四川省广安市岳池县2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析）

这是一份四川省广安市岳池县2023-2024学年八年级下册期中数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践应用题，推理论证题，拓展探究题等内容，欢迎下载使用。

八年级 数学试题
（全卷共8页，六个大题，总分120分，120分钟完卷）
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填在相应题目后面的括号内．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式中，运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列各式中x的取值范围是的是（ ）
A．B．C．D．
4．由下列线段a，b，c不能组成直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（ ）

A．16B．25C．36D．49
6．已知下列命题，
①若a＞b，则ac＞bc；
②两直线平行，内错角相等；
③直角三角形的两个锐角互余；
④全等三角形的周长相等．其中原命题与逆命题均为真命题的有（ ）
A．1B．2个C．3个D．4个
7．如图，在中，，，点D在边上，以为边作，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
8．下列命题中，正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
9．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A．B．C．4D．
10．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（请把最简答案填写在题中的横线上．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．
12．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．
13．如图，将有一边重合两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点A表示的数是，若以点为圆心，的长为半径画弧，与数轴交于点（点位于点右侧），则点表示的数为 ．

14．如图，中，是高，E、F分别是的中点．若，则四边形的周长为 ．
15．如图，在正方形中，平分，交于点E，点F是边上一点，连接．若，则的度数为 ．
16．如图，在菱形中，分别是过上的动点，连接分别为的中点，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共3个小题，每小题各6分，共18分）
17．计算：．
18．如图，在四边形中，，交于点交于点F，且．求证：四边形是平行四边形．
19．如图，在正方形中，点E在边的延长线上，点F在边的延长线上，且，连接和相交于点M．求证：．
四、实践应用题（本大题共3个小题，每小题各8分，共24分）
20．如图，在倾斜角为（即）的山坡上有一棵树，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树的根部C处，已知， ．
(1)求这两棵树的水平距离；
(2)求树的高度．
21．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．
22．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图（在每个图中分别画一个符合要求的图形即可）．
(1)在图①中，画一个三角形，使它的的三边长分别为4，，；
(2)在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；
(3)在图③中，画一个平行四边形，使它的周长为整数，且不是特殊的平行四边形；
(4)在图④中，画一个正方形，使它的面积是10．
五、推理论证题(本大题共2个小题，每小题各9分，共18分)
23．如图，在中，点是边的中点，点E在上，点F在延长线上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当满足什么条件时，四边形是菱形？并说明理由．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

六、拓展探究题（共12分）
25．问题情境：
如图①，点E为正方形内一点，，且，延长交于点G，连接．
猜想证明：
（1）如图①，试判断四边形的形状，并说明理由．
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明．
解决问题：
（3）如图①，若，请直接写出的长．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、，不是最简二次根式；
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查二次根式的运算以及二次根式的性质，根据二次根式的性质和运算法则计算出各选项后再进行判断即可
【解答】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. 与不能运算，故选项B计算错误，不符合题意；
C.，故选项C计算错误，不符合题意；
D. ，计算正确，符合题意，
故选：D
3．C
【分析】本题考查了二次根式有意义和分式有意义，分式的分母不能为0；二次根式被开方数非负．
根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0求出各选项的自变量的取值范围，从而得解．
【解答】解：A、由得，即，故本选项不符合题意；
B、由得，即，故本选项不符合题意；
C、由得，即，故本选项符合题意；
D、由得，即，故本选项不符合题意．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、因为，所以不能组成直角三角形；
B、因为，所以能组成直角三角形；
C、因为，所以能组成直角三角形；
D、因为，所以能组成直角三角形．
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
首先得到，，然后在中，得到，然后利用求解即可．
【解答】解：∵四边形和四边形为正方形，
∴， ，
∵在中，，
∴，
∴．
故选：C．
6．B
【分析】①：运用不等式的基本性质即可判断①的原命题是否正确；
②：先运用平行的性质判断“两直线平行，内错角相等”正确与否，再得出逆命题是“内错角相等，两直线平行”，运用平行线的判定定理判断正确与否；
③：根据直角三角形的性质判断“直角三角形的两锐角互余”正确与否，再判断逆命题是“若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形”是否正确；
④：先判断“全等三角形的周长相等”正确与否在再判断其逆命题是否正确.
【解答】①若a＞b，则ac＞bc,只有当c＞0时才成立，所以原命题是假命题；
②：根据平行的性质得出“两直线平行，内错角相等”正确，再得出逆命题是“内错角相等，两直线平行”正确，所以其原命题与逆命题均为真命题；
③：根据直角三角形的性质得出“直角三角形的两锐角互余”正确，再得出逆命题是“若一个三角形的两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形”正确，所以其原命题与逆命题均为真命题；
④：根据全等三角形的性质得出“全等三角形的周长相等”正确，是真命题，再得出逆命题“周长相等的三角形是全等三角形”错误，是假命题.
故选B.
【点拨】本题考查的是原命题和逆命题，熟练掌握真命题是解题的关键.
7．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求．
【解答】解：在中，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据菱形的判定定理、平行四边形的判定定理、矩形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，符合题意；
D、有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
9．D
【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可．
【解答】解：记AC与BD的交点为，
菱形,



