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福建省龙岩市上杭县东南片区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题.（原卷版+解析版）
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（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、单选题（每小题4分，共10小题40分）
1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、不是最简二次根式，不符合题意；
C、不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 4，4，5C. 6，8，11D. 7，24，25
【答案】D
【解析】
【分析】将两短边的平方相加，与最长边的平方进行比较，由此即可得出结论．
【详解】解：A、∵22+32＝13，42＝16，13≠16，
∴以2、3、4为边长的三角形不是直角三角形，不符合题意；
B、∵42+42＝32，52＝25，32≠25，
∴以4、4、5为边长的三角形不是直角三角形，不符合题意；
C、∵62+82＝100，112＝121，100≠121，
∴以6、8、11为边长的三角形不是直角三角形，不符合题意；
D、∵72+242＝625，252＝625，625＝625，
∴以7、24、25为边长的三角形是直角三角形，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．
3. 关于四边形ABCD：
①两组对边分别相等；
②一组对边平行且相等；
③一组对边平行且另一组对边相等；
④两条对角线相等．以上四种条件中，
可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）．
A. ①②③④B. ①③④C. ①②D. ③④
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：此题①②，连接对角线，根据所给条件都可以通过证三角形全等得到内错角相等，从而得到两组对边分别平行，是平行四边形；而③④中，等腰梯形也具备③④所给条件，并不是平行四边形，所以①②可以判定四边形ABCD是平行四边形，故选C．
考点：平行四边形的判定．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法，二次根式的性质，二次根式的除法进行计算即可求解．
【详解】解：A. 与，不是同类二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. 与，不是同类二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质，二次根式的除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
5. 如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （ ）
A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
【答案】B
【解析】
【详解】解：如图，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5cm，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3cm，
∴EC=BC-BE=5-3=2cm．
故选B．
6. 已知RtABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则RtABC的面积是（ ）
A. 24cm2B. 36cm2C. 48cm2D. 60cm2
【答案】A
【解析】
【分析】根据∠C＝90°确定直角边为，对式子两边平方，再根据勾股定理得到的值，即可求解．
【详解】解：根据∠C＝90°确定直角边为，∴
∵
∴，即
∴
∴
故选A
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定的值．
7. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ）
A. B. 0.8C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，由勾股定理求出，即可得出的长．
详解】解：如图，连接，则，
由勾股定理可得，中，，
又，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出DE是解决问题的关键．
8. 一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（ ）
A. 5米B. 7米C. 8米D. 9米
【答案】C
【解析】
【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB，求出AB即可解决问题．
【详解】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米，
∴（米），
∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米），
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确画出图形，运用勾股定理解决问题．
9. 如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（ ）
A. 3cmB. 4cmC. 4.8cmD. 5cm
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质得出BD＝6cm，由菱形的面积得出AC＝8cm，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，
∴AC＝8cm，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4cm，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10. 如图，正方形中，对角线交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交于点，连接，给出下列结论，其中正确的个数有（ ）．
①； ②
③四边形是菱形； ④．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数，从而求得；②证得，由即可得；③由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，由、即可得证；④设，先求得，从而知．
【详解】解：四边形是正方形，
，
由折叠的性质可得：，
，故①错误．
由折叠的性质可得：，，
在和中，
，
，
，
在中，，
，故②错误；
，
，
又、，
，
四边形是菱形，故③正确；
设，
四边形是菱形，且，
，
，
又，
，
，
，，
，即，
，故④正确；
故选：B．
【点睛】此题考查的是正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11. 使二次根式有意义的x的取值范围是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
解得，，
故答案为：．
12. 在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是_____．（只要填写一种情况）
【答案】AB＝CD或AD∥BC(答案不唯一)
【解析】
【分析】直接利用平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或者两组对边分别相等的四边形是平行四边形，进而得出答案．
【详解】解：∵在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，
还需添加一个条件，这个条件可以是：AB＝CD或AD∥BC等．
故答案为：AB＝CD或AD∥BC等．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
13. 若实数满足，且恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为_____．
【答案】或．
【解析】
【分析】利用非负数的性质求出，再分情况求解即可．
【详解】，
∴，
，
①当是直角边时，
则该直角三角形的斜边，
②当是斜边时，则斜边为，
故答案为或．
【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________
【答案】##
【解析】
【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：根据勾股定理，，
，
，
∵，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D为AB的中点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．
15. 如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于_______．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据正方形的性质，作点E关于AC的对称点G，则点G在AD上，
所以PE=PG，
由三角形的三边关系可知，
PE+PF=PG+PF≤GF，
当GF⊥BC时，GF最小，最小值是AB的长，
因为正方形ABCD的面积是2，
所以，
所以PE+PF的最小值是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了轴对称，利用轴对称图形将在定直线同侧的两条线段转化到定直线的异侧，再根据三角形的两边之和大于第三边，当且仅当三点共线时等号成立，确定这两条线段之和的最小值.
