2022-2023学年福建省泉州九中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省泉州九中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子中，是分式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列四个图象中，不表示某一函数图象的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，▱的对角线，相交于点，且，若的周长为，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若关于的分式方程有增根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ，
B. ，
C.
D. ，

8.  点为函数与的图象的交点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，▱的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，的中点恰好落在轴上，已知，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  甲、乙两名同学参加户外拓展活动，过程如下：甲、乙分别从直线赛道、两端同时出发，匀速相向而行相遇时，甲将出发时在地抽取的任务单递给乙后继续向地前行，乙就原地执行任务，用时分钟，再继续向地前行，此时甲尚未到达地当甲和乙分别到达地和地后立即以原路原速返回并交换角色，即由乙在地抽取任务单，与甲相遇时交给甲，由甲原地执行任务，乙继续向地前行，抽取和递交任务单的时间忽略不计，甲、乙两名同学之间的距离米与运动时间分之间的关系如图所示已知甲的速度为每分钟米，且甲的速度小干乙的速度，现给出以下结论：
两地距离米；
出发分钟，甲乙两人第一次相遇；
乙的速度为每分钟米；
甲在出发后第分钟时开始执行任务．
其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  全球芯片制造已经进入纳米到纳米器件的量产时代．中国自主研发的第一台纳米刻蚀机，是芯片制造和微观加工最核心的设备之一，纳米就是米．数据用科学记数法表示为______．

12.  点到轴的距离是______．

13.  若函数是正比例函数，则的值为______ ．

14.  关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围为______ ．

15.  在平面直角坐标系中，▱的边落在轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位的速度向下平移，经过______ 秒，该直线平分▱的面积．

16.  如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向运动，两点同时出发，当点运动到点时，点也随之停止运动若设运动的时间为秒，当 ______ 时，在、、、、、六点中，恰好存在四点可以组成平行四边形．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简再求值：，其中．

19.  本小题分
解方程：．

20.  本小题分
如图，▱的对角线，相交于点，点、在上，且．
求证：．

21.  本小题分
甲、乙两人分别加工、两种型号的零件，已知甲加工型零件个所用时间和乙加工型零件个所用时间相同，两人每天共可加工个零件．
求甲、乙每天各加工多少个零件；
根据市场预测估计，加工一件型零件可获利元，加工一件型零件的利润比加工一件型零件的利润多元．求每天甲、乙加工的零件所获得的总利润元与的函数关系式，并求的最大值、最小值．

22.  本小题分
在体育局的策划下，市体育馆将组织明星篮球赛，为此体育局推出两种购票方案设购票张数为张，购票款为元：
方案一：提供元赞助后，每张票的票价为元；
方案二：票价按图中的折线所表示的函数关系确定．
若购买张票时，按方案一购票需______ 元；
求方案二中与的函数关系式；
至少买多少张票时选择方案一比较合算？

23.  本小题分
如图，已知点和点是直线与双曲线的交点，的面积为．
求的值；
设，是反比例函数在同一象限上任意不重合的两点，，判断，的大小，并说明理由．

24.  本小题分
已知：直线：．
求证：直线恒过定点；
已知点、坐标分别为，，若直线与线段相交，求的取值范围；
在范围内，任取个自变量，，，它们对应的函数值分别为，，，若以，，为长度的条线段能围成三角形，求的取值范围．

25.  本小题分
如图，在直角坐标系中，，，一次函数的图象过，与轴交于点．
求证：四边形为平行四边形；
将绕点顺时针旋转，旋转得，问：能否使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，的分母中不含有字母，不是分式；的分母中含有字母，是分式．
故选：．
根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有未知数的式子叫分式．
本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据函数的定义可知，只有不能表示函数关系．
故选D．
根据函数的定义可知：对于的任何值都有唯一的值与之相对应．紧扣概念，分析图象．
主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．
 

