2023-2024学年河北省保定市1+3联考高一（上）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年河北省保定市1+3联考高一（上）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.使x2−2x−3<0成立的一个充分不必要条件是( )
A. −12.已知角α终边上有一点P(sin2,cs2)，则π−α是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
3.已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=DC=2，BC=1，P是DC的中点，则|PA+PB|=( )
A. 3B. 5C. 3D. 9
4.已知函数f(x)=lg2(x2−ax+3a)在区间[2,+∞)上递增，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,4)B. (−4,4]
C. (−∞,−4)∪[2，+∞)D. [−4,2)
5.在△ABC中，AB= 2，∠ABC=π4，BC=3，AD为BC边上的高，O为AD上靠近点A的三等分点，且AO=λAB+μAC，其中λ，μ∈R，则λ−μ=( )
A. 12B. 16C. 19D. 13
6.记A，B，C为△ABC的内角，若csB，csC是方程5x2−3x−1=0的两根，则csA=( )
A. 35B. −35C. 7−15D. 7+15
7.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比t= 5−12≈0.618，现给出三倍角公式cs3α=4cs3α−3csα，则t与sin18°的关系式正确的为( )
A. 2t=3sin18°B. t=2sin18°C. t=3sin18°D. t=4sin18°
8.若函数f(x)=2x+3,x≤0(x−2)2,0A. (0,1]B. (0,1)C. (1,4)D. (2,4)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−1,3)，b=(x,2)，且(a−2b)⊥a，则( )
A. b=(1,2)
B. |2a−b|=25
C. 向量a与向量b的夹角是45°
D. 向量a在向量b上的投影向量坐标是(1,2)
10.已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,π])，则( )
A. 若f(0)= 3，则φ=π3
B. 若函数y=f(x)为偶函数，则cs2φ=1
C. 若函数y=f(x)在[a,b]上单调，则b−a≤π2ω
D. 若φ=π2时，且f(x)在[−π3,π4]上单调，则ω∈(0,32]
11.已知向量a，b满足|a|=1,|b|=2，则有关|a+b|+|a−b|的最值下列结论正确的是( )
A. 最小值为2B. 最小值为4C. 最大值为4D. 最大值为2 5
12.给出下列四个命题，其中正确的选项有( )
A. 在△ABC中，|AB|=3,|AC|=2，AD=12AB+34AC,则直线AD通过△ABC的内心
B. 在△ABC中，点O为其外心， 2OA+2OB+OC=0，若BC=2，则OA=2 147
C. 若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a+xb|(x∈R)取最小值时x=1
D. 若OA=(3,−4)，OB=(6,−3)，OC=(5−m,−3−m)，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>−34
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若f(x)=ex−e−x(x+1)(2x+a)为奇函数，则a= ______ ．
14.tan20°+4sin20°的值为______ ．
15.设O为△ABC的外心，若AO=AB+2AC，则sin∠BAC的值为______．
16.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2).如图，直线y= 32与曲线y=f(x)交于A，B两点，|AB|=π6，则φ= ______ .y=f(x)在区间[t,t+π4](t∈R)上的最大值与最小值的差的范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b=10,acs(B2+π)+bcs(3π2+A)=0．
(1)求角B；
(2)若_____，求△ABC的面积．
