2023-2024学年福建省泉州五中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州五中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数y= 2−x中自变量x的取值范围是( )
A. x≤2B. x≥2C. x<2D. x≤0
2.雪花，又名未央花，是一种美丽的结晶体，李白曾用“燕山雪花大如席”来形容燕山雪花之大，但事实上，单个雪花的重量只有0.0003kg左右，0.0003用科学记数法可表示为( )
A. 0.3×10−3B. 3×10−3C. 0.3×10−4D. 3×10−4
3.在平面直角坐标系中，点P(3,4)关于y轴对称点的坐标为( )
A. (−3,4)B. (3,4)C. (−3,−4)D. (4,−3)
4.化简m2−1m⋅1m+1的结果为( )
A. mm+1B. m−1m+1C. m−1mD. m+1m
5.在▱ABCD中，∠A=3∠B，则∠B的度数是( )
A. 60°B. 45°C. 36°D. 30°
6.在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是( )
A. AB=BCB. CD=AB
C. ∠BAD=∠BCDD. OB=OD
7.直线y=−x+1经过的象限是( )
A. 第一、二、三象限B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限D. 第二、三、四象限．
8.如图，四边形ABCD为平行四边形，过点D分别作AB，BC的垂线，垂足分别为E，F，若AB=12，DE=6，BE=4，则DF的长为( )
A. 7
B. 7.2
C. 8
D. 8.8
9.若关于x的分式方程1x+3−1=ax+3的解是负数，则实数a的取值范围是( )
A. a>2B. a>−2
C. a>−2且a≠−1D. a>−2且a≠1
10.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A′D′C′，分别连接A′B，D′B，则A′B+D′B的最小值为( )
A. 2 6B. 4 6C. 4 3D. 2 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.当x=______时，分式x+1x−2的值为0．
12.如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则该菱形ABCD的周长为 ．
13.已知点P(a2−9,a−1)在x轴上，则点P的坐标为______．
14.若y=(m−1)x|m|是正比例函数，则m的值为______．
15.关于x的分式方程2xx−2+3−m2−x=1有增根，则m= ______．
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，E为AC边上的中点，连接BE交AD于F，将△AFE沿着AC翻折到△AGE，恰好有GE/​/AD，则下列结论：①四边形AFEG为菱形；②2AE2=CD⋅BC；③S△ABF=S△CBF；④连接BG交AD于H，则BH=HG.上述结论中正确的有______.(填正确的序号)．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：(−12)−1−(2021−π)0+(−2)2×|−1|．
18.(本小题8分)
先化简，再求值：(1+1x−1)÷x2+xx2−2x+1，其中x=3．
19.(本小题8分)
已知：点Q的坐标(a,2−3a)，若点Q在第二象限且到两坐标轴的距离和等于10，求点Q的坐标．
20.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且CF=AE，连接BF.求证：四边形DEBF是矩形．
21.(本小题8分)
如图，已知A(0,4)，B(−3,0)，C(2,0)．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出点B关于直线AC的对称点D.(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(2)求出点D的坐标
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A(−2,0)，B(0,−6)．
(1)求一次函数的解析式．
(2)若将直线AB绕点B顺时针旋转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数解析式．
23.(本小题10分)
某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形ABCD中，AB=4，P为对角线AC上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角△DPM．
