2024年江苏省南通市海门区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年江苏省南通市海门区中考数学一模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）计算（﹣1）×（﹣2）的结果是（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣3
2．（3分）我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中64580000用科学记数法可表示为（ ）
A．64.58×106B．6.458×107
C．6.458×106D．0.6458×108
3．（3分）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5B．x2•x3＝x6
C．x8÷x4＝x2D．（﹣x3）4＝x12
5．（3分）如图，把一个含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺上，∠A＝30°，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．10°B．12°C．15°D．20°
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
7．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD．则下列判断不一定正确的是（ ）
A．AC＝2DEB．AB＝2CD
C．AB＝2ACD．S四边形ACED＝3S△BDE
8．（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，n），点B（﹣3，n），点C（4，n+2）在同一个函数图象上，则该图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，用4个全等的Rt△ADE，Rt△CBG，Rt△GEH，Rt△EGF和2个全等的Rt△ABH，Rt△DCF拼成如图所示的矩形ABCD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），当x＝a时，该多项式的值为c﹣a，则多项式a2﹣b2+3的值可以是（ ）
A．B．2C．D．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）分解因式：m2﹣4n2＝ ．
12．（3分）正十二边形的外角和为 ．
13．（4分）用一个x的值说明“”是错误的，则x的值可以是 ．
14．（4分）计算的结果是 ．
15．（4分）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
16．（4分）如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，AB＝CD．若⊙O的半径为6，∠CED＝30°，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（4分）如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点．若△ABO的面积为，则的值为 ．
18．（4分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是平面内一点，AE＝AB，将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，连接AF．当AF的长最小时，tan∠CDE的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）计算：（m+3）（m﹣3）+m（1﹣m）；
（2）解方程：．
20．（10分）为了解A、B两款品质相近的无人机在充满一次电后运行的最长时间，有关人员随机抽取了这两款无人机各10架，记录下它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70；良好70≤x＜80；优等x≥80），得到有关信息．
信息一：10架A款无人机充满一次电后运行的最长时间是：
60，64，67，69，71，71，72，72，72，82；
信息二：B款无人机运行最长时间统计图．
两款无人机运行最长时间统计表
（1）你认为哪款无人机运行性能更好些？请说明理由（写出一条即可）；
（2）若仓库有A款无人机200架、B款无人机120架，估计两款无人机运行性能在良好及以上的共有多少架？
21．（10分）如图，P是△ABC内一点，PB＝PC，∠ABP＝∠ACP．求证：∠APB＝∠APC．
小虎的证明过程如下：
（1）小虎同学的证明过程中，第 步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
22．（10分）某超市开展促销活动，凡购物者可获得一次抽奖机会，规则如下：在一个不透明的箱子里装有四个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4，5．摸奖者从中随机一次摸出两个小球，若两个球上的数字和为n，则所购商品总价打n折．请用画树状图或列表的方法，求某顾客抽奖一次获得7折的概率．
23．（10分）日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D）．点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O相交于点E，与BC相交于点B，连接AC，OC，BD＝CD＝30cm，OA⊥AC．