菱形的面积

菱形的面积


故选D．
【点拨】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键．
10．B
【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；
②证△OMB△OEB得△EOB△CMB；
③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；
④由②可知△BCM△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半继续求解即可．
【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，故①正确；
②∵FB垂直平分OC，
∴△CMB≌△OMB，
∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，
∴△FOC△EOA，
∴FO=EO，
∴OB⊥EF，
∴△FOB≌△OEB，
∴△EOB与△CMB不全等，故②错误；
③由△OMB≌△OEB≌△CMB
得：∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF=EF，
∵DF∥BE且DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，
∴DE=EF，故③正确；
④在直角△BOE中∵∠3=30°，
∴BE=2OE，
∵∠OAE=∠AOE=30°，
∴AE=OE，
∴BE=2AE，
∴S△AOE：S△BOE=1：2，
又∵FM∶BM=1∶3，
∴S△BCM = S△BCF= S△BOE
∴S△AOE：S△BCM=2∶3
故④正确；
所以其中正确结论的个数为3个，
故选：B．
11．
【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解.
【解答】2-=.
故答案为：.
【点拨】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
12．10
【分析】本题考查了勾股定理，非负数的性质-绝对值、算术平方根．根据非负数的性质求得a、b的值，然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边长．
【解答】解：∵，
∴，
解得，
∵直角三角形的两直角边长为a、b,
∴该直角三角形的斜边长=．
故答案为：10．
13．
【分析】根据勾股定理可以求得和的长，再根据和，点表示的数为，即可写出点表示的数．
【解答】解：，，
，
，
，
，
点表示的数是，
点表示的数为，
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．21
【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出、，根据线段中点的概念分别求出、，进而求出四边形的周长．
【解答】解：∵是的高，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴，，
∴四边形的周长，
故答案为：21．
15．
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是证明，从而求出的度数．
根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到的度数，从而可以求得的度数．
【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】连接，如图所示，根据三角形中位线的判定与性质确定求的最小值就是求的最小值，过点作，如图所示，利用含的直角三角形性质及勾股定理代值求解即可得到答案．
【解答】解：连接，如图所示：
分别为的中点，
是的中位线，即，
求的最小值就是求的最小值，
是固定点，是线段上的动点，
的最小值就是点到线段的距离，
过点作，如图所示：
在中，，则，即，
由勾股定理可得，
的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形中位线的判定与性质、点到直线距离垂线段最短、含的直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握中位线的判定与性质，将求的最小值转化为求的最小值是解决问题的关键．
17．
【分析】根据二次根式性质、完全平方差公式先化简、分母有理化化简，再由二次根式加减混合运算求解即可得到答案．
【解答】解：
．
【点拨】本题考查二次根式性质、完全平方差公式、分母有理化、二次根式加减混合运算等知识，熟记二次根式性质及二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
18．见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
由垂直得到，根据可证明，得到，根据平行四边形的判定判断即可．
【解答】证明：∵，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
19．见解析
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质以及判定．根据正方形的性质可证明，然后根据全等三角形的判定即可求出答案．
【解答】证明：在正方形中，，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
20．(1)3m
(2)6m
【分析】（1）根据平行的性质，证得，根据勾股定理即可求得．
（2）在中，根据勾股定理即可解得．
【解答】（1）由题可知，
∴，
∴
在中，
，
∴，
∴（m）．
即这两棵树的水平距离为3m．
（2）在中，

∴，
∴（m）．
即树的高度为6m．
【点拨】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的实际应用．
21．12.5米
【分析】过点E作，垂足为F，在和中，根据勾股定理得出，，根据，得出，求出的长即可．
【解答】解：过点E作，垂足为F，如图所示：
由题意可知：四边形是长方形，和是直角三角形，
∴，，，
在和中，根据勾股定理可得：
，，
即，，
又∵，
∴，
解得：．
答：学校旗杆的高度为12.5米．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于方程．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，平行四边形的判定：
（1）根据勾股定理和网格的特点画图即可；
（2）画一个三边长分别为的三角形即可；
（3）根据网格的特点，让一组对边在网格线上，另一组对边为5即可；
（4）根据网格利用勾股定理和正方形的面积，画一个边长为的正方形即可；
【解答】（1）
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求；
（4）解：如图所示，即为所求；
23．(1)见解答
(2)当时，四边形是菱形，理由见解答
【分析】（1）由已知条件，据证得，则可证得，继而证得四边形是平行四边形；
（2）由，，得到，然后根据菱形的判定，可得四边形是菱形．
【解答】（1）证明：在中，是边的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：满足条件时四边形为菱形．
理由：若时，为等腰三角形，
为中线，
，
即，
平行四边形为菱形．
【点拨】此题主要考查了菱形的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
24．(1)见解析；(2)OE=5，BG=2.
【分析】(1)先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；
(2)先求出AE=5，由勾股定理进而得到AF=3，再由中位线定理得到OE=AB=AD=5，得到FG=5，最后BG=AB-AF-FG=2．
【解答】解：(1)证明:∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，∴平行四边形OEFG为矩形．
(2)∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
故答案为：OE=5，BG=2．
【点拨】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．
25．（1）四边形是正方形．理由见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键．
（1）证明即可；
（2）过点作于点，证明，结合，得到，得证；
（3）过点作，垂足为，证明，结合，得到，设，则，根据勾股定理，求得的值，再利用计算即可．
【解答】解：（1）四边形是正方形．理由是：
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形．
（2）．
证明：如图，过点作于点，
则．
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
由（1）知四边形是正方形，
，
，
，
，
，
．
（3）过点作，垂足为，如图：
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
．
，
，
根据（2），得到，
，
设，
∵四边形是正方形，，
，
，
，
解得（舍去），
，
，
解得．