2023年北京市中考数学模拟试题（十）(含解析)

这是一份2023年北京市中考数学模拟试题（十）(含解析)，共28页。试卷主要包含了因式分解等内容，欢迎下载使用。

2023年北京市中考数学模拟试题（十）
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为（　　）
A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7
2．（2分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a+b＞0 B．ab＞0 C．|a|＞|b| D．a＞b
3．（2分）下列计算正确的是（　　）
A．3a2+4a2＝7a4 B．
C． D．
4．（2分）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角（∠ABM）的调节范围为12°～69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPG＝30°，则反射光束GH与天花板所形成的角（∠PHG）不可能取到的度数为（　　）

A．129° B．72° C．51° D．18°
5．（2分）从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“同心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丙两人的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2分）若反比例函数y＝的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k＜ C．k＝ D．不存在
7．（2分）如图，▱ABCD的三个顶点A、B、D均在⊙O上，且对角线AC过圆心O，BC与⊙O相切于点B，若⊙O的半径为6，则▱ABCD的面积为（　　）

A．35 B． C． D．
8．（2分）已知A地、B地、医院在同一直线上，甲从A地、乙从B地同时出发骑车去医院注射新冠疫苗，甲和乙出发2分钟后第一次相遇，第一次相遇后不久甲的自行车出现故障，甲立即改为步行（中间耽搁时间忽略不计），甲比乙晚2分钟到达该医院，设甲、乙两人与A地的距离为y米，甲行驶的时间为x分钟，y与x之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　）

A．甲骑车速度为250米/分，甲步行速度为100米/分
B．A，B两地之间的距离为200米
C．甲和乙第二次相遇时，离医院还有600米的路程
D．甲和乙第二次相遇的时间是出发后13分钟
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若m＝﹣+2，则am＝　 　．
10．（2分）因式分解：3mn2﹣12mn+12m＝　 　．
11．（2分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°．则∠A′OB＝　 　．

12．（2分）“两个无理数的和为无理数”是　 　命题，举反例：　 　．
13．（2分）若方程x2﹣kx+2k﹣1＝0的两根分别为x1，x2，且x1＜0＜x2＜1，则k的取值范围是　 　．
14．（2分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，6）和B（5，3），如图所示，则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是 　 　．

15．（2分）已知如图，在△ABC中，∠BAE＝∠CAE，BE⊥AE于点E，若∠ABC＝3∠ACB，则AB，AC，BE之间的数量关系　 　．

16．（2分）在如图所示的运算程序中，若输出的数y＝30，则输入的数x＝　 　．

三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019．
18．（5分）已知关于x的不等式组无解，求：a的取值范围．
19．（5分）已知a2+2a﹣1＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣1）的值．
20．（5分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；
②连接BP．
线段BP就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝　 　．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC＝∠BAC（ 　 　）（填推理的依据）．
∴∠ABP＝∠BAC．

21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、AC边的中点．
（1）求证：四边形ADEF是菱形；
（2）若AB＝8cm，求菱形ADEF的周长．

22．（5分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx﹣b的图象交于点M，N，已点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为﹣1，根据图象信息：
（1）求关于x的方程＝kx﹣b的解；
（2）直接写出满足＞kx﹣b的x的范围．

23．（6分）原定2020年东京奥运会受新冠病毒疫情影响将延期至2021年举行．日本政府为鼓励更多大学生参与到志愿服务中来，面向全球招募志愿者．甲、乙两所大学组织参与了志愿者服务团队选拔活动．经过初选，两所大学各有500名志愿者进入综合素质展示环节．为了解两所大学志愿者的整体情况，从两所大学进入综合素质展示环节的志愿者中，分别随机抽取了50名志愿者的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲校志愿者成绩的频数分布直方图如下，（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

b．甲校志愿者成绩在80≤x＜90这一组的是：
80
80
81
81
82
83
83
84
85
86
86.5
87
88
88.5
89
89
C．甲乙两校志愿者成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：