16. 如图，正方形ABCD边长为4，对角线AC上有一动点P，过P作PE⊥PC于E，PF⊥AB于F，连接EF，则EF的最小值为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】由垂线段最短可得当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，可证四边形BEPF是矩形，可得FE＝BP，即EF的最小值为BP的最小值为2．
【详解】解：当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC于点P，
∵正方形ABCD边长为4，
∴BP＝BD＝×4＝2，
∵PE⊥BC，PF⊥AB，AB⊥BC，
∴四边形BEPF是矩形，
∴FE＝BP，
∴EF的最小值为BP的最小值为2，
故答案为：2．
点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17. 计算：÷.
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可计算；
【详解】解：原式＝ ﹣ +
＝
＝．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行并即可；在二次根式的混合运算中，如果能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往可以事半功倍；
18. 如图，在中，点E，F分别在AD，BC上，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先得到AE∥FC，而AE=CF，所以AFCE是平行四边形，即可证明．
【详解】解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】.
【解析】
【分析】利用完全平方公式，平方差公式和整式的乘法计算得出结果，进一步化简代入求值即可．
【详解】原式=4x2+4x+1+x2−4−4x2−4x
=x2−3；
当x=时 ，
原式=()2−3=−3= ．
【点睛】此题考查整式的混合运算，涉及完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式及二次根式的乘方等知识，注意正确利用计算公式先计算化简，再代入求得数值即可．
20. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h（约为19.4m/s）．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方40m的C处（即AC＝40m），过了2s后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m，问：这辆小汽车超速了吗？
【答案】这辆小汽车没有超速
【解析】
【分析】利用勾股定理先求得小汽车形式的路程BC，再利用路程、速度、时间之间的而关系求得小汽车实际形式的速度，与限速比较即可．
【详解】在Rt△ABC中，AC＝40m，AB＝50m；
据勾股定理可得：BC＝＝＝30（m）
小汽车的速度为v＝＝15（m/s），
∵15m/s＜19.4m/s；
∴这辆小汽车没有超速行驶．
答：这辆小汽车没有超速了
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，把实际问题转化为数学模型是解题的关键．
21. 图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）画一个边长均为整数等腰三角形，且面积等于12；
（2）画一个直角三角形，且三边长为，，5，并直接写出这个三角形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，5
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理得到3、4、5得等腰三角形的腰为整数5，再连接图形即可得到满足条件的等腰三角形；
（2）根据勾股定理得到：直角边为1与2斜边为，直角边为2与4的斜边为2，再连接图形即可得到满足条件的三角形，利用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形再利用面积公式求出答案即可.
【详解】解：（1）如图1所示，即为所求：
（2）如图2所示，即为所求：
∵，
∴△DEF是直角三角形，
∴.
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，熟练掌握一些无理数线段的作图方法是解题的关键.
22. 有一块四边形草地（如图），测得，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形草地的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，
（1）连接，由等边三角形的判定证得是等边三角形，得到，再由勾股定理的逆定理证得，即可求得；
（2）过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论．
正确作出辅助线证得是等边三角形是解决问题的关键．
【小问1详解】
解：连接，
，．
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
；
【小问2详解】
过作于，
，
，
，
四边形草地的面积，
答：四边形草地的面积为．
23. 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）菱形
【解析】
【详解】分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
详证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
（2）如图，连接AC，
四边形AECF是菱形．
理由：在正方形ABCD中，
OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
24. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）6.5．（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由见详解；
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长．
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6．
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴EO=CO，FO=CO．
∴OE=OF．
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°．
∵CE=12，CF=5，
∴．
∴OC=EF=6.5．
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
25. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F，
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；
(2)根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；
(3)首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠DEP，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE．
【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
又∵ PB=PB，
∴△ABP ≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
(2)解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DCP=∠DEP，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠DEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．
（考试时间：120分钟，满分：150分）
一、单选题（每小题4分，共10小题40分）
1. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、不是最简二次根式，不符合题意；
C、不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D.