（1）求∠B的度数；
（2）连接CE，求CE的长．
24．（12分）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息．
信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线EF和线段FG组成．
信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求该产品的生产成本；
（2）该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低40%，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围．
25．（13分）问题情境
如图，折叠矩形纸片ABCD，使点C的对应点F落在边AB上，得到折痕BE，把纸片展平；继续沿过点E的直线折叠，点A的对应点M落在边BC上，得到折痕EG，把纸片展平，AD的对应边MN交CD于点P．
初步探究
（1）四边形BCEF的形状是 ；
深入探究
（2）用等式表示线段PE，PM之间的数量关系，并证明；
拓展延伸
（3）设MG交BE于点Q，BM＝2CM＝4，求△BGQ的面积．
26．（13分）已知抛物线y＝mx2+2mx+n（m，n为常数，m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交点C，顶点为D，AB＝4．
（1）求3m+n的值；
（2）如图，连接BD交AC于点E，求证：BE＝2DE；
（3）设M是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点M作MN∥x轴，交直线AC于点N．由线段MN长的不同取值，试探究符合条件的点M的个数．
2024年江苏省南通市海门区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1．（3分）计算（﹣1）×（﹣2）的结果是（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣3
【分析】根据“两数相乘，同号得正”即可求出结论．
【解答】解：（﹣1）×（﹣2）＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘法，牢记“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”是解题的关键．
2．（3分）我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中64580000用科学记数法可表示为（ ）
A．64.58×106B．6.458×107
C．6.458×106D．0.6458×108
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：64580000＝6.458×107．
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3．（3分）砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看，可得如图：
．
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看到的视图是俯视图．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x5B．x2•x3＝x6
C．x8÷x4＝x2D．（﹣x3）4＝x12
【分析】根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：A、x2与x3不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、x2•x3＝x5，故该项不正确，不符合题意；
C、x8÷x4＝x4，故该项不正确，不符合题意；
D、（﹣x3）4＝x12，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（3分）如图，把一个含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺上，∠A＝30°，∠1＝50°，则∠2的度数是（ ）
A．10°B．12°C．15°D．20°
【分析】过点B作BD∥EF交AC于D，则∠CDB＝∠1，在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣∠CDB，又在Rt△ABC中，∠A＝30°，则∠ABC＝90°﹣∠A，从而求得∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD，再证明BD∥MN，即可由平行线的性质求解．
【解答】解：过点B作BD∥EF交AC于D，
∵BD∥EF，
∴∠CDB＝∠1＝50°，
∴在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣∠CDB＝40°，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣40°＝20°，
∵BD∥EF，MN∥EF，
∴BD∥MN，
∴∠2＝∠ABD＝20°．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行公理推论，平行线性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣5＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4×1×（﹣5）＝m2+20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