平均数
中位数
众数
方差
优秀率
甲
83.3
m
78
32.2
n%
乙
83.3
83.5
78
32.1
48%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m　 　，n＝　 　，甲校志愿者A，乙校志愿者B综合素质展示成绩同为82分，
这两人在本校志愿者中的综合素质展示排名更靠前的是　 　（填A或B）；
（2）根据上述信息，推断　 　（填甲或乙）学校志愿者综合素质展示的水平更高，理由为　 　（一条理由即可）；
（3）请估计在甲乙两所学校进入综合素质展示环节的1000名学生中，成绩在85分及以上共有多少名学生？
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于D，作CH⊥AB于H，交⊙O于E，交AD于F，若AE∥CD．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若cosC＝，AB＝，求AF的长．

25．（5分）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？
26．（7分）在平面直角坐标系中，记函数y＝的图象为G，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（2，2），点B在第四象限．
（1）当n＝1时．
①求G的最低点的纵坐标；
②求图象G上所有到x轴的距离为2的点的横坐标之和．
（2）当图象G与正方形ABCD的边恰好有两个公共点时，直接写出n的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，已知∠ABE＝∠ACE，∠BED＝∠CED．试说明BE＝CE的理由．

28．（7分）已知：如图1，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的圆Q与射线BA，线段BC分别交于点D，E．

（1）当△APC是等腰三角形时，求t的值；
（2）设BE＝y，求BE与t的函数解析式，且写出t的取值范围；
（3）如图2，连接DP，当t为何值时，线段DP与⊙Q相切？
（4）如图2，若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围．

参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为（　　）
A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：当t＝1时，光传播的距离为1×300000＝300000＝3×105（千米），则n＝5；当t＝10时，光传播的距离为10×300000＝3000000＝3×106（千米），则n＝6．因为1≤t≤10，所以n可能为5或6，
故选：C．
2．（2分）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a+b＞0 B．ab＞0 C．|a|＞|b| D．a＞b
【考点】实数与数轴；绝对值．
【分析】根据数轴上点与原点的位置，确定各数符号及绝对值大小即可得到答案．
【解答】解：由图可得：a＜0＜b，且|a|＜|b|，
∴a+b＞0，A符合题意；
ab＜0，B不符合题意；
|a|＜|b|，C不符合题意；
a＜b，D不符合题意；
故选：A．
3．（2分）下列计算正确的是（　　）
A．3a2+4a2＝7a4 B．
C． D．
【考点】二次根式的加减法；合并同类项；分式的加减法；二次根式的性质与化简．
【分析】根据整式的加减、二次根式的乘法法则、二次根式的减法法则、分式的加减运算法则对每一项判断即可得到正确选项．
【解答】解：A．∵3a2+2a2＝5a2，∴3a2+4a2＝7a4错误，故A项不符合题意；
B．∵，当a＞0时，；当a＜0时，，∴错误，故B项不符合题意；
C．∵，∴错误，故C项不符合题意；
D．∵，∴正确，故D项符合题意．
故选：D．
4．（2分）如图，在科学《光的反射》活动课中，小麦同学将支架平面镜放置在水平桌面MN上，镜面AB的调节角（∠ABM）的调节范围为12°～69°，激光笔发出的光束DG射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线EF）的夹角∠EPG＝30°，则反射光束GH与天花板所形成的角（∠PHG）不可能取到的度数为（　　）

