福建省龙岩市新罗区龙岩莲东中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟）
一、单选题（每题4分，共40分）
1. 要使二次根式有意义，x必须满足（ ）
A. x≤2B. x≥2C. x＜2D. x＞2
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据二次根式的意义可知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，
因此可得x-2≥0，
解这个不等式可得x≥2．
故选B
2. 下列各曲线中不能表示是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】本题主要考查了函数的定义，根据定义即可判断即可，解题的关键是正确理解在坐标系中，对于的取值范围内的任意一点，通过这点作轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点，，对于的每一个值，都有唯一的值与其对应．
【解答】解：显然、、三选项中，都有唯一的值与之相对应；
选项中对于时有两个值，则不是的函数；
故选：．
3. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
4. 如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝4，则菱形ABCD的周长为（ ）
A. 48B. 32C. 16D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由三角形的中位线定理可得BC＝8，由菱形的性质可求出菱形ABCD的周长．
【详解】解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF＝BC，
∴BC＝2EF＝2×4＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝8，
∴菱形ABCD的周长＝32，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，利用中位线的性质求出菱形的边长是解题的关键．
5. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；B、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；C、由ABCD可得出∠BAO=∠DCO、∠ABO=∠CDO，结合OA=OC可证出△ABO≌△CDO（AAS），根据全等三角形的性质可得出AB=CD，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD是平行四边形；D、由ABCD、AD=BC无法证出四边形ABCD是平行四边形．此题得解．
【详解】解：A、∵ABCD、AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
B、∵ABCD、ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形；
C、∵ABCD，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（AAS），∴AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形；
D、由ABCD、AD=BC，则四边形ABCD可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD是平行四边形是解题的关键．
6. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 矩形的对角线相等
C. 菱形的对角线互相垂直
D. 正方形的对角线互相垂直且相等
【答案】A
【解析】
【分析】根据逆命题的定义，写出逆命题，再根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理，一一判断即可．
【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分的逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，本选项符合题意．
B、矩形的对角线相等的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意．
C、菱形的对角线互相垂直的逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意．
D、正方形的对角线互相垂直且相等的逆命题：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题，本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查命题与定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定和性质，属于中考常考题型．
7. 小明从家到学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，小明从家到学校行驶路程s（m）与时间t（min）的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】小明从家到学校，先匀速步行到车站，因此S随时间t的增长而增长，
等了几分钟后坐上了公交车，因此时间在增加，S不增长，
坐上了公交车，公交车沿着公路匀速行驶一段时间后到达学校，因此S又随时间t的增长而增长，
故选：C．
8. 顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（ ）
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 梯形
【答案】B
【解析】
【分析】如图，根据三角形中位线定理推出，，则这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，证出，可得这个四边形为矩形．
【详解】解：如图，四边形中，E、F、G、H分别为各边的中点，连接、、、，
∵点E、F、G、H分别为各边的中点，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形；
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定以及矩形的判定，正确掌握知识点是解题的关键．
9. 下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的证明，先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【详解】解：把斜边定为c，
A、∵，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、根据图形只能说明，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、∵，
∴整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
故选C．
10. 如图，在中，，，，E为斜边上的一动点，以、为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，过点C作于F，
中，，，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当时，有最小值，
