2024年江苏省无锡市惠山区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省无锡市惠山区中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.−3的相反数是( )
A. −3B. 3C. −13D. 13
2.下列运算正确的是( )
A. m2+m3=m5B. 2m2−m2=1C. (m2)3=m5D. m6⋅m=m7
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+kx−6=0的一个根，则k的值为( )
A. −5B. −7C. 5D. 7
5.小明沿着坡角为30°的斜坡向上走了100m，则他升高了( )
A. 20 5mB. 50mC. 50 3mD. 100m
6.已知排球队6名场上队员的身高(单位：cm)分别是：181，185，188，190，194，196.现用两名身高分别是186，193的队员换下场上身高为181，194的队员，换人前后，下列统计量中不发生变化的是( )
A. 平均数B. 中位数C. 方差D. 极差
7.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC=106°，则∠CAB等于( )
A. 32°
B. 28°
C. 16°
D. 14°
8.明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇.醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人.共同饮了一十九，三十三客醉颜生.试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”设有醇酒x瓶，薄酒y瓶.根据题意可列方程组为( )
A. x+y=193x+13y=33B. x+y=19x+3y=33C. x+y=1913x+3y=33D. x+y=193x+y=33
9.如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条平行线中相邻两条之间的距离依次为a、b、c.若32a+b=1，当a变化时，正方形ABCD面积的最小值为( )
A. 45B. 34C. 89D. 12
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a<0)图象的对称轴为直线x=t，该二次函数图象上存在两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若对于1A. t≥3B. t≥52C. t≥2D. c<1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若代数式 x−2有意义，则实数x的取值范围是______．
12.分解因式：a3−a=______．
13.据统计，2024年3月24日无锡马拉松报名人数约为265000人，刷新了中国马拉松报名人数记录.将数据“265000”用科学记数法表示为______．
14.圆锥的底面半径为3cm，母线为9cm，则圆锥的侧面积为______cm2(结果保留π)．
15.如图，用吸管吸易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐的上、下底面所形成的角分别是∠1和∠2，若∠1=110°，则∠2= ______.(易拉罐的上下底面互相平行)
16.如图是三种化合物的结构式及分子式，请按其规律写出第100种化合物的分子式______．
17.在平面直角坐标系中，已知点A(−1,2)，点B(−2,0)，点C(2,0)，将△ABC绕点B顺时针旋转某个角度后，点A落在y轴的负半轴上，此时点C恰好落在反比例函数y=kx(k为常数，且k≠0)的图象上，则k的值为______．
18.如图，在矩形ABCD中，AB=3，将边AD翻折到AE，使点D的对应点E在边BC上；再将边DA翻折到DF，点A的对应点为F，连接DE、FA、FE．
(1)若AD=5，则CE的长为______；
(2)若点F为△ABE的内心，则AD的长为______．
三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)(3−π)0−|−1|+(12)−1；
(2)(x+2y)2−y(4y−x)．
20.(本小题8分)
(1)解方程：1x−1=3x+1；
(2)解不等式组：x−1>2x−3<2+12x．
21.(本小题10分)
如图，点C在线段BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，∠ACB=∠CED，BC=DE．
(1)求证：△ABC≌△CDE；
(2)若AB=2，DE=4，求BD的长．
22.(本小题10分)
寒假第一课《少年急救官生命教育安全课》于2月1日以视频课的形式开播.某校为了解学生观看视频课的时长，随机抽取了部分学生观看视频课的时长t(单位：h)作为样本，将收集的数据整理后分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分别为：0.5，0.4，0.2，0.2，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组观看视频课时长频数分布表
请根据以上信息回答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是______；