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 4，4，5C. 6，8，11D. 7，24，25
【答案】D
【解析】
【分析】将两短边的平方相加，与最长边的平方进行比较，由此即可得出结论．
【详解】解：A、∵22+32＝13，42＝16，13≠16，
∴以2、3、4为边长的三角形不是直角三角形，不符合题意；
B、∵42+42＝32，52＝25，32≠25，
∴以4、4、5为边长的三角形不是直角三角形，不符合题意；
C、∵62+82＝100，112＝121，100≠121，
∴以6、8、11为边长的三角形不是直角三角形，不符合题意；
D、∵72+242＝625，252＝625，625＝625，
∴以7、24、25为边长的三角形是直角三角形，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键．
3. 关于四边形ABCD：
①两组对边分别相等；
②一组对边平行且相等；
③一组对边平行且另一组对边相等；
④两条对角线相等．以上四种条件中，
可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）．
A. ①②③④B. ①③④C. ①②D. ③④
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：此题①②，连接对角线，根据所给条件都可以通过证三角形全等得到内错角相等，从而得到两组对边分别平行，是平行四边形；而③④中，等腰梯形也具备③④所给条件，并不是平行四边形，所以①②可以判定四边形ABCD是平行四边形，故选C．
考点：平行四边形的判定．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法，二次根式的性质，二次根式的除法进行计算即可求解．
【详解】解：A. 与，不是同类二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. 与，不是同类二次根式，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法，二次根式的性质，二次根式的除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
5. 如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于 （ ）
A. 1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm
【答案】B
【解析】
【详解】解：如图，
∵AE平分∠BAD交BC边于点E，
∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5cm，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3cm，
∴EC=BC-BE=5-3=2cm．
故选B．
6. 已知RtABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则RtABC的面积是（ ）
A. 24cm2B. 36cm2C. 48cm2D. 60cm2
【答案】A
【解析】
【分析】根据∠C＝90°确定直角边为，对式子两边平方，再根据勾股定理得到的值，即可求解．
【详解】解：根据∠C＝90°确定直角边为，∴
∵
∴，即
∴
∴
故选A
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定的值．
7. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长为（ ）
A. B. 0.8C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，由勾股定理求出，即可得出的长．
详解】解：如图，连接，则，
由勾股定理可得，中，，
又，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，由勾股定理求出DE是解决问题的关键．
8. 一根旗杆在离地面3米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部4米处，旗杆折断之前的高度是（ ）
A. 5米B. 7米C. 8米D. 9米
【答案】C
【解析】
【分析】如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB，求出AB即可解决问题．
【详解】解：如图，由题意，AC⊥BC，AC=3米，BC=4米，旗杆折断之前的高度高度就是AC+AB．
在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3米，BC=4米，
∴（米），
∴旗杆折断之前的高度高度=AC+AB=3+5=8（米），
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确画出图形，运用勾股定理解决问题．
9. 如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（ ）
A. 3cmB. 4cmC. 4.8cmD. 5cm
【答案】B
【解析】
【分析】由菱形的性质得出BD＝6cm，由菱形的面积得出AC＝8cm，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵BD＝6cm，S菱形ABCD═AC×BD＝24cm2，
∴AC＝8cm，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝AC＝4cm，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10. 如图，正方形中，对角线交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后折痕分别交于点，连接，给出下列结论，其中正确的个数有（ ）．
①； ②
③四边形是菱形； ④．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数，从而求得；②证得，由即可得；③由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，由、即可得证；④设，先求得，从而知．
【详解】解：四边形是正方形，
，
由折叠的性质可得：，
，故①错误．
由折叠的性质可得：，，
在和中，
，
，
，
在中，，
，故②错误；
，
，
又、，
，
四边形是菱形，故③正确；
设，
四边形是菱形，且，
，
，
又，
，
，
，，
，即，
，故④正确；
故选：B．
【点睛】此题考查的是正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11. 使二次根式有意义的x的取值范围是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
解得，，
故答案为：．
12. 在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是_____．（只要填写一种情况）
【答案】AB＝CD或AD∥BC(答案不唯一)
【解析】
【分析】直接利用平行四边形的判定方法一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或者两组对边分别相等的四边形是平行四边形，进而得出答案．
【详解】解：∵在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，
还需添加一个条件，这个条件可以是：AB＝CD或AD∥BC等．
故答案为：AB＝CD或AD∥BC等．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
13. 若实数满足，且恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为_____．
【答案】或．
【解析】
【分析】利用非负数的性质求出，再分情况求解即可．
【详解】，
∴，
，
①当是直角边时，
则该直角三角形的斜边，
②当是斜边时，则斜边为，
故答案为或．
【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14. 如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为AB的中点，则线段CD的长为________
【答案】##
【解析】
【分析】根据勾股定理列式求出AB、BC、AC，再利用勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：根据勾股定理，，
，
，
∵，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D为AB的中点，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，勾股定理逆定理的应用，判断出△ABC是直角三角形是解题的关键．
15. 如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+PF的最小值等于_______．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据正方形的性质，作点E关于AC的对称点G，则点G在AD上，
所以PE=PG，
由三角形的三边关系可知，
PE+PF=PG+PF≤GF，
当GF⊥BC时，GF最小，最小值是AB的长，
因为正方形ABCD的面积是2，
所以，
所以PE+PF的最小值是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了轴对称，利用轴对称图形将在定直线同侧的两条线段转化到定直线的异侧，再根据三角形的两边之和大于第三边，当且仅当三点共线时等号成立，确定这两条线段之和的最小值.