请在①sinBsinC+sinCsinB=sin2AsinBsinC+1；②tan(A+3π4)=2− 3；③tanA=3这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．
18.(本小题12分)
已知向量a=(csα,sinα)，b=(−sinα,csα)，设m= 3a+b，n=a+ 3b．
(1)求|a+b|的值；
(2)求m，n夹角的大小．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示．
(1)求f(x)的解析式及对称中心；
(2)先将f(x)的图像纵坐标缩短到原来的12倍，再向右平移π12个单位后得到g(x)的图像，求函数y=g(x)在x∈[π12,3π4]上的单调减区间和最值．
20.(本小题12分)
在扇形OAB中，∠AOB=60°，C为弧AB上一动点，若OC=xOA+yOB，求3x+y的取值范围．
21.(本小题12分)
已知锐角△ABC内角A，B，C及对边a，b，c，满足2c−b=2acsB．
(1)求A的大小；
(2)若a=1，求△ABC周长的取值范围．
22.(本小题12分)
已知平面四边形ABDC中，对角线CB平分角∠ACD，CB与AD相交于点O，且AC=5，AD=7，CA⋅CD=−4．
(1)求CO的长；
(2)若BC=BD，求△ABD的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：不等式x2−2x−3<0即(x+1)(x−3)<0，解得−1因此，使x2−2x−3<0成立的一个充分不必要条件，对应的范围是区间(−1,3)的真子集，
对照各个选项，可知B项−12故选：B．
根据题意，解不等式x2−2x−3<0得−1本题主要考查一元二次不等式的解法、充要条件的判断等知识，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵角α终边上有一点P(sin2,cs2)，且sin2>0，cs2<0，
∴α是第四象限角，
∴−α是第一象限角，∴π−α第三象限角．
故选：C．
由题意，根据三角函数在各个象限中的符号，得出结论．
本题主要考查三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
将向量PA、PB均用CD，DA表示后运算即可．
【解答】
解：已知直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC=90°，AD=DC=2，BC=1，P是DC的中点，
则PA=PD+DA=12CD+DA，
PB=PC+CB=12DC+12DA=−12CD+12DA，
所以|PA+PB|=|12CD+DA−12CD+12DA|=|DA+12DA|=|32DA|=32×2=3．
故选C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
由题意知函数f(x)=lg2(x2−ax+3a)是由y=lg2t和t(x)=x2−ax+3a复合而来，由复合函数单调性结论，只要t(x)在区间[2,+∞)上单调递增且t(x)>0即可．
本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，根据条件列出不等式组求解即可．
【解答】
解：令t(x)=x2−ax+3a，由题意知：
t(x)在区间[2,+∞)上单调递增且t(x)>0，
a2≤2t(2)=4−2a+3a>0，解得：−4则实数a的取值范围是(−4,4]．
故选B．
5.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABD中，AD=BD=1，所以DC=2，
所以AO=13AD=13(AB+BD)
=13(AB+13BC)
=13[AB+13(AC−AB)]=13[23AB+13AC]
=29AB+19AC，
所以λ=29,μ=19⇒λ−μ=19，
故选：C．
首先求出线段AD，DC的长，然后用向量AB,AC表示向量AO．
本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题知，csB+csC=35，csB⋅csC=−15，
则sinBsinC= 1−cs2B⋅ 1−cs2C= 1−(csBcsC)2+cs2Bcs2C
= 1−(csB+csC)2+2csBcsC+cs2Bcs2C= 75．
∴csA=−cs(B+C)=sinBsinC−csBcsC=7．
故选：D．
由已知结合方程的根与系数关系及同角基本关系，和差角公式及诱导公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角平方关系，和差角公式的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为cs3α=4cs3α−3csα，
