福建省龙岩市长汀县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A. x≥3B. x≤3C. x＞3D. x＜3
【答案】A
【解析】
【详解】解：由题意得．
解得x≥3，
故选：A．
2. 化简的结果是（ ）
A. 2B. C. 2或D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质；
根据进行化简即可．
【详解】解：，
故选：A．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：A．不是同类二次根式，不能进行加减计算，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D正确；
故选：D
4. 能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AD//BC，AB=CDB. ∠A=∠B，∠C=∠D
C. ∠A=∠C，∠B=∠DD. AB=AD，CB=CD
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理依次确定即可.
【详解】A. AD//BC，AB=CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B. ∠A=∠B，∠C=∠D，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C. ∠A=∠C，∠B=∠D，能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D. AB=AD，CB=CD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故选：C.
【点睛】此题考查平行四边形的判定定理，熟记定理内容即可正确解答.
5. 用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸，如图，，D为边的中点，A，B对应的刻度为1和6，则的长为（ ）
A. cmB. cmC. 2cmD. cm
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
∵，D为边的中点，
∴
故选：B
6. 下列命题的逆命题成立的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分
B. 对顶角相等
C. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
D. 正方形的四条边相等
【答案】A
【解析】
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，特殊四边形的判定和性质及绝对值的性质，解题的关键是会写出一个命题的逆命题．
【详解】解：A、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，符合题意；
B、逆命题为：相等的角是对顶角，不成立，不符合题意；
C、逆命题为：如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，不成立，不符合题意；
D、逆命题为：四条边相等的四边形是正方形，不成立，不符合题意，
故选：A．
7. 如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出的度数，利用三角形内角和求出；
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
根据折叠可得，
故选：B．
8. 已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．
【详解】解：由图知：，
，，
原式
．
故选：．
9. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 10 cm
【答案】B
【解析】
【详解】∵直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm ∴根据勾股定理可知：BA=√62+82=10
∵A,B关于DE对称，∴BE=10÷2=5
10. 某同学的卧室地面形状是一个如图所示的四边形，现在量得，若点到的距离为4米，则该同学的卧室地面的面积为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，正方形的判定．
过点B作于点E，则，，过点B作，交的延长线于点F，则，从而，四边形是矩形，，因此，得到，进而通过“”证明，得到，矩形是正方形，．
【详解】过点B作于点E，则，，
过点B作，交的延长线于点F，则
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，即，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∵，
∴．
故选：C
二、填空（本大题共6题，每题4分，共24分）
11. 当时，二次根式的值为____________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：3．
12. 如图，在中，，则______．

【答案】##55度
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得，再根据补角定义即可得的度数．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，

故答案是：
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握“平行四边形的对角相等”．
13. 如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________．
【答案】20
【解析】
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE+DE=AD=BC=6，
∴AE+2=6，
∴AE=4，
∴AB=CD=4，
∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，
故答案为20．
14. 若，则________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据二次根式非负性得到x-3≥0且3-x≥0，可得x值，从而可得y值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴x-3≥0且3-x≥0，
∴x=3，
∴y=4，
∴x+y=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了二次根式的非负性，掌握二次根式被开方数大于或等于0是解题的关键．
15. 观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决问题：规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了求实数的近似值，掌握无理数的估算方法并能熟练运算是解题关键．
的整数部分为3，的整数部分则为4．
【详解】解：∵，即，
∴的整数部分为3，的整数部分则为4．
表示实数的整数部分，
∴．
故答案为：4．
16. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且．若点P在对角线BD上移动，则的最小值是 _________ ．
【答案】
【解析】
【详解】解：过点E作EM垂直BD，交BC于点M，连接AM交BD与点P，
根据正方形的对称性可得点E、点M关于BD对称，此时AP+EP的值最小，
∵BE=1，
∴BM=1，
根据勾股定理可求得AM= ，
由AP+EP=AM即可得PA+PE的最小值是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先二次根式乘除法则计算，再化简计算．
【详解】
；
18. 已知：，，求：
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）3 （2）13
【解析】
【分析】本题考查了二次根数的混合运算，完全平方公式，平方差公式，正确的计算是解题的关键．
（1）根据平方差公式进行计算即可求解；
（2）先计算，根据完全平方公式变形，结合（1）的结论，代入求值即可求解．