此时：，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识，利用垂线段最短解决问题是本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 已知菱形的两条对角线长分别为3和4，则菱形的面积为______．
【答案】6
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵菱形的两条对角线长分别为3和4，
∴菱形的面积为
故答案为：6
【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的面积通常有两种求法，可以用底乘以高，也可以用对角线乘积的一半求解，计算时要根据具体情况灵活运用．
12. 若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k=_______．
【答案】2
【解析】
【分析】由点（1，2）在正比例函数图象上，根据函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k值．
【详解】∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），
∴2=k×1，即k=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出2=k×1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征求出一次函数的系数是关键．
13. 已知长方形的周长为20，设长与宽分别为x，y，则y与x的关系式为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，，整理即可．
【详解】解：由题意知，，整理得，
∴y与x的关系式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了用关系式表示变量间的关系．解题的关键在于理解题意．
14. 如图，若直线，A，D在直线m上，B，E在直线n上，，，，的面积为6，则直线m与n之间的距离为______．
【答案】4
【解析】
【分析】先根据平行四边形的判定与性质可得，从而可得，再根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：直线，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
设直线与之间的距离为，
的面积为6，
，
解得，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
15. 如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是______．
【答案】
【解析】
【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短．
【详解】解：将台阶展开成平面图形：
在中，，，
，
其爬行的最短长度，
故答案为：．
16. 如图，在平行四边ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是_______（把所有正确结论的序号都填在横线上）
（1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）SΔBEC=2SΔCEF；（4）∠DFE=3∠AEF
【答案】①②④
【解析】
【详解】解：①∵F是AD的中点
∴AF=FD
∵在▱ABCD中，AD=2AB
∴AF=FD=CD
∴∠DFC=∠DCF
∵
∴∠DFC=∠FCB
∴∠DCF=∠BCF
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确
延长EF，交CD延长线于M
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴∠A=∠MDF
∵F为AD中点
∴AF=FD
在△AEF和△DFM中
∴△AEF≌△DMF（ASA）
∴FE=MF，∠AEF=∠M
∵CE⊥AB
∴∠AEC=90°
∴∠AEC=∠ECD=90°
∵FM=EF
∴FC=FM，故②正确
③∵EF=FM
∴S△EFC=S△CFM
∵MC＞BE
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误
④设∠FEC=x，则∠FCE=x
∴∠DCF=∠DFC=90°-x
∴∠EFC=180°-2x
∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x
∵∠AEF=90°-x
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
三、解答题
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，然后再按照二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）先根据二次根式的性质进行化简，然后再按照二次根式乘除运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
原式
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则是解题的关键．
18. 如图，中，E、F是对角线上两点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质，证明即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19. 已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1）和B（3，﹣1）．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）在图中画出该函数图象，并求该图象与坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）图见解析，2．
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式y＝kx+b，将点（1，1）和（3，﹣1）代入可得出方程组，解出即可得出k和b的值，即得出了函数解析式．
（2）先运用两点法确定函数的图象，再求出与x轴及y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，1）和B（3，﹣1），
则，
解得：，
∴y关于x的函数解析式y＝﹣x+2；
（2）图象如图所示：
当x＝0时，y＝2，即OA＝2，
当y＝0时，x＝2，即OB＝2，
∴S△AOB＝OA•OB＝，
该图象与坐标轴围成的三角形的面积为2．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，以及直线与坐标轴围成的图形的面积，掌握坐标与线段的长度的联系是解题的关键.
20. 已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析
【解析】
【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=AF．
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF=CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
21. 小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是______米．
（2）小明书店停留了______分钟．
（3）本次上学途中，小明一共行驶了______米，一共用了______分钟．