所以cs54°=4cs318°−3cs18°，
又cs54°=sin36°=2sin18°cs18°，
所以4cs318°−3cs18°=2sin18°cs18°，
化简得4cs218°−3=2sin18°，
可得4(1−sin218°)−3=2sin18°，即4sin218°+2sin18°−1=0，
解得sin18°= 5−14(负值舍去)，
所以t=2sin18°．
故选：B．
由题意利用诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式可求4sin218°+2sin18°−1=0，进而解方程即可得解．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得函数定义域为{x|x≤a}，
当x≤0时，f(x)=2x+3∈(3,4]，
要使得定义域和值域的交集为空集，
则0又0若a≥2，则f(2)=0，此时显然不满足题意，
若0故f(x)∈[(a−2)2,4)∪(3,4]，
所以a<(a−2)20解得0故选：B．
结合分段函数的性质先求出函数定义域，然后结合指数函数及二次函数的性质求解函数值域，即可求解．
本题主要考查了指数函数，二次函数及分段函数定义域及值域的求解，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：已知向量a=(−1,3)，b=(x,2)，且(a−2b)⊥a，
则a2−2a⋅b=0，
即(−1)2+32=2(6−x)，
即x=1，
对于选项A，由题意可得：b=(1,2)，即选项A正确；
对于选项B，2a−b=(−2,6)−(1,2)=(−3,4)，
则|2a−b|= (−3)2+42=5，
即选项B错误；
对于选项C，a⋅b=−1×1+3×2=5，
又|a|= 10，|b|= 5，
则cs=a⋅b|a||b|=5 10× 5= 22，
则=45°，
即选项C正确；
对于选项D，向量a在向量b上的投影向量为a⋅b|b|b|b|=b=(1,2)，
即选项D正确．
故选：ACD．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量夹角的运算及投影向量的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量夹角的运算及投影向量的运算，属基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：f(0)=2csφ= 3⇒csφ= 32(φ∈[0,π]⇒φ=π6，选项A错误．
若函数y=f(x)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)，又φ∈[0,π]，
故φ=0或π，此时cs2φ=1，选项B正确．
若函数y=f(x)在[a,b]上单调⇒b−a≤T2=πω，选项C错误．
若φ=π2时，f(x)=2cs(ωx+π2)=−2sinωx在[−π3,π4]上单调⇒π4ω≤π2−π3ω≥−π2，选项D正确．
故选：BD．
利用余弦函数的性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查余弦函数的性质的应用，属于中档题．
11.【答案】BD
【解析】解：由向量三角不等式得，|a+b|+|a−b|≥|a+b−a+b|=2|b|=4，
又|a+b|+|a−b|2≤ (a+b)2+(a−b)22= (a)2+(b)2= 5，
故|a+b|+|a−b|≤2 5，
∴|a+b|+|a−b|的最小值为4，最大值为2 5．
故选：BD．
直接利用三角不等式求出结果．
本题考查的知识要点：三角不等式的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A，由题知，12|AB|=34|AC|=32，
设AE=12AB，AF=34AC，则|AE|=|AF|，
因为AD=12AB+34AC=AE+AF，
所以AD平分∠EAF，即AD平分∠BAC，
所以直线AD通过△ABC的内心，故A正确；
对于选项B，设△ABC外接圆的半径是R，
由 2OA+2OB+OC=0，得 2OA=−2OB−OC，
则有2⋅OA2=4OB2+OC2+4OB⋅OC，
即2R2=4R2+R2+4R2cs∠BOC，
化简得cs∠BOC=−34，设∠BOC=2θ，
则在等腰三角形BOC中，由cs2θ=1−2sin2θ，可得sinθ= 144，
又BC=2，所以R=OA=BC2sinθ=2 147，故B正确；