A．129° B．72° C．51° D．18°
【考点】平行线的性质．
【分析】当调节角为60°时，PG⊥AB，所以当调节角在12°～60°时，GH射到EP上，根据角的关系确定∠PHG的范围；当调节角在60°～69°时，GH射到PF上，根据角的关系确定∠PHG的范围，最后根据∠PHG的范围确定∠PHG不可能取到的度数．
【解答】解：因为镜面AB的调节角（∠ABM）的调节范围为12°～69°，当调节角为60°时，PG⊥AB，
所以当调节角在12°～60°时，GH射到EP上，且∠PGH＝2×（60°﹣∠ABM），
则∠PHG＝180°﹣30°﹣∠PHG，那么54°≤∠PHG＜150°；
当调节角在60°～69°时，GH射到PF上，∠PGH＝2×（∠ABM﹣60°），∠PHG＝180°﹣150°﹣∠PHG，
则此时12°≤∠PHG＜30°，当调节角为60°时，H与P重叠．
故选：C．
5．（2分）从甲、乙、丙、丁四名青年骨干教师中随机选取两名去参加“同心向党”演讲比赛，则恰好抽到甲、丙两人的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，恰好抽到甲、丙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，恰好抽到甲、丙两人的结果有2种，
∴恰好抽到甲、丙两人的概率为＝，
故选：B．
6．（2分）若反比例函数y＝的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k＜ C．k＝ D．不存在
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【分析】利用反比例函数的图象和反比例系数的关系求出k的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于第二、第四象限，
∴3k﹣1＜0，
∴k＜，
故选：B．
7．（2分）如图，▱ABCD的三个顶点A、B、D均在⊙O上，且对角线AC过圆心O，BC与⊙O相切于点B，若⊙O的半径为6，则▱ABCD的面积为（　　）

A．35 B． C． D．
【考点】切线的性质；平行四边形的性质；圆周角定理．
【分析】连接OB，延长BO交AD于E，如图，先根据切线的性质得OB⊥BC，再利用平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，所以BE⊥AD，接着根据垂径定理得到AE＝DE，然后证明△AOE∽△COB，利用相似比求出OE＝3，OC＝12，则根据勾股定理可计算出BC，然后利用平行四边形的面积公式求解．
【解答】解：连接OB，延长BO交AD于E，如图，

∵BC与⊙O相切于点B，
∴OB⊥BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴BE⊥AD，
∴AE＝DE＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴AE∥BC
∴△AOE∽△COB，
∴，
∴OE＝OB＝3，OC＝2OA＝12，
在Rt△OCB中，BC＝，
∴▱ABCD的面积＝BE•BC＝（3+6）×6．
故选B．
8．（2分）已知A地、B地、医院在同一直线上，甲从A地、乙从B地同时出发骑车去医院注射新冠疫苗，甲和乙出发2分钟后第一次相遇，第一次相遇后不久甲的自行车出现故障，甲立即改为步行（中间耽搁时间忽略不计），甲比乙晚2分钟到达该医院，设甲、乙两人与A地的距离为y米，甲行驶的时间为x分钟，y与x之间的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（　　）

A．甲骑车速度为250米/分，甲步行速度为100米/分
B．A，B两地之间的距离为200米
C．甲和乙第二次相遇时，离医院还有600米的路程
D．甲和乙第二次相遇的时间是出发后13分钟
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：由图象可得，
乙骑车的速度为：（2900﹣200）÷18＝150（米/分），
甲骑车速度为：（200+150×2）÷2＝250（米/分），甲步行速度为：（2900﹣250×6）÷（18+2﹣6）＝100（米/分），故选项A不符合题意；
A、B两地的距离为200米，故选项B不符合题意；
甲和乙第二次相遇的时间为x分钟，
250×6+（x﹣6）×100＝200+150x，
解得x＝14，故选项D符合题意，
∴甲和乙第二次相遇时，离医院的路程是：150×（18﹣14）＝600（米），故选项C不符合题意；
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．（2分）若m＝﹣+2，则am＝　81　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求出a、m，根据有理数的乘方法则计算，得到答案．
【解答】解：若和有意义，则9﹣a≥0，a﹣9≥0，
解得，a＝9，
则m＝2，
∴am＝92＝81，
故答案为：81．
10．（2分）因式分解：3mn2﹣12mn+12m＝　3m（n﹣2）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝3m（n2﹣4n+4）＝3m（n﹣2）2，
故答案为：3m（n﹣2）2
11．（2分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°．则∠A′OB＝　60°　．