(2)A组数据的众数是______，扇形统计图中C组所在扇形的圆心角的度数是______；
(3)若该校有1800名学生，估计该校学生观看视频课时长超过1.5h的人数．
23.(本小题10分)
一个不透明的口袋中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外其它完全相同．
(1)从中随机摸出1个球是白球的概率为______．
(2)从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，摇匀后再随机摸出1个球，记下颜色.求两次摸出的球颜色相同的概率.(请用画树状图或列表等方法给出分析过程)
24.(本小题10分)
在三角形纸片ABC中，仅折叠该纸片两次，就能分别在AB、BC、CA上得到点D、E、F，使四边形DBEF为菱形．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出菱形DBEF.(不写作法，保留作图痕迹)
(2)若AB=AC=30，BC=20，则菱形DBEF的面积为______.(如需画草图，请使用试题中的图2)
25.(本小题10分)
#N如图，在锐角△ABC中，以AC为直径的⊙O交BC于点D，过点O作OE/​/BC，交⊙O于点E，AD与CE交于点F．
(1)求证：∠ACE=∠DCE；
(2)若AC=4，△CDF的面积与△COE的面积之比为2：3，求CF的长．
26.(本小题10分)
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售.据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
27.(本小题10分)
如图1，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点P为线段BC边上一点，点E为线段AP上一点，取线段DE的中点F，以PE，PF为邻边向上作▱PEGF，EG、GE所在直线分别交AD于M、N.设PEAE=m．
(1)当点G落在AD上时(如图2)，m的值为______．
(2)若P为BC的中点，且点G到直线AD的距离为1时，求m的值．
(3)设△GMN的面积为s，求s与m的函数表达式．
28.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，二次函数y=mx2−3mx−10m(m为常数，且m<0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.过点D(1,0)且平行于y轴的直线l交该二次函数图象于点E，交线段BC于点F．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)求证：∠ECF=2∠DBF；
(3)若点B关于CE的对称点B′恰好落在直线l上，求此时二次函数的表达式．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：−3的相反数是−(−3)=3．
故选：B．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
2.【答案】D
【解析】解：A.∵m2，m3不是同类项，不能合并，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
B.∵2m2−m2=m2，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
C.∵(m2)3=m6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
D.∵m6⋅m=m7，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
A.先判断m2，m3是否是同类项，能否合并，然后进行判断即可．
B.根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；
C.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
D.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则、同底数幂相乘法则和合并同类项法则．
3.【答案】C
【解析】解：A.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：把x=1代入关于x的一元二次方程x2+kx−6=0得：
1+k−6=0，
k=5，
故选：C．
先根据一元二次方程解的定义，把x=1代入关于x的一元二次方程x2+kx−6=0得关于k的方程，解方程即可．
本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的基本步骤．
5.【答案】B
【解析】解：升高的高度=100×sin30°=50(m)，
故选：B．
利用直角三角形边角关系解答即可．
本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题，解答中涉及特殊角的三角函数，理解题意，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A选项：原来平均数：(181+185+188+190+194+196)÷6=189，