对于选项C，因为|2a+xb|2=4a2+4xa⋅b+x2b2
=4+4xcs120°+x2=x2−2x+4=(x−1)2+3，
故|2a+xb|取最小值时x=1，故C正确；
对于选项D，因为BA=OA−OB=(−3,−1)，BC=OC−OB=(−1−m,−m)，
又∠ABC为锐角，所以BA⋅BC>0，即3+3m+m>0，所以m>−34，
又当BA与BC同向共线时，有3m−(−1)×(−1−m)=0，即m=12，
故当∠ABC为锐角时，m的取值范围是m>−34且m≠12，故D错误．
故选：ABC．
选项A，由向量的线性运算及三角形内心的概念可判定；选项B，由三角形外心性质结合向量的线性运算及数量积运算即可判定；选项C，由数量积的性质结合二次函数可求得最值进行判定；选项D，由BA⋅BC>0且BA与BC不同向可判定．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量的线性运算，考查三角形的内心及外心性质，考查命题真假的判定，属中档题．
13.【答案】−2
【解析】解：∵f(x)=ex−e−x(x+1)(2x+a)为奇函数，g(x)=ex−e−x为奇函数，
∴h(x)=(x+1)(2x+a)=2x2+(a+2)x+a为偶函数，
∴a+2=0，
解得a=−2．
故答案为：−2．
利用奇函数×偶函数为奇函数，可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
14.【答案】 3
【解析】解：tan20°+4sin20°=sin20°+4sin20°cs20°cs20∘
=sin20°+2sin40°cs20∘
=sin20°+2sin60°−20°cs20∘
=sin20°+2 32cs20°−12sin20°cs20∘
= 3cs20°cs20∘= 3
故答案为： 3．
本题考查三角函数的恒等变换，属基础题
利用弦切互化公式及正弦的二倍角公式对原式进行变形，然后拆凑角利用sin40°=sin60°−20°，再利用两角差的正弦公式展开即可求解
15.【答案】 104
【解析】解：设△ABC的外接圆半径R=2，
∵AO=AB+2AC，
∴2AC=AO−AB=BO，
∴AC=12BO=12R=1，
取AC的中点M，则OM⊥AC.且A，B位于直线OM的同侧．
∴cs∠BOC=cs(90°+∠BOC)=−sin∠MOC=−MCOC=−14．
在△BOC中，BC2=22+22−2×2×2cs∠BOC=10．
∴BC= 10．
在△ABC中，由正弦定理可得：sin∠BAC=BC2R= 104．
故答案为： 104．
设△ABC的外接圆半径R=2，AO=AB+2AC，可得2AC=AO−AB=BO，AC=12BO=12R，取AC的中点M，利用垂径定理可得：OM⊥AC.且A，B位于直线OM的同侧．可得cs∠BOC=cs(90°+∠BOC)=−sin∠MOC.在△BOC中，利用余弦定理可得BC.在△ABC中，利用正弦定理可得：sin∠BAC．
本题考查了正弦定理、余弦定理、圆的性质、垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16.【答案】π12 [1− 32, 2]
【解析】解：令f(x)=sin(ωx+φ)= 32，得ωx+φ=π3+2kπ或ωx+φ=2π3+2kπ，k∈Z，
由题意知，|AB|=xB−xA=π6，且ωxA+φ=π3ωxB+φ=2π3，
两式相减得，ω(xB−xA)=π3，即ω⋅π6=π3，
所以ω=2，
又f(−π24)=0，所以sin(−π24⋅2+φ)=0，所以φ=π12+kπ，k∈Z，
因为|φ|<π2，所以φ=π12，即f(x)=sin(2x+π12)；
设y=f(x)在区间[t,t+π4]上的最大值与最小值的差为g(t)，
①当对称轴不在区间[t,t+π4]上时，函数f(x)在[t,t+π4]上单调，不妨设f(x)在[t,t+π4]上单调递增，
则g(t)=f(t+π4)−f(t)=sin[2(t+π4)+π12]−sin(2t+π12)=cs(2t+π12)−sin(2t+π12)= 2cs(2t+π3)≤ 2；
②当对称轴在区间[t,t+π4]上时，f(x)在对称轴上取得最大值1，其最小值为f(t+π4)或f(t)，
显然当对称轴经过区间[t,t+π4]的中点时，g(t)有最小值，此时有2×(t+π4)+t2+π12=π2+2kπ，k∈Z，解得t=π8+kπ，k∈Z，
所以f(t)=sin[2(π8+kπ)+π12]=sin(π3+2kπ)= 32，
所以g(t)的最小值为1− 32，
综上，g(t)的值域为[1− 32, 2]，即y=f(x)在区间[t,t+π4]上的最大值与最小值的差的取值范围为[1− 32, 2].
故答案为：π12；[1− 32, 2].