（4）在整个上学的途中在______（时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是多少米分？
【答案】（1）1500；
（2）4； （3）2700，14；
（4）12分钟至14分钟，450米/分钟，
【解析】
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到小明家到学校的路程；
（2）根据函数图象可以得到小明在书店停留的时间；
（3）根据函数图象中数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程和时间；
（4）根据题意和函数图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题．
【小问1详解】
由图象可得，小明家到学校的路程是1500米，
故答案为：1500；
【小问2详解】
由图象可得，小明在书店停留了：12-8=4（分钟），
故答案为：4；
【小问3详解】
本次上学途中，小明一共行驶了：1500+（1200-600）×2=2700（米），一共用了14（分钟），
故答案为：2700，14；
【小问4详解】
由图象可知，
在整个上学的途中，12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：（1500-600）÷（14-12）=450米/分钟，
故答案为：12分钟至14分钟，
【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22. 如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，．
（1）求证：是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）证是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，即可解决问题．
【小问1详解】
证明： ，，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形，
，
，
是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
由（1）可知，四边形是矩形，
，，
，
即的长为．
23. 阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）填空：“方法1”依据的一个数学定理是______．
（2）根据“方法2”的操作过程，证明；
（3）不用直角尺，你还有什么方法作出垂线吗？
【答案】（1）勾股定理逆定理
（2）见详解 （3）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，尺规作图一过一点作已知直线的垂线等方法，熟练堂握基本作图方法是解题的关键；
（1）利用勾股定理的逆定理可得答案；
（2）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得答案；
（3）根据过直线上一点作垂线的步骤即可画出图形．
【小问1详解】
“方法1”依据的一个数学定理是勾股定理逆定理，
故答案为：勾股定理逆定理；
【小问2详解】
证明：根据作图，，
又
，
，
【小问3详解】
以点C为圆心，任意长度为半径画弧与交于两点，再分别以这两点为圆心，任意长为半径画弧交于E、F两点，连接即可；
如图，直线即为所求作的的垂线．

24. 如图1，已知正方形，点，分别在，上，且．

（1）求证：．
（2）如图2，点在的延长线上，且．
①求的度数；
②求证：．
【答案】（1）见解析 （2）①，②见解析
【解析】
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）①延长至，使，连接，可得，进而可得为等腰直角三角形，由此可得；
②由，可得，结合为等腰直角三角形，即可求解．
【小问1详解】
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
①解：如图3，延长至，使，连接，

四边形是正方形，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
，，
，
②，，
，
又，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
25. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，且AD＝12cm，AB＝8cm，DC＝10cm，若动点P从A点出发，以每秒2cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：
（1）BC＝ cm；
（2）当t＝ 秒时，四边形PQBA成为矩形．
（3）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）18；（2）；（3）存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒．
【解析】
【分析】（1）作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的长，根据勾股定理可以计算EC的长度，根据BC＝BE+EC即可求出BC的长度；
（2）当PA＝BQ时，四边形PQBA为矩形，根据PA＝QB列出关于t的方程，解方程即可；
（3）因为三边中，每两条边都有相等的可能，所以应考虑三种情况．结合路程＝速度×时间求得其中的有关的边，运用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求解．
【详解】解：根据题意得：PA＝2t，CQ＝3t，则PD＝AD﹣PA＝12﹣2t，
（1）如图，过D点作DE⊥BC于E，则四边形ABED为矩形，DE＝AB＝8cm，AD＝BE＝12cm，
在直角△CDE中，∵∠CED＝90°，DC＝10cm，DE＝8cm，
∴EC＝＝6cm，
∴BC＝BE+EC＝18cm．
故答案为18；
（2）∵AD∥BC，∠B＝90°
∴当PA＝BQ时，四边形PQBA为矩形，
即2t＝18﹣3t，
解得t＝秒，
故当t＝秒时四边形PQBA为矩形；
故答案为
（3）△DQC是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当QC＝DC时，即3t＝10，
∴t＝；
②当DQ＝DC时，＝6，
∴t＝4；
③当QD＝QC时，3t•＝5，
∴t＝．
故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此时t的值为秒或4秒或秒．
【点睛】此题考查了直角梯形的性质、矩形的判定、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
×年×月×日星期日
没有直角尺也能作出直角
上个周末，李芳到书店去阅读，读到这样一个故事：如图①，木工张师傅犯难了，他有一块如图②所示的四边形木地板．他已经在木地板上画出一条线，现根据做工的需要，要过上的一点C，作出的垂线，我们知道木工师傅都是用直角尺作垂线的，可他手头没有直角尺，怎么办呢？
到了周一下午，李芳和数学社团的同学们对这个问题进行探究：
方法1：如图②，利用刻度尺在上量出．然后分别以D，C为圆心，以为半径画圆弧，两弧相交于点P，作直线，则必为．
方法2：如图③，用铅笔在刻度尺上标注E，F两点．把刻度尺斜放在木板上，使点E与点C重合，点F在木板上的对应位置记为点D，保持点F不动，将刻度尺绕点F旋转，使E落在上，将点E的对应位置记为点N，连接并延长，在延长线上截取，将到点P，作直线，则必为．

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？