替换后平均数：(186+185+188+190+193+196)÷6=190，
平均数变大了，故此选项不符合题意；
B选项：原来181，185，188，190，194，196的中位数：(188+190)÷2=189，
替换后185，186，188，190，194，194的中位数：(188+190)÷2=189，中位数不变，此选项符合题意；
C选项：原来的方差：[(−8)2+(−4)2+(−1)2+12+52+72]÷6=26，
替换后的方差：[(−4)2+(−5)2+(−2)2+0+32+62]÷6=15，
方差变小，故此选项不符合题意；
D选项：由C可知标准差也会变小，故此选项不符合题意；
故选：B．
利用平均数、中位数、方差、标准差一一计算判断即可．
本题考查了平均数、中位数、方差、标准差的定义，解题的关键就是掌握平均数、中位数、方差、标准差的定义．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ADC=106°，
∴∠BDC=106°−90°=16°
∴∠CAB=∠BDC=16°．
故选：C．
由圆周角定理得到∠ADB=90°，求出∠BDC=106°−90°=16°，由圆周角定理得到∠CAB=∠BDC=16°．
本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理推出∠ADB=90°，∠CAB=∠BDC．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意，可列方程组为x+y=193x+13y=33．
故选：A．
根据“醇酒数量+薄酒数量=19和喝醇酒醉倒人数+喝薄酒醉倒人数=33”可列方程组．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是掌握理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
9.【答案】A
【解析】解：由l1、l2、l3、l4上，这四条平行线，
作AF⊥l3于F，交l2于E，
由弦图得BE=a+b，
得正方形ABCD面积=AE2+BE2=a2+(a+b)2，
由32a+b=1，
得正方形ABCD面积=a2+(a+b)2=a2+(a+1−32a)2=54(a−25)2+45，
由a>0，b=1−32a>0，
得0故当a=25时，正方形ABCD面积的最小值=45．
故选：A．
由l1、l2、l3、l4上，这四条平行线，作AF⊥l3于F，交l2于E，由弦图得BE=a+b，得正方形ABCD面积AE2+BE2=a2+(a+b)2，由32a+b=1，得正方形ABCD面积=a2+(a+b)2=a2+(a+1−32a)2=54(a−25)2+45，由a>0，b=1−32a>0，得0本题主要考查了弦图和二次函数，解题关键是正确建立函数关系式．
10.【答案】B
【解析】解：二次函数y=ax2+bx+c(a<0)图象开口向下，对称轴为直线x=t，
∵二次函数图象上存在两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若对于1∴点A(x1,y1)，B(x2,y2)在对称轴的左侧，
∴t≥2.5，
故选：B．
利用二次函数的性质即可得到结论．
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
11.【答案】x≥2
【解析】解：由题意得：x−2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】a(a+1)(a−1)
【解析】【分析】本题主要考查了因式分解的方法，关键是熟练掌握提取公因式法和运用公式法的综合．
先提取a，然后利用平方差公式进行分解可得结果．
【解答】解：a3−a=a(a2−1)=a(a+1)×(a−1)．
13.【答案】2.65×105
【解析】解：265000=2.65×105．
故答案为：2.65×105．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题考查科学记数法—表示较大的数，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14.【答案】27π
【解析】解：∵圆锥的底面周长是6π，
∴圆锥的侧面积是6π18π⋅92⋅π=27π(cm2)，
故答案为：27π．
首先求得圆锥的底面半径，即展开扇形的弧长，根据扇形的面积公式即可求解．
本题考查了圆锥的基本性质及求面积公式，掌握相关求解公式是解题的关键．
15.【答案】70°
【解析】解：如图，∵∠1=110°，
∴∠3=∠1=110°，
∵易拉罐的上下底面互相平行，
∴∠2=180°−∠3=180°−110°=70°．
故答案为：70°．
先根据对顶角相等求出∠1的对顶角，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可．
本题主要考查了平行线的性质，准确识图并熟记性质是解题的关键．
16.【答案】C100H202
【解析】解：由所给分子式可知，
第1种化合物的分子式中C的个数为：1，H的个数为4=1×2+2；
第2种化合物的分子式中C的个数为：2，H的个数为6=2×2+2；
第3种化合物的分子式中C的个数为：3，H的个数为8=3×2+2；
…，
所以第n种化合物的分子式中C的个数为：n，H的个数为(2n+2)个．
当n=100时，
第100种化合物的分子式为：C100H202．
故答案为：C100H202．