(1)DM的最小值为______，最大值为______；
(2)求证：点M在射线BC上．
24.(本小题12分)
甲、乙两小区准备安装A、B两款智能快递柜，每个B款能满足快递需求人数比A款多20人.已知甲、乙两小区有快递需求居民分别有280人、420人.如果甲小区全部安装A款智能快递柜，乙小区全部安装B款智能快递柜，那么刚好满足两小区所有居民的快递需求且安装个数相同．

(1)设每个A款能满足快递需求人数为m人，求m的值．
(2)如果甲小区安装A款和B款智能快递柜共7个，其中安装A款的个数比安装B款的2倍还多1个，分别求甲小区A款和B款的安装个数，并说明这样安装能否满足甲小区所有居民的快递需求．
(3)已知购买A款需6000元/个，购买B款需6800元/个，请你帮助乙小区设计一个购买方案，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，并说明理由．
25.(本小题14分)
对于一个四边形给出如下定义：一组对角为60°，一组邻边相等的四边形称为“六零”四边形．

(1)图1是一个“六零”四边形，其中∠A=∠C=60°，DA=DC．
①猜想BA与BC的数量关系是______；
②证明你的猜想．
(2)图2是一个“六零”四边形，其中∠BAD=∠BCD=60°，AB=AD，连接AC，BD．
①△ABD是______三角形；
②若CB=m，CD=n，则AC2= ______(用含m，n的代数式表示)．
(3)在(2)的条件下，如图3，延长BC到点F，使得BC=CF，连接DF.求证：∠F=∠ACD．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意得：2−x≥0，
x≤2，
故选：A．
根据被开方数大于等于0，即可求解．
本题考查二次根式有意义的条件，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
2.【答案】D
【解析】解：0.0003=3×10−4；
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】A
【解析】解：点P(3,4)关于y轴对称点的坐标为(−3,4)，
故选：A．
根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4.【答案】C
【解析】解：m2−1m⋅1m+1
=(m+1)(m−1)m⋅1m+1
=m−1m，
故选：C．
先进行因式分解，再运用分式的基本性质进行约分、化简．
此题考查了对分式进行约分化简的能力，关键是能准确理解并运用因式分解和分式基本性质进行求解．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=3∠B，
∴4∠B=180°，
∴∠B=45°．
故选：B．
先根据平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°，再根据∠A=3∠B，可求出∠B的度数．
本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴CD=AB，∠BAD=∠BCD=90°，OB=OD，但AB与BC不一定相等，
∴A符合题意，而B、C、D不符合题意，
故选：A．
由矩形的性质得CD=AB，∠BAD=∠BCD=90°，OB=OD，但AB与BC不一定相等，可判断A符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的定义和性质，正确理解和应用矩形的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由于k=−1<0，b=1>0，
故函数过一、二、四象限．
故选：B．
】根据一次函数图象与系数的关系，由k，b的符号直接判断直线所经过的象限．
本题考查了一次函数的性质，一次函数解析式：y=kx+b(k≠0)，k、b的符号决定函数所经过的象限．
8.【答案】B
【解析】解：∵AB=12，BE=4，
∴AE=AB−BE=12−4=8，
∴BC=AD= AE2+DE2= 82+62=10，
∴DF=AB⋅DEBC=12×610=7.2，
故选：B．
首先求得AE的长，然后根据勾股定理求得BC=AD=10，然后利用等积法求得BC边上的高DF即可．
本题考查了平行四边形的知识，解题的关键是根据题意求得AD的长，难度不大．
9.【答案】D
【解析】解：去分母，得1−(x+3)=a，
解得x=−2−a，
∵分式方程1x+3−1=ax+3的解是负数，
∴−2−a<0，且−2−a+3≠0，
解得a>−2且a≠1，
故选：D．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出a的范围即可．