【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质可得∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，进而得出答案即可．
【解答】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，
∴∠AOB′＝∠A′OA+∠A′OB′＝45°+15°＝60°，
故答案是：60°．
12．（2分）“两个无理数的和为无理数”是　假　命题，举反例：　，﹣　．
【考点】命题与定理．
【分析】判断一个命题是假命题时举出一个反例即可．
【解答】解：两个无理数的和为无理数是假命题，如，﹣，
故答案为：假；，﹣．
13．（2分）若方程x2﹣kx+2k﹣1＝0的两根分别为x1，x2，且x1＜0＜x2＜1，则k的取值范围是　0＜k＜　．
【考点】根的判别式．
【分析】把题意转化为抛物线y＝x2﹣kx+2k﹣1＝0与x轴的两交点的横坐标分别为x1，x2，利用二次函数的性质得到2k﹣1＜0且x＝1时，y＞0，即1﹣k+2k﹣1＞0，然后解不等式组即可．
【解答】解：∵方程x2﹣kx+2k﹣1＝0的两根分别为x1，x2，
∴抛物线y＝x2﹣kx+2k﹣1＝0与x轴的两交点的横坐标分别为x1，x2，
∵抛物线开口向上，x1＜0＜x2＜1，
∴2k﹣1＜0且x＝1时，y＞0，即1﹣k+2k﹣1＞0，
∴0＜k＜．
故答案为0＜k＜．
14．（2分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝mx+n（m≠0）的图象相交于点A（﹣1，6）和B（5，3），如图所示，则使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范围是 　﹣1＜x＜5　．

【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即可求解．
【解答】解：观察函数图象知，当﹣1＜x＜5时，直线在抛物线的上方，即ax2+bx+c＜mx+n，
故答案为：﹣1＜x＜5．
15．（2分）已知如图，在△ABC中，∠BAE＝∠CAE，BE⊥AE于点E，若∠ABC＝3∠ACB，则AB，AC，BE之间的数量关系　BE＝（AC﹣CD）　．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】由“ASA”可证△AEB≌△AED，可得AD＝AB，BE＝ED，∠ABD＝∠ADB，由角的数量关系可求∠DBC＝∠ACB，可得BD＝CD，可得BE＝（AC﹣CD）．
【解答】解：在△AEB和△AED中，
，
∴△AEB≌△AED（ASA），
∴AD＝AB，BE＝ED，∠ABD＝∠ADB，
∴CD＝AC﹣AD，
∵∠ADB＝∠ACB+∠DBC，
∴∠ABD＝∠ACB+∠DBC，
∵∠ABC＝3∠ACB，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ACB+2∠DBC＝3∠ACB，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴BD＝CD，
∴BE＝（AC﹣CD），
故答案为：BE＝（AC﹣CD）．
16．（2分）在如图所示的运算程序中，若输出的数y＝30，则输入的数x＝　60或61　．

【考点】有理数的混合运算．
【分析】分x为偶数与奇数两种情况，利用计算程序即可得出x的值．
【解答】解：若x为偶数，30×2＝60；
若x为奇数，30×2+1＝61．
则x＝60或61．
故答案为：60或61．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：（3.14﹣π）0+|﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】分别计算出（3.14﹣π）0＝1，|﹣1|＝﹣1，2cos45°＝2×＝，+（﹣1）2019＝1即可求解；
【解答】解：（3.14﹣π）0+|﹣1|﹣2cos45°+（﹣1）2019
＝1+﹣1﹣2×﹣1
＝﹣1；
18．（5分）已知关于x的不等式组无解，求：a的取值范围．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】根据不等式组中不等式的解集和已知得出即可．
【解答】解：∵关于x的不等式组无解，
∴a的取值范围为a≥2．
19．（5分）已知a2+2a﹣1＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣1）的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值；一元二次方程的解．
【分析】根据整式的运算法则进行化简，然后将a2+2a＝1整体代入即可求出答案．
【解答】解：原式＝a2﹣1+2a﹣2
＝a2+2a﹣3，
当a2+2a＝1时，
原式＝1﹣3＝﹣2．
20．（5分）已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB＝AC，CD∥AB．
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∠ABP＝∠BAC．
作法：①以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；
②连接BP．
线段BP就是所求作的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝　∠BPC　．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC＝∠BAC（ 　同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半　）（填推理的依据）．
∴∠ABP＝∠BAC．

