点，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；     
解：连接，
是的直径，
，
于点，
，
，
．
，
，
在中，，，，
，
在中，，，
，
，
，
．

【解析】连接，由于点为弧的中点，根据圆周角定理可知，而，那么，于是，根据平行线的判定可知，而，根据平行线的性质易知，即，根据切线的判定可知是的切线；
由于是直径，那么，而，易知，那么，在中，利用正切可求，同理在中，也可求，那么直径，从而可知半径，进而可求．
本题考查了平行线的判定和性质、切线的判定、正切的计算、原周角定理，解题的关键是证明，以及求出，熟悉直角三角形中正切的表示．
 

25.【答案】    乙  乙班的平均数大于甲班的平均数

【解析】解：由收集的数据得知：，
故答案为：；
甲班成绩为：、、、、、、、、、，
甲班成绩的中位数，
故答案为：；
身体素质更好的是乙班，理由如下：
乙班的平均数大于甲班的平均数，
身体素质更好的是乙班，
故答案为：乙，乙班的平均数大于甲班的平均数；
人；
答：估计乙班名学生中身体素质为优秀的学生的人数有人．
由收集的数据即可得；
根据中位数的定义求解可得；
比较甲、乙两班的平均数，即可得出答案；
用总人数乘以乙班样本中优秀人数所占比例可得．
本题考查了平均数、中位数和众数，以及样本估计总体，熟练掌握平均数、中位数和众数，以及用样本估计总体是解题的关键．
 

26.【答案】解：点在二次函数的图象上，
，
解得，
二次函数的解析式为；
，
抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
当时，，当时，，
当时，函数值的取值范围是，
，
解得，，
，
的值为；
根据平移的性质可知，，
当时，随的增大而减小，
．
平移后的图象经过原点，
，即，
．

【解析】将点代入二次函数解析式中即可求解；
找出抛物线的对称轴为，根据二次函数的性质结合“当时，函数值的取值范围是”，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值；
根据平移的性质可得出，由二次函数的性质可得出，再将代入二次函数解析式中可得出，进而即可得出的取值范围．
本题考查了二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是根据待定系数法找出的值；根据二次函数的单调性找出关于的一元二次方程；利用二次函数图象上点的坐标特征找出．
 

27.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌；
如图，延长，交于点，

，
，
，
，
∽，
设，，
点为中点
，

，
≌，
，
，
由可知四边形为平行四边形，
，
，

∽，
，
即，
解得，
，
，
即．

【解析】由和可得，由可得，由，可得四边形为平行四边形，从而可得，再由可得，从而可得，即可得出，即可证明；
延长，交于点，由可得，由可得，从而可得∽，设，，由点为中点可得，由可得，可证≌，则，则，由可知四边形为平行四边形，可得，则，由可得∽，从而可得，即，解得，由可得，即．
本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形，平行线的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线，证明≌．
 

28.【答案】 

【解析】解：如图，

点的坐标为，，
，
故答案为：；
当时，如图，，
故答案为：；

作轴于，轴于，

，，
，，
，
，
≌，
，，
，
；
如图，观察图象知，满足条件的点在第一象限的上，

，，
，
，
，
，
当点与原点重合时，的值最小，最小值为
．
根据“垂直图形”的定义可得答案；
作轴于，轴于，利用证明≌得，，从而得出答案；
由点的坐标可知，满足条件的点在第一象限的上，分别求出的最大值，最小值可得结论．
本题是圆综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，“垂直图形”的定义，等腰直角三角形的性质，求出点的坐标是解题的关键．