根据所给化合物的结构分子式，发现C和H个数的变化规律即可解决问题．
本题考查图形变化的规律，能根据所给分子式发现C和H个数的变化规律是解题的关键．
17.【答案】8
【解析】解：∵点A(−1,2)，点B(−2,0)，点C(2,0)，将△ABC绕点B顺时针旋转某个角度后，点A落在y轴的负半轴上，
∴旋转角为90°，
根据旋转的性质，BC顺时针旋转90°后C′(−2,−4)，
∵C′(−2,−4)在反比例函数y=kx图象上，
∴k=−2×(−4)=8．
故答案为：8．
画出图形，根据题意求出旋转角，根据旋转的性质即可得到C′坐标，继而得到k值．
本题考查了坐标与图形变化及反比例函数图象上点的坐标特征，画出图象求出旋转角是关键．
18.【答案】1 154
【解析】解：(1)由折叠得：AD=AE=5，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BC=AD=5，
∵AB=3，
∴BE= AE2−AB2= 52−32=4，
∴CE=BC−BE=5−4=1，
故答案为：1；
(2)如图，连接BF，过点F作FH⊥AB于H，设AE与DF交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，BC/​/AD，∠C=∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠CED，
∵F是△ABE的内心，
∴∠ABF=∠EBF=12∠ABC=45°，∠BAF=∠EAF，
∴△BHF是等腰直角三角形，
∴FH=BH，
设∠BAF=α，则∠DAF=90°−α，
由折叠得：AD=AE=DF，
∴∠ADE=∠AED，∠DFA=∠DAF=90°−α，
∴∠CED=∠AED，∠AFG=∠AFH，
∵AF=AF，
∴△AFH≌△AFG(ASA)，
∴FH=FG，AH=AG，∠AGF=∠AHF=90°，
∴∠DGE=∠AGF=∠C=90°，
∵DE=DE，
∴△DCE≌△DGE(AAS)，
∴DG=CD=3，
设AD=m，则DF=m，BH=FH=FG=m−3，
∴AG=AH=3−BH=3−(m−3)=6−m，
在Rt△ADG中，DG2+AG2=AD2，
∴m2=32+(6−m)2，
∴m=154，
∴AD=154．
故答案为：154．
(1)先由折叠得：AD=AE=5，由勾股定理计算BE=4，从而可以解答；
(2)如图，连接BF，过点F作FH⊥AB于H，设AE与DF交于点G，先证明△BHF是等腰直角三角形，得FH=BH，设∠BAF=α，则∠DAF=90°−α，证明△AFH≌△AFG(ASA)和△DCE≌△DGE(AAS)，则DG=CD=3，设AD=m，则DF=m，BH=FH=FG=m−3，根据勾股定理列方程可解答．
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，三角形内心的定义，等腰直角三角形的性质和判定等知识，正确作辅助线构建等腰直角三角形是解本题的关键．
19.【答案】解：(1)(3−π)0−|−1|+(12)−1
=1−1+2
=2；
(2)(x+2y)2−y(4y−x)
=x2+4xy+4y2−4y2+xy
=x2+5xy．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，单项式乘多项式，完平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：(1)去分母得：x+1=3x−3，
解得：x=2，
检验：当x=2时，(x+1)(x−1)≠0，
∴方程的解为x=2；
(2)x−1>2①x−3<2+12x②，
由①得：x>3，
由②得：x<10，
则不等式组的解集为3【解析】(1)先去分母、去括号，再移项、合并同类项解得x=3，再对根进行检验即可；
(2)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△CDE中，
∠B=∠DBC=DE∠ACB=∠CED，
∴△ABC≌△CDE(ASA)．
(2)解：由(1)得△ABC≌△CDE，
∴AB=CD=2，BC=DE=4，
∴BD=BC+CD=4+2=6，
∴BD的长是6．
【解析】(1)由AB⊥BD，ED⊥BD，得∠B=∠D=90°，而BC=DE，∠ACB=∠CED，即可根据“ASA”证明△ABC≌△CDE；
(2)由全等三角形的性质得AB=CD=2，BC=DE=4，则BD=BC+CD=6．
此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明△ABC≌△CDE是解题的关键．
22.【答案】60 0.2 120°
【解析】解：(1)D组所对的圆心角为90°，占比25%，
本次调查的样本容量是15÷25%=60．
故答案为：60；
(2)A组的数据0.2出现的次数最多，
∴A组数据的众数为0.2，
∵m=60−5−12−15−8=20，
∴C组所在扇形的圆心角的大小是360°×2060=120°．
故答案为：0.2，120°；
(3)1800×15+860=690(人)，
答：该校学生观看视频课时长超过1.5h的人数大约有690人．
(1)由D组频数及其所占比例可得样本容量；
(2)根据众数的定义求解即可，用360°乘以C组频数占总数量的比例即可；
(3)用总人数乘以样本中观看视频课时长超过1.5h的人数所占比例即可．
本题考查频数(率)分布表、扇形统计图、样本容量、众数、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握样本容量、众数的定义、用样本估计总体是解答本题的关键．