本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，正确求出分式方程的解是解本题的关键．注意不要忽略方程的解不能使分母为零．
10.【答案】D
【解析】解：在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=120°，
∴AB=CD=2，∠ACB=∠DAC=30°，
将△ADC沿射线AC的方向平移得到△A′D′C′，
∴A′D′=AD=2，A′D′//AD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CB，AD/​/CB，
∴∠ADC=120°，
∴A′D′=CB，A′D′//CB，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，
∴A′B=D′C，
∴A′B+BD′的最小值=BD′+CD′的最小值，
∵点D′在过点D且平行于AC的定直线上，
∴作点C关于定直线的对称点E，连接BE交定直线于D′，设BD交CD与点G，
则BE的长度即为BD′+BA′的最小值，
在Rt△CHD中，∠D′DC=∠ACD=30°，CD=2，
∴CH=EH=12CD=1，
∴CE=2，
∴CE=CB，
∵∠ECB=∠ECA′+∠ACB=90°+30°=120°，
∴∠E=∠CBE=30°，
∴∠BGC=90°，
∴CG=12BC=1，
∴BG= BC2−CG2= 3，
∴BE=2BG=2 3．
故选：D．
根据菱形的性质得到AB=CD=2，∠ABC=120°，得出∠BAC=30°，根据平移的性质得到A′D′=AD=2，A′D′//AD，推出四边形A′BCD′是平行四边形，得到A′B=D′C，于是得到A′B+D′B的最小值为BD′+CD′的最小值，根据平移的性质得到点D′在过点D且平行于AC的定直线上，作点C关于定直线的对称点E，连接BE交定直线于D′，则BE的长度即为A′B+D′B的最小值，求得CE=CB，得到∠E=∠BCE=30°，于是得到结论．
本题考查了轴对称−最短路线问题，菱形的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解：由分式的值为零的条件得x+1=0，且x−2≠0，
解得：x=−1，
故答案为：−1．
根据分式值为零的条件得x+1=0且x−2≠0，再解方程即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
12.【答案】20
【解析】解：∵菱形对角线互相垂直平分，AC=8，BD=6，
∴BO=OD=3，AO=OC=4，
∴AB= AO2+BO2=5，
故该菱形ABCD的周长为20．
故答案为：20．
根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边相等的性质，本题根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．
13.【答案】(−8,0)
【解析】解：∵点P(a2−9,a−1)在x轴上，
∴a−1=0，
∴a=1，
∴a2−9=12−9=1−9=−8，
∴点P的坐标为(−8,0)，
故答案为：(−8,0)．
根据x轴上的点纵坐标为0可得a−1=0，从而可得a=1，然后代入进行计算，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握x轴上的点纵坐标为0是解题的关键．
14.【答案】−1
【解析】【分析】
根据正比例函数的定义，可得m−1≠0且|m|=1，解得m的值即可．
【解答】
解：由题意得：m−1≠0且|m|=1，
解得：m=−1．
故答案为：−1．
【点评】
本题主要考查了正比例函数的定义，y=kx是正比例函数的条件为：k为常数且k≠0，自变量x的次数为1．
15.【答案】−1
【解析】解：去分母，得2x−(3−m)=x−2，
解得x=1−m，
∵分式方程2xx−2+3−m2−x=1有增根，
∴该分式方程增根为x=2，
∴1−m=2，
∴m=−1，
故答案为：−1．
根据分式方程有增根，即可得到x=2，进而得到m的值．
本题考查了分式方程的增根以及分式方程的解法等相关知识点，熟记分式方程增根的定义是解方程的关键．
16.【答案】①③④
【解析】解：如图：
∵GE//AD，
∴∠GEA=∠FAE，
∵翻折，
∴AF=AG，EF=EG，∠EAF=∠EAG，
∴∠GEA=∠EAG，
∴AG=EG，
∴AF=AG=EG=EF，
∴四边形AFEG为菱形，
故①正确；
当∠ABC=60°时，∠BAD=30°，∠ACB=30°，
设BD=a，
∴AB=2a，
∴BC=4a，
∴AC= BC2−AB2=2 3a，CD=BC−BD=3a，
∵E是AC中点，
∴AE=12AC= 3a，
∴2AE2=6a2，
又CD⋅BC=12a2，