【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质；圆周角定理．
【分析】（1）根据作法即可补全图形；
（2）根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于该弧所对的圆心角的一半即可完成下面的证明．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；

（2）证明：∵CD∥AB，
∴∠ABP＝∠BPC．
∵AB＝AC，
∴点B在⊙A上．
又∵点C，P都在⊙A上，
∴∠BPC＝∠BAC（同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半），
∴∠ABP＝∠BAC．
故答案为：∠BPC，同弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半．
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是AB、BC、AC边的中点．
（1）求证：四边形ADEF是菱形；
（2）若AB＝8cm，求菱形ADEF的周长．

【考点】菱形的判定与性质；等腰三角形的性质；三角形中位线定理．
【分析】（1）由三角形中位线定理得DE＝AC＝AF，EF＝AB＝AD，再证AD＝DE＝EF＝AF，即可得出结论；
（2）由（1）可知，AD＝DE＝EF＝AF＝AB＝4（cm），即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵D、E、F分别是AB、BC、AC边的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴DE＝AC＝AF，EF＝AB＝AD，
∵AB＝AC，
∴AD＝DE＝EF＝AF，
∴四边形ADEF是菱形；
（2）解：由（1）可知，AD＝DE＝EF＝AF＝AB＝4（cm），
∴菱形ADEF的周长为4×4＝16（cm）．
22．（5分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx﹣b的图象交于点M，N，已点M的坐标为（1，3），点N的纵坐标为﹣1，根据图象信息：
（1）求关于x的方程＝kx﹣b的解；
（2）直接写出满足＞kx﹣b的x的范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）用待定系数法求出两个函数的表达式，进而求出点N的坐标，进而求解；
（2）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）由图可知，M（1，3）在的图象上，
∴，即m＝3，
∴，
令N（x，﹣1），
∵N（x，﹣1）在的图象上，
∴，即x＝﹣3，
∴N（﹣3，﹣1），
又∵方程的解即为两个函数图象交点的横坐标，
∴方程的解为：x1＝﹣3，x2＝1；

（2）由图象可知满足的x的范围为x＜﹣3或0＜x＜1．
23．（6分）原定2020年东京奥运会受新冠病毒疫情影响将延期至2021年举行．日本政府为鼓励更多大学生参与到志愿服务中来，面向全球招募志愿者．甲、乙两所大学组织参与了志愿者服务团队选拔活动．经过初选，两所大学各有500名志愿者进入综合素质展示环节．为了解两所大学志愿者的整体情况，从两所大学进入综合素质展示环节的志愿者中，分别随机抽取了50名志愿者的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲校志愿者成绩的频数分布直方图如下，（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

b．甲校志愿者成绩在80≤x＜90这一组的是：
80
80
81
81
82
83
83
84
85
86
86.5
87
88
88.5
89
89
C．甲乙两校志愿者成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：

平均数
中位数
众数
方差
优秀率
甲
83.3
m
78
32.2
n%
乙
83.3
83.5
78
32.1
48%
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m　81　，n＝　40　，甲校志愿者A，乙校志愿者B综合素质展示成绩同为82分，
这两人在本校志愿者中的综合素质展示排名更靠前的是　A　（填A或B）；
（2）根据上述信息，推断　乙　（填甲或乙）学校志愿者综合素质展示的水平更高，理由为　乙校的中位数、优秀率较甲校高　（一条理由即可）；
（3）请估计在甲乙两所学校进入综合素质展示环节的1000名学生中，成绩在85分及以上共有多少名学生？
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；方差；用样本估计总体．
【分析】（1）根据中位数的意义，从甲校50名志愿者中找出成绩从小到大排列处于第25、26位的两个数，求其平均数即为甲校的中位数，计算甲校优秀率即可得出n的值，根据各自成绩与中位数的关系得出结论；
（2）从中位数、优秀率进行判断即可；
（3）样本估计总体，先求出样本中甲乙两校总体优秀率，进而求出优秀人数．
【解答】解：（1）甲校50名志愿者的成绩从小到大排列后，处在第25、26位的两个数都在80≤x＜90组内，前几组的频数和，2+3+7+10＝22，
因此80≤x＜90这组的81、81处在中间位置，因此中位数是81，即m＝81，由＝40%可得n＝40，
甲校的志愿者A的得分82分，处在甲校中位数之上，而82分，处在乙校的中位数之下，因此排名在前是A，
故答案为：81，40，A；
（2）故答案为：乙，理由：乙校的中位数、优秀率较甲校高；
（3）1000×＝440（人），
答：甲乙两所学校进入综合素质展示环节的1000名学生中，成绩在85分及以上共有440名学生．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于D，作CH⊥AB于H，交⊙O于E，交AD于F，若AE∥CD．
（1）求证：AE＝EF；
（2）若cosC＝，AB＝，求AF的长．