23.【答案】23
【解析】解：(1)由题意得，从中随机摸出1个球是白球的概率为23．
故答案为：23．
(2)列表如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同的结果有5种，
∴两次摸出的球颜色相同的概率为59．
(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
24.【答案】96 2
【解析】解：如图1，先作∠ABC的平分线，交AC于点F，再作线段BF的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，E，连接DF，EF，
则四边形DBEF即为所求．
(2)如图2，过点A作AG⊥BC于点G，交DF于点H，过点F作FK⊥C于点K，
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴BG=CG=12BC=10，
∴AG= AB2−BG2=20 2．
∵四边形DBEF为菱形，
∴BD=DF=EF=BE，BD//FE，DF/​/BE，
∴∠DAF=∠EFC，∠AFD=∠FCE，
∴△ADF∽△FEC，
∴ADEF=DFEC=AHFK．
设BD=DF=EF=BE=x，FK=y，
则AD=30−x，CE=20−x，AH=20 2−y，
∴30−xx=x20−x=20 2−yy，
解得x=12，y=8 2，
∴菱形DBEF的面积为BE⋅FK=12×8 2=96 2．
故答案为：96 2．
(1)结合菱形的判定，先作∠ABC的平分线，交AC于点F，再作线段BF的垂直平分线，分别交AB，BC于点D，E，连接DF，EF即可．
(2)过点A作AG⊥BC于点G，交DF于点H，过点F作FK⊥C于点K，由题意可得△ABC为等腰三角形，则AG= AB2−BG2=20 2.由菱形的性质以及相似三角形的判定可得△ADF∽△FEC，则ADEF=DFEC=AHFK.设BD=DF=EF=BE=x，FK=y，则AD=30−x，CE=20−x，AH=20 2−y，代入求出x，y的值，再利用菱形的面积公式计算即可．
本题考查作图—复杂作图、菱形的判定、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】(1)证明：∵OC=OE，
∴∠OEC=∠OCE．
∵OE/​/BC，
∴∠OEC=∠ECD，
∴∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；
(2)解：∵O是AC中点，
∴S△COES△CAE=12，
∵S△CDFS△COE=23，
∴S△CDFS△CAE=13，
∵AC是直径，
∴∠AEC=∠FDC=90°，
∵∠ACE=∠FCD，
∴△CDF∽△CEA，
∴CFCA= 33，
∴CF= 33CA=4 33．
【解析】(1)易证∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，从而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；
(2)易证S△COES△CAE=12，由于S△CDFS△COE=23，所以S△CDFS△CAE=13，由圆周角定理可知∠AEC=∠FDC=90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
26.【答案】解：(1)设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，
根据题意得：2x+3y=803x+2y=95，
解得：x=25y=10．
答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元；
(2)设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进200−25m10辆B型汽车，
根据题意得：w=8000m+5000×200−25m10，
即w=−4500m+100000，
∵−4500<0，
∴w随m的增大而减小，
又∵m，200−25m10均为正整数，
∴m的最小值为2，
∴当m=2时，w取得最大值，最大值为−4500×2+100000=91000(元)，此时200−25m10=200−25×210=15(辆)．
答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．
【解析】(1)设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进200−25m10辆B型汽车，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润×A型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润×B型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
27.【答案】12
【解析】解：(1)∵四边形PEGF是平行四边形，
∴GF=PE，GF//PE，
∴△DGF∽△DAE，
∴ GFAE=DFDE，
∵F是DE的中点，
∴DF=12DE，
∴GFAE=12，
∴AE=2GF，
∴PEAE=GF2GF=12，
∴m=12，
故答案为：12；
(2)如图1，
当点G在矩形ABCD的外部时，