∴2AE2≠CD⋅BC，
故②不正确；
∵AE=CE，
∴S△ABE=S△CBE，S△AFE=S△CFE，
∴S△ABE−S△AFE=S△CBE−S△CFE，
∴S△ABF=S△CBF，
故③正确；
∵AF=AE，
∴∠FAE=∠FEA，
∵∠FAE+∠BAF=90°，∠FEA+∠ABF=90°，
∴∠FAB=∠FBA，
∴BF=EF，
∵四边形AFEG为菱形，
∴AG=EF，AG/​/EF，
∴AG=BF，
∵AG//EF，
∴∠AGH=∠FBH，∠GAH=∠BFH，
在△GAH和△BFH中，
∠AGH=∠FBHAG=BF∠GAH=∠BFH，
∴△GAH≌△BFH(ASA)，
∴BH=GH，
故④正确，
∴正确的有①③④，
故答案为：①③④．
利用翻折的性质，平行线的性质可得出∠GEA=∠EAG，利用等边对等角得出AG=EG，结合翻折的性质可得出AF=AG=EG=EF，即可判定①；举反例说明2AE2≠CD⋅BC即可判定②；利用三角形中线的性质得出S△ABE=S△CBE，S△AFE=S△CFE，即可判断③；利用余角的性质证明∠FAB=∠FBA，得出BF=EF，结合四边形AFEG是菱形可得出AF=EF=AG，然后证明△GAH≌△BFH，即可判定④．
本题考查了菱形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
17.【答案】解：原式=−2−1+4×1
=−2−1+4
=1．
【解析】先利用负整数指数幂、零指数幂、乘方、绝对值的意义计算，然后计算乘法，最后计算加减即可．
本题考查实数的运算，掌握负整数指数幂法则、零指数幂法则、有理数的乘方法则以及绝对值的性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1+1x−1)÷x2+xx2−2x+1
=x−1+1x−1÷x2+xx2−2x+1
=xx−1÷x(x+1)(x−1)2
=xx−1⋅(x−1)2x(x+1)
=x−1x+1，
当x=3时，原式=3−13+1=12．
【解析】先把分式化简后，然后把x的值代入计算，即可得到答案．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是关键．
19.【答案】解：∵点Q(a,2−3a)在第二象限且到两坐标轴的距离和等于10，
∴−a+2−3a=10，
解得a=−2，
∴2−3a=8，
∴点Q的坐标为(−2,8)．
【解析】四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−).根据点Q(a,2−3a)在第二象限且到两坐标轴的距离和等于10，可列出关于a的方程，求解即可．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
20.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC/​/AB，DC=AB，
∵FC=AE，
∴CD−FC=AB−AE，
即DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴平行四边形DEBF是矩形．
【解析】先证四边形DEBF是平行四边形，再证∠DEB=90°，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形DEBF为矩形是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)如图点D即为所求，

(2)连接AD，CD，

∵B、D关于AC对称，
∴AB=AD，BC=DC，
∵A(0,4)，B(−3,0)，C(2,0)，
∴AO=4，BO=3，CO=2，
∴AB= AO2+BO2=5，BC=BO+CO=5，
∴AB=AD=BC=DC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD/​/BC，AD=AB=5，
又AO⊥BC，
∴AD⊥AO，
∴点D的坐标为(5,4)．
【解析】(1)过B点AC的垂线，截取DE=BE即可；
(2)连接AD，CD，根据轴对称性可得AB=AD，BC=DC，根据A、B、C的坐标，可求出AB=BC=5，可证明四边形ABCD是菱形，得出AD=5，再证明AD⊥AO，即可求解．
本题考查了复杂作图，掌握坐标与图形，菱形的判定与性质，勾股定理等知识是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把点A(−2,0)，B(0,−6)代入得：
−2k+b=0b=−6，解得：k=−3b=−6，
∴一次函数的解析式为y=−3x−6；
(2)如图，过点A作AE⊥AB交直线BC于E，过点E作EF⊥x轴于F，

∵点A(−2,0)，B(0,−6)，
∴OA=2，OB=6，