根据函数图象，结合|AB|=xB−xA=π6，f(−π24)=0，求得f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+π12)，设y=f(x)在区间[t,t+π4]上的最大值与最小值的差为g(t)，再分对称轴不在区间[t,t+π4]上和对称轴在区间[t,t+π4]上这两种情况，结合正弦函数的单调性与对称性，求解即可．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握利用函数图象求解析式的方法，正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)在△ABC中，依题意，−acsB2+bsinA=0，由正弦定理sinA⋅csB2=sinB⋅sinA，
又因为sinA≠0，因此csB2=sinB，即csB2=2sinB2csB2，
而B∈(0,π),csB2≠0，即有sinB2=12，则B2=π6，解得B=π3，
所以B=π3．
(2)选①，依题意，得sin2B+sin2C=sin2A+sinBsinC，
由正弦定理得b2+c2=a2+bc，由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=12，而A∈(0,π)，则A=π3，
由(1)知B=π3，因此△ABC为等边三角形，又b=10，
所以△ABC的面积S△ABC= 34b2=25 3．
选②，tan(A+3π4)=tanA+tan3π41−tanAtan3π4=tanA−11+tanA=2− 3，解得tanA= 3，而A∈(0,π)，则A=π3，
由(1)知B=π3，因此△ABC为等边三角形，又b=10，
所以△ABC的面积S△ABC= 34b2=25 3．
选③，由tanA=sinAcsA=3,sin2A+cs2A=1，显然A为锐角，解得sinA=3 1010,csA= 1010，
由正弦定理asinA=bsinB，得a=bsinAsinB=10×3 1010 32=2 30，
而sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB=3 1010×12+ 1010× 32=3 10+ 3020，
所以△ABC的面积S△ABC=12absinC=12×2 30×10×3 10+ 3020=15 3+15．
【解析】(1)利用诱导公式及正弦定理变形，再结合二倍角的正弦求解作答．
(2)选择①，利用正弦定理、余弦定理求出角A即可计算得解；选择②，利用和角的正切求出角A即可计算得解；选择③，求出角A，C的正弦及边a即可计算得解．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵a=(csα,sinα)，b=(−sinα,csα)，
∴a⋅b=−sinαcsα+sinαcsα=0，|a|=1，|b|=1，
∴|a+b|= (a+b)2= |a|2+2a⋅b+|b|2= 1+0+1= 2．
(2)m⋅n=( 3a+b)⋅(a+ 3b)= 3a2+4a⋅b+ 3b2=2 3，
|m|= ( 3a+b)2= 3a2+2 3a⋅b+b2= 3+1=2，
同理可得，|n|=2，
∴cs=m⋅n|m|⋅|n|=2 32×2= 32，
∴=π6，
故m，n的夹角为π6．
【解析】(1)由平面向量的坐标运算可得a⋅b=0，|a|=1，|b|=1，再由|a+b|= (a+b)2，展开进行运算，即可得解；
(2)根据cs=m⋅n|m|⋅|n|，再分别求解m⋅n，|m|，|n|，即可．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：(1)易知A=2，34T=5π12−(−π3)，解得T=π，所以ω=2πT=2，
故2×5π12+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=−π3+kπ，k∈Z，
又|φ|<π，故k=0时，φ=−π3即为所求，
故f(x)=2sin(2x−π3)，
f(x)的对称中心为(−π3+kπ,0)，k∈Z．
(2)易知g(x)=12f(x−π12)=sin[2(x−π12)−π3]=sin(2x−π2)=−cs2x，
要求g(x)的单调递减区间，只需−π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得−π2+kπ≤x≤kπ，k∈Z，令k=1可得函数g(x)的一个单调递减区间为[π2,π]，显然g(x)在[0,π2]单调递增，
故y=g(x)在x∈[π12,3π4]上的单调减区间为[π2,3π4]，
而g(π12)=−csπ6=− 32，g(π2)=1，g(3π4)=0，
故g(x)在x∈[π12,3π4]上的最小值为− 32，最大值为1．
【解析】(1)根据零点、最高点的坐标，结合图像求出A、最小正周期、ω的值，再令f(x)=0求出对称中心的坐标；
(2)根据图像变换的规律，即可求出g(x)的解析式，进而求出函数的单调减区间、最值．