作GH⊥AD于H，作射线DG，交PA的延长线于W，作WQ⊥PA，交PA的延长线于点Q，
由(1)得，
G是DW的中点，
同理可得WQ=2GH=2，PE=FG=12WE，
设PE=FG=x，则WE=2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠B=90°，
∵P时BC的中点，
∴PB=12BC=4，
∴AB=PB，
∴∠WAQ=∠DAP=∠PAB=45°，
∴AW= 2WQ=2 2，AP= 2AB=4 2，
∴WP=AW+AP=6 2，
由WE+PE=WP得，
2x+x=6 2，
∴x=2 2，
∴PE=2 2，
∴AE=AP−PE=2 2，
∴m=1，
如图2，
当点G在矩形ABCD的内部时，
由上可知：AW=2 2，
∴PW=AP--AW=2 2，
∴PE=13PW=2 23，
∴AE=4 2−2 23=10 23，
∴m=15，
综上所述：m=1或15；
(3)如图3，
当m<12时，
延长EP至X，使PX=EP，连接DP，DX，
∵点F是DE的中点，
∴PF//DX，
∵EM//PF，
∴EM//DX，
∴∠AME=∠ADX，
∵GF//PE，
∴∠MNG=∠DAX，
∴△MNG∽△DAX，
∴S△GMNS△ADX=(NGAX)2，
∵S△ADP=12AD⋅AB=12×8×4=16， PEAE=m，
∴S△DPX=S△DEP=mm+1⋅S△ADP=16mm+1，
∴S△ADX=S△ADP+S△DPX=16+16mm+1=32m+16m+1，
设AE=x，则GF=PE=mx，
∵FN=12AE=12x，
∴NG=FN−GF=12x−mx=(12−m)x，
∵AX=AE+PE+PX=x+2mx=(1+2m)x，
∴S32m+16m+1=(12−m1+2m)2，
∴S=4(1−2m)2(2m+1)(m+1)，
如图4，
当m>12时，
同理可得，
S△GMNS△ADX=(NGAX)2，NG=FG−NF=(m−12)x，AX=(1+2m)x，
∴S=4(2m−1)2(2m+1)(m+1)，
综上所述：S=4(2m−1)2(2m+1)(m+1)．
(1)可推出是△ADE的中位线，从而得出PE=GF=12AE，进一步得出结果；
(2)当点G在矩形ABCD的外部时，作GH⊥AD于H，作射线DG，交PA的延长线于W，作WQ⊥PA，交PA的延长线于点Q，可依次得出G是DW的中点，WQ=2GH=2，PE=FG=12WE，设PE=FG=x，则WE=2x，∠WAQ=∠DAP=∠PAB=45°，AW= 2WQ=2 2，AP= 2AB=4 2，WP=AW+AP=6 2，根据WE+PE=WP得出x+x=6 2，从而求得x=2 2，进一步得出结果；当点G在矩形ABCD的内部时，同样的方法得出结果；
(3)当m<12时，延长EP至X，使PX=EP，连接DP，DX，可证得△MNG∽△DAX，从而得出S△GMNS△ADX=(NGAX)2，可求得S△ADP=12AD⋅AB=12×8×4=16， PEAE=m，从而得出S△DPX=S△DEP=mm+1⋅S△ADP=16mm+1，进而得出S△ADX=S△ADP+S△DPX=16+16mm+1=32m+16m+1，设AE=x，则GF=PE=mx，可得出NG=FN−GF=12x−mx=(12−m)x，AX=AE+PE+PX=x+2mx=(1+2m)x，进而得出结果；当m>12时，同样得出结果．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
28.【答案】(1)解：令y=mx2−3mx−10m=0，
解得：x=−2或5，
即点A、B的坐标分别为：(−2,0)、(5,0)；
(2)证明：过点C作GT⊥EF于点T，

当x=0时，y=−10m，当x=1时，y=mx2−3mx−10m=−12m，
即点C、E的坐标分别为：(0,−10m)，(1,−12m)，
由点B、C(0,−10m)的坐标得，直线BC的表达式为：y=2m(x−5)，
当x=1时，y=2m(x−5)=−8m，即点F(1,−8m)，
由点E、F、C的纵坐标知，点C在E、F的中垂线上，
即CT平分∠ECF，
∵CT//x轴，
则∠DBF=∠TCF=∠TCE，
即∠ECF=2∠DBF；
(3)解：由(2)知，点C、E的坐标分别为：(0,−10m)，(1,−12m)，
由点C、E的坐标得，直线CE的表达式为：y=−2mx−10m，
设BB′的交CE于点H，
∵点B关于CE的对称点B′恰好落在直线l上，

则点H是BB′的中点，CE⊥BB′，
则直线BB′的表达式为：y=12m(x−5)，
联立直线BB′和CE的表达式得：−2mx−10m=12m(x−5)，
解得：xH=5−20m24m2+1，
由由中点坐标公式得：5−20m24m2+1=12(xB+xB′)=12(1+5)，
解得：m=±14(舍去正值)，
则抛物线的表达式为：y=−14x2+34x+52．
【解析】(1)令y=mx2−3mx−10m=0，即可求解；
(2)证明点C在E、F的中垂线上，即可求解；
(3)求出直线BB′的表达式为：y=12m(x−5)，得到xH=5−20m24m2+1，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、中垂线的性质等，正确的数据运算能力和理解题意是解题的关键．组别
频数
A
05
B
0.512
C
1m
D
1.515
E
t>2
8
红
白
白
红
(红，红)
(红，白)
(红，白)
白
(白，红)
(白，白)
(白，白)
白
(白，红)
(白，白)
(白，白)