【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．
【分析】（1）连接OD，由切线的性质得出∠ODA+∠ADC＝90°，由等腰三角形的性质得出∠ODA＝∠OAD，得出∠OAD+∠ADC＝90°，证得∠EAF＝∠AFH，则可得出结论；
（2）设EH＝4x，AE＝5x，则AH＝3x，连接OE，由勾股定理得出，求出HF＝1，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，如图1，

∵CD与⊙O相切于D，
∴OD⊥DC，
∴∠ODA+∠ADC＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠OAD+∠ADC＝90°，
又∵CH⊥AB，
∴∠AHC＝90°，
∴∠OAD+∠AFH＝90°，
∴∠ADC＝∠AFH，
∵AE∥CD，
∴∠ADC＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠AFH，
∴AE＝EF；
（2）解：∵AE∥CD，
∴∠C＝∠E，
∴cos∠C＝cos∠E＝，
设EH＝4x，AE＝5x，则AH＝3x，

连接OE，如图2，
∵AB＝，
∴OA＝OE＝，
∵EH2+OH2＝OE2，
∴，
解得x＝1，
∴AE＝EF＝5，EH＝4，AH＝3，
∴HF＝1，
∴AF＝＝．
25．（5分）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）先表示出每天的获利，进而利用配方法结合二次函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，
把（20，250），（25，200）代入得：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+450；

（2）设每天获利W元，
W＝（x﹣15）（﹣10x+450）
＝﹣10x2+600x﹣6750
＝﹣10（x﹣30）2+2250，
∵a＝﹣10＜0，
∴开口向下，
∵对称轴为x＝30，
∴在x≤28时，W随x的增大而增大，
∴x＝28时，W最大值＝13×170＝2210（元），
答：售价为28元时，每天获利最大为2210元．
26．（7分）在平面直角坐标系中，记函数y＝的图象为G，正方形ABCD的对称中心与原点重合，顶点A的坐标为（2，2），点B在第四象限．
（1）当n＝1时．
①求G的最低点的纵坐标；
②求图象G上所有到x轴的距离为2的点的横坐标之和．
（2）当图象G与正方形ABCD的边恰好有两个公共点时，直接写出n的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）①画出函数图象，利用图象法解决问题即可．
②求出图象G上所有到x轴的距离为2的横坐标即可解决问题．
（2）求出经过特殊位置n的值结合图象判断即可．
【解答】解：（1）①y＝，
函数图象如图所示：

函数最低点的坐标（3，﹣9），
∴图象G的最低点的纵坐标为﹣9．

②当y＝2时，x2+2x+2＝2，解得x＝﹣2或0（舍弃）
x2﹣6x＝2时，解得x＝3+或3﹣（舍弃），
当y＝﹣2时，x2﹣6x＝﹣2，解得x＝3+或3﹣，
∴图象G上所有到x轴的距离为2的横坐标之和＝﹣2+3++3++3﹣＝7+．