小问1详解】
解：∵，，
∴
；
【小问2详解】
∵，，
∴
又
∴
．
19. 如图，在平行四边形中，点，分别在上，点，在上，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各性质是解题的关键．根据平行四边形的对边平行推出，由此证明，从可证，即可得证．
【详解】四边形是平行四边形，
．
．
，
（SAS），
．
20. 如图，从正方形中裁去两个面积分别为和的正方形和正方形．
（1）正方形的边长为______，正方形的边长为______；
（2）求空白部分的总面积．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据正方形的面积计算公式即可求解；
（）根据空白部分的总面积长方形的面积长方形的面积，进行计算即可求解；
本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵正方形和正方形的面积分别为和，
∴正方形的边长为，
正方形的边长为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：空白部分的总面积长方形的面积长方形的面积
，
，
，
∴空白部分的总面积为．
21. 如图，在平行四边形中，连接对角线，过点B作于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，垂足为F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）问所作的图形中，连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】题目主要考查垂线的作法及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据垂线的作图方法作图即可；
（2）根据平行四边形的性质得出，．再由垂直的定义及平行线的判定确定，根据全等三角形的判定和性质得出，利用平行四边形的判定即可证明．
【小问1详解】
解：如图，为所作；
【小问2详解】
证明： ∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴．
．
．
∴．
在和中：
．
∴．
，．
∴四边形是平行四边形．
22. 雨伞是我们常用的雨具，如图是一把非折叠式雨伞，已知伞的轴杆AB=40cm，龙骨BF=32cm，支撑杆DC=14cm，支撑点D、E在龙骨的中点，C点在轴杆上滑动，当雨伞撑开时，AC=28cm，求此时雨伞的宽度．（撑开时龙骨的弯曲忽略）
【答案】
【解析】
【分析】连接DE交BC于H，在中，根据勾股定理求得DH，DE，再根据DE是的中位线即可求得雨伞的宽度．
【详解】解：连接DE交BC于H，连接FG，如图，
根据对称可得：点D和点E关于AB对称，
∴，
∵点D是BF中点，
∴，
设BH=x cm，在中，根据勾股定理得：
，
解得：，
∴，
∴，
∵点D，点E分别是BF，BC的中点，
∴DE是的中位线，
∴（cm）
所以，此时雨伞的宽度是 cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，三角形的中位线，抓住DH是和的公共边，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
23. 已知：如图，在ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点．
（1）若DE=2，则BC= ；若∠ACB=70°，则∠AED= °；
（2）连接CD和BE交于点O，求证：CO=2DO．
【答案】（1）4，70
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理即可得到结论；
（2）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是三角形的中位线，
∴BC=2DE=4，DEBC，
∴∠AED=∠ACB=70°，
故答案：4，70；
【小问2详解】
取BO、CO中点G、H，分别连接DG，GH，EH；
则GHBC，GH=BC，
∵DEBC，DE=EC，
∴DEGH，DE=GH，
∴四边形DGHE为平行四边形，
∴DO=OH=HC，
即CO=2DO．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
24. 如图,在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EFBC分别交∠ACB、外角∠ACD的平分线于点E，F．
(1)若CE=8，CF=6，求OC的长．
(2)连接AE，AF．问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）5；（2）四边形AECF是矩形，理由详见解析．
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；
（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】解：（1）证明：∵EF交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∵MNBC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
∴∠ECF=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF=，
∴OC=OE=EF=5；
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如图所示：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点睛】本题考查矩形的判定、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质，属于探究型问题，综合性较强．
25. 根据项目素材，探索解决问题．
【答案】项目一： 见解析；项目二：当为直角三角形斜边上的高时，或为直角三角形斜边上的中线时，为的“完美线”；理由见解析；项目三：或1
【解析】
【分析】（1）根据完美线的定义作图即可；
（2）根据完美线的定义，结合直角三角形的性质分两种情况，当为直角三角形斜边上的高时，当为直角三角形斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可；
（3）分两种情况，当为直角三角形斜边上的高时，当为直角三角形斜边上的中线时，分别画出图形，进行解答即可．
【详解】项目一：如图，过点C画，为的“完美线”
项目二：当为直角三角形斜边上的高时，如图所示：
∵，
∴，，
∴，
同理可得：，
∴为的“完美线”；
当为直角三角形斜边上的中线时，如图所示：
∵为直角三角形斜边上的中线，
∴，
∴，，
∴为的“完美线”；
综上分析可知，当为直角三角形斜边上的高时，或为直角三角形斜边上的中线时，为的“完美线”；
项目三：∵在中，，，，
∴，，，
当为直角三角形斜边上的高时，如图所示：
∵，，
∴，
根据折叠可知，，，
∴，
∴A、D、三点共线，
∴；
当为直角三角形斜边上的中线时，如图所示：
∵为直角三角形斜边上的中线，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
根据折叠可知，，，
∴，
∴为菱形，
∴，，，
∴，
∴；
综上分析可知，或1．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出图形，注意进行分类讨论．
项目主题
如何剪出直角三角形的完美线？
项目背景
新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”．在学习完特殊的平行四边形后，某校组织了该次项目式学习．
项目素材
在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”．
问题解决
项目一
操作
如图，有一张直角三角形纸片，，，图1中的是完美线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度数．
项目二
探究
如图，在直角三角形纸片中，，过点C剪一刀，剪痕与交于点D．你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由．
项目三
拓展
在中，，，，的“完美线”与交于点D，将沿“完美线”翻折得到，求的长度．