16. 如图，正方形ABCD边长为4，对角线AC上有一动点P，过P作PE⊥PC于E，PF⊥AB于F，连接EF，则EF的最小值为 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】由垂线段最短可得当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，可证四边形BEPF是矩形，可得FE＝BP，即EF的最小值为BP的最小值为2．
【详解】解：当点P是正方形对角线AC和BD的交点时，此时BP最小，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC于点P，
∵正方形ABCD边长为4，
∴BP＝BD＝×4＝2，
∵PE⊥BC，PF⊥AB，AB⊥BC，
∴四边形BEPF是矩形，
∴FE＝BP，
∴EF的最小值为BP的最小值为2，
故答案为：2．
点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，矩形的判定与性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17. 计算：÷.
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可计算；
【详解】解：原式＝ ﹣ +
＝
＝．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行并即可；在二次根式的混合运算中，如果能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往可以事半功倍；
18. 如图，在中，点E，F分别在AD，BC上，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先得到AE∥FC，而AE=CF，所以AFCE是平行四边形，即可证明．
【详解】解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF=CE．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】.
【解析】
【分析】利用完全平方公式，平方差公式和整式的乘法计算得出结果，进一步化简代入求值即可．
【详解】原式=4x2+4x+1+x2−4−4x2−4x
=x2−3；
当x=时 ，
原式=()2−3=−3= ．
【点睛】此题考查整式的混合运算，涉及完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式及二次根式的乘方等知识，注意正确利用计算公式先计算化简，再代入求得数值即可．
20. “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h（约为19.4m/s）．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方40m的C处（即AC＝40m），过了2s后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为50m，问：这辆小汽车超速了吗？
【答案】这辆小汽车没有超速
【解析】
【分析】利用勾股定理先求得小汽车形式的路程BC，再利用路程、速度、时间之间的而关系求得小汽车实际形式的速度，与限速比较即可．
【详解】在Rt△ABC中，AC＝40m，AB＝50m；
据勾股定理可得：BC＝＝＝30（m）
小汽车的速度为v＝＝15（m/s），
∵15m/s＜19.4m/s；
∴这辆小汽车没有超速行驶．
答：这辆小汽车没有超速了
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，把实际问题转化为数学模型是解题的关键．
21. 图1，图2均为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，各个小正方形的顶点叫做格点，请在下面的网格中按要求分别画图，使得每个图形的顶点均在格点上．
（1）画一个边长均为整数等腰三角形，且面积等于12；
（2）画一个直角三角形，且三边长为，，5，并直接写出这个三角形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，5
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理得到3、4、5得等腰三角形的腰为整数5，再连接图形即可得到满足条件的等腰三角形；
（2）根据勾股定理得到：直角边为1与2斜边为，直角边为2与4的斜边为2，再连接图形即可得到满足条件的三角形，利用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形再利用面积公式求出答案即可.
【详解】解：（1）如图1所示，即为所求：
（2）如图2所示，即为所求：
∵，
∴△DEF是直角三角形，
∴.
【点睛】此题考查等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，熟练掌握一些无理数线段的作图方法是解题的关键.
22. 有一块四边形草地（如图），测得，，，．
（1）求的度数；
（2）求四边形草地的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，
（1）连接，由等边三角形的判定证得是等边三角形，得到，再由勾股定理的逆定理证得，即可求得；
（2）过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论．
正确作出辅助线证得是等边三角形是解决问题的关键．
【小问1详解】
解：连接，
，．
是等边三角形，
，，
在中，，，，
，
，
；
【小问2详解】
过作于，
，
，
，
四边形草地的面积，
答：四边形草地的面积为．
23. 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析（2）菱形
【解析】
【详解】分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
详证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE与△ADF中
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
（2）如图，连接AC，
四边形AECF是菱形．
理由：在正方形ABCD中，
OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
24. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
（1）求证：OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）6.5．（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由见详解；
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案．
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可根据直角三角形斜边上的中线性质得出CO的长．
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
【详解】解：（1）证明：如图，∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，4=∠6．
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，3=∠6．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴EO=CO，FO=CO．
∴OE=OF．
（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°．
∵CE=12，CF=5，
∴．
∴OC=EF=6.5．
（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
25. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F，
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE，理由见解析
【解析】
【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；
(2)根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；
(3)首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠DEP，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE．
【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
又∵ PB=PB，
∴△ABP ≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE；
(2)解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DCP=∠DEP，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠DEP，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．
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