本题考查三角函数的据图求式、以及三角函数的图像与性质，属于中档题．
20.【答案】解：以O为原点，OA为x轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
设OA=OB=1，则OA=(1,0)，OB=(12, 32)，
不妨设OC与x轴非负半轴的夹角为θ，则OC=(csθ,sinθ)(0≤θ≤π3)，

因为OC=xOA+yOB，所以csθ=x+12ysinθ= 32y，解得x=csθ− 33sinθy=2 33sinθ，
所以3x+y=3csθ− 33sinθ，在θ∈[0,π3]上单调递减，
所以当θ=0时，3x+y取得最大值，为3×1−0=3；
当θ=π3时，3x+y取得最小值，为3×12− 33× 32=1，
所以3x+y的取值范围是[1,3]．
【解析】以O为原点建立平面直角坐标系，设OA=OB=1，OC与x轴非负半轴的夹角为θ(θ∈[0,π3])，根据平面向量的线性坐标运算，用含θ的式子表示出3x+y，再结合三角函数的单调性，求其最值，即可得解．
本题主要考查平面向量的应用，熟练掌握平面向量的线性坐标运算，三角函数的单调性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为2c−b=2acsB，由正弦定理可得2sinC−sinB=2sinAcsB，
又因为sinC=sin(A+B)=sinAcsB+sinBcsA，所以sinB=2sinC−2sinAcsB=2csAsinB，
可得csA=12，由A∈(0,π)，可得A=π3．
(2)因为a=1，A=π3，由正弦定理bsinB=csinC=2 33，
可得b=2 33sinB，c=2 33sinC=2 33sin(2π3−B)，
可得b+c=2 33[sinB+sin(2π3−B)]=2 33[sinB+ 32csB+12sinB]= 3sinB+csB=2sin(B+π6)，
因为锐角三角形ABC中，所以0<2π3−B<π20所以sin(B+π6)∈( 32,1]可得b+c=2sin(B+π6)∈( 3,2],
故△ABC周长的取值范围为( 3+1,3]．
【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得csA=12，结合A∈(0,π)，可得A的值．
(2)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求b+c=2sin(B+π6)，由已知可得0<2π3−B<π20本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦公式以及正弦函数的性质等基础知识的应用，考查了基本运算能力和转化思想，属于中档题．
22.【答案】解：平面四边形ABDC中，对角线CB平分角∠ACD，CB与AD相交于点O，且AC=5，AD=7，CA⋅CD=−4．
(1)设∠ACD=α，在△ACD中，由余弦定理CA2+CD2−AD2=2CA⋅CDcsα，
又CA⋅CD=−4，
即|CA||CD|csα=−4．
即52+CD2−72=2⋅(−4)，解得CD=4．
csα=−15，sinα=2 65，
又对角线CB平分角∠ACD，csα=1−2sin2∠ACO=−15，解得：sin∠ACO=sin∠DCO= 155，
S△ACD=S△ACO+S△DCO，∴12CA⋅CDsinα=12CA⋅COsin∠ACO+12CO⋅CDsin∠DCO，
解得CO=8 109；
(2)在△ACD中，由正弦定理可得ACsin∠ADC=ADsin∠ACD⇒5sin∠ADC=72 65，解得sin∠ADC=2 67．
由于∠ADC为锐角，所以cs∠ADC=57，
因为BD=BC，所以∠BDC=∠BCD．
所以sin∠BDC=sin∠BCD= 155，cs∠BDC= 105．
在等腰△BDC中，cs∠BDC= 105=12CDBD=2BD，解得BD=BC= 10，
因为cs∠ADC=57，
所以sin∠ADB=sin(∠BDC−∠ADC)
=sin∠BDC cs∠ADC−cs∠BDC sin∠ADC
= 155×57− 105×2 67= 1535；
所以S△ABD=12DA⋅DB⋅sin∠ADB=12×7× 10× 1535= 62．
【解析】(1)根据条件解得CD的值，由二倍角公式求sin∠DCO和sin∠ACO，再由S△ACD=S△ACO+S△OCD，代入数值可计算CO；
(2)在△ACD中，由正弦定理得cs∠ADC=57，在△BCD中，由余弦定理得BD=BC= 10，结合sin∠ADB=sin(∠BDC−∠ACD)，代入三角形面积公式计算即可．
本题考查了三角形面积的计算，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．

2023-2024学年河北省保定市1+3联考高一（上）期中数学试卷（含解析）

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