（2）当y＝x2+2nx+2n2的顶点落在AD边上时，n2＝2，解得n＝或﹣（舍弃）

当n＝时，y＝x2+2nx+2n2（x＜0）与边AD有一个交点，y＝x2﹣6nx与边BC有一个交点，符合题意．
当2n2≤2，解得n≤1或n≥﹣1，
当y＝x2﹣6nx经过（2，﹣2）时，n＝，
观察图象可知当＜n≤1时，满足条件，
当y＝x2﹣6nx的顶点在BC边上时，﹣9n2＝﹣2，
解得n＝或﹣（舍弃），
当n＝﹣1时，y＝x2+2nx+2n2（x＜0）与正方形的边没有交点，
观察图象可知当﹣1＜n＜时，满足条件，
综上所述，满足条件的n的值为﹣1＜n＜或＜n≤1或n＝．
27．（7分）如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AD上，已知∠ABE＝∠ACE，∠BED＝∠CED．试说明BE＝CE的理由．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】证明△AEB≌△AEC（AAS），可得结论．
【解答】证明：∵∠AEB＝180°﹣∠BED，∠AEC＝180°﹣∠CED，
∴∠AEB＝∠AEC，
在△AEB和△AEC中，
，
∴△AEB≌△AEC（AAS），
∴BE＝CE．
28．（7分）已知：如图1，△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，动点P从点C出发沿线段CB以2cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止，设运动时间为t（单位：s），以点Q为圆心，BQ长为半径的圆Q与射线BA，线段BC分别交于点D，E．

（1）当△APC是等腰三角形时，求t的值；
（2）设BE＝y，求BE与t的函数解析式，且写出t的取值范围；
（3）如图2，连接DP，当t为何值时，线段DP与⊙Q相切？
（4）如图2，若⊙Q与线段DP只有一个公共点，求t的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）分类讨论当AP＝CP或AC＝CP或当点P到达点B时，分别求出t的值；
（2）过点A作AN⊥BC与点N，连接DE，利用三角形相似得出比例式即可得出结论；
（3）利用圆的切线的性质可得DP⊥BD，再利用直角三角形的边角关系列出等式即可得出结论；
（4）分类讨论：①出发后到DP与圆相切时，②当点P与点E重合后，分别求出对应的t的取值范围即可．
【解答】解：（1）①当AP＝CP时，由题意：CP＝2tcm，
过点A作AN⊥BC与点N，过点P作PM⊥AC与点M，如图，

∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，AN⊥BC，
∴BN＝NC＝BC＝8cm．
∵AP＝CP，PM⊥AC，
∴CM＝AC＝5cm．
∵∠CMP＝∠CNA＝90°，∠C＝∠C，
∴△CMP∽△CNA．
∴．
∴．
∴t＝；
②当AC＝CP时，如图，

则2t＝10，
∴t＝5；
③当点P到达点B时，此时CP＝CB，
∴2t＝16．
∴t＝8．
综上，当△APC是等腰三角形时，t的值为或5或8；
（2）由题意得：BQ＝tcm，则BD＝2tcm．
过点A作AN⊥BC与点N，连接DE，如图，

∵AB＝AC，BC＝16cm，AN⊥BC，
∴BN＝BC＝8cm．
∵BD是⊙Q的直径，
∴DE⊥BE．
∴DE∥AN，
∴．
∴．
∴y＝t，
即BE＝t（0≤t≤8）．
（3）由题意得：CP＝2tcm，BD＝2tcm，则BP＝（16﹣2t）cm．
过点A作AN⊥BC与点N，则BN＝BC＝8cm．

∵线段DP与⊙Q相切，
∴PD⊥BD．
∴∠BDP＝∠BNA＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BDP∽△BNA，
∴．
∴．
解得：t＝，
∴当t＝s时，线段DP与⊙Q相切；
（4）①出发后到DP与圆相切时，⊙Q与线段DP只有一个公共点，
∴0＜t≤．
②当点P与点E重合后，点P在⊙Q内，此时⊙Q与线段DP只有一个公共点，
∵点P与点E重合时，t+2t＝16，
解得：t＝．
∴＜t＜8．
综上，当0＜t≤或＜t＜8时，⊙Q与线段DP只有一个公共点．