根据题意得：∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，∠AEB=∠ABE=45°，
∵∠EAF+∠OAB=∠EAF+∠AEF=90°，
∴∠OAB=∠AEF，
在△OAB和△FEA中，
∵∠OAB=∠AEF，∠AFE=∠AOB=90°，AB=AE，
∴△OAB≌△FEA，
∴AF=OB=6，EF=OA=2，
∴OF=4，
∴点E的坐标为(4,2)，
设直线BC的函数解析式为y=mx+n(m≠0)，
把点(4,2)，(0,−6)代入得：4m+n=2n=−6，
解得：m=2n=−6，
∴直线BC的函数解析式为y=2x−6．
【解析】(1)利用待定系数法解答，即可求解；
(2)过点A作AE⊥AB交BC于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，则∠AFE=∠AOB=90°，可得△ABE是等腰直角三角形，再证明△OAB≌△FEA，可得AF=OB=6，EF=OA=2，从而得到OF=4，进而得到点E的坐标为(4,2)，再利用待定系数法解答，即可求解．
本题主要考查了求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质，熟知以上知识是解题的关键．
23.【答案】4 4 2
【解析】(1)解：由于点P运动到DP与AC垂直时，根据“垂线段最短”可知DP最短，则DM最短，此时DP与对角线BD重合，DM与DC重合，
∴DM=DC=4．
由于点P运动到点A或点C时，斜线段最长，因此DM最长，此时：DP=DC=4，
则DM= DP2+DM2=4 2，
故答案为：4，4 2；
(2)证明：连接CM，连接BD交AC于点O，过M作ME⊥AC于E，
①如图1，当点P在线段OC上时，

∵正方形ABCD，
∴∠DOC=90°，DO=CO，∠ACB=∠ACD=45°，∠ACD=90°，
∵△DPM是等腰直角三角形，
∴DP=MP，∠DPM=90°，
∴∠ODP=∠MPE=90°−∠DPO，
又∵∠DOC=∠E=90°，
∴△ODP≌△EPM(SAS)，
∴OP=EM，OD=PE，
又∵DO=CO，
∴PE=OC，
∴OP=CE=EM，
∴∠ECM=∠CME=45°，
又∵∠ACD=45°，
∴∠DCM=90°，
∴∠ACD+∠DCM+∠ECM=180°，
∴B、C、M三点共线，
∴点M在线段BC的延长线上．
②如图2，当点P在线段OA上时，

同理△ODP≌△EPM，
∴OP=EM，OD=PE，
又∵DO=CO，
∴PE=OC，
∴OP=CE=EM，
∴∠ECM=∠CME=45°，
又∵∠ACB=45°，
∴∠ECM=∠ACB=45°，
∴B、C、M三点共线，
∵点M在线段BC上．
综上所述，点M在射线上BC上．
(1)当点P运动到对角线AC的中点时，DM值最小；当点P运动到点A或点C时，DM最大；
(2)分点P在线段OC与OA两种情况讨论，连接CM，过M作ME⊥AC于E，证明△ODP≌△EPM，可得出CE=EM，进而求出∠MCE=45°，然后证明B、C、M在同一条直线上即可．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等相关知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
24.【答案】解：(1)∵每个B款能满足快递需求人数比A款多20人，且每个A款能满足快递需求人数为m人，
∴每个B款能满足快递需求人数为(m+20)人．
根据题意得：280m=420m+20，
解得：m=40，
经检验，m=40是所列方程的解，且符合题意．
答：m的值为40；
(2)设甲小区安装x个B款智能快递柜，则安装(2x+1)个A款智能快递柜，
根据题意得：x+2x+1=7，
解得：x=2，
∴40(2x+1)+(40+20)x=40×(2×2+1)+(40+20)×2=320，
∵320>280，
∴这样安装能满足甲小区所有居民的快递需求；
(3)购买3个A款智能快递柜，5个B款智能快递柜，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，理由如下：
设购买a个A款智能快递柜，b个B款智能快递柜，
根据题意得：40a+(40+20)b=420，
∴b=7−23a，
又∵a，b均为自然数，
∴a=3b=5或a=6b=3或a=9b=1，
∴共有3种购买方案，
方案1：购买3个A款智能快递柜，5个B款智能快递柜，所需费用为6000×3+6800×5=52000(元)；
方案2：购买6个A款智能快递柜，3个B款智能快递柜，所需费用为6000×6+6800×3=56400(元)；
方案3：购买9个A款智能快递柜，1个B款智能快递柜，所需费用为6000×9+6800×1=60800(元)．
∵52000<56400<60800，
∴购买3个A款智能快递柜，5个B款智能快递柜，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省．