7．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ，分别交AB，CB于D，E两点，连接CD．则下列判断不一定正确的是（ ）
A．AC＝2DEB．AB＝2CD
C．AB＝2ACD．S四边形ACED＝3S△BDE
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可．
【解答】解：由作图可知PQ垂直平分线段BC，故选项A正确，
∴CE＝BE，DE⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∴AC∥DE，
∴AD＝BD，
∴DE是△ABC的中位线，AB＝2CD，故B正确；
∴AC＝2DE，故A正确；
∵BE＝CE，AD＝BD，
∴S△BDE＝S△BCD，S△BDC＝S△ABC，
∴S△ABC＝4S△BDE，
∴S四边形ACED＝3S△BDE，故D正确，
只有当∠B＝30°时，AB＝2AC，故C错误，
故A、B、D不符合题意，C符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，n），点B（﹣3，n），点C（4，n+2）在同一个函数图象上，则该图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由点A（3，n），点B（﹣3，n），点C（4，n+2）在同一个函数图象上，可得A与B关于y轴对称；当x＞0时，y随x的增大而增大，继而求得答案．
【解答】解：∵A（3，n），点B（﹣3，n），
∴A与B关于y轴对称，
即这个函数图象关于y轴对称，故选项A不符合题意；
∵A（3，n），点C（4，n+2）
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
9．（3分）如图，用4个全等的Rt△ADE，Rt△CBG，Rt△GEH，Rt△EGF和2个全等的Rt△ABH，Rt△DCF拼成如图所示的矩形ABCD，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据全等三角形的性质得出AE＝EF＝GH，DE＝EH＝GF，DF＝BH，AE＝CF，进而利用矩形的性质解答即可．
【解答】解：∵用4个全等的Rt△ADE，Rt△CBG，Rt△GEH，Rt△EGF和2个全等的Rt△ABH，Rt△DCF拼成如图所示的矩形ABCD，
∴设AE＝EF＝GH＝a，DE＝EH＝GF＝b，DF＝BH＝a+b，AH＝CF＝a﹣b，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AD＝BC，AB＝CD，
由勾股定理可得，BC2＝AD2＝AE2+DE2＝a2+b2，AB2＝AH2+BH2＝（a+b）2+（a﹣b）2，
∴，
故选：C．
【点评】此题考查矩形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出AE＝EF＝GH，DE＝EH＝GF，DF＝BH，AE＝CF解答．
10．（3分）已知关于x的多项式ax2+bx+c（a≠0），当x＝a时，该多项式的值为c﹣a，则多项式a2﹣b2+3的值可以是（ ）
A．B．2C．D．
【分析】先将x＝a代入多项式ax2+bx+c中得：a2＝﹣b﹣1＞0，则b＜﹣1，计算所求式并配方与平方的非负性相结合即可求解．
【解答】解：把x＝a代入多项式ax2+bx+c中得：a3+ab+c＝c﹣a，
∴a3+ab+a＝0，
∵a≠0，
∴a2+b+1＝0，
∴a2＝﹣b﹣1＞0，
∴b＜﹣1，
∴a2﹣b2+3
＝﹣b2﹣b﹣1+3
＝﹣b2﹣b+2
＝﹣（b+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当b＝﹣时，a2﹣b2+3有最大值是，
当b＝﹣1时，a2﹣b2+3＝﹣（﹣1+）2+＝2，
∵b＜﹣1，
∴本题多项式a2﹣b2+3的值可以是．
故选：A．
【点评】本题考查了配方法及偶次方的非负性在代数式求值中的应用，根据已知条件正确配方是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）分解因式：m2﹣4n2＝ （m+2n）（m﹣2n） ．
【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．此题可用平方差公式分解．
【解答】解：m2﹣4n2＝（m+2n）（m﹣2n）．
【点评】本题考查用平方差公式法进行因式分解，能用平方差公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．
12．（3分）正十二边形的外角和为 360° ．
【分析】根据多边形的外角和定理求解．
【解答】解：正十二边形的外角和是：360°．
故答案为：360°．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．
13．（4分）用一个x的值说明“”是错误的，则x的值可以是 ﹣2（答案不唯一） ．
【分析】直接利用二次根式的性质，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：∵“”是错误的，
∴x的值可以是﹣2（答案不唯一）．
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
14．（4分）计算的结果是 3 ．