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长为，
，
．
故选：．
直接利用平行四边形的性质得出，，，再由已知求出的长，进而得出答案．
本题考查了平行四边形的性质以及三角形周长的计算等知识；正确得出的值是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
函数的图象经过第一，三象限；
又，
图象与轴的交点在轴的下方，即图象经过第四象限；
所以函数的图象经过第一，三，四象限，即它不经过第二象限．
故选：．
由于，函数的图象经过第一、三象限；，图象与轴的交点在轴的下方，即图象经过第四象限，即可判断图象不经过第二象限．
本题考查了一次函数为常数的性质．它的图象为一条直线，当，图象经过第一，三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二，四象限，随的增大而减小；当，图象与轴的交点在轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与轴的交点在轴的下方．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式的值，正确把握定义是解题关键．
直接利用分式的值为，则分子为，分母不为，进而得出答案．
【解答】
解：分式的值为，
，且，
解得：．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得，
分式方程有增根，
，
解得，
，
解得，
故选：．
先将分式方程去分母，转化为整式方程；再根据分式方程有增根，得到，代入整式方程即可得到的值．
本题考查了分式方程的增根，掌握在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、由，不能判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
D、由，，不能判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据平行四边形判定方法分别进行判断即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点是反比例函数与一次函数的交点，
，，
即：，，
．
故选：．
首先将点分别代入反比例函数和一次函数的解析式可得到：，，据此可得出答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是将反比例函数与一次函数的交点坐标代入函数的解析式求出，，以及整体思想的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，过点和点分别作轴的垂线段和，
，
又，，
≌．
面积面积．
点在双曲线上，
面积．
点在双曲线上，且，
面积，
四边形是平行四边形，，
面积面积面积面积．
解得正数舍去，
故选：．
连接，过点和点分别作轴的垂线段和，证明≌，则面积面积；易知面积，面积由此可得面积面积面积面积，解即可，注意．
本题主要考查了反比例函数的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是．
 

10.【答案】 

【解析】解：甲的速度为米分，设乙的速度为米分，两地距离为米，
时，，此时两人相距米，列方程得：
，
当时，甲走的路程为：米，
图象中，时，，
即此时甲乙两人相距米，甲已经到达地并返回，乙还在前往地，
列方程得：，
联立方程组解得，
两地距离米，乙的速度为每分钟米，故说法正确，说法错误；
分，
故出发分钟，甲乙两人第一次相遇，故说法错误；
设甲出发分钟时开始执行任务，此时甲乙第二次相遇，两人走的总路程和为，列方程得：
，
解得：，
即甲在出发后第分钟时开始执行任务，故说法正确；

所以正确的是．
故选：．
函数图象可看作是线段、、、、构成：对应两人从出发到第一次相遇，其中分钟时，两人相距米；对应乙在原地执行任务，甲继续前进；对应甲继续向地走，乙继续向地走；对应甲到达地返回走，乙继续向地走，其中时，两人相距米；对应两人都返回走到第二次相遇．设乙的速度为米分，两地距离为米，根据两个确定的和值找等量关系列方程．
本题考查了一次函数的应用，关键是把条件表述的几个过程对应图象理解清楚，再找出对应和表示的数量关系．
 

11.【答案】 

【解析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
解：数据用科学记数法表示为．
故答案为：．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：点到轴的距离是．
故答案为：．
根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值解答．
本题考查了点的坐标，是基础题，熟记到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，且，
解得且，
所以．
故答案为：．
根据正比例函数的定义列式计算即可得解．
本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为．
 

14.【答案】且 

【解析】解：方程的两边同时乘，
得，，
解得，
方程的解为非负数，
，
，
，
，
，
的取值范围是且．
故答案为：且．
先解出分式方程得到，再由题可知，，，解出即可求解．
本题考查分式方程的解和解法，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，交于点，
当经过点时，该直线可将▱的面积平分；
四边形是平行四边形，
，
，
，
设的解析式为，
直线平行于，
，
则：．
解得．
的解析式为，
直线要向下平移个单位，
时间为秒，
故答案为：．
首先连接、，交于点，当经过点时，该直线可将▱的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移个单位，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，以及一次函数图象与几何变换，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．
 