【解析】(1)根据A、B两款智能快递柜能满足快递需求人数间的关系，可得出每个B款能满足快递需求人数为(m+20)人，根据“如果甲小区全部安装A款智能快递柜，乙小区全部安装B款智能快递柜，那么刚好满足两小区所有居民的快递需求且安装个数相同”，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
(2)设甲小区安装x个B款智能快递柜，则安装(2x+1)个A款智能快递柜，根据甲小区安装A款和B款智能快递柜共7个，可列出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，将其代入40(2x+1)+(40+20)x中，可求出7个智能快递柜可满足快递需求人数，再将其与280比较后，即可得出结论；
(3)购买3个A款智能快递柜，5个B款智能快递柜，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，设购买a个A款智能快递柜，b个B款智能快递柜，根据购买的智能快递柜可满足快递需求人数为420人，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为自然数，可得出各购买方案，再求出各购买方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
25.【答案】BA=BC 等边 m2+n2+mn
【解析】(1)解：①猜想BA=BC，
②证明：连接AC，如图1，
∵DA=DC，
∴∠DAC=∠DC，
∵∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠BAD−∠DAC=∠BCD−∠DCA，
即∠BAC=∠BCA，
∴BA=BC；
(2)解：①∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形；
②如图2，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得△BNA，连接DN，过点A作AM⊥DN交DN的延长线于点M，
则∠BNA=∠BCD=60°，BC=BN=m，∠CBN=60°，AN=CD=n，∠BAN=∠BDC，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=∠BNA=60°，
∴A、B、D、N四点在同一圆上，
∴∠BDC+∠BDN=180°，∠ABD+∠AND=180°，
∴∠BDC+∠BDN=180°，∠AND=180°−∠ABD=120°，
∴点N在CD的延长线上，
又∵BC=BN，∠CBN=60°，
∴△BCN是等边三角形，
∴CN=BC=m，
∵∠AND=120°，
∴∠ANM=60°，
∵AM⊥DN，
∴MN=12AN=12n，AM= 3MN= 32n，
∴CM=CN+MN=m+12n，
∴AC2=CM2+AM2=(m+12n)2+( 32n)2=m2+n2+mn；
(3)证明：将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得△BNA，连接DN，如图3，
由(2)得：CN=BC=m，AN=CD=n，∠ANC=120°，
∵BC=CF，
∴CF=CN，
∵∠BCD=60°，
则∠DCF=∠ANC=120°，
在△DCF和△ANC中，
DC=AN∠DCF=∠ANCCF=CN，
∴△DCF≌△ANC(SAS)，
∴∠F=∠ACD．
(1)连接AC，利用等腰三角形的性质与判定求解即可．
(2)①根据∠BAD=60°，AB=AD可得出结论；
②将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得△BNA，连接DN，过点A作AM⊥DN交DN的延长线于点M，先根据△ABD是等边三角形，得到∠ABD=∠ADB=∠BNA=60°，从而证得A、B、D、N四点在同一圆上，则∠BDC+∠BDN=180°，∠ABD+∠AND=180°，即可得到点N在CD的延长线上，再证明△BCN是等边三角形，得CN=BC=m，继而求得MN=12AN=12n，AM= 3MN= 32n，CM=CN+MN=m+12n，从而由AC2=CM2+AM2求解即可．
(3)将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得△BNA，连接DN，由(2)得：CN=BC=m，AN=CD=n，∠ANC=120°，再证明CF=CN，∠DCF=∠ANC=120°，然后证明△DCF≌△ANC(SAS)，即可得出结论．
本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，本题属四边形综合题目，有一定难度，熟练掌握相关性质与判定是解题关键．