【分析】根据分式的加减法法则进行计算．
【解答】解：原式＝
＝
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减法法则是关键．
15．（4分）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为 2.9 米（结果精确到0.1，参考数据：＝1.41，＝1.73）
【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得DM＝AM＝4m，再根据勾股定理可得MC2+MB2＝（2MC）2，代入数可得答案．
【解答】解：由题意可得：∵AM＝4米，∠MAD＝45°，
∴DM＝4m，
∵AM＝4米，AB＝8米，
∴MB＝12米，
∵∠MBC＝30°，
∴BC＝2MC，
∴MC2+MB2＝（2MC）2，
MC2+122＝（2MC）2，
∴MC＝4（米），
则DC＝4﹣4≈2.9（米），
故答案为：2.9．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，勾股定理的应用，关键是掌握锐角三角函数的应用，属于中考常考题型．
16．（4分）如图，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，AB＝CD．若⊙O的半径为6，∠CED＝30°，则图中阴影部分的面积为 6π ．
【分析】根据同弧或等弧所对的圆心角是它所对圆周角的2倍，求出∠AOB的度数，再利用扇形的面积公式即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴，
∴∠AOB＝2∠CED＝60°，
∴．
故答案为：6π．
【点评】本题考查扇形面积的计算及圆周角定理，熟知圆周角定理及扇形面积的计算公式是解题的关键．
17．（4分）如图，平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点．若△ABO的面积为，则的值为 ．
【分析】根据条件和k值的几何意义得到S△AOB＝S梯形ABCD＝，代入坐标整理得到x2y1﹣x1y2＝9，依据x1y1•x2y2＝36，转化为x1y2•x2y1＝36，可求出x2y1＝12，将所求代数式化简后代入数据即可得到结果．
【解答】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别为D、C，
根据反比例函数k值的几何意义可得：
S△AOB＝S梯形ABCD＝，
∴（y1+y2）（x2﹣x1）＝，
整理得：x2y1﹣x1y2＝9，
∵x1y1•x2y2＝36，
∴x1y2•x2y1＝36，
∴（x2y1﹣9）x2y1＝36，
解得x2y1＝12，
∴＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握k值的几何意义是关键．
18．（4分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E是平面内一点，AE＝AB，将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，连接AF．当AF的长最小时，tan∠CDE的值为 ﹣1 ．
【分析】通过证明△ABF∽△OBE，可得AF＝OE，则当点E在AC上时，OE有最小值为2﹣，即AF的最小值为2﹣2，由等腰直角三角形的性质和锐角函数的性质可求解．
【解答】解：如图，连接AC，BD，交于点O，连接OE，BF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝BO，∠ABO＝45°，AC⊥BD，
∴AB＝BO＝2，
∴BO＝AO＝，
∵将EB绕点E顺时针方向旋转90°得到线段EF，
∴BE＝EF，∠BEF＝90°，
∴BF＝BE，∠FBE＝45°，
∴∠FBE＝∠ABO，
∴∠ABF＝∠OBE，
又∵，
∴△ABF∽△OBE，
∴，
∴AF＝OE，
∵AB＝AE＝2，
∴当点E在AC上时，OE有最小值为2﹣，
∴AF的最小值为2﹣2，
此时，如图，过点E作EH⊥CD于H，
∵∠ACD＝45°，
∴△CEH是等腰直角三角形，
∵CE＝2﹣2，
∴EH＝CH＝2﹣，
∴DH＝，
∴tan∠CDE＝＝＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，锐角三角函数等知识，证明三角形相似是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）（1）计算：（m+3）（m﹣3）+m（1﹣m）；
（2）解方程：．
【分析】（1）利用平方差公式及单项式乘多项式法则计算即可．
（2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原式＝m2﹣9+m﹣m2
＝m﹣9；
（2）解：原方程去分母得：2x＝3﹣4（x﹣1），
整理得：2x＝7﹣4x，
解得：x＝，
检验：当x＝时，2（x﹣1）≠0，
故原方程的解为x＝．
【点评】本题考查解分式方程及整式的运算，熟练掌握解方程及相关运算法则是解题的关键．
20．（10分）为了解A、B两款品质相近的无人机在充满一次电后运行的最长时间，有关人员随机抽取了这两款无人机各10架，记录下它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70；良好70≤x＜80；优等x≥80），得到有关信息．
信息一：10架A款无人机充满一次电后运行的最长时间是：
60，64，67，69，71，71，72，72，72，82；
信息二：B款无人机运行最长时间统计图．
两款无人机运行最长时间统计表