16.【答案】 

【解析】解：时，
，，则，
因，此时有个平行四边形，
平行四边形和平行四边形，符合题意．
故答案为：．
根据平行四边形的性质解答即可．
本题考查平行四边形的判定，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】首先计算乘方、负整数指数幂和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

18.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先通分括号内的式子，再算除法，然后化简，最后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根． 

【解析】按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】只要证明≌即可；
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：设甲每天加工个型零件，则乙每天加工个型零件，根据题意，
易得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
个．
答：甲每天加工个型零件，乙每天加工个型零件；
，
，
随的增大而增大，
又由已知得：，
当时，的最大值，
当时，的最小值． 

【解析】设甲每天加工个型零件，则乙每天加工个型零件，根据题意，易得，解方程可得的值，进而可得答案；
根据题意，可得关系式，化简可得，根据一次函数的性质分析可得答案．
此题主要考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，能根据题意，列出关系式，进而结合一次函数的性质得到结论或求解方程是解题关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：若购买张票时，
方案一购票总价：元；
当时，
设，代入得，
解得，
；
当时，
设，代入、得，
解得，
；
由可知，要选择方案一比较合算，必须超过张，由此得
，
解得，
所以至少买张票时选择方案一比较合算．
方案一中，总费用，代入求得答案；
分段考虑当时，当时，设出一次函数解析式，把其中两点的坐标代入即可求得相应的函数解析式；
由的解析式建立不等式，求得答案即可．
此题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的运用；根据自变量不同的取值分情况进行探讨是解决本题的关键．
 

23.【答案】解：如图，作轴于，轴于．
点和点是双曲线上的点，
，，





，
，
；
，理由如下：
，是双曲线在同一象限上任意不重合的两点，
，
，
，，
，
，
． 

【解析】作轴于，轴于根据反比例函数图象上点的坐标特征以及比例系数的几何意义得出，，那么，求出，进而得到；
根据反比例函数图象上点的坐标特征得出，再求出，从而得出．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征以及比例系数的几何意义，三角形的面积，利用求差法比较两个代数式的大小，也考查了学生的计算能力．
 

24.【答案】证明：，
当时，，
直线恒过定点；

解：点、坐标分别为、，直线与线段相交，直线：恒过某一定点，
当时，，
，
解得；

解：当时，直线：中，随的增大而增大，
当时，，
以、、为长度的条线段能围成三角形，
，
解得，
；
当时，直线中，随的增大而减小，
当时，，
以、、为长度的条线段能围成三角形，
，
解得，
，
由上可得，或． 

【解析】对题目中的函数解析式进行变形即可求得点的坐标；
根据题意可以得到相应的不等式，从而可以求得的取值范围；
根据题意和三角形三边的关系，利用分类讨论的数学思想可以求得的取值范围．
本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答．
 

25.【答案】解：
证明：
当时，
点
点
，轴
当时，，解得
点坐标为

，
四边形为平行四边形
由题意可知；，
旋转后，若轴，成四边形，如图

四边形构成平行四边形，
此时，设与轴交于
则，
点的坐标为，
旋转后，若的中点在轴上，成四边形，如图



四边形构成平行四边形
设作轴交于，
则，
点的坐标为，
旋转后，若轴，成四边形，如图
又
四边形构成平行四边形
此时，设与轴交于
则，

点的坐标为，
综上所述，满足条件为，， 

【解析】由一次函数解析式可求得点、点两点的坐标，则可求得、的长，可证得结论
分三种情况，以直角三角形的面积求出斜边上的高再利用勾股定理即可得点的坐标
本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用直角三角形的勾股定理知识，求出线段的长是解题的关键．