（1）你认为哪款无人机运行性能更好些？请说明理由（写出一条即可）；
（2）若仓库有A款无人机200架、B款无人机120架，估计两款无人机运行性能在良好及以上的共有多少架？
【分析】（1）可比较中位数，众数与方差得出结论；
（2）利用样本估计总体可求解．
【解答】解：（1）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：
虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；
（3）200×+120×（1﹣40%）＝120+72＝192（架），
答：估计两款无人机运行性能在良好及以上的共有192架．
【点评】本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，方差以及用样本估计总体，解题关键是从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
21．（10分）如图，P是△ABC内一点，PB＝PC，∠ABP＝∠ACP．求证：∠APB＝∠APC．
小虎的证明过程如下：
（1）小虎同学的证明过程中，第 一 步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
【分析】（1）由全等三角形的判定方法可得出结论；
（2）证明△ABP≌△ACP（SSS），得出∠APB＝∠APC．
【解答】解：（1）全等的判定方法用错了，
故答案为：一；
（2）∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB．
∵∠ABP＝∠ACP，
∴∠ABP+∠PBC＝∠ACP+∠PCB．
即∠ABC＝∠ACB．
∴AB＝AC，
在△ABP和△ACP中，
，
∴△ABP≌△ACP（SSS），
∴∠APB＝∠APC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
22．（10分）某超市开展促销活动，凡购物者可获得一次抽奖机会，规则如下：在一个不透明的箱子里装有四个完全相同的小球，把它们分别标号为2，3，4，5．摸奖者从中随机一次摸出两个小球，若两个球上的数字和为n，则所购商品总价打n折．请用画树状图或列表的方法，求某顾客抽奖一次获得7折的概率．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两个球上的数字和为7的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中两个球上的数字和为7的结果有：（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），共4种，
∴某顾客抽奖一次获得7折的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
23．（10分）日晷是我国古代较为普遍使用的计时仪器．如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段BC是日晷的底座，点D为日晷与底座的接触点（即BC与⊙O相切于点D）．点A在⊙O上，OA为某一时刻晷针的影长，AO的延长线与⊙O相交于点E，与BC相交于点B，连接AC，OC，BD＝CD＝30cm，OA⊥AC．
（1）求∠B的度数；
（2）连接CE，求CE的长．
【分析】（1）证明OB＝OC，再利用切线的性质证明∠∠B＝∠OCB＝∠ACO，再利用三角形内角和定理求解；
（2）求出AC，AE，利用勾股定理求解．
【解答】解：（1）如图，连接OD．
∵BC 与⊙O相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵BD＝DC，
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B．
∵OA⊥AC，OA为半径，
∴CA与⊙O相切于点A．
而BC与⊙O相切于点D，
∴∠ACB＝2∠BCO，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°；
（2）由（1）知 ，∠OAC＝90°，
∵CA，CD与⊙O相切，
∴CA＝CD＝30．
∴，
∴，
在Rt△ACE 中，（cm）．
【点评】本题考查平行投影，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，
24．（12分）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息．
信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线EF和线段FG组成．
信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求该产品的生产成本；
（2）该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低40%，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围．
【分析】（1）根据题意得到．把x＝45代入解析式得到，设该产品的生产成本为a元/件，列方程即可得到结论；
（2）根据题意得到3月份利润为（45﹣38）×400＝2800元．由题意得4月份成本为（1﹣40%）×38＝22.8元/件，列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）由图象得曲线EF解析式为 ．
令x＝45，则，
即3月份销售量为400件，
设该产品的生产成本为a元/件，则（66﹣a）×100＝（45﹣a）×400，
解得a＝38，
答：该产品的生产成本为38元/件；
（2）3月份利润为：（45﹣38）×400＝2800元．
由题意得4月份成本为（1﹣40%）×38＝22.8元/件，
则 ，
解得x≥27，
∴4月份该产品销售单价的范围是27≤x≤45．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
25．（13分）问题情境
如图，折叠矩形纸片ABCD，使点C的对应点F落在边AB上，得到折痕BE，把纸片展平；继续沿过点E的直线折叠，点A的对应点M落在边BC上，得到折痕EG，把纸片展平，AD的对应边MN交CD于点P．
初步探究
（1）四边形BCEF的形状是 正方形 ；
深入探究
（2）用等式表示线段PE，PM之间的数量关系，并证明；
拓展延伸
（3）设MG交BE于点Q，BM＝2CM＝4，求△BGQ的面积．
【分析】（1）由折叠的性质得出∠ECB＝∠EFB＝90°＝∠FBC，由正方形的判定可得出结论；
（2）连接EM，证明Rt△ENM≌Rt△MCE （HL），得出∠EMN＝∠MEC，则可得出结论；
（3）求出AB＝DC＝8．设GB＝x，则GM＝AG＝8﹣x．由勾股定理求出GB＝3，过点Q作QH⊥BG于H，求出QH，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵折叠矩形纸片ABCD，使点C的对应点F落在边AB上，
∴∠ECB＝∠EFB＝90°＝∠FBC，
∴四边形BCEF是矩形，
∵BC＝BF，
∴四边形BCEF是正方形；
故答案为：正方形；
（2）PE＝PM．
证明：连接EM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC．
∴∠D＝∠C＝90°
由折叠知，MN＝AD，∠N＝∠D＝∠C＝90°．
∵四边形BCEF是正方形，
∴EC＝BC．
∴EC＝MN．
在Rt△ENM和Rt△MCE中，
，
∴Rt△ENM≌Rt△MCE （HL），
∴∠EMN＝∠MEC，
∴PE＝PM；
（3）∵Rt△ENM≌Rt△MCE，
∴EN＝CM＝2，EC＝MN．
∴DE＝EN＝2．
∵正方形BCEF中，EC＝BC＝6，
∴AB＝DC＝8．
设GB＝x，则GM＝AG＝8﹣x．
由勾股定理得，GB2+BM2＝GM2，即（8﹣x）2＝x2+16，
解得x＝3，
即GB＝3．
过点Q作QH⊥BG于H，
∵∠GBQ＝45°，
∴QH＝BH，GH＝3﹣BH＝3﹣QH．
∵，
∴，
∴．
∴＝＝．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键．
26．（13分）已知抛物线y＝mx2+2mx+n（m，n为常数，m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交点C，顶点为D，AB＝4．
（1）求3m+n的值；
（2）如图，连接BD交AC于点E，求证：BE＝2DE；
（3）设M是x轴下方抛物线上的动点（不与C重合），过点M作MN∥x轴，交直线AC于点N．由线段MN长的不同取值，试探究符合条件的点M的个数．
【分析】（1）由AB＝4，则 xB﹣xA＝4，得到xA＝﹣3xB＝1，即可求解；
（2）证明△DFE∽△BAE，则，即可求解；
（3）求出MN＝|﹣a2﹣2a﹣a|＝|a2+3a|，由题意知﹣3＜a＜1且a≠0．结合图象，即可求解．
【解答】（1）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，
∵AB＝4，
则xB﹣xA＝4．
∴xA＝﹣3xB＝1，
将（1，0）代入 y＝mx2+2mx+n得：mx+2m+n＝0．
∴3m+n＝0；
（2）证明：由（1）得n＝﹣3m，
∴y＝mx2+2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m．
∴C（0，﹣3m），D（﹣1，﹣4m）．
过D作DF∥x轴交AC延长线于点F，
设直线AC为 y＝kx﹣3m，则﹣3k﹣3m＝0，即 k＝﹣m，
∴直线AC为 y＝﹣mx﹣3m．
令y＝﹣4m，则﹣mx﹣3m＝﹣4m，即 x＝1，
∴xy＝1，
∴DF＝2．
∵DF∥x轴，
∴△DFE∽△BAE，则，
∴BE＝2DE；
（3）解：直线AC为 y＝﹣mx﹣3m．
设M为（ a，ma2+2ma﹣3m），
则N为（﹣a2﹣2a，ma2+2ma﹣3m），
MN＝|﹣a2﹣2a﹣a|＝|a2+3a|．
由题意知﹣3＜a＜1且a≠0．
结合图象，
当时，符合条件的点M有3个；
当时，符合条件的点M有2个；
当时，符合条件的点M有1个．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
类别
平均数
中位数
众数
方差
A
70
71
72
30.4
B
70
70.5
67
26.6
证明：在△ABP和△ACP中，
∵PB＝PC，∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，
∴△ABP≌△ACP．…第一步
∴∠APB＝∠APC．…第二步
类别
平均数
中位数
众数
方差
A
70
71
72
30.4
B
70
70.5
67
26.6
证明：在△ABP和△ACP中，
∵PB＝PC，∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，
∴△ABP≌△ACP．…第一步
∴∠APB＝∠APC．…第二步
2
3
4
5
2
（2，3）
（2，4）
（2，5）
3
（3，2）
（3，4）
（3，5）
4
（4，2）
（4，3）
（4，5）
5
（5，2）
（5